求线段和最小值试题(周长)解法探析

求线段和(周长）最小值试题解法

近年来很多省市的中考数学试卷中出现求几条线段之和最小值的试题．这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义．现撷取关于求线段和最小值的几个例题进行分析． 一、“定——动——定”型试题 例1．（09山东威海）如图1，在直角坐标系中，点A ，B ，C 和坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．求当A D+CD 最小时点D 的坐标．

例2．（09福建彰州）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，O A O B ⊥，

60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点，求P A P C +的最小值；

评析：例1与例2均涉及两个定点一个动点，属求“定——动——定”型折线最

小值问题，源于课本 “在直线上找一点，使其到直线同侧两点距离之和最短”，只是将问题背景改为抛物线或圆．以此考查学生的识别能力．这类只改变题型背景等非关键因素以适当加深问题的难度，隐蔽的应用课本上知识的试题常会在中考试卷中出现，用其检查

学生灵活运用知识的能力．

三、“定——动——动——定”型试题 例4．（福建彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

分析：点P 是角内部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线．

解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，

根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102，

故△PQR 周长的最小值为102．

例5．（09湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于

世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km,A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

评析：例4与例5涉及两个动点一个（或两个）定点，由于它们均是以定点为起止，动点在定点之间，因而属求“定——动——动——定”型折线最小值问题，应选用“两点之间，线段最短”这一性质

解题．另外在分析问题时既要考虑条件间的相同点，也要关注条件间

的区别，以正确地找出解题方法． 从上面的几个例题可以看出，求几条线段和的最短（小）值问题

P 2

P 1

A

B

P

R

Q O

图4

B C D N

M N ′ 图3 B 1

A 1 Q

Y X P O B A C 图5

图1

A ′

A

B

C P O 图2

一般需要进行图形变换，将其转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两条性质求出最小值．

四、应用：

1 ：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。

2、如图（1），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=__________________。

3、求函数的最小值。

五、拓展

（一）三条线段的和最小的问题：

如图3，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。

图（5）

C

B

C

A

（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值

1、如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，∠BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）

（A）6a , (B) 5a, (C) 4a , (D) 23a 。

2、已知在菱形ABCD中，∠A=600，AD=8，M、N分别是AB，BC边上的中点，P是对角线AC上一动点，求PM＋PN的最小值。

（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值

已知如图：正方形ABCD 的边长是3,E 点分边BC 为2:1,P 为对角线BD 上一点,求PE+PC 的最小值. （四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为_____________。 （五）利用圆的对称性，求线段和的最小值 已知如图,AB 是⊙○的直径,AB=2cm,OC ⊥AB,点D 是弧AC 的三等分点,P 是OC 上一动点,求PA+PD 的最小值

B C

D

E

C

B

图（

16）

B

C

（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值

如图,在直角坐标系中, 有四个点A （-8，3）、B （-4，5）、C （0，n ）、D （m ，0），求四边形ABCD 周长最短时的值。

A

B

七、链接

看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A 地到B 地的路径最短，请说明理由。

请思考：

1、这题为什么不能用轴对称知识解决？(认真理解我推导出的性质就可明白)

2、如何用平移知识解决此题？

3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？