单摆的复杂运动

单摆的复杂运动

摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。

关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射

正文：

物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。 惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。

单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。

1.单摆模型的动力学方程

我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ∙

-(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω∙∙∙∙=--+ （1）

为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换：

令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2）

引入新变量ω，ϕ，将（2）式化成自治方程形式 ：

2sin cos f θω

θβωθϕ∙

∙==--+ （3）

这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。

2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法

由于（3）式含有非线性项。一般而言，不能用解析法求解，对于这类微分方程，法国数学家庞加莱在十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论，发明了相图和拓扑学方法，在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。相

图方法是非线性动力学最基本的研究方法。描写动力学系统状态的空间成为相空间，相空间的每一点都代表系统的一个状态，反映系统状态演化过程的图像就是相图。下面我们用相图方法以及与之相关联的庞加莱截面法描述单摆的运动。

无阻尼，无策动力相当于β=0，f =0的情况，此时单摆是一保守系统。

若θ很小，sin θθ=，在此情况下我们容易得到方程的解，它归结为简谐振动情形，以便于从相图的角度来分析其运动特征。可得

222A θθ∙+=

其中，积分常数2

2A H =，H 由初始条件决定，对应于系统的总能量。

由式可作出单摆的角速度θ∙与角位移θ关系图像。如图1，即为单摆作简谐运动的相图。图中的圆称为相轨道，圆上一点确定了单摆的一个运动状态，圆形闭合回线反映系统状态周而复始的演化过程。

3 单摆的混沌现象

（1）倍周期分岔行为

对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经可以看出单摆的倍周期分岔行为。

f 增至1.07时出现二倍周期；从1.35增至1.45时，又从一倍周期过渡到二倍周期。f 增大到1.50时，出现四倍周期。

在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。

由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的细致过程，我们在这里不易看清楚。

对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯谛映射模型所得到的结果相似。例如，单摆的一个倍周期分岔序列为f = 1.066,1.077,1.080，由此计算出的费根鲍姆常数为4±1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。

（2）单摆的混沌吸引子

MIT 的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程：

现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一个三维吸引子，其二维投影如图10所示。总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀。实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。

刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。

分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。图11即为单摆的混沌吸引子。由图中可以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。

李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。

（3）并非结束

这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例如KAM定理等）只字未提。

就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。同步镇锁、伸展与折叠等这里都未涉及，混沌在自然界中普遍存在。某种意义上可以这样说，混沌无处不在，没有混沌，就没有复杂性，没有进货与发展，大概也不会有生命乃至宇宙。

4 单摆的混沌运动的特征

（1）单摆产生混沌行为时以在大振幅条件下，动力学方程中含有非线性项为前提，在小振幅的条件下，方程可简化为线性方程，其解所描述的运动是规则的，不产生混沌运动。

（2）单摆的混沌运动是一种确定性的随机行为。尽管随着时间的推移，系统演化为一种稳定的貌似无规的运动，不能再确定某时刻系统沿着哪条轨线运动，系统处于哪一个确定状态，但是，那些永不相交的杂乱无章的轨线还是右动力学方程所决定，相图上出现的任何一点都仍能满足动力学方程，因此说混沌是决定性的混乱。这种混乱不是完全随机的，也与外界的噪声无关。

（3）单摆的混沌运动有其内在的规律，系统单个的运动轨道敏感地依赖初始条件，从而系统的长期行为具有不可预测性，即有“蝴蝶效应”。系统长期行为的某些全局特征却与初始条件无关，与其它混沌行为一样，具有一定的普适性。

β，Ω给定，逐渐增大f时，（4）单摆的混沌行为可以通过参量的变化进行控制。当

f继单摆的周期行为和混沌行为交替出现，而且都是经倍周期分岔再演为混沌。事实上，

续增大，还将多次出现混沌行为。不仅如此，改变其它参量，同样也可以使系统进入混沌运动状态。

从以上分析讨论可以看出，单摆作为一个非线性的动力学系统。其演化过程存在着多样性和复杂性。简单的单摆并不简单。尤其是其混沌行为，在这里只能进行一些简单的描述。

参考文献：

杨青勇《单摆的混沌运动》广西民族学院学报第9卷第5期2003年5月

曹钢王桂珍《单摆的非线性运动》山东轻工业学院学报第20卷第2期2006年6月赵凯华《从单摆到混沌》现代物理知识1993年3月