形式语言与自动机04章 Chomsky文法体系及语言之间的运算-1

实际上，G1是一个无关文法。也
是一个相关文法。 即：任意一个无关文法都可以改 造为等价的一个相关文法，所以， 任意一个无关语言也是一个相关 语言。
结论4-4 Chomsky的文法体系
对于文法G根据对产生式的不同限制，
Chomsky将文法分为四类： 文法G是3型文法，即右线性文法； 文法G是2型文法，即无关文法； 文法G是1型文法，即相关文法； 文法G是0型文法，文法对产生式没 有特殊限制；
如果对于任意P，均有|| ≦||成
立， 则称G为1型文法，或上下文有关文法 (CSG)。对应的L(G)叫作1型语言或者上 下文有关语言(CSL)。
如果对于任意P，均有||
≦||
且V成立， 则称G为2型文法，或上下文无关文 法(CFG)。对应的L(G)叫作2型语言 或者上下文无关语言(CFL)。
4.2
Chomsky的文法体系另一种描述 目前，国内普遍对Chomsky的文法体 系存在另外一种描述方式，该方式限 制了一般的空串产生式的使用。
对于短语结构文法G=(∑，V，S，P)： G称为0型文法，或短语结构文法
(PSG)。对应的L(G)叫作0型语言或 者短语结构语言(PSL)、递归可枚举 集。
定义4-11
设文法G=(∑，V，S，P)
，如果S不出现 在任何产生式的右部(即S的仅仅负责推 导的开始),则
如果G是CSG（CFG，RG），则
G=(∑，V，S，P∪{S}) 仍然是CSG（CFG，RG）；G产生 的语言仍然为CSL（CFL，RL）。
定理4-13
如果L是CSL（
现在任何产生式的右边； 则称文法G为上下文相关文法CSG（简称 相关文法）。
如果一个语言能由一个相关文法产生，
则称这个语言是上下文相关语言（简 称相关语言）。
根据以上的两个定义，可以得到
一个无关的文法不一定是相关的文法，
主要是空串产生式的情况。
某些文法不满足上述3类文法的要求； S→AB1 AB→0
如果对于任意P，均具有
形式Aw, AwB, 其中，A,BV, w∑+， 则称G为3型文法，也可称为正则文 法(RG)或正规文法。对应的L(G)叫作 3型语言，也可称为正则语言或正规 语言(RL)。
四类文法和对应的四类语言之间都有
包含关系。
定义：形如的产生式叫作空产生式，
一元运算：L1→β(L1)；若对于Ψ的 任意语言L1和L2，α(L1，L2)也是Ψ 的语言，则称Ψ对于运算α是封闭的； 若对于Ψ的任意语言L1，β(L1)也是Ψ 的语言，则称Ψ对于运算β是封闭的。
定理4-17 每个i（i=0，1，2，3）型语言对联
合，连接和迭代运算是封闭的。 证明：

该文法不是右线性文法，不是无关文法，
也不是相关文法，只能属于短语结构文 法。
Chomsky将文法分为四类，关系为： 任意一个右线性文法本身是一个无关文
法；本身不一定是相关文法； 任意一个无关文法本身不一定是相关文 法；
设文法G=(∑，V，S，P)，则判断G是哪
类文法的方法如下： 1、G是短语结构文法； 2、如果所有产生式都有左边部分的长度 小于等于右边部分长度，那么G是上下文 有关文法；允许有S→ε，且S不出现在任 何产生式的右边
4.1.1
定义4-1 右线性文法
对于文法G=(∑，V，S，P)，若它的每
个产生式都是下列形式之一： A→xB或者A→y； 其中：A，B∈V，x∈∑*，y∈∑+； 则文法G是右线性文法（也称为正则文 法RG）。
如果一个语言L可以由右线性文法产
生，则该语言是右线性语言。
定义4-2 上下文无关文法
CFL ，RL），则
L∪{} 仍然是CSL （ CFL ，RL） 。
定理4-14
如果L是CSL（
CFL ，RL），则
L-{} 仍然是CSL （ CFL ，RL） 。
证明
即可。 需要注意的是：S不允许出现在产 生式的右边。
只需要增加或减少S
4.3 语言之间的运算及运算的封 闭性(略)
根据空串定理：

G是一个上下文无关文法，存在一般的空串产 生式A→ε，则存在另一个上下文无关文法G1 使得： ⑴L(G)=L(G1)； ⑵若εL(G)，则G1中没有任何空串产生式； ⑶若ε∈L(G)，则G′中有一个空串产生式S’→ε， 且S’不出现在G1的其它任何产生式的右边； （S’是G1的开始符号）
第四章 Chomsky文法体系及语言之间的运算
本章介绍
Chomsky的文法体系 语言的运算和运算的封闭性(略) 正则集
4.1 Chomsky的文法体系 文法的分类及文法之间的关系 短语结构文法PSG=(∑,V，S，P)， 产生式的形式是v→w， 其中：v∈(∑UV)+，且至少包含一个 非终结符； w∈（∑ U V）* 。
也可叫作产生式。 根据文法分类的定义，在RG, CFG, CSG中，都不能含有空产生式，所以任 何RL,CFL,CSL中都不包含空语句。
空语句在一个语言中的存在并不影
响该语言有穷描述的存在，因为除了 为生成空语句外，空产生式可以不 被用于语言中其他任何句子的推导中。 如果允许RG,CFG,CSG中含有空产 生式，也就允许CSL,CFL,RL中包含 空语句。
关语言； 一个上下文无关语言是不是一个上下文 相关语言呢？
从第二章可知：一个无关文法 ①没有任何空串产生式，或者 ②仅有一个空串产生式S→ε，且S不
出现在任何产生式的右边 则该文法本身就是一个相关文法；它 产生的无关语言也就是一个相关语言；
那么，如果一个无关文法中有一
般的空串产生式（如A→ε，A是 一个非终结符，且不是开始符 号）， 它产生的无关语言是不是相关语 言呢？
产生复杂语言的方法之一是对简单的
语言进行语言的运算。
4.3.1 语言之间的基本运算

定义4-15 语言的运算的定义 若语言L1和L2是同一字母表∑上的两个语言， 定义 语言L1和L2的联合运算为： L1UL2={w|w∈L1或者w∈L2} 语言L1和L2的连接运算为： L1L2={w|w=w1w2，w1∈L1，w2∈L2}
P5={ S→S1S2 }U P1 U P2，若G1和 G2是上下文无关文法， 则G5也是上 下文无关文法；且S1=>*w1， S2=>*w2，S=>S1S2=>* w1w2，所 以 L(G5)=L(G1)L(G2)；所以2型语言 对连接封闭。
若G1和G2是0型或者1型文法，文法
G5可能会有问题，
∑″， 令∑′={x′|x∈∑}， ∑″={x″|x∈∑}，将 P1中的x用相应的x′代替，得到P′，将 P2中的x用相应的x″代替，得到P″， 构造G6=（∑，V U ∑′U ∑″，S， P6），其中P6为：
对于右线性文法，S→S1S2不适应，
构造G7=（∑，V，S1，P7），其中 P7为： {A→bB| A→bB在P1中}U{ A→bS2 |A→b在P1中}
3、如果如果所有产生式的左边部分
都是单个非终极符号，那么G是上下 文无关文法； 4、如果所有产生式的右边部分都是 以终极符号开始、含有至多一个非终 极符号、如果有非终极符号则出现在 最右边，那么G是正则文法。
4.1.2语言之间的关系
下面讨论语言之间的关系。 任意一个右线性语言文法本身是一个无
对于文法G，如果对于G中的任意产
生式ν→ω，而ν只是一个非终结符， 即 A→ω，A∈V，ω∈（∑ U V）*，则 称文法G为上下文无关文法CFG（简 称无关文法）。
如果一个语言能由一个无关文法产生，
则称这个语言是上下文无关语言（简 称无关语言）。
定义4-3 上下文相关文法
对于文法G，如果G的每个产生式形如 u→v，且0<|u|≤|v|； 但若ε∈L(G)，则允许有S→ε，且S不出
串发生了串道，即S1产生的串可能将 S2产生的串作为下文，S2产生的串 可能将S1产生的串作为上文； { S→S1S2 } U P1′ U P2″U {x′→x|x∈∑}U{x″→x |x∈∑} 则 L(G6)=L(G1)L(G2)；所以0型和1 型语言对连接封闭。
为解决这个问题，将∑复制为∑′和
语言的分类是根据产生该语言的文法的
分类进行的。 若一个语言L由某个i型文法产生，则它 是i型语言。i=0,1,2,3。
定义4-5 文法分类
用Ψi（语言类）的概念来定义所有的i
型语言；对于0≤i≤3 Ψ i ={L ∑*|L=L(G) ，G是i型文法}。
定理4-6
语言分类定理 Chomsky将语言分为四类，且有包含关 系（真子集关系）： Ψ3СΨ2 Ψ1 Ψ0
语言L的迭代运算（或者闭包运算）
为L* {w|w=w1w2…wm， wi∈L，m≥0 } 即 L* =ULn 对n≥0
其中：
L10={ε} L11 =L1 L1n+1=ห้องสมุดไป่ตู้L1L1n
对n≥1
注意: 语言L1={an|n>0}，L２={bn|n>0}，则
L1L２＝{anbm|n,m>0}； L1L２≠ {anbn|n>0}。
封闭性：如果任意的、属于某一语言
类的语言在某一特定运算下所得到的 结果仍然是该类语言，则称该语言类 对此运算具有封闭性(closure property)。
有效封闭性：给定一个语言类的若干个语 言的描述。如果存在一个算法，它可以构 造出这些语言在给定运算下所获得的运算 结果的相应形式的语言描述，则称此语言 类对相应的运算是有效封闭的， 并称此语言类对相应的运算具有有效封闭 性(valid closure property)。
如果G1和G2是右线性文法，则G3不
是，构造文法G4=（∑，V，S，P4）， 其中P4为： {S→w1|S1→w1在P1中}U {S→w2|S2→w2在P2中}U P1U P2； 则G4是右线性文法，且 L(G4)=L(G1)UL(G2)。
对于连接运算： 构造G5=（∑，V，S，P5），其中

语言的封闭性可以用于证明某些语言
属于某类语言，以及可以从简单的某 类语言构造复杂的某类语言。
语言之间的运算的封闭性 定义4-16 语言的对运算的封闭定义 给定字母表∑，Ψ是∑上的一类语言，语 言L1，L2СΨ，令α是语言上的二元运算：
4.3.2
(L1，L2)→α(L1，L2)；β是语言上的
已知同一字母表∑
上的语言L1和L2， 产生L1的文法G1=（∑，V1，S1， P1），产生L2的文法G2=（∑，V2， S2，P2），假定V1∩V2=Ф，S！ ∈V1，S！∈V2，设置 V=V1UV2U{S}。
对于联合运算
构造G3=（∑，V，S，P3），其中
P3={ S→S1} U{ S→S2}U P1 U P2， 对于i=0，1，2， 若G1和G2是i型文 法，则G3也是；从S开始，使用 S→S1，得到L(G1)，或者使用S→S2， 得到L(G2)，显然， L(G3)=L(G1)UL(G2)，所以，对于i=0， 1，2，Ψi对于联合封闭。
（注意：若P1中有空串产生式，则要
先消除空串产生式） L(G7)=L(G1)L(G2)；所以3型语言对 连接封闭。
对于迭代运算： 考虑文法 S→ε|S′ S′→S1|S1S′ 则S推导出ε和S1n(n≥1)。
构造G8=（∑，V1U{S，S′}，S，P8）， 其中P8为： { S→ε|S′} U {S′→S1|S1S′} U P1 若G1是上下文无关文法，则G8也是上下 文无关文法；且S=>*L(G1)*，所以2型语 言对迭代封闭。若
例如：文法G1为：S1→b，文法G2
为：S2→c，bS2→bb；则L(G1)={b}， L(G2)={c}；L1L2={bc}；而对于， S=>S1S2=>bS2=>bc；或 S=>S1S2=>bS2=>bb；即文法G5产 生的语言为{bc,bb}，它不是语言L1和 L2的连接。
该问题产生的原因是S1和S2产生的