概率论与数理统计32边缘分布解析

y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)
3 5
2 5
1
（II）无放回摸球
X1
X2 0
1 PX1 ( x)
0
32 32 3 5454 5
1
23 21 2
5 45 4 5
PX2 ( y)
32 55
1
问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
第二节 二维随机变量的边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X ,Y 的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
系得：
FX ( x) F( x,)
pij
xi x j1
又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：
FX ( x) P{X xi }
比较可得X的分布律为： xi x
P{ X xi } pij pi•
j 1
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
YX
0
1
0 16
12
42 42
1 12
9
42 42
解: Y X 0
1
012 12
42
42
12
142
6 42
Pi• P{X xi }
4
3
7
7
P• j P{Y y j }
4
7 3
7
1
例2 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .
结论:联合分布(函数)
边缘分布(函数)
但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布
(函数)可相互确定.
由此可知： 联合分布不能由边缘分布唯一确定，也
就是说二维随机向量的性质并不能由它两个分
量的个别性质来确定，还必须考虑它们之间的
联系。
三、连续型随机变量的边缘分布
设(X,Y)为二维连续型随机变量，则
FY y PY y PX ,Y y F , y
可通过联合分布函数求极限来确定边缘分布函数。
例1 设(X，Y)的分布函数为
F ( x,
y)
1
2
(arctan
x
)(arctan
2
y ),
2
x,
y
求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
解：
FX
(x)
lim F( x,
y
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
pi• pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1
p• j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi• (i 1,2,) 和 p• j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx 来自我们称参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
fY ( y) f ( x, y)dx —(X,Y)关于Y的边缘概率密度
显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度, 只需对某一个变量在(-∞,+∞)上积分,但必须注意另 一个变量应在全体实数范围内取值.
例3 设 (X,Y) 的概率密度是
f
(x,
y)
24 5
y(2
x),
0 x 1,0 y x 求两个边缘密度 .
0 ,
其它
暂时固定
解
fX x
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,, y
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
y x
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
x x 0 x1 x x
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
.
当 0 x 1时,
fX
x
0
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
XY 1 3 0 0 18 1 38 0 2 38 0 3 0 18
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0 0 18
68 28
PX xi
18 38 38 18 1
你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行 的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。