正弦稳态电路的分析讲义
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j
12.472 (0.567)2 12.48
arctan( 0.567) 2.61 12.47
1
例3. 求：
220 35 ( 17 j9 ) ( 4 j6 ) 20 j5
220
35
19.24
27.9 7.211 20.62 14.04
56.3
180.2 j126.2 6.728 70.16
第五章 正弦稳态电路的分析
§ 5 - 1 复数 § 5 - 2 正弦量 § 5 - 3 正弦量的相量表示 § 5- 4 电路定律的相量形式
§ 5 - 5 阻抗和导纳 §5 - 6 阻抗（导纳）的串并联 § 5 - 7 正弦稳态电路的分析 § 5 - 8 正弦稳态电路的功率
§ 5 - 1 复数 一. 复数F表示形式：
1、代数形式： F=a+jb (j 1 为虚数单位)
取复数F的实部和虚部用符号表示为：
Re[F]=a 取复数F的实部 j
b
F
Im[F]=b 取复数F的虚部
Im
b
F
O
a 1
一个复数F在复平面上可以
用一条从原点O指向F对应坐
O
a Re
标点的有向线段（向量）表示。
j b
|F|
2、三角形式：
F
F=a+jb
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
j
225.5 36
1
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1
复数ej =1 是一个模为1，辐角为 的复数。
任意复数 A A e ja
A• ej
+j
相当于A逆时针旋转一个角度 ，
而模不变。故把 ej 称为旋转因子。
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
加减法运算可以用平行四边行
+j
法在复平面上用向量的相加和
相减求得。
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2
O
A ej
A
a
ej
+1
ejp/2 =j
e-jp/2 = -j ejp = –1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
A• j 把该复数逆时针旋转π/2
A•（ - j） 或 A / j
把该复数顺时针旋转π/2
在复数运算中，若两个复数相等，必须满足：
如 F1= F2
必须
Re[F1]= Re[F2]
例1. A1=4+j3，A2=4 - j3， A3= - 4 +j3，A4= - 4 - j3
写出它们对应的极坐标形式。
解： A1=4+j3 42 32
arctan 3 4
5
36.87
A2=4 - j3 5 36.87
A3= - 4 +j3
5 143.1
A4= - 4 - j3
5 143.1
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)
i
T
O
t
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
④交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交
变电流。即
i
1T
t
T 0 i(t)dt 0
一. 正弦量的三要素 i
+ u_
在选定的参考方向下，可以用 数学式表达瞬时值电流 i(t)：
或
Im[F1]= Im[F2]
F F
1
2
arg(F1) arg(F2 )
§ 5 - 2 正弦量
基本概念
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I 。
U
i(t)
i(t0)
O
t
O
t0 t
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t), i(t)
F2=a2+jb2
F 1
a1 jb1
(a1 jb1 )(a2 jb2 )
F2 a2 jb2
(a2 jb2 )(a2 jb2 )
a1a2 (a2 )2
b1b2 (b2 )2
j
(
a2b1 a2 )2
a1b2 (b2 )2
复数相除采用 指数形式或极 坐标形式。
j1
F e F1
1
F e F 2
F F e j
a 1
=|F|
a | F | cos
b | F | sin
复数表示法的关系：
F=a+jb = |F|（cos F=|F|ej =|F|
+ jsin ）
或
| F | a2 b2 θ arctan b
a
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
a 1
=|F|（cos + jsin ）
|F| 为复数的模， 为复数的幅角。
a=|F|cos b=|F|sin
或：
|F
|
a2 b2
θ arctan b a
3、指数形式：
欧拉公式
ej cos jsin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）
F e j
j
bwenku.baidu.com
F
|F|
4、极坐标形式：
j 2 2
F e 1 j(12 ) F2
除法：模相除，角相减。
所以：
F1
F 1
F2 F2
arg( F1 F2
)
(1
2
)
F 1
F2
F e j1
1
F e j2
2
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
F1
F1
+j F2
F1
2
F2
1 2
F2
O 1 - 2
+1
除法：模相除，角相减。
F1 F2 =（a1+jb1 ）（a2+jb2） =（a1 a2 - b1b2 ）+ j（ a1b2 + b1 a2 ）
复数相 乘采用指数形式或极坐标形式比较简单。
F1 F2
F e j1 1
F e j2 2
F F e j(12 ) 乘法：模相乘，角相加； 12
所以：
F1F2 F1 F2
arg(F1F2 ) (1 2 )
A3
+j
3
A1
3
1
+1
2 4
A4
4
A 2
例2. 求：5 47 10 25
解： 5 47 10 25
5(cos47 jsin47 ) 10(cos(25 ) jsin(25 ))
= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567
12.48 2.61
F1 F2
+j
|F2| F1
F1 F2几何意义：
2
F1乘以F2等于复数F1的模|F1|
1
F1
2
F2
乘以复数F2的模|F2| ，然后把复
O
+1 数逆时针旋转一个角度 2 。
乘法：模相乘，角相加；
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2 则 F1 F2 =| F1 | | F2| 1 2
若 F1=a1+jb1
12.472 (0.567)2 12.48
arctan( 0.567) 2.61 12.47
1
例3. 求：
220 35 ( 17 j9 ) ( 4 j6 ) 20 j5
220
35
19.24
27.9 7.211 20.62 14.04
56.3
180.2 j126.2 6.728 70.16
第五章 正弦稳态电路的分析
§ 5 - 1 复数 § 5 - 2 正弦量 § 5 - 3 正弦量的相量表示 § 5- 4 电路定律的相量形式
§ 5 - 5 阻抗和导纳 §5 - 6 阻抗（导纳）的串并联 § 5 - 7 正弦稳态电路的分析 § 5 - 8 正弦稳态电路的功率
§ 5 - 1 复数 一. 复数F表示形式：
1、代数形式： F=a+jb (j 1 为虚数单位)
取复数F的实部和虚部用符号表示为：
Re[F]=a 取复数F的实部 j
b
F
Im[F]=b 取复数F的虚部
Im
b
F
O
a 1
一个复数F在复平面上可以
用一条从原点O指向F对应坐
O
a Re
标点的有向线段（向量）表示。
j b
|F|
2、三角形式：
F
F=a+jb
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5
j
225.5 36
1
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1
复数ej =1 是一个模为1，辐角为 的复数。
任意复数 A A e ja
A• ej
+j
相当于A逆时针旋转一个角度 ，
而模不变。故把 ej 称为旋转因子。
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
加减法运算可以用平行四边行
+j
法在复平面上用向量的相加和
相减求得。
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2
O
A ej
A
a
ej
+1
ejp/2 =j
e-jp/2 = -j ejp = –1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
A• j 把该复数逆时针旋转π/2
A•（ - j） 或 A / j
把该复数顺时针旋转π/2
在复数运算中，若两个复数相等，必须满足：
如 F1= F2
必须
Re[F1]= Re[F2]
例1. A1=4+j3，A2=4 - j3， A3= - 4 +j3，A4= - 4 - j3
写出它们对应的极坐标形式。
解： A1=4+j3 42 32
arctan 3 4
5
36.87
A2=4 - j3 5 36.87
A3= - 4 +j3
5 143.1
A4= - 4 - j3
5 143.1
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压)
i
T
O
t
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz 中频 400-2000Hz 高频电路
④交变电流：在一个周期内平均值为零的周期电流,称为交
变电流。即
i
1T
t
T 0 i(t)dt 0
一. 正弦量的三要素 i
+ u_
在选定的参考方向下，可以用 数学式表达瞬时值电流 i(t)：
或
Im[F1]= Im[F2]
F F
1
2
arg(F1) arg(F2 )
§ 5 - 2 正弦量
基本概念
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I 。
U
i(t)
i(t0)
O
t
O
t0 t
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t), i(t)
F2=a2+jb2
F 1
a1 jb1
(a1 jb1 )(a2 jb2 )
F2 a2 jb2
(a2 jb2 )(a2 jb2 )
a1a2 (a2 )2
b1b2 (b2 )2
j
(
a2b1 a2 )2
a1b2 (b2 )2
复数相除采用 指数形式或极 坐标形式。
j1
F e F1
1
F e F 2
F F e j
a 1
=|F|
a | F | cos
b | F | sin
复数表示法的关系：
F=a+jb = |F|（cos F=|F|ej =|F|
+ jsin ）
或
| F | a2 b2 θ arctan b
a
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
a 1
=|F|（cos + jsin ）
|F| 为复数的模， 为复数的幅角。
a=|F|cos b=|F|sin
或：
|F
|
a2 b2
θ arctan b a
3、指数形式：
欧拉公式
ej cos jsin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）
F e j
j
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F
|F|
4、极坐标形式：
j 2 2
F e 1 j(12 ) F2
除法：模相除，角相减。
所以：
F1
F 1
F2 F2
arg( F1 F2
)
(1
2
)
F 1
F2
F e j1
1
F e j2
2
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
| F1 | | F2 |
θ1 θ2
F1
F1
+j F2
F1
2
F2
1 2
F2
O 1 - 2
+1
除法：模相除，角相减。
F1 F2 =（a1+jb1 ）（a2+jb2） =（a1 a2 - b1b2 ）+ j（ a1b2 + b1 a2 ）
复数相 乘采用指数形式或极坐标形式比较简单。
F1 F2
F e j1 1
F e j2 2
F F e j(12 ) 乘法：模相乘，角相加； 12
所以：
F1F2 F1 F2
arg(F1F2 ) (1 2 )
A3
+j
3
A1
3
1
+1
2 4
A4
4
A 2
例2. 求：5 47 10 25
解： 5 47 10 25
5(cos47 jsin47 ) 10(cos(25 ) jsin(25 ))
= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567
12.48 2.61
F1 F2
+j
|F2| F1
F1 F2几何意义：
2
F1乘以F2等于复数F1的模|F1|
1
F1
2
F2
乘以复数F2的模|F2| ，然后把复
O
+1 数逆时针旋转一个角度 2 。
乘法：模相乘，角相加；
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2 则 F1 F2 =| F1 | | F2| 1 2
若 F1=a1+jb1