表上作业法例题
运输问题的匈牙利解法和表上作业法
运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…，）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n1.2 运输问题的特性由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
作业排序优制材料
i2
P
i3
p
i
i
1
2
3
4
P
i1
1
2
6
3
P
8
4
2
9
4
5
8
2
13
11
16
例：一批制品，批量n =4件，须经四道工序加工，各工序时间分别为：t1=10, t2=5, t3=15, t4=10。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
四、相同零件、不同移动方式下加工周期的计算
一批零件在上道工序全部加工完毕后,才整批转移 到下道工序加工。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
3、平行顺序移动方式
工序
M1
M2
M3
M4
T平顺
t2
t1
t3
时间
t4
第2种情况：ti≥ ti+1 考虑设备加工的连续性
第1个工序的所有工件加工完成的时刻为基准，向前推（n-1）个t2时间，作为第2个工序的开始时间。即从红线开始向前推3个作为第2个工序的开始时间。
3、平行顺序移动方式
x
T=nt1+t2+x+t4
k=1，2，3...m
例：有一个4/3/P/ Fmax 问题，其加工时间如下表所示，用Palmer法求解。
表
11
-
5
加工时间矩阵
i
1 2 3 4
P
i1
1 2 6 3
P
i2
8 4 2 9
二、n/2/F/Fmax问题的最优算法
（一）Johnson算法： ① 从加工时间矩阵中找出最短的加工时间。 ② 若最短的加工时间出现在M1上，则对应的零件尽可能往前排；若最短加工时间出现在M2上，则对应零件尽可能往后排。然后，从加工时间矩阵中划去已排序零件的加工时间。若最短加工时间有多个，则任挑一个 ③ 若所有零件都已排序，停止。否则，转步骤①。
物流 表上作业法与图上作业法
1
A13 5
(3)
(1)
1
4
B1
2
(1)
4
B2
3
该是收点数+发点数-1。图上作 1 业法要求在流向图上的箭头数（ 有调运量的边数）也应为收点数 +发点数-1。这一要求也可以等 (1) 2 价地表述为：在去线破圈后得到 的不成圈的交通图上，要求每边 都应该有流向。 (2) 3 A2
B3
3
• 因此，某一边无流向时，必须在这一边上添上调运量为0的虚流 向，和其它流向同样对待。按照这一要求，应在A3边上添上虚 流向。于是，再补上去掉的边，得下图：
工地800需求量t2503003504005001800工地800需求量t250300350400500180030025050300运费21001300240022005250420075083006500工地300200400100200250503002131工地300200400100300250502001工地30040020010030025050200运费31001300240022005250430075072006000课后作业销地产地657075销量50455560210无分支不闭合运输回路60303025有分支不闭合运输回路101518022070607590806513011010016017015010080b4b3b2b1a4a2a3a128018031711811816516525234953525520302020有某物资7t由发出点a1a2a3发出发量分别为331t运往收点b1b2b3b4收量分别为2311t收发量平衡交通图如下图问应如何调动才使tkm最小
• 四个销售地，每天的 需求量为：B1：3吨， B2：6吨，B3：5吨， B4：6吨。运价表如 图所示
对偶单纯形法及运输问题
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题涉及的变量及约束条件较多， 因此直接用单纯形法求解计算量太大。幸运的 是，其数学模型具有特殊的结构，约束条件里 大多数系数都为零，且不为零的部分又呈现出 明显的结构，因此存在一种比单纯形法更简便 的计算方法——表上作业法。用表上作业法来 求解运输问题比用单纯形法可节约计算时间与 计算费用。表上作业法的实质仍是单纯形法。
例题讲解
例6 用对偶单纯形法求解
min
2 x1 3x2 +4x3
x1 2 x2 + x3 3 2 x - x +3x 4 1 2 3 x1 x3 0
第三章 运输问题
运输问题（Transportation Problem，简记为 TP）是一类常见而且极其特殊的线性规划问题。 它最早是从物资调运工作中提出来的，是物流 优化管理的重要内容之一。1939年前苏联经济 学家康托洛维奇提出这一问题，1941年美国数 学家F.L.Hitchcock提出运输问题的数学模型， 1951年Dantzig将此类问题的解法系统化、完 善化，改为用表上作业法求解。
表上作业法
表上作业计算步骤
初始调运方案的确定
课堂练习 P79 例1
作业 P97 习题3.2 用最小元素法确定表3-44 表示运输问题的初始调运方案
2.6
对偶单纯形法
•在单纯形表进行迭代时，在b列中得到的是 原问题的基可行解，而在检验数行得到的是 对偶问题的基解。通过逐步迭代，达到最优 表。 •最优表的判断标准： •第一，b列非负，即原问题可行； •第二，检验数行非正，即对偶问题可行。
对偶单纯形法的适用条件
初始解可以原问题不可行，但必须对偶 可行，即检验数必须非正。
材料表界面 作业答案
(cm3 )
边长为0.04μm银的立方体个数： n
0.1 1.488*1014 (个） 16 6.72*10
m v 10.5*6.4*1017 6.72*1016
0.1g银可得到上述大小的银胶体粒子数目： n
2
0.1 1.488*1014 (个） 16 6.72*10
7
非离子型表面活性剂。 其中离子型表面活性剂可分成阴离子、阳离子和两性表 面活性剂。 4. 何谓 HLB 值？HLB 值对表面活性剂的选用有何指导意义？
（1） HLB 值是指表面活性剂的亲水性与亲油性的相对大小。 （2）HLB 越大表示该表面活性剂的亲水性越强,HLB 值越低,则亲油性越强.由此,可根据表 面活性剂的HLB 值的大小,初步选择我们所需要的活性剂类型.
二维理想气体定律 理想气体状态方程
πA=RT
表面压较小的情况下成立
pv=RT
忽略了分子间互相作用力，利用理想化模型推导公式 低压、高温条件下成立
总结： 界面化学四大定律(1/ r1 1/ r2 )
P 2 V 2 M P0 r r
11
（2）单个粒子的表面积： A 6a 6*(4*10 ) 9.6*10 所有这些粒子的总表面积：n*A=1.428*10 (cm )
4 2
6 2
cm2
比表面积=
表面积 1.428*104 5 = =1.428*10（ cm 2/g) 质量 0.1
(3) 0.1g银的体积： v
m 0.1g 0.0095cm3 3 10.5 g / cm
2hr 2hr WSL LG (1 cos ) , tan 2 2 h r r h2
运筹学例题及答案
1 0 1/2 1
-5/2M3/2 3/2M+ 1/2
2 2 -1
3/4 1 7/2 0 7/4 0
Cj-zj
0
0 0 1
0
0 1
0
0
3/8 1/8 1/4 -3/8 -1/8 -1/2 -1/4 1/4 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/8 -3/8 1/8 1/8 3/8 5/4 -
0 x4 1/3 1/3 -1 -1/3 -5/3
0 x5 2/3 -1/3 -1 -2/3 -1/3
0 x6 0 0 0 1 0
即新解为
x (1,2,2,0,0,0)
b) 将cj的改变反应到最终单纯形表上,得表（4） cj b 4/3 10/3 3 2/3
zj
cB 5 2 0 0
xB x2 x1 x5 x6
zj
3 x1 0 1 0 0 0
2 x2 1 0 0 0 0
0 x3 2/3 -1/3 -1 -2/3 -1/3
0 x4 -1/3 2/3 1 1/3 -4/3
0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0
分析下列各种条件单独变化时，最优解将如何变化。 （a）第1，2个约束条件的后端项分别由6变7，8变4； （b）目标函数变为 maxz 2 x1 5 x2 ;
x3 ，系数为 c3 4, p3 (1,2,3,2)T （c） 增加一个变量
x2 的系数变为 (4,3,2,1,2)T （d）问题中变量
（e）增加一个新的约束 x1 4
解：a）
1 4 b 0 0
2/ 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 b 1 1 2 / 3 1 / 3 0 0 1 0 0 1 2 0 4 3 0 0 5 1 0 2
作业成本法ABC概述
10000
12000
5000
50000
28
界定作业，确认资源
▪ 经研究，发现本企业间接费用的成本动因 有5个：材料领用数量，包装批次，质量检 验小时，设备维修时数和装卸搬运次数。 其他有关资料如表所示：
2020/10/30
29
表3 作业类别和相关作业量
作业类别 成本动因 材料领用 材料领用数量
作业量
概述?date?2路漫漫其悠远一abc的背景一产品特征?需求的多元化?品质的独特个性?产品寿命周期的变化?战略管理思想的引入?date?3路漫漫其悠远二成本特征?制造技术的改变与先进制造模式的采用使得制造类企业生产组织发生重大变革导致产品成本结构发生了巨大的变化制造费用间接费用在产品成本中比例越来越大?传统的以劳动密集型大批大量生产为主的成本计算方法不能正确的反映产品成本的消耗?date?4路漫漫其悠远成本结构变化直接材料直接人工50制造间接费用2030主要成本直接材料直接人工10制造间接费用50次要成本主要成本次要成本?date?5路漫漫其悠远三传统成本计算的局限性1间接费分配基础的疑问?费用与产品的关联度的削弱?人工小时与机器小时的不足2成本计算方法对决策的影响?举例说明?date?6路漫漫其悠远例例1单一品种的成本计算原材料直接归入法人工费某一品种产品间接费用?date?7路漫漫其悠远例例2多品种的成本计算原材料直接人工不同品种产品直接归入间接费用中间账户平均分配?date?8路漫漫其悠远传统成本计算的缺陷传统管理会计按产品产量或工时指标直接人工小时或机器小时分摊间接费用进入各产品成本之中未能揭示成本产生的直接动因不能提供准确的成本信息
本对象（产品/服务）
2020/10/30
22
▪ 第一步 确认主要
▪
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
作业成本法例题
2、某制造厂生产甲、乙两种产品，2010年1月份的制造费用为100，000元，
有关成本资料如表7所示（单位：元）。
（10分）
表8 作业情况表
（1）用作业成本法计算甲、乙两种产品的单位成本。
（2）以机器小时作为制造费用的分配标准，用传统成本法计算甲、乙两种产品的单位成本。
（3）对比前面两种方法的计算结果对企业经营的影响。
解：（1）作业成本法：（4分）
×200+1000×4=26,000（元）乙产品的制造费用为：600×15+100×30+70×800+1000×6=74,000（元）
甲产品的单位费用=单位制造费用+单位材料费用+单位人工费用
26000/100+80+30=370（元）
乙产品的单位费用=单位制造费用+单位材料费用+单位人工费用
74000/200+100+25=495（元）
（2）用传统法计算成本：（4分）
制造费用分配率=100000/（200+800）=100（元/小时）
甲分摊的制造费用：100*200=20000（元）
乙分摊的制造费用：100*800=80000（元）
甲的单位成本=20000/100+80+30=310（元）
乙的单位成本=80000/200+100+25=525（元）
（3）用传统方法计算的产品的成本与用作业成本法计算的产品成本相比较，甲产品少了60元，乙产品多了30元。
这样会导致甲乙两种产品的成本不能很好地体现它们消耗的企业资源，不利于管理决策和生产优化的调整。
（2分）。
作业成本法算例
1 案例背景X公司是国内一家以仓储为主要业务的第三方物流公司。
某月该企业顺利完成了甲、乙两个服务合同。
月末结算时该月的总成本为185000元。
已知甲、乙两合同的货物仓储空间分别为18000立方米和32000立方米。
同时通过公司会计部门的费用汇总得到本月的员工工资及福利为40000元、电热等费用为10000元、固定资产折旧为120000元及办公费用为15000元。
企业还可以提供其他的一些详细资料如：（1）员工在各个作业步骤的人数及工资福利及劳动时间：出入库叉车司机6人，月工资3000元、总共有效工作时间为1000工时；分类、仓储类员工各3人，月工资2000元、总共有效工作时间为各500工时；订单处理及货物验收人员各2人，月工资分别为3000元和2000元、总共有效工时为各350工时；（2）电热、折旧和办公费等的详细情况及分摊规则等。
如表1所示。
（3）本月内该企业共完成订单处理1000份，其中甲400份、乙600份；货物托盘数为3000个，其中甲为1000个、乙为2000个；现在需要用传统成本计算方法和作业成本法来分别计算和确定甲、乙两个服务的成本。
（此案例中不考虑各种损失因素）2、计算（1）传统成本计算方法（请在下面空白处写下计算过程）甲服务合同的成本=185000×｛18000÷（18000＋32000）｝=66600 元乙服务合同的成本=185000×｛32000÷（18000＋32000）｝=118400 元（2）作业成本计算法第一步：确认该物流企业仓储系统中涉及的主要作业，明确作业中心。
通过分析可知该公司的仓储系统主要包括以下的作业：（请在下面空白处写上作业）该公司的仓储系统主要包括以下的作业：订单处理、货物验收、入库、分类、仓储、出库六个作业。
第二步：确认企业仓储系统中涉及的资源及资源动因，将资源分配到作业中心成本库中去。
一些专属于某项作业的资源是不需要分配的，所以也就无须为其确认资源动因。
表上作业法产销不平衡例题
表上作业法产销不平衡例题表上作业法是一种常见的生产管理方法，用于优化生产线上的工作流程。
然而，在实践中，有时可能会出现产销不平衡的情况，即生产速度超过了销售速度或销售速度超过了生产速度。
这种不平衡可能会导致一系列问题，例如库存积压、资金浪费以及客户满意度下降等。
为了更好地理解产销不平衡，我们来看一个例题。
假设某公司生产某种电子产品，每个月的生产能力为10000台。
然而，由于各种原因，该公司只能以每个月8000台的速度销售产品。
这种情况下，就会出现产销不平衡的问题。
首先，由于生产速度大于销售速度，公司可能会面临库存积压的问题。
如果产品堆积在仓库中无法及时售出，就会占用公司的资金和仓储空间。
这不仅增加了公司的运营成本，还可能导致产品过期损坏或降低产品价值。
其次，产销不平衡还会导致公司的资金浪费。
生产所需的原材料、人力资源和设备投入等都需要大量的资金支持。
但是如果产品无法及时销售，公司的资金就会被绑在未售出的产品中，无法用于其他方面的投资。
这将限制公司的发展和增长。
最重要的是，产销不平衡还可能影响客户满意度。
如果公司无法及时满足客户的需求，客户可能会转向竞争对手或者在产品质量和服务方面提出投诉。
这将对公司的声誉和市场地位造成负面影响。
为了解决产销不平衡的问题，公司可以采取以下措施：1. 市场调研和需求预测：通过深入了解市场需求和趋势，公司可以更准确地预测销售量，并相应调整生产计划。
2. 提高销售渠道和营销策略：通过拓展销售渠道，加强市场推广和品牌宣传，提高产品的知名度和销售量。
3. 优化产能和生产计划：根据销售预测调整生产计划，避免过度生产或者产能不足的情况。
同时，优化生产流程和提高生产效率，以适应市场需求。
4. 采取库存管理措施：通过合理的库存管理，例如采用先进的物流和仓储系统，以及及时清理滞销产品，来减少库存积压和产品过期损坏。
综上所述，产销不平衡是生产管理中常见的问题，但可以通过市场调研、销售策略优化和合理的库存管理等措施来解决。
成本管理例题
成本管理例题解答[例2-1]企业基本生产车间本月只生产甲、乙两种产品，共同耗用A 种原材料，原材料的耗用量无法直接划分到两种产品中。
甲产品投产100套，原材料消耗定额为10千克/套；乙产品投产200台，原材料消耗定额为4千克/台。
A 种原材料计划单价10元/千克，本月实际消耗量为1800千克。
求：（1）甲、乙产品的原材料定额消耗量；（2）计算原材料消耗量的分配率；（3）甲、乙产品各耗用原材料的数量；（4）甲、乙产品应负担的原材料费用；（5）对原材料的消耗进行账务处理。
[例2-1]解：（1）甲产品的定额消耗量：10⨯100=1000（千克）乙产品的定额消耗量：4⨯200=800（千克）（2）分配率：180010001800=+（3）甲产品耗用原材料：1000⨯1=1000（千克）乙产品耗用原材料：800⨯1=800（千克）（4）甲产品应负担的原材料费用：1000⨯10=10000（元） 乙产品应负担的原材料费用：800⨯10=8000（元） （5）借：基本生产成本—甲产品 10000 —乙产品 8000 贷：原材料 18000[例2-2]企业一般在月末根据工资结算单和有关的生产工时记录编制“工资费用分配表”，然后汇编“工资及福利费用分配汇总表”。
“工资费用分配表”的格式内容如下：工资费用分配表要求：（1）根据“工资费用分配表”做相应的账务处理；（2）按照14%的比例计提职工福利费并做相应的账务处理。
解：（1）借：基本生产成本—A产品100000—B产品 60000辅助生产成本—供电车间 18000—锅炉车间22000制造费用 18000管理费用 25000营业费用 15000贷：应付职工薪酬—工资 258000（2）借：基本生产成本—A产品14000—B产品 8400辅助生产成本—供电车间 2520—锅炉车间 3080制造费用 2520管理费用 3500营业费用 2100贷：应付职工薪酬—职工福利 36120[例2-3]某企业设有供水和供电两个辅助生产车间，主要为企业基本生产和行政管理部门提供供水、供电劳务。
小学二年级数学钟表时间练习题
小学二年级数学钟表时间练习题小学二年级数学钟表时间练习题小学二年级数学钟表时间练习题是一个非常重要的知识点，它可以帮助孩子们更好地理解时间的概念，并且能够在实际生活中运用。
本文将通过确定文章类型、梳理思路、编写故事情节、刻画人物形象和适当总结的方式，为孩子们提供一些有趣的钟表时间练习题。
首先，我们来看一道简单的钟表时间练习题：题目：小明下午3点放学，回家后立即开始做作业，当他完成作业时，发现已经6点了。
请问小明做作业用了多长时间？这道题目考察的是孩子们对于钟表时间的识别和计算能力。
通过观察钟表上的时间，孩子们可以得知小明从下午3点开始做作业，然后在6点完成。
因此，他用了3个小时来完成作业。
接下来，我们来看一道稍微复杂一点的钟表时间练习题：题目：小红早上7点起床，然后开始准备早餐，当她吃完早餐时，已经是8点了。
请问小红用了多长时间准备早餐？这道题目同样考察孩子们对于钟表时间的识别和计算能力。
不过，这道题目还涉及到了时间的流逝和跨度。
通过观察钟表上的时间，我们可以得知小红从7点开始准备早餐，然后在8点吃完早餐。
因此，她用了1个小时来准备早餐。
通过以上两道钟表时间练习题，我们可以发现，孩子们需要掌握钟表时间的识别、计算和跨度等知识点。
这些知识点不仅能够帮助孩子们更好地理解时间的概念，还能够在实际生活中运用。
总之，小学二年级数学钟表时间练习题是孩子们学习数学时的一个重要知识点。
通过多做一些相关的练习题，孩子们可以更好地掌握钟表时间的概念，提高在实际生活中运用时间的能力。
家长和老师也需要给予孩子们更多的指导和帮助，让他们在学习中取得更好的成绩。
小学二年级钟表练习题小学二年级钟表练习题一、填空1、钟表上有三根针，最短的针是______针，最长的针是______针。
2、钟表上有12个数字，有______个大格，______个小格。
3、在钟表上4时整，时针指向______，分针指向______。
4、钟表上的一圈被分成12个大格，每个大格还有五个小格掺杂着，那么钟表上的一圈共有______个小格。
双代号网络图时间参数计算
双代号网络图时间参数计算网络图时间参数计算的目的是确定各节点的最早可能开始时间和最迟必须开始时间，以及各工作的最早可能开始时间和最早可能完成时间，最迟必须开始时间和最迟必须完成时间，各工作的总时差和自由时差，以便确定整个计划的完成日期、关键工作和关键线路，从而为网络计划的执行、调整和优化提供科学的数据。
时间参数的计算可采用不同方法，如图上作业法、表上作业法和电算法等，这里主要介绍图上作业法和表上作业法。
1.各项时间参数的符号表示图1∙1时间参数关系简图设有线路h~Hfjfk,则：D i.——工作i—j的施工持续时间；Dj——工作i—/的紧前工作h-i的施工持续时间；D hk——工作i—/♦的紧后工作/一k的施工持续时间；T iε——节点①最早时间；T；——节点①最迟时间;里——工作i-∕的最早开始时间；——工作i-j的最早完成时间；坐——工作i-∕的最迟开始时间；T£——工作，一/的最迟完成时间；用——工作，一/的总时差；电——工作，一/的自由时差；2.时间参数间的关系分析图1-1这条线路，可以得出如下结论:睛=T i εT 苔=需+ %丐=T-* =哨-0T3 .图上作业法当工作数目不太多时•，直接在网络图上进行时间参数的计算十分方便。
由于双代号 网络图的节点时间参数与工作时间参数紧密相关，因此，在图上进行计算时.，通常只需 标出节点（或工作）的时间参数。
现以图1-2为例介绍图上作业法的步骤：（I ）计算各个节点的最早时间7"节点的最早时间就是该节点前面的工作全部完成，后面的工作最早可能开始的时间。
计算节点的最早开始时间应从网络图的起点节点开始，顺着箭线方向依次逐项计算，直 到终点节点为止。
计算方法是：先假定起点节点①的最早时间为零，即7丁=0;中间节 点的最早时间为该节点前各紧前工作最早完成时间中的最大值。
根据公式（1-2）,工作 的最早完成时间为工作的最早开始时间（即工作的开始节点的最早时间）加上工作的持 续时间，故：T=ma⅛" + %∙} （1-5）在图1-2中，各节点的最早时间计算如下:(1-1) (1-2) (1-3) (1-4)图1・2图上作业法示意图4^=7]E+D1,2=0+7=7*=7]E + %=0 + 4 = 47]E+D1,4=0+4=4'乃= max<琛+ 2 .4 =7 + 2 = 91 = 9* +。
高斯小学奥数五年级下册含答案第06讲_钟表问题
第六讲钟表问题常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、分针和秒针之间的位置关系，这和我们前面学习过的环形路线问题是很像的．就像前面漫画中画的一样，可以将三种针想象成绕着钟表不断奔跑的三个人，时针是一位老人，他慢悠悠的，12个小时才能在钟表上散步一圈；分针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年们，活力无限，每分钟都绕着钟表欢快的跑过．但同学们会发现，这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度，所以我们考虑能不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是/米秒或/千米时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不适用的，那我们用什么来表示时针、分针和秒针的速度呢？我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，于是，利用这个“格”来表示分针、时针和秒针的速度．经过计算，我们容易得出：时针的速度：5格/时=格/分； 分针的速度：60格/时=1格/分；秒针的速度：3600格/时=60格/分=1格/秒．知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题．练一练在下图的钟面上标出时间，并写出分针与时针相差的格数．9:00 10:00分针在时针后_____格 分针在时针后_____格1124:30 12:24分针在时针后_____格分针在时针后_____格例题1．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？（2）多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？（3）多少分钟后，时针与分针第一次垂直？第二次垂直呢？分析：3点整时，分针落后时针多少格？到了重合、张成直线或者垂直的时候，又分别落后多少格？在这个过程中，分针比时针多走了多少格？练习1．2点到3点之间，什么时候时针和分针重合？什么时候时针与分针张开成一条直线？什么时候时针与分针垂直？通过前面的例题，同学们应该已经学会了最基本的钟表问题解题方法．简单钟表问题求解的关键在于计算分针和时针的路程差，要算清这一点，一定要把出发点两针之间的距离和结束点两针之间的距离算清楚．这个问题中的出发点和结束点都很清楚，因此过程比较简单，但也有很多问题出发点和结束点没有直接给出，这就需要我们自己会合理地选择．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．现在是10点23分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？分析：10点23分分针与时针相差的格数很难计算，那我们可以换一个起始时刻．练习2．现在是11点5分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -只要是涉及到钟面上分针与时针之间相差多少格的题目，都可以转化成追及问题来处理．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？分析：7点24分时，分针落后时针多少格？练习3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点30分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？钟表用上一段时间之后，有可能会变慢或变快．碰到这种类型的题目应该怎么处理呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）墨莫的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，墨莫把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）萱萱的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，萱萱将表校准．试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？分析：比标准时间每小时快3分钟，是指标准钟的分针走了60格的同时，快钟的分针走了63格，两针的速度比时20:21．那么“比标准时间每小时慢4分钟”，说明两针的速度比是多少呢？练习4．某手表每小时比标准时间慢3分钟，若在早上4点30分校准，则手表指示为上午10点50分时，标准时间是几点几分？在一些钟表问题中，路程差的想法并不能帮助我们解决问题．这时需要我们发挥想象力，找出分针与时针的路程和．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题5．小明上了一节课，时间不到1小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？分析：不妨假设上课时是三点多，下课时是四点多．我们可以在钟面上画出上课与下课时分针与时针大概的位置，然后观察在这段时间内它们分别走过的路程．例题6．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央．请问：这时是6点几分？分析：同样的，画图吧，但是题目中给的信息只能知道时针和分针最后的结果，这对我们解决问题是不利的，所以考虑找到一个时针和分针开始运动的时刻，那么，你能想到找哪个时间对我们解题比较有利吗？古代的计时工具日晷是最早报“标准时”的仪器，它由晷盘和晷针组成．晷盘是一个有刻度的盘，其中央装有一根与盘面垂直的晷针，针影随太阳运转而移动在盘上的位置．那时，有钱人家里自己也装有这种钟表．埃及是第一个漏壶钟出口国．它由两个互相叠置的圆筒组成．水从上面的圆筒穿过一个小孔滴入下面的圆筒．水滴完了，就是某个时辰过去了．大一点儿的漏壶灌一次水可报六个小时，然后再重新装满水．古埃及法老王朝的钟表巧匠甚至制做了装有指针和鸣击装置的钟表，每隔一小时，一定数量的圆球便滚落到金属盖上，发出大声的鸣响．罗马人是埃及漏壶钟的主要买主．清晨，报时人大声地报出钟点，然后，每家每户便往漏壶钟里装满水．罗马诗人普拉图斯对这样的计时方法很不满意．他写道：“但愿上帝杀死发明钟点的人，……因为钟点把我的整天撕成了碎块．以前，我的肚子便是我的报时钟，在所有的钟表中它是最好和最准确的．”据说君士坦丁大帝曾经有一只奇妙的钟，即使在今天看来它也是一只极不寻常的、复杂的计时器．它有一棵树木的形状，在枝桠上坐满所有可能的动物，下面蹲着许多的狮子，时钟一敲，狮子便张开大口，发出吼声．柏拉图是第一个借助埃及的漏壶制成闹钟的人．他把下面的圆筒挂起来，使它可以旋转，过一定的时间，圆筒便翻倒，把水倒出，水又流往一个哨管，水流的冲击造成的气流使哨管吱吱作响．每隔同样的时间，柏拉图的闹钟便准时地“吹响”，催促着这位伟大哲学家的学生去上课．漏壶计时的方法持续了几千年．查理大帝在位时还从诃伦哈里发那里得到过一只装有时针和鸣击器的漏壶钟，它用纯金制成，做工精巧，富有艺术性．直到十二世纪，一名僧侣发明了沙时钟，漏壶才逐渐被沙时钟取代．最后，彼得·亨兰发明了平衡轮，克里斯蒂安·海根斯发明了摆锤，在此基础上，才制成了类似于今天的钟表．值得一提的是，沙时钟原先只用于给说教台上的神父掌握说教时间的．据考证，早在公元前2000年，中国就有了漏壶．一张公元前2679年的图样证明中国早有了类似于印度人和阿兹台克人所拥有的日晷．除此之外，中国人还用另外的方法制做了他们的计时器，例如，他们通过燃烧刻有时间标记的薰烛计算时间．另外，据说中国的一位制做钟表的能工巧匠，用各种各样的薰料制成了一种香味钟，它每小时散发出一种不同的味道．作业1.现在时刻为1:24，钟面上，时针与分针所成的角度是多少度？作业2.现在是九点整，那么多少分钟之后时针和分针第一次重合？多少分钟之后时针和分针第一次张开成一条直线？作业3.10点12分，时针和分针的夹角是多少度？之后，时针和分针第一次垂直在什么时刻？作业4.在10点至11点之间，钟面上的时针和分针可能在什么时刻相互垂直？作业5.一个快钟每小时比标准时间快4分钟．小高在标准时间晚上10:00把这个钟调到标准时间．第二天早上小高醒来时，钟面显示的时间是6:00．那么小高醒来时实际是几点几分？第六讲 钟表问题例题1. 答案：（1）41611；（2）14911；（3）83211，56511详解：3点整时，分针在时针后面15格．（1）从3点整到重合，分针比时针多走了15格，用了14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （2）第一次张开成直线时，分针在时针前面30格．从3点整算起，分针比时针多走了45格，用了11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （3）第一次垂直时，分针在时针前面15格．从3点整算起，分针比时针多走了30格，用了183********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．第二次垂直时，分针在时针前面45格．用了156********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．（3点整时针与分针垂直，这不算第一次）例题2. 答案：21511详解：以10点整为起始点，这时分针在时针后面50格．分针与时针第一次垂直时，分针在时针后面45格，用了155151211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．但是这时还没有到10点23分，也就是说我们要求的是10整之后时针与分针第二次垂直的时刻．第二次垂直时，分针在时针后面15格，用了12351381211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．223823151111-=分． 例题3. 答案：7点45211分，42811分 详解：7点24分时分针在时针后面13格．小高出来时夹角与到超市时相同，说明出来时分针在时针前面13格，逛超市用了14261281211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分，出来的时候是7点45211分．例题4. 答案：（1）5时40分；（2）15时30分详解：（1）标准钟分针走60格，闹钟分针可走63格，速度比为20:21．闹钟响起时，闹钟的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走400格，用时6时40分，标准时间是5点40分．（2）标准钟分针走60格，手表分针可走56格，速度比是15:14．手表下午3点时，手表的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走450格，用时7个半小时，标准时间是下午3点半．例题5. 答案：55513详解：分针与时针刚好对调，那么分针与时针的路程和刚好是1圈，即60格，这一堂课上了156********⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．例题6. 答案：92713详解：如图所示，从6点整到这个时刻，时针与分针共走了30格，用了19301271213⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．练习1. 答案：2点101011分；2点74311分；2点32711分 简答：（1）110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（2）17401431211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（3）132********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭．练习2. 答案：10511简答：从11点开始算起，需要过110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分时针与分针第一次垂直，101010551111-=．练习3. 答案：44611；41611简答：7点30分时，分针在时针后面7.5格，那么出来时分针在时针前面7.5格．14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，说明用了41611分，出来时是7点44611分．练习4. 答案：11点10分简答：标准钟分针走60格，手表分针走57格，速度比是20:19．从早上4点30到手表显示的10点50分，手表的分针一共走了380格．3801920400÷⨯=，说明这段时间实际是400分钟，实际时间是11点10分．作业1. 答案：102简答：1:24时，时针与分针相差17格，176102⨯=．作业2. 答案：14911，简答：11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 作业3. 答案：126；10点分 简答：10点12分时时针与分针相差21格，216126⨯=．12241261211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 22611 41611分针路程 时针路程作业4.答案：10时5511分；10时23811分简答：155151211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭，12351381211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭．作业5.答案：5点30分简答：快钟与标准钟的速度比是16:15．到小高醒来时，快钟的分针走了480格，那么标准钟的分针走了450格，需要7.5个小时．所以小高醒来的标准时间是5点30分．。
统计学例题及作业
第四章统计分析的基本指标例4.1：某公司2008年计划实现净利润2500万元，实际完成3100万元。
计算利润计划完成程度。
例4.2：某公司2008年劳动生产率计划比上年增长10%，实际增长了21%，计算劳动生产率计划完成程度。
例4.3：某公司2008年单位成本计划比上年降低10%，实际降低了19%，计算单位成本计划完成程度。
例4.4：某企业2007年某产品的单位成本为520元，2008年计划在上年基础上降低5%，实际降低了40元，计算2008年单位成本计划完成程度。
例4.5：某企业2002年产品销售量计划达到上年的108%，2002年销售量实际比上年增长了15%，试计算2002年销售计划完成程度。
例46：某企业“十五”计划规定，最后一年的钢产量要达到200万吨，各年实际产量如下表例4.8：三种苹果每公斤的单价分别为4元、6元、9元。
（1）如果三种苹果各买2公斤，计算平均价格。
（2）如果三种苹果分别购买2公斤、3公斤、5公斤，计算平均价格。
（3）如果三种苹果各买5元，计算平均价格。
（4）如果三种苹果各买5元、6元、18元，计算平均价格。
（5）根据以上四种情况下计算的平均价格，归纳出算术平均数、调和平均数的运用条件。
例4.10：2007年某主管部门所属企业的利润计划完成程度如下表：例4.11：某企业有铸锻、初加工、精加工和装配四个连续作业车间，加工1000件产品，经过四个车间加工后的合格品数量分别为980件、970件、950件、945件。
试计算四个车间的平均合格率。
例4.12：某企业从银行取得一笔1000万元的10年期贷款，按复利计算利息：第1年的利率为6%，第2—3年的利率为7%，第4—6年的利率为8%，第7—10年的利率为10%。
试计算该笔贷款的平均年利率。
如果按单利计算利息，平均年利率又是多少？例4.13：A、B两个农贸市场的交易资料如下表：例4.14：某企业2000第四章统计指标作业2.3.某一家三口，父母工作，女儿上小学。
列车编组作业计划例题：
2）调整
（1）N26对N25压缩到站节省：
450 90 90
550-180=370 （车小时） 得过渡方案一 （2）N25+N26对N24校核：
压缩到站节省：
240
550-240-180=130 （车小时）
180 180 得过渡方案 二
420 450 450
（3）N36对N46校核 压缩发站节省：
450 600-550+180=230 （车小时）
100
180 120
250 100 110
60
130 300 120
改编能力 250
250
250
16
• 解：1）计算Nt节
450 625 750 150 180 120
300 390 260
600
2）确定初始方案 N14，N35满足绝对条件； N25满足必要条件； N15可以合并到N14中。
17
• 3）调整
420
N14、N15满足必要条件，单开
N26满足绝对条件 单开 N13+N16合并：满足必要条件或者 N24+N25+ N16合并满足必要条件
220 165 720 540
比较选后者
90
240
初始方案
210
10
480
255 340
270 360 270
120 160 120
420
220 165
720 540
130 70
117 130
91
104
156 117
650 3 350
100 111 52
4
56
D
EF
700
4
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B
的单位运价
j
发该量问题便称作
运输问题。若，
a1 m
n
则a2称i1作ai 发产j量销1 bj平
衡问题，否则
称为产销不平
衡am问题。
收量 b1 b2 … bn
问题：在满足供需要求的前提下，如何安排调运计划，
可使总运费最小。
收站 发站
B1
B2
…
A1
C11
C12
x11
x12
…
A2
C21
C22
x 21
x22
Vogel法给出初始方案
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位势法检验初始运输方案
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3 10
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运输问题及表上作业法
运输问题及其数学模型 产销平衡问题的表上作业法 运输问题解的讨论 产销不平衡运输问题
运输问题及其数学模型
下表为调运同一种物资的物资调收运站表
收站 发站
A1
A2
B1
C11
发C21 站
B2
C12
C22
… Bn
…
C1n
…
C2n
Am
Cm1
Cm2
…收量Cmn
cij 表示从Ai 运往
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v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
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6
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发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
表上作业法的算法步骤流程图：
开始
给出初始 运输方案
改进运 输方案
no
检验 运输方案是否
最优
（1）闭回路法
yes
（2）位势法
结束
例1 给出下面的运输问题的最优解。
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3
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43
1
9
2
8
A2
3
4
1
7 A3
4
10
6
5 9
3
收量 3
6
5
6 86
首先(最小元素法)、 其次(位势法、闭回路法) Vogel法给出初始运 检验初始运输方案 输方案
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
7
4
10 5
9
6 12
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
闭回路法法给出初始
方案
闭回路是指从
…
Bn
发量 m n个变元，
C1n
x1n
a1 m n个约束
C2n
x2n
a2的线性规划问题
mn
Am
… a Cm1
Cm2
V: miCznmn
c ij x ij
xm1
xm2
n
x min1 j 1 m
数学收模V量:型m ：n 设 iznxbi1j表 im1 示 jnb1cA 2iji由 x调 ij s.往 t…B. j的 ix jm i11jxx 数 iijj0 b，n(bai量 ij 则((1 i有,j 11,,m 2,2,;, j, ,mn1 ,)) ,n )
xij ai (i1,2,,m)
s.t.
j1 m
x ij 0(i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
xij bj (j1,2,,n)
x 1x 1 1 2x 1 nx 2x 1 2 2x 2 n x m 1x m 2 x mn
1 1 1
a1
1 1 1
a2
1 1 1 am
1
1
1
b1
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
1
7
4
10 5
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
85
v1 3 v2 9 v3 3 v4 10
收 发 A1
A2
A3 收量
B1
B2
B3
B4
3
11
3 10
0
2
5
2
1
9
2
8
32
1
1
7
4
10 5
9
6
3
3
6
5
6
发量 7 u1 0 4 u2 2 9 u3 5
3 10
+
4 -3 7
1
9
2
8
A2
3
4 1
7 A3
4
10
-6
5 +3 9
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
2
8
A2
3+
1
4
7 A3
4
10
-6
5+
9
3
收量 3
6
5
6
收
发
B1
B2
B3
B4 发量
3 A1 1
11
2
3 +
10 -
7
4
3
1
9
A2
31
2
8
1
+4
1
1
1
b2
1
1
1 bn
说明( 1 ) ： r (A ) r (A ~ ) m n 1 (2) A中任系Am意 (数m矩nn)阵( m1n 行 ) 组成的行 增A~(广m 向 矩n )阵( m性 量 n 1) 无 组关 都线