第六章图与网络分析
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第6章 图与网络分析――基础知识PPT课件
D
E
F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
将研究对象用点表示。对象与对象之间用边表示。依题意，找出不相邻的顺序。
B
C
ACBFED
A
D
36
F
E
类型2. 求最小部分树。避圈法和破圈法
基本定理：图中任一个点i，若j是与i相邻点 中距离最短的，则边[i，j]一定含在该图的 最小部分树内。
推论：把图的所有点分成集合V和它的补集两 个集合，则两集合之间连线的最短边一定 包含在最小部分树内。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
39
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
A
7
2 2
S
5
B
5
D
5
T
1
1
4
3
7
C
E
4
40
[例2]如图6-2，SABCDET代表村镇，它们中间 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁 数字代表道路的长度。现要求沿图中道路架设 电线，使上述村镇全部通上电，应如何架设使 总的长度为最短。
点边交替序列，点边均不重 复。
点边交替序列，起点和终点 不重复。 点边交替序列，起点和终点 重复。
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
第六章_图与网络分析
T (e ) ：割集{ S 1 , S 2 } ，其中 S 1 , S 2 为 e 的两个连通分支的点集合
1 2
3 4 5
右图的关联矩阵是
2
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
1
4
3
邻接矩阵示例
图（7）的邻接矩阵是
1 2 3 4 5 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个
岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相 互连接，如下图所示。
当地的居民热衷 于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走 过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。
A
D
C B
为了寻找答案，1736年欧 拉把陆地缩为一点，把桥作为 连接点的边，将这个问题抽象 成图形的一笔画问题。即能否 从某一点开始不重复地一笔画 出这个图形，最终回到原点。 欧拉在他的论文中证明了这是 不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接 ，不可能将它一笔画出，这就 是古典图论中的第一个著名问 题。
随着科学技术的进步，特别是电子计
算机技术的发展，图论的理论获得了更进
一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂
的工程系统和管理问题用图的理论加以描
述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于 图论方面的第一篇科学论文，解决了著 名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼
A
D
1 2
3 4 5
右图的关联矩阵是
2
1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 1 0 1 4 0 0 0 1 1
1
4
3
邻接矩阵示例
图（7）的邻接矩阵是
1 2 3 4 5 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个
岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相 互连接，如下图所示。
当地的居民热衷 于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走 过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。
A
D
C B
为了寻找答案，1736年欧 拉把陆地缩为一点，把桥作为 连接点的边，将这个问题抽象 成图形的一笔画问题。即能否 从某一点开始不重复地一笔画 出这个图形，最终回到原点。 欧拉在他的论文中证明了这是 不可能的，因为这个图形中每 一个顶点都与奇数条边相连接 ，不可能将它一笔画出，这就 是古典图论中的第一个著名问 题。
随着科学技术的进步，特别是电子计
算机技术的发展，图论的理论获得了更进
一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂
的工程系统和管理问题用图的理论加以描
述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于 图论方面的第一篇科学论文，解决了著 名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼
A
D
第6章 图与网络分析
为了区别起见。把两点之间的不带箭头的连线称 为边，带箭头的连线称为弧。 用图来描述事物间的联系，不仅直观清晰，便于 统观全局，而且网络图的画法简便，不必拘泥于 比例和曲直。总之，这里所讲的图是反映对象之 间关系的一种工具。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
29
2013-2-14
无向图
由点和边组成的图称为无向图。
无向图可表示为一个有序二元组(V，E)，记为 G＝(V，E)，其中 V ＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点的集合，E＝{e1，e2，……eq}是 q 条边的集 合，并且 ei 是一个无序二元组，记为 ei＝[vi，vj]＝[vj,vi]， vi,vj∈V。
2013-2-14 31
环、多重边、简单图、多重图
一条边的两个端点如果相同，称此边 为环（自回路） 。如上图中的 e1。 两个点之间多于一条边的，称为多重 边。如上图中的 e4，e5。 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
2013-2-14 32
点的次
以点 v 为端点的边数叫做点 v 的次， 记作 d(v)。 如上图中， 1)=4， 2)=4。 d(v d(v 若 V＝(v1，v2,…….vp)，则称{ d(v1)，d(v2),…….d(vp)}为图 G 的次序列。 次为 1 的点称为悬挂点，连接悬挂点的边称为悬挂边。次为 0 的点称为 孤立点。 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。 定理 1 任何图 G＝(V，E)中，所有点的次数之和等于边数的 2 倍。即
运筹学 Operations Research
高 谦
烟台大学文经学院 基础教学部
2013-2-14 1
引言 图论是专门研究图的理论的一门数学 分支，属于离散数学范畴，与运筹学有 交叉，它有200多年历史，大体可划分 为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪 中叶，处于萌芽阶段，多数问题围绕游 戏而产生，最有代表性的工作是所谓的 Euler七桥问题，即一笔画问题。
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
第6章图与网络分析
a1
图中
v2 a2 v1
V＝(v1，v2，v3，v4，v5)
a6
A＝{a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9} a4
a5
a3 v3
a7
a8
2020/8/21
v4
a9
v5
10环、多重弧、简单有来自图在有向图的讨论中，类似无向图，可以对多重边、环、简单图、链等概念 进行定义，只是在无向图中，链与路、闭链与回路概念是一致的，而在有向图 中，这两个概念不能混为一谈。概括地说，一条路必定是一条链。然而在有向 图中，一条链未必是一条路，只有在每相邻的两弧的公共结点是其中一条弧的 终点，同时又是另一条弧的始点时，这条链才能叫做一条路。
V＝(v1，v2，v3，v4，v5) E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8}
e1
v2
e2
v1
e6
e4
e5
e3 v3
e7
2020/8/21
v4
e8
v5
3
无向图
点集 V 中元素的个数成为图 G 的点数，记为 p(G)=| V |。如上图中，p(G)=5。 边集 E 中元素的个数成为图 G 的边数，记为 q(G)=| E |。如上图中，q(G)=8。 边 e＝[vi，vj]∈E，称 vi，vj 为 e 的端点，e 为 vi，vj 的关联边。上图中，v1，v2 为 e2 的端点，e2 为 v1，v2 的关联边。 若边 ei，ej 有一公共端点，则称 ei，ej 相邻。如上图中中，e7，e8 相邻。 若点 vi，vj 有边相连，即[vi，vj]∈E，则称 vi，vj 相邻。如上图中中，v3，v5 相 邻。
顶点和边，则称 G1 是 G2 的真子图。
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
第六章图与网络分析
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , ( v 2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
v1 v3 v5 v2
v4 v6
( v 5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
一个图是由点集 V v j 和 V 中元素的无序对的 一个集合 E {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)， 其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点 集合；E 中的元素 ek 叫做边，E 表示图 G 的边 集合。 e1 例
V v1 ,v2 , v3 , v4 , v5 , v6
e9 {v6 , v6 }
4 3 4
e2 e5 e8 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [ v j , v i] 。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d (vi )；以 vi 为终点的边数称为点vi 的入次， 用 d (vi ) 表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或 发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应 一个数 w i j ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图 称为网络。 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。 如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn ，记作（ v0 ， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
v1 v3 v5 v2
v4 v6
( v 5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
一个图是由点集 V v j 和 V 中元素的无序对的 一个集合 E {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)， 其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点 集合；E 中的元素 ek 叫做边，E 表示图 G 的边 集合。 e1 例
V v1 ,v2 , v3 , v4 , v5 , v6
e9 {v6 , v6 }
4 3 4
e2 e5 e8 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [ v j , v i] 。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点 vi 的出次，用 表示 d (vi )；以 vi 为终点的边数称为点vi 的入次， 用 d (vi ) 表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或 发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应 一个数 w i j ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图 称为网络。 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。 如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn ，记作（ v0 ， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
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e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
第17页
右图的关联矩阵是
1 1 2 1 3 0 4 0 5 0
A (aij ) ，其中
1, 当点i与点j邻接 aij 0, 否则
有向图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩 阵 A (aij ) ，其中
1, 当有弧从i连向j aij 0, 否则
第19页
1
2
2
3
1
4
4
5
3
图1
图2
图（1）的邻接矩阵是
1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 0 2 1 3 1 4 1 5 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
图（2）的邻接矩阵是 1 2 3 4
1 0 2 1 3 0 4 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0
e4
e6
v4
第 8页
e2 V2 V3 e3 e6 v1 e7 V4
例如： V=（v1, v2, v3，v4, v5, v6 ）， E= （ e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 , ）
e1
e4
V5
V6
e5
第 9页
次,奇点,偶点，孤立点 与点v相关联的边的数目称为点v的次(度或线度)，记作d(v)
5 4 3
v3
5 8
2
7
v5
1 6
v2
v4
图6－1
v6
在一个连通图G中， 取部分边连接G的所 有点组成的树称为G 的部分树或支撑树 (Spanning Tree )。 图6－2是图6－1的 部分树。
v1
4
v3
2
7
v5
1
v2
3
v4
图 6－ 2
v6
第22页
§6.2.2树图的性质
悬挂点
悬挂边
性质1 任何树图中必存在次为1的点. 证明：用反证法. 假设树图中不存在次为1的点.
济南 郑州
徐州 南京
武汉
第 3页
例,有甲,乙,丙,丁,戊五个球队,它们之间比赛的情况,也 可以用图表示出来。已知甲队和其它各队都比赛过一次,乙 队和甲丙队比赛过,丙队和乙,丁队比赛过,丁队和丙,戊队 比赛过,戊队和甲,丁队比赛过。 为了反映这个情况,可以用点v1, v2, v3, v4, v5分别代 表这五个队,某两个队之间比赛过,就在这两个队所相应的 点之间联一条线,这条线不过其它的点,如图所示
V5
v1 V2 V3
V4
V1
V2
V3
图5
V4
V5
第 4页
图4
v1
8 4
v3 5
7
v5
5
v2 3
8
v4
2 6
1
v6
运筹学中研究的图具有下列特征： （1）用点表示研究对象，用边（有方向或无方向）表示对 象之间某种关系。 （2）强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比例大小与 形状。 （3）每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图(网络)。实际 中权可以代表两点之间的距离、费用、利润、时间、容量等不 同的含义。 （4）建立一个网络模型，求最大值或最小值。 第 5页
若边e=[vi,vj],称vi和vj是边e的端点; 边e为点vi或vj的关联边； 若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj 相邻(邻接)； 若边ei和ej具有共同的端点，称边ei和ej相邻； 环,多重边,简单图： 若边e的两个端点相重合，称该边为环;
e1 e2 v2 v1 e5 e3
若两顶点之间至少有两条边，称为具有多重边; v3 无环、无多重边的图称作简单图。
G的部分树(或支撑树): 若G1是G的部分图又是树图. 树枝: 树图的各条边. 将网络图G边上的权看作两点间的长度（距离、费用、 时间），定义G的部分树T的长度等于T中每条边的长 度之和，记为C(T)。 G的所有部分树中长度最小的部 分树称为最小部分树，最小支撑树，或简称为最小树。
第21页
v1 8
v2 v4
v5
v1 v3
第23页
性质2 具有n个顶点的树图的边数恰好为n-1条. 证明：用归纳法.
当n=2和n=3时, 上述性质显然成立. 假设当n=k-1时, 上述性质也成立. 当n=k时, 因树中至少有一个悬挂点，将此悬挂点及 关联的悬挂边从树图中拿掉. 根据前述，剩下的图仍为树图，故此时图中有k-1个 点，据假定应有k-2条边. 再把拿掉的悬挂点及悬挂边放回去，说明树图中含 有k个点时，边数为k-1条.
若图的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和V2,使在同 一集合中任意两个顶点均不相邻,称 这样的图为偶图(二分图). 若偶图的顶点集合V1和V2之间的每对不同顶点都有边相连， 称 这样的图为完全偶图．
Km,n
| E | m n
K3, 2
简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且补图中的两 个点相邻当且仅当它们在G中不相邻
又连通图中不存在孤立点，故树图中所有顶点的次≥2. 不妨设d(v1)=2, 既v1有两条关联边， 设关联边的其他两个端点为v2 , v3，而d(v2 )≥2, d(v3) ≥2， 又可知与v2 , v3关联的边的其他端点v4 , v5，同样d(v4 )≥2, d(v5) ≥2，可继续一直往下推。 而图的顶点的总数是有限的，故最后 必然回到前面的某一顶点，于是在图中出 现了圈，这与树的定义产生了矛盾.
1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 1 4 0 0 0 0 1 0 1
e1
1
2
e5 e4 e7
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4
e3 e2
e6
3
邻接矩阵
简单图 G (V , E ) 的邻接矩阵：一个 | V | | V | 阶矩阵
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子图，部分图
设G=(V,E)是一个图, 并设V V 和E E , 如果对E 中
任意的一条边eij [vi , v j ], 都有 vi V , v j V , 则称G [V , E ] 是G的一个子图. 若V V , E E , 则称 G 是G的一个部分图.
n1
n2
n4
n3
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网 络
设G是一个图（有向图），若对G的每条边（弧） 都赋予一个实数，称为这条边（弧）的权，则 G连同它 边（弧）上的权称为一个（有向）网络或赋权（有向） 图，记为G=(V,E,W).
A 2 C
8 5
B
2
3 7
D
1
1Байду номын сангаас
4 2
4
3 2
5
4 4
3
2
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无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间 存在边。 有向完全图：在有向图中，如果任意两顶点之间都 有存在方向互为相反的两条弧。
0 2
1
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ n(n-1)/2
含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？ n(n-1)
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关联矩阵
简单图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
其中
1, 当点i与边ek 关联 bik 0, 否则
图的意义
因此,可以说图是反映对象之间关系的一种工 具,在一般情况下,图中点的相对位置如何,点与点 之间联线的长短曲直,对于反映对象之间的关系, 并不是重要的。 如上例,可以用如图4所示的图去反映五个球队 的比赛情况,这与图5没有本质的区别,所以,图论 中的图与几何图,工程图等是不同的.
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§6.1 图的基本概念
运筹学中研究的图是生活中各类图的抽象概括, 它表明一些研究对象和这些对象之间的相互关系。 用点表示研究对象，用边表示这些对象之间的联 系，则图G可定义为点和边的集合，记为
G {V , E }
式中V是点的集合，E是边的集合。