高二数学选修质量检测试题卷

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北师大版高二数学选修试题及答案

高二数学选修2－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x =- B.24x y =C.24y x =-或24x y = D. 24y x =或24x y =- 2. 以下四组向量中，互相平行的有（）组.(1) (1,2,1)a =r ,(1,2,3)b =-r ； (2) (8,4,6)a =-r,(4,2,3)b =-r ；（3）(0,1,1)a =-r ,(0,3,3)b =-r ；（4）(3,2,0)a =-r,(4,3,3)b =-rA. 一B. 二C. 三D. 四3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n =r ，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-r，则平面α与β夹角的余弦是A.14 B. 10 C. 14- D. －10 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. “直线l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面?垂直”的（）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A B C D 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8. 已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是 A. (1,－4,2) B.11(,1,)42- C. 11(,1,)42-- D. (0,－1,1)9. 命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是A. 若a c b c +<+，则a b >B. 若a c b c +>+，则a b >C. 若a c b c +≥+，则a b ≥D. 若a c b c +<+，则a b ≥10 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；（4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个12。

高二数学理科选修23质量检测试题

高二数学理科选修－质量检测试卷命题：齐宗锁（石油中学）检测：马晶（区教研室）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分分，考试时间为分钟.注意事项：. 考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人班级、姓名、考号填写在相应位置.. 选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.. 所有题目必须在答题卡上作答，在试卷卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.. 最小二乘法的原理是.使得1[()]n i i i y a bx =-+∑最小 .使得21[()]ni i i y a bx =-+∑最小.使得221[()]n i i i y a bx =-+∑最小 .使得21[()]n i i i y a bx =-+∑最小 . (2)(3)(4)(12)(,12)x x x x x N x +----∈>可表示为．103x A - ．112x A - ．1012x A - ．1112x A - . 两个变量,x y 与其线性相关系数有下列说法①若0r >，则x 增大时，y 也相应增大；②若0r <，则x 增大时，y 也相应增大； ③若1r =，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，其中正确的有 . ①② . ②③ . ①③ . ①②③. 宝鸡市的汽车牌照号码可以由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同；这种牌照的号码最多有（）个.1242610()C A .242610A A .12426()10C .242610A ．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为=0.7+0.35ˆy x ，那么表中的值为．．．．．已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，且()20.8P ξ<=，则 ()=<<20ξP.6.0.0.4 .0.3 .2.0 . 如果31()2n x x-的展开式中只有第项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是．．． .. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件，则()为. 12 . 16 . 115 . 13．一排个座位，坐了家法律知识比赛小组,若每个小组都是个成员，且要求每个小组的个成员坐在一起,则不同的坐法种数为．33!⨯ ．33(3!)⨯ .4(3!) ．9! . 甲乙两人一起暑假去北京旅游，他们约定，各自独立地从到号景点中任选个进行游览，每个景点参观小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是.136 . 16 .536 . 19第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.. 已知2-21010C =C x x ，则x = ；. 李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了正确答案E ξ ；. 在纸箱中有个节能灯,其中个是有缺陷的，现从纸箱中任意挑选个节能灯，其中恰有个节能灯有缺陷的概率是；. 51)+-的展开式的常数项是； . 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有种； . 如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为)2(1≥n n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如212111+=， 613121+=，1214131+=…，则第行第个数（从左往右数）为.三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．（本小题满分分）通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中名男大学生中有人爱好此项运动，女大学生中有人爱好此项运动，能不能有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”?22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++. .(本小题满分分)四个大小相同的小球分别标有数字、、、，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为,x y ，记x y ξ=+.()求随机变量ξ的分布列及数学期望；()设“函数2()1f x x x ξ=--在区间（，）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率..（本小题满分分）若5(2)a x -展开式中2x 的系数为, 且 52345012345(2)a x a a x a x a x a x a x -=+++++.()求22024135()()a a a a a a ++-++的值；()求012345a a a a a a +++++的值；()求123452345a a a a a ++++的值..（本小题满分分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . ()若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值; ()设系统B 在次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ和方差D ξ.。

人教A版数学高二选修2-3检测综合质量评估

综合质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线的对数共有( )A.12B.24C.36D.48 【解析】选B.每条侧棱对应4对,由分步乘法计数原理得:4×6=24对.2.若=42,则的值为( )A.6B.7C.35D.20【解析】选C.因为=42=×2×1,解得n=7,所以===35.3.已知随机变量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【解析】选B.因为ξ～B(10,0.6),所以E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4,因为ξ+η=8,所以E(η)=E(8-ξ)=2,D(ξ)=D(8-ξ)=2.4.4.如果的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为( )A.3B.5C.6D.10【解析】选B.因为T k+1=(3x2)n-k=(-2)k3n-k x2n-5k,当2n-5k=0时,2n=5k,又因为n∈N,k∈N,所以n是5的倍数,故选B.5.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于( )A. B. C. D.【解析】选C.投掷两枚骰子共有6×6种情况,甲骰子点数大于4的情况有2×6=12种,甲骰子的点数大于4,且甲、乙两骰子的点数之和等于7的情况有2种,所以P(B|A)===.6.(2017·济南高二检测)6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )A. B. C.6 D.【解析】选A.甲得2本有,乙从余下的4本中取2本有,丙得余下的2本,共计.7.(2017·武汉高二检测)甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如表所列:工人甲乙废品数0 1 2 3 0 1 2 3概率0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0则有结论( )A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的质量好一些【解析】选B.甲生产废品期望是1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生产废品期望是1×0.5+2×0.2=0.9,所以甲生产废品期望大于乙生产废品期望,故应选B.8.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:数学85～100分数学85分以下总计物理85～100分37 85 122 物理85分以下35 143 178 总计72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过( ) A.0.005 B.0.01 C.0.02 D.0.05【解析】选 D.因为K2的观测值k=≈4.514>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系.9.(2017·临沂高二检测)设随机变量X的分布列如下X 1 2 3P 0.5 x y若E(X)=,则D(X)等于( )A. B.C. D.【解析】选D.由得所以D(X)=×+×+×=,故选D. 10.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )A.180种B.120种C.96种D.60种【解析】选A.按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案. 11.(2017·泰安高二检测)二项式(2-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数绝对值之和是a,所有项的二项式系数之和是b,则+的最小值是( )A.2B.C.D.【解析】选B.由题意知,(2-x)n的展开式中所有项的系数绝对值之和即(2+x)n的所有项的系数和,令x=1,可得a=3n.又因为b=2n,所以=,=,所以+=+.观察可知,当n=1时,+取得最小值.12.抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是,反复这样投掷,数列{a n}定义如下:a n=若S n=a1+a2+…+a n(n∈N*),则事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选B.根据定义事件“S8=2”是指8次投掷中5次正面3次反面,其概率为P==;事件{S2≠0,S8=2}是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率为P==.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.【解析】(3x)2=54x2,即=6,解得n=4.答案:414.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为________.【解析】两个数之积的数学期望为E(X)=×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.答案:8.515.一个电路如图所示,a,b,c,d,e,f为六个开关,其闭合的概率是,且是相互独立的,则灯亮的概率是________.【解析】P=1-=.答案:16.( 2017·长沙高二检测)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________.【解析】因为==0.5,==3,利用线性回归方程中系数计算公式得:=0.01,=0.47,所以线性回归方程为=0.01x+0.47,令x=6,得y=0.53.答案:0.5 0.53三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知展开式中的所有二项式系数和为512.(1)求展开式中的常数项.(2)求展开式中所有项的系数之和.【解析】(1)由2n=512得n=9,则第r+1项为T r+1=()9-r=2r(r=0,1,2,…,9).令-r=0得r=3,故常数项为T4=23=672.(2)由(1)知,n=9,令x=1,得展开式中所有项的系数和为39.18.(12分)某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表所示:商店名称 A B C D E销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5(1)画出销售额和利润额的散点图.(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程=x+,其中=,=-.(3)若获得利润是4.5百万元时估计销售额是多少(千万元)?【解析】(1)散点图如图所示:(2)由已知数据计算得:==6,==3.4,=200,x i y i=112,所以==0.5,则=-=3.4-0.5×6=0.4,所以利润额y对销售额x的回归直线方程为=0.5x+0.4.(3)当y=4.5时,4.5=0.5x+0.4,计算得出x=8.2,所以若获得利润是4.5百万元时估计销售额是8.2千万元.19.(12分)已知集合A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?【解析】由1<log2x<3,得2<x<8,又x∈N*,所以x为3,4,5,6,7,即A={3,4,5,6,7},所以A∪B={3,4,5,6,7,8}.(1)从A∪B中取出3个不同的元素,可以组成=120个三位数.(2)若从集合A中取元素3,则3不能是千位上的数字,有··=180个满足题意的自然数;若不从集合A中取元素3,则有=384个满足题意的自然数. 所以满足题意的自然数共有180+384=564个.20.(12分)甲、乙两射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下:环数8环9环10环射手甲0.3 0.1 0.6乙0.2 0.5 0.3(1)试比较甲、乙两射手射击水平的高低.(2)谁的射击水平比较稳定.【解析】(1)设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别是X1,X2,则E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3;E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.由E(X1)>E(X2),知甲射手射击所得环数的数学期望比乙射手射击所得环数的数学期望高,故甲射手射击水平比乙射手高.(2)D(X1)=(8-9.3)2×0.3+(9-9.3)2×0.1+(10-9.3)2×0.6=0.81;D(X2)=(8-9.1)2×0.2+(9-9.1)2×0.5+(10-9.1)2×0.3=0.49.由D(X1)>D(X2),知乙射手射击水平比甲射手稳定.21.(12分)(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率. (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2=【解析】(1)记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B,记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C,则P(A)=P(B)·P(C),P(B)=5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)=0.62,P(C)=5×(0.068+0.046+0.010+0.008)=0.66,所以P(A)=0.4092.(2)箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法62 38新养殖法34 66K2=≈15.705>6.635,所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)方法一:因为新养殖法的箱产量分布图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5.故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+≈52.35.方法二:由图可知,中位数位于50～55kg,首先计算小于50kg之前的频率为:(0.004+0.020+0.044)×5=0.340,设中位数为xkg,则(x-50)×0.068=0.5-0.340=0.16,解之得:x=52.35.方法三:1÷5=0.2,0.1-(0.004+0.020+0.044)=0.032,0.032÷0.068=,×5≈2.35,50+2.35=52.35,所以中位数为52.35.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高[10, [15, [20, [25, [30, [35,气温15) 20) 25) 30) 35) 40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【解析】(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P==,P==,P==,所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X 200 300 500P(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P=.若X=300时,则Y=n=2n,P=,若X=500时,则Y=n=2n,P=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 2n 2nP所以E(Y)=×+×2n+×2n=n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=.若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列为:Y 800-2n 1 200-2n 2nP所以E(Y)=×(800-2n)+×(1200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.。

高二数学选修1-2全册第1章综合素质检测

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量之间存在相关关系的是()①正方体的体积与棱长间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄；④家庭的支出与收入；⑤某户家庭用电量与电价间的关系．A．②③B．③④C．④⑤D．②③④[答案] D2．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程y＝60＋90x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1 000元时，工资为150元B．劳动生产率为1 000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1 000元时，工资提高90元D．劳动生产率为1 000元时，工资为90元[答案] C3．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)[答案] D[解析]在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1.4．身高与体重有关，可以用__________分析来分析()A．残差B．回归C．二维条形图D．独立检验[答案] B[解析] 身高与体重问题具有线性相关关系，故可用回归分析来分析．5．变量x 与y 具有线性相关关系，当x 取值16,14,12,8时，通过观察得到y 的值分别是11,9,8,5.若在实际问题中，y 最大取值是10，则x 的最大取值不能超过( )A ．16B ．17C ．15D ．12[答案] C6．(2010·临沂高三模拟)已知x 、y 的取值如下表所示：若从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值等于( ) A ．2.6 B ．6.3 C ．2D ．4.5[答案] A[解析] ∵x ＝2，y ＝4.5而回归直线方程过样本中心点(2,4.5) ∴a ^＝y －0.95x ＝4.5－0.95×2＝2.6，故选A.7．对于P (K 2≥k )，当K >2.706时，就约有( )把握认为“X 与Y 有关系”．( ) A ．99% B ．95% C ．90%D ．以上不对[答案] C8．一位母亲记录了她儿子3周岁到9周岁的身高，建立了她儿子身高y 与年龄x 的回归模型y ^＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测她儿子10周岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10周岁时的身高一定是145.83cmB ．她儿子10周岁时的身高在145.83cm 以上C ．她儿子10周岁时的身高在145.83cm 左右D ．她儿子10周岁时的身高在145.83cm 以下 [答案] C9．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和D ．相关指数R 2[答案] B10．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08 D.y ^＝0.08x ＋1.23 [答案] C[解析] 回归直线方程一定经过样本点的中心，检验知y ^＝1.23x ＋0.08符合题意． 11．回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越小 B ．越大 C ．可能大也可能小D ．以上都不对[答案] A[解析] R 2的值越大，拟合效果越好，残差平方和应越小． 12．下列四个命题正确的是( )①在线性回归模型中，e ^是b ^x ＋a ^预报真实值y 的随机误差，它是一个观测的量 ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 ③用R 2来刻画回归方程，R 2越小，拟合的效果越好④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，若带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] B[解析] e ^是一个不可观测的量，故①不正确；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故③不正确；②④是正确的．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．对一质点的运动过程观测了4次，得到如表所示的数据，则刻画y 与x 的关系的线性回归方程为________.[答案] y ^＝1.7x －0.514．已知样本数为11，计算得∑11i ＝1x i ＝510，∑11i ＝1y i ＝214，回归方程为y ^＝0.3x ＋a ^，则x ≈______，a ^≈________.[答案] 46.36；5.55[解析]由题意，x＝111∑11i＝1x i＝51011≈46.36，y＝111∑11i＝1y i＝21411，因为y＝0.3x＋a^，所以21411＝0.3×51011＋a^，可求得a^≈5.55.15．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：[答案] 3.68916．在研究身高与体重的关系时，求得相关指数R2≈____________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%，所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多．[答案]0.64三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析.[解析]K2＝457×(25×142－80×210)2235×222×105×352≈41.61由于41.61>10.828，说明黄烟经过培养液处理与是否跟发生黄花病是有关系的．18．(本题满分12分)(2009·辽宁文，20)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：χ2＝n (n 11n 22－n 1221n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，k 0.05 0.013.841 6.635.[解析] 2×2联表的独立性检验．(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)χ2＝1000×(360×500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．19．(本题满分12分)在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为求出Y 对x [解析] x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，∑5i ＝1y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑5i ＝1x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝∑5 i ＝1x i y i －5x ·y ∑5i ＝1x 2i －5x2＝620－5×18×7.41660－5×182＝－4640＝－1.15. ∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1.∴回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为：∴∑5i ＝1 (y i －y i )2＝0.3，∑ i ＝1 (y i －y )2＝53.2， R 2＝1－∑5i ＝1(y i －y ^i )2∑5 i ＝1 (y i －y )2≈0.994.∴R 2＝0.994.因而拟合效果较好！20．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验； (3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数．[解析] 根据数据可得： x ＝77.7，y＝165.7，∑10i ＝1x 2i ＝70903，∑10i ＝1y 2i ＝277119， ∑10i ＝1x i y i ＝132938，所以r ＝0.808，即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808；(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.21．(本题满分12分)对不同的麦堆测得如下表6组数据：已知[解析] ∑6i ＝1x i ＝21.58，∑6i ＝1y i ＝26523，∑6i ＝1x 2i ＝80.9374，∑6i ＝1y 2i ＝176598625.∑6 i ＝1x i y i ＝109230.58.根据公式计算得b ^＝∑6 i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x2≈4165.85，a ^≈－10562.7.所求回归方程为y ^＝4165.85x －10562.7.22．(本题满分14分)为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：[解析] 三维柱形图：由图形观察：底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关”．由列联表中的数据得到K 2的观测值k ， k ＝1520×(237×522－83×678)2915×605×320×1200≈32.52>6.635.所以有99%的把握认为“父母吸烟影响子女”．。

人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测全册

本册综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．给出命题：p：3>1，q：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p ∧q”，“p∨q”，“綈p”中，真命题的个数为()A．0B．3C．2D．1[答案]D[解析]p：3>1，是真命题，q：4∈{2,3}是假命题，∴“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，“綈p”是假命题．2．(2013·山东理，7)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q⇒/ p，所以p 是綈q的充分不必要条件．3．命题“存在n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是() A．不存在n∈N*，n2＋3n能被10整除B．存在n∈N*，n2＋3n不能被10整除C．对任意的n∈N*，n2＋3n不能被10整除D．对任意的n∈N*，n3＋3n能被10整除[答案] C[解析] 特称命题的否定是全称命题，故选C.4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 [答案] B[解析] 由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.6．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ，∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.8．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[答案] D[解析] 由已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为A (0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为B (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p ，由k MA ＝k MB 得x 202p －p 2x 0＝p 2－2，(1)由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝33，代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433.9．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96 [答案] C[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48，选C.10．(2013·新课标全国Ⅱ理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )[答案] A[解析] 在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得此四面体在zOx 平面投影图形为A.11．(2013·大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1] D ．[34，1][答案] B [解析] 如图：直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0， ∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵KA 1M ＝12727＋2＝34，KA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线PA 1斜率的取值范围是[38，34]．12. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 解法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，AB ＝2，则|a |＝|b |＝2，|c |＝1，a ·c ＝0，b ·c ＝0，a ·b ＝1. ∴AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝BC →＋CC 1→＝(b －a )＋c ，∵AB 1→·BC 1→＝a ·b －|a |2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋|c |2＝0， ∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1⊥C 1B .解法二：取AC 中点D ，建立如图所示的坐标系．设AB ＝1，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，22，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，22，∴cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B→|AB 1→||C 1B →|＝0.∴AB 1与C 1B 所成的角为90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．[答案] 33[解析] 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点得，||PF 1|－|PF 2||＝16.∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于________．[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a . 15．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32 [解析]当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4y 2＝4x，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －4).消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32，综上可知y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.16．过二面角α－l －β内一点P 作PA ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若PA ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________．[答案] 120°[解析] 设PA →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49，∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”，若p ∨q 为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．[解析] ∵直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，则|1＋0－m |2<1，∴m ∈(1－2，1＋2)． ∵mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，则m －4m <0，即0<m <4.又∵p ∨q 为真，綈p 为真，∴p 假，q 真，∴m ∈[1＋2，4)．18．(本小题满分12分)已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．[解析]如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(－3，0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b＝42－32＝7的椭圆，方程为：x2 16＋y27＝1.19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M 在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°.∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)，∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →，则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32，∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)作BE ⊥PA 于E ，|PB |＝|AB |＝4，∴E 为PA 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面PAD ，由于BE ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PAD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将向量几何证明方法与综合几何证明方法结合使用．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°的角，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)设E 是棱PD 上一点，且PE ＝13PD ，求异面直线AE 与PB 所成的角．[解析] 如图，建立空间直角坐标系A －xyz .∵PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°，∴∠PBA ＝60°.取AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0，3)，D (0,2,0)．(1)∵AC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0，3)，CD →＝(－1,1,0)，∴AC →·CD →＝－1＋1＋0＝0，AP →·CD →＝0. ∴AC ⊥CD ，AP ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC .(2)∵PE →＝13PD →，∴E (0，23，233)，∴AE →＝(0，23，233)．又PB →＝(1,0，－3)，∴AE →·PB →＝－2.∴cos 〈AE →·PB →〉＝AE →·PB →|AE →|·|PB →|＝－243×2＝－34. ∴异面直线AE 与PB 所成的角为arccos 34.21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x－2a 2＝0.①所以⎩⎨⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713. 22．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．[解析] 解法一：(1)如下图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．在Rt△PAB中，PA＝AB＝6，所以AE＝12BP＝12PA2＋AB2＝ 3.(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC 于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD ⊥AE，从而DE＝AE2＋AD2＝ 6.在Rt△CBE中，CE＝BE2＋BC2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故点F 为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG .则在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如下图，以A 为坐标原点，射线 AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)．因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(6，a ，－6)．则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0.又AC →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0.所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1.可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)．设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0，又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)，高中数学-打印版精心校对故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2，可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63.[点评] 利用法向量解决立体几何问题时要注意正确写出点的坐标，求出法向量，从而表示出所要求的距离及角．。

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高二选修 2 - 2 理科数学试卷第 I 卷（ , 共 60 分）一、（共 12 小，每小 5 分，共 60 分）1、复数5的共复数是 () 2 iA 、 i 2B 、 i 2C 、 2 iD 、 2 i 2、已知 f(x)= 3 x · sinx ， f '(1)=() A. 1 +cos1B. 1 sin1+cos1C. 1sin1-cos1D3 33.sin1+cos13 、设 a R ，函数 f x e x ae x 的导函数为f ' x ，且 f ' x是奇函数，则 a 为（）A ．0B ．1C ．2D ．-14、定积分1 e x)dx 的值为（）( 2xA ． 2 eB ． eC ． eD ． 2 e5、利用数学法明不等式 1＋＋＋⋯ <f(n)(n ≥2，n ∈N *)的程中，由n ＝k 到 n ＝k ＋1 ，左增加了 ( )A ．1B ．kC ． 2k －1D ．2k6、由直 y=x-4 ，曲 y 2x 以及 x所成的形面（）A.40B.13C.25D.15327、函数 f (x) x 3 ax 2 bx a 2 在 x 1 有极 10, 点 (a, b) （）（ A ）(3, 3)（B ）( 4,11)（C ）(3, 3) 或 ( 4,11)（ D ）不存在8、函数 f(x) ＝x 2－2lnx 的减区是()A ． (0,1]B ．[1 ，＋∞ )C ．(－∞，－ 1]∪(0,1]D ． [－1,0)∪(0,1]9、已知 f (x 1)2 f ( x), f (1) 1（x N * ），f ( x) 2猜想 f ( x ）的表达式（） A. f ( x) x4；B. f ( x)x 2 ； 2 21C. f ( x)1 ；D. f ( x)2 .x 12 x110、若 f ( x)1 x2 b ln( x 2) 在 (-1,+ ) 上是2减函数， b 的取范是（）A. [ 1, )B. ( 1,) C. ( , 1] D. ( , 1) 11、点 P 是曲 yx 2 ln x 上任意一点 ,(A) １(B)2(C) ２(D) 2 212、对于 R上可导的任意函数 f （x），且f ' (1) 0 若满足（x－1）f（x）>0，则必有（）A．f （0）＋f （2） 2f （1）B．f （0）＋f（2） 2f （1）C．f （0）＋ f （ 2）>2f （1）D． f （0）＋ f （2） 2f （1）第Ⅱ卷（非选择题 , 共 90 分）二．填空题（每小题 5 分，共 20 分）13、设f (x)x2 , x [0,1]，则02 f ( x) dx=2 x, x (1,2]14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c则三角形的面积S1（r a b c）；2利用类比思想：若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4；则四面体的体积V=15、若复数 z＝，其中 i 是虚数单位，则|z|＝______.16、已知函数 f(x) ＝x3＋2x2－ax＋ 1 在区间 (－ 1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．小三、解答题（本大题共70 分）值17、（ 10分）实数是m 取怎样的值时，复数z m 3(m22m15)i 是：（（ 1）实数？（2）虚数？（ 3）纯虚数？18、（12 分）已知函数 f ( x)x33x .（1）求函数f (x)在[ 3,3]上的最大值和最2）小值 .（2）过点P(2, 6)作曲线y f ( x) 的切线，求此切线的方程 .19、（12 分）在各项为正的数列a n中,数列的前 n 项和 S n满足S n1a n 1 ,2a n⑴求 a1 , a2 , a3；⑵由⑴猜想数列a n的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、（12 分）已知函数f ( x) x3ax2bx c 在 x2与 x 1 时都取得极值3(1)求 a,b 的值与函数 f (x) 的单调区间(2) 若对x [ 1,2]，不等式 f ( x)c2恒成立，求 c 的取值范围21、（12 分）已知函数 f ( x)33x2 3.2x（1）求曲线y f ( x)在点x 2 处的切线方程；（2）若关于x的方程f x m 0 有三个不同的实根，求实数 m 的取值范围.22 、（ 12 分）已知函数f x x a2，xg x x ln x ，其中 a 0．（1）若x 1是函数h x f x g x的极点，求数 a 的；（2）若任意的 x 1, x 2 1，e （ e 自然数的底数）都有 f x 1 ≥ g x 2 成立，求数a 的取范．参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B10、C11、B12、C13、 5 14、 1R （ S 1S 2+S ）15、163S 3416、[ －1,7)（ 1）当m 22m 15 0 ，即m 3或17. 解：m 5 时，复数 Z 为实数；（3 分）（ 2）当 m 22m 150 ，即 m3 且 m 5 时，复数 Z 为虚数；（7 分）（ 3）当 m 2 2m 150,且 m - 3 0 ，即 m 3 时，复数 Z 为纯虚数；（ 10 分）18. 解：（I ） f '(x) 3( x 1)(x 1) ，当 x[ 3, 1) 或 x(1,3] ， f '( x) 0 ，2[ 3, 1],[1, 3] 函数 f ( x) 的增区2当 x ( 1,1) ， f'( x) 0 ， [ 1,1] 函数f ( x) 的减区又因f ( 3)18, f ( 1)2, f (1) 2, f ( 3)9 ，28所以当 x3 ， f (x)min18 当x 1 ， f ( x) max2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分（ II ）切点 Q( x o , x o 3 3x o ) ，所求切方程 y ( x o 3 3x o ) 3( x o 2 1)(x x o )由于切点P(2, 6)，6 ( x o 3 3x o ) 3( x o 2 1)(2 x o ) ，解得 x o0 或 x o3所以切方程y3x 或 y 6 24( x 2) 即3x y 0或24 x y 54 0⋯⋯⋯⋯ 12 分19. 解 :⑴易求得a 1 1, a 22 1, a 33 2⋯⋯⋯⋯ 2 分⑵ 猜想 a n nn 1(nN * ) ⋯⋯⋯⋯ 5分明 : ①当 n 1 , a 111, 命成立② 假n k, a kkk 1 成立,n k1,a k 1Sk 1S k1(a k 11 )1(a k1 )2 ak 12 a k11 1 ( kk 11) ( a k 1a k 1)k22k 11( a k 11 ) k ,2a k 1所以 , a k 21 2 k a k 1 1 0 , ak 1k 1k.即 n k 1 , 命成立 . 由①②知 , n N * , a nnn 1 . ⋯⋯⋯⋯ 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x, g ( x), g(x) 的化情况如下表分20.解：（ 1）f ( x) x 3 ax 2 bx c, f ' ( x)3x 22ax b由f '( 2) 12 4a b 0，极大极小3 9 3f ' (1) 3 2ab 0 得 a 1 , b 2 2 f '(x) 3x2x 2 (3 x 2)( x 1) ，函数f ( x) 的区如下表：当 x 0, g( x) 有极大 m 3; x 1, g( x) 有极小 m 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由 g(x) 的知，当且当g(0) 0 g(1),即 m 3 0, 3 m2 ，m 2 0函数 g ( x) 有三个不同零点，点 A 可作三极大极小条不同切 .所以若点 A 可作曲 y f ( x) 的三条不所以函数 f (x) 的增区是(,2同切， m 的范是 ( 3, 2) . ⋯⋯⋯⋯ 12) 与3分(1,) , 减区是 (2,1) ；⋯⋯⋯⋯ 6 分22. 解：（1）解法 1：∵ hx a 232x ln x ，（ 2 ） f (x) x31 x2 2x c, x [ 1,2]，当x其定域0，，2a2122 22∴ h x ．x 3 ， f (3)27 c2xx 2极大，而 f (2) 2 c ， f (2)2 c最大，要使 f ( x)c 2 , x[ 1,2]恒成立，只需要 c2f (2)2 c ，得 c 1,或 c 2⋯⋯⋯⋯ 12 分21 解：（1）f (x) 6 x 26x, f (2)12, f (2)7, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴曲 yf (x) 在 x 2 的切方程 y 7 12( x2) ，即 12x y170；⋯⋯ 4分（2）g( x) 2x 33x 2 m 3, g ( x) 6x 26x 6x( x 1)令 g ( x) 0, x 0 或1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∵ x 1 是函数 h x的极点， ∴h 10 ，即 3 a 20 ．∵ a 0 ，∴ a 3 ．当 a3 ， x 1 是函数 h x的极点， ∴ a 3 ．解法 2：∵ h x2xa 2 ln x ，其定x域0，，∴ h x2a 2 1 ．x 2 x令 h x0 ，即2 a 21 0，整理，x2x得 2x 2a 2x 0 ．∵ 1 8a 20 ，∴ h x 0 的两个根x 11 1 8a2 （舍去），x 21 1 8a2 ，44当x 变化时，h x，h x的变化情况如下表：—0＋极小值依题意，11 8a2，即 a23，41∵ a 0 ，∴a 3 ．（ 2）解：对任意的x1，e都有, x2 1f x1≥g x2成立等价于对任意的x1, x21，e都有f x min≥g x．max当 x［1，e］时，g x110 ．x∴函数 g x x ln x 在 1，e上是增函数．∴ g x g e e1．max∵ f x a 2x a x a，且1x2x2x1, e ， a 0 ．①当 0 a 1 且x［ 1 ，e］时，fx a x a，xx22∴函数 f x x a在［1，e］上是x增函数，∴ f x min f 1 1a2.由 1 a2≥e1，得a≥ e ，又0 a 1，∴a不合题意．②当 1≤a≤e时，若1≤x＜a，则fx a x a，xx2若a＜x≤e，则x a x a．f x x20∴函数 f x x a2在 1,a 上是减函x数，在 a，e 上是增函数．∴ f xmin f a2a.由 2a ≥ e 1，得a≥e 1，2又1≤a≤e，∴e 1≤a≤e．2③当 a e 且 x［ 1 ，e］时，f xx a x a0 ，x2a2∴函数 f x x在 1，e 上是减函x数．∴ f xminf e e a2.e由a2e≥e，得 a ≥ e ，e1又 a e ，∴ a e．综上所述， a 的取值范围为e 1,．2。

人教版选修1-1高二下质量检测数学试卷

高二年级质量检测数学（文科）试卷一、填空题（5′×14=70′） 1．已知}1|{},1|{2+==+==x y y B x y x A ，则=B A _____________．2．函数123--=Xx y 的定义域为_______________．3．给出下列各对函数：①22)()(,)(x x g x x f ==，②12)(,12)(-=+=x x g x x f ，③11)(-⋅+=x x x f 1)(,2-=x x g ，④x x x g x f )21()(,2)(==-，其中是同一函数的是______________（写出所有符合要求的函数序号） 4．若1)12(2+=+x x f ，则=)0(f _______________．5．已知1>x ，则x x c b x a )32(,)23(,l og 132===-从大到小的排列应为________________．6．函数x x x f ++=12)(的值域是_______________．7．已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中a 、b 、c 、d 为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f ______________．8．函数)32(log 221-+=x x y 的单调递减区间是_____________．9．“不等式012>+-ax ax 对一切实数x 都成立”的充要条件是_____________． 10．若ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，其内切圆的半径为r ，则=∆ABC S r c b a )(21++，类比平几中的这一结论，写出立几中的一个结论为____________________． 11．已知i z +=1，则=++211zz_______________． 12．若C z ∈，且1|22|=-+i z ，则|22|i z --的最小值是________________． 13．若)2(log ax y a -=在]3,0[上是x 的增函数，则a 的取值范围是______________．14．已知实数t s x ,,满足s t x =+98，且s x ->，则tx st x t s x +++++1)(2的最小值为_______________．二、解答题（90′）15．（14′）已知}02|{},1,1{2=+-=-=b ax x x B A ，若φ≠B ，且A B A = ，求a 、b 的值．16．（14′）设命题p ：函数xc y =在R 上单调递减，命题q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数c 的取值范围．17．（15′）在函数)1(log >=a x y a 的图象上有A 、B 、C 三点，横坐标分别为,4,2,++m m m 其中1>m ．⑴求ABC ∆的面积)(m f S =的表达式； ⑵求)(m f S =的值域．18．（15′）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）所组成的有序数对),(P t 落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；⑵根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；⑶用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？19．（16′）已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ⑴若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；⑵若)(x f 在]2,(-∞上是减函数，且对任意的]1,1[,21+∈a x x ，总有|)()(|21x f x f -≤4，求实数a 的取值范围．20．（16′）函数)(x f 的定义域为}0|{≠=x x D ，且满足对于任意D x x ∈21,，有)()()(2121x f x f x x f +=．⑴求)1(f 的值；⑵判断)(x f 的奇偶性并证明；⑶如果)62()13(,1)4(-++=x f x f f ≤3，且)(x f 在),0(+∞上是增函数，求x 的取值范围．参考答案1．}1|{≥x x ； 2．]3,0(； 3．④； 4．45； 5．a c b >>； 6．),2[+∞- 7．17； 8．),1(+∞ 9．40<≤a10．若三棱锥BCD A -四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，其内切球的半径为r ，则r S S S S V BCD A )(314321+++=-11．i -； 12．3； 13．)32,0(； 14．6；15．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==101111b a b a b a 或或 16．21:,10:><<c q c p ，综上),1[]21,0(+∞⑴p 真q则210≤<c⑵p 假q 则1≥c17．⑴)1(4)2(log 22>++=m mm m S a ⑵)441(log 2m m S a ++=，∵1>a ，∴S 在),1(+∞ 5954144112=+<++<mm ，∴59log 0a S <<，值域)59log ,0(a18．⑴*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+=N t t t t t P ,3020810200251⑵*∈≤<+-=N t t t Q ,300,400 21 2⑶*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<++-=N t t t t t t t y ,302032012101,2008065122，当15=t 时，125max =y 万元，1203202012400101=+⨯-⨯<y ，∴第15天日交易额最大为125万元． 19．对称轴a x =，∵]2,(-∞ ∴2≥a ，∵1)1(=-+a a ，02)1(1≤-=--a a 11≥-a ，∴在]1,1[+a ，a a f x f 26521)1()(m ax -=+-==5)()(2m in +-==a a f x f ，∴412)5()26(22≤+-=+---a a a a 0322≤--⇒a a 31≤≤-⇒a ，又2≥a ，∴32≤≤a20．⑴0⑵令121-==x x ，则0)1(2)1()1()1(=-⇒-+-=f f f f 0)1(=-⇒f ，再令,11-=x x x =2，则)()()1()(x f x f f x f =+-=-，偶 ⑶),0()64()]62)(13[(+∞≤-+f x x f )0,(-∞64)}62)(13([|≤-+⇒x x 64616664[2≤--≤-⇒x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠-≤≤-⇒≤--∈⇒≥+-⇒7333151532035830298322x x x x x R x x x 且∴]5,3()3,31()31,37[ ---x =aa+11。

高中数学阶段质量检测(一)(含解析)湘教版选修1-2-湘教版高二选修1-2数学试题

阶段质量检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b<0，a>0.答案：B2．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( ) A．0.12 B．0.88C．0.28 D．0.42解析：P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.答案：D3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200解析：由题意知选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义．答案：A4．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是( )A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件 D．不相互独立的事件解析：由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．答案：D5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：可知K，A1，A2三类元件正常工作相互独立．所以当A1，A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K·P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B6．对有线性相关关系的两个因素建立的回归直线方程y＝bx＋a中，回归系数b( ) A．可以小于0 B．大于0C．能等于0 D．只能小于0解析：∵b＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但b可以大于0也可以小于0.答案：A7．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏18927不喜欢玩电脑游戏81523总数262450已知P(χ2≥3.841)≈0.05，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( )A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析：由题表中数据得χ2＝50×18×15－8×9226×24×27×23≈5.060>3.841.所以有95%的把握认为两变量之间有关系．答案：B8．2017年7月持续高温，下表是某同学记录的7月11日至7月22日每天因中暑去某医院的人数，及根据这些数据绘制出的散点图如下：日期7.117.127.137.147.157.16人数100109115118121134日期7.177.187.197.207.217.22人数141152168175186203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有正相关关系；③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：由散点图可知日期与人数具有线性相关关系而不是一次函数关系，故①正确，③错误．由散点图可知，人数随日期的增加而增多，故②正确．答案：C9．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过( )x 123 4y 57910A．点(2,8) B．点(2.5,8)C．点(10,31) D．点(2.5,7.75)解析：线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,7.75)．答案：D10．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：根据以上数据，则( ) A ．性别与获取学位类别有关 B ．性别与获取学位类别无关 C ．性别决定获取学位的类别 D ．以上都是错误的解析：由列联表可得：博士：男性占2735≈77%，女性占835≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．答案：A11．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋2，则b 的值为( )A ．－12B.12C ．－110D.110解析：计算得x ＝3，y ＝5，代入到y ＝bx ＋132中，得b ＝－12.答案：A12．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643＞6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 13．有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个．甲从第一组中抽取1题，乙从第二组中抽取1题．甲、乙都抽到物理题的概率是________，甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是________．解析：设A ＝{甲抽到物理题}，B ＝{乙抽到物理题}．则P (A )＝410＝25，P (B )＝610＝35，P (AB )＝P (A )P (B )＝625，∴甲、乙至少有一人抽到数学题的概率为P ＝1－P (AB )＝1925.答案：625192514．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要________h.解析：当x ＝600时，y ＝0.01×600＋0.5＝6.5. 答案：6.515．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 203040 50 加工时间y (min) 62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由表知x ＝30，设模糊不清的数据为m ，则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m5，因为y ＝0.67x ＋54.9，即307＋m5＝0.67×30＋54.9，解得m ＝68. 答案：6816．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：理科文科总计男 13 10 23 女 7 20 27 总计203050已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×30×20≈4.844.则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．解析：由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%.答案：5%三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率．解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P 2＝P (AB C ∪A B C ∪A BC )＝25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.18．(本小题满分12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：月份 1 2 3 4 5 6 产量(千件) 2 3 4 3 4 5 单位成本(元)737271736968(1)试确定回归直线；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？(3)假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？解：(1)设x 表示每月产量(单位：千件)，y 表示单位成本(单位：元)作散点图．由图知y 与x 间呈线性相关关系，设线性回归方程为y ＝bx ＋a ，x ＝3.5，y ＝71，S xy ＝－53，S 2x ＝1112，故由公式可求得b ＝S xyS 2x＝－1.818，a ＝77.363， ∴线性回归方程为y ＝－1.818x ＋77.363.(2)由线性回归方程知，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元． (3)当x ＝6 000时，y ＝－1.818×6＋77.363＝66.455(元)，当y ＝70时，70＝－1.818x ＋77.363，得x ＝4.05(千件)．19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160 270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)χ2＝500×40×270－30×1602200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．20．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1∪C B2C A2.P (C )＝P (C B1C A1∪C B2C A2)＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A1)＝1620，P (C A2)＝420，P (C B1)＝1020，P (C B2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.21．(本小题满分12分)如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1n y i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2020年对应的t ＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．22．(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466根据表中数据及χ2的计算公式得， χ2＝200×62×66－34×382100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．。

高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四)模块综合检测Word版含解析

阶段质量检测(四)模块综合检测［考试时间：120分钟试卷总分：160分］一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•把正确答案填在题中的横线上)1.(安徽高考)命题“存在实数X,使x>1 ”的否定是______________________________•2•“相似三角形的对应角相等”的否命题是_______________________________________ .3•已知点P(6, y)在抛物线y2= 2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于__________________ .4. __________________________________________________________________ 若a= (1, - 1,—1), b= (0,1,1)，且(a + ◎丄b,则实数入的值是___________________________.b 2 25. (重庆高考)设P为直线y= 3ax与双曲线a2—b^= 1(a>0, b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e= _______ .6. _________________________________________________________ 已知a= (t+ 1,1, t), b= (t—1, t,1)，则|a—b|的最小值为________________________________ .2 27方稈7^-「J = 1表示焦点在X轴上的双曲线，则m的取值范围是.3+ m 1 —m2&(北京高考改编)双曲线x2—m=1的离心率大于上的充分必要条件是__________________ .9.(山东高考改编)给定两个命题p, q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的 _______ 条件.10 .命题“ ？ x € R, 2x2—3ax + 9 v 0”为假命题，则实数a的取值范围是11. 已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，—5)，点P(x,—1,3)在平面ABC 内，贝U x 的值为1 2 x2212. (山东高考改编)抛物线C1: y= ^px (p>0)的焦点与双曲线C2： -—y = 1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p =13. 设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP— = 2PA—，且OQ —-> AB — = 1,贝U P高中数学点的轨迹方程是__________ .高中数学4A B(1) pABTT⑵ OA OB316 (C 1 t 4 t 5 2Ct 4 t1CCx1 t3 2.((6901 u115 ( 14 )xOy2y 142 2x y 4 t t 12px(p>0)F14) f(x)J 2_! q |f (x ) m| 3x J ^cos 2xp q17. (本小题满分14分)如图，在正方体AC i中，0为底面ABCD的中心，P是DD i的中点，设Q是CC i上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D i BQ //平面PAO?2 2 1 椭圆E：予+ *= 1(a>b>0)上一点，离心率18.(本小题满分16分)已知点为(1)求椭圆E的方程；⑵设不过原点0的直线I与该椭圆E交于P, Q两点，满足直线OP , PQ, 0Q的斜率依次成等比数列，求△ OPQ面积的取值范围.19.(新课标全国卷H )(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC-J2A1B1C1 中，D , E 分别是AB, BB1 的中点，AA1 = AC= CB = -^AB.(1) 证明：BC1〃平面A1CD;(2) 求二面角D —A1C-E的正弦值.if高中数学(1)⑵ B il1 x x 126 p 8P 4 F答案：3 24 44 b (0 ) a b (1(ab ) b (ab ) b0.1 0 1. 15 PF 1 x P bb 2 b..y3a xa 3a ( c) c 3b 鉅 a ^2b 4 .)(16 )20 (B 1 B 2AB 1B 2F i F 24PB 2 QB 2P(6 y)1 1)c 3b c 2 * a 2 b 2 a 2^2ba -46. 解析：|a—b|2=22+ (1 -1)2+ (t- 1)2= 2(t—1)2+ 4,所以当t = 1时，|a- b|取得最小值2.答案：22 2X y7. 解析：若一 =1表示焦点在x轴上的双曲线，3 + m 1 - m了3+ m>0,贝U ? - 3<m<1 ,1 —m>0•••m的取值范围是(一3,1).答案：(—3,1)2C 2 C8. 解析：依题意，e=a，e=孑>2，得1 + m>2,所以m>1.答案：m>19. 解析：由q?綈p且綈p ? q可得p?綈q且綈q ? p，所以p是綈q的充分不必要条件.答案：充分不必要10. 解析：？ x€ R,2x2- 3ax+ 9v 0” 为假命题，• ? x€ R, 2x2- 3ax+ 9 > 0 为真命题，•△= 9a - 4 x 2 x 9< 0,即卩 a < 8,•••—2 2 w a w 2 2.答案：[-2 2, 2 2 ]11. 解析：因为A(4,1,3), B(2,3,1) , C(3,7,—5),P(x,- 1,3),所以AP = (x—4, —2,0),AC =(—1, 6, -8).由于点P在平面ABC内，所以P、A、B、C四点共面.所以量共面.故由共面向量定理，知存在有序实数对(m , n),使AP即(x- 4, - 2,0)= m( -2,2 , - 2) + n( - 1,6 , - 8),x—4=—2m—n ,所以—2= 2m+ 6n ,0 =—2m—8n.m=- 4 ,解得n= 1,x= 11.答案：11AB = (-2,2 , - 2),高中数学12oP) 24 44 .3 3|x 2 3y 21(x>0 y>0)4 t 0i t 1 0 1 t 4 t〔4 t t 1(4 t)(t 1)4 t t 1 t 5Cx21 t 521 px. M(x o1 -J 3 yo)P xo 3y0X 2 3p X 1X22P _ AB x 1 x 2 p 4p. (2) (1)X 1X2p 2X1 X2 3p13AB (3 A(°x,O) B(0,3y) OQQ( x y)3x,3y)OQ AB |x 2 3y 2 4 1(x y)3 22x23y 21(x>0 y>0)1415(1)A(X 1 y” B(X2 y 2)-2 yyK.2pxFp高中数学“ 22^22• y1y2=x1—2x2—2 =x1x2—2(*+x 2)+7=鲁—-2+牛=—p2,••• OAOB =X 1&+ y 1y 2= p^ — p? =—=— 3,解得 p 2= 4，二 p = 2.•这个抛物线的方程为 y 2= 4x.2 fn \16.解：■/ f(x) = 2sin 4+ x•••当Q 为CC 1的中点时，平面 D 1BQ //平面PAO.2 .2c 1〜— b 124 218. 解：（1）由题意知，；=2,所以—厂=4 , a = 3b . 又±+ 4b 2=1,解得 a 2= 4, b 2= 3.2 2因此椭圆E 的方程为:+ 3 = 1.⑵由题意可知，直线l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线I 的方程为y = kx + m （m ^0）,3cos 2x — 1=1 — cos2x — ■- J3cos 2x — 1=sin 2x — 3cos 2x = 2sin 2x — n ， •••若p 成立，即x €由 |f(x) — m|v 3? m — 3v f(x)v m + 3. ••• p 是q 的充分条件，• n 2 n 6 , ~3m — 3 v 1,i解得—1 v m v 4 ,m + 3>2 , 即m 的取值范围是（一1,4）.17.解：如图，以D 为坐标原点，分别以 DA 、DC 、DD i 所在直线为x , y , z 轴，建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,A(1,0,0) , B(1,1,0) , D 1(0,0,1), 设 Q(0,1 , z)，则 OP = — 1,1 2,BD I = (— 1,— 1,1), • OP • OP // BD 1,1当z = 1时,// BD i ,AP = — 1, 0, 1, BQ = (— 1,0, z), AP = BQ ，即 AP // BQ ,有平面 AOP //平面 D 1BQ ,P LP (X 1 y i ) Q (X 2y2)y2X_ J kx2y_ 32 2(3 4k )x 8kmx 24(m 23) 0.64k 2,16(3 4k 2)(m 2 3)16(12k 2 3m 2 9)>0 4k 2 m 2 3>0. x 1 x 2_8km 3呆X1X2y1y 2i 2 k X 1X 2(kx 1 km(x 13m 2 12k 2 3 4k 2m)(kx 2 m) 2X 2) mOP PQ OQ2 2 y 1 y 2 3m ” 12kX 1 X 24(m 3)k 2(4 k 2 3)m 23 4. OP OQ>02 0<m 2<63.S OPQ ^|PQ| 1 |m| « 一 .2 严2® kX1X 2| m 2 3S OPQ 齣m 2(6 ~T . m < 3 2 m OPQ(0 3) 19. (1) AC 1 AQ D AB DF BC 1 DF? A 1CD BC 1?A 1CDBC 1 A 1CD.》m| x iF DF.m 2 ^B62 x 2 J 4x 1X 2 F AC 1 C IAC CBAC BC.以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C — xyz.高中数学设 CA = 2,则 D(1,1,0), E(0,2,1), A 1(2,0,2), CD = (1,1,0), CE = (0,2,1) , CA 1 = (2,0,2).设n = (X 1, y 1, z”是平面A 1CD 的法向量，贝U n 昌 °’ j n CA t = 0,可取 n = (1, - 1, - 1).因厶AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1=|AB 2|,故/ B 1AB 2为直角，c因此 |OA|= |OB 2|,得 b = 2.结合 c 2= a 2— b 2得 4b 2= a 2— b 2，故 a 2= 5b 2,c 2= 4b 2，所以离心率 e = ： = 2'："5.在 Rt △ AB 1B 2 中，OA 丄 B 1B 2,1故 S A AB 1B 2 = -|B 1B 2| |OA|c 2=IOB 2I |OA|= 2 b = b .由题设条件 S A AB 1B 2= 4,得 b 2= 4,从而 a 2= 5b 2 = 20.2 2 因此所求椭圆的标准方程为 20 + 4 = 1.(2)由(1)知B 1(— 2,0), B 2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为 x = my — 2.代入椭圆方程得(m 2+ 5)y 2— 4my —16= 0.设 PX , y”，Q(x 2, y 2),则y 1, y 是上面方程的两根，4m 16因此 y 1 + y 2= 2丄 5, y 1y 2=— 2丄 5,m + 5 3 m + 5同理，设 m =饨,y 2, Z 2)是平面 A i CE 的法向量，则 m CE = 0, m-CA l = 0, 2y 2+ z 2 = 0 2x 2 + 2Z 2= 0 可取 m = (2,1 , - 2). 从而cos 〈n , m > 故 sin 〈 n , m 〉=並. 3 即二面角 20.解: D — A 1C — E 的正弦值为舟. 2 :(1)设所求椭圆的标准方程为为+b 2 2= 1(a>b>0)，右焦点为 F 2(C ,0). 即宀y1 = 0,|2x 1 + 2Z 1 =0.(my i 4)( my 2 4) y$2 2 (m 1)y i y 2 4m(y i y ?)1616m 64 2_T - m 5 PB 2 QB 2 B 2 P B 2Q 0 16m 2 64 0 m 2. x 2y 20 x 2y 2 0.2 y 2px(p>0)B 2P (x i 2 y i ) B 2Q (X 2 2 y 2)B 2P B 2Q(x i 2)(x 2 2) y i y 216 16m 2 m 2 52。

北师大高二数学选修2-3质量检测试题及答案

高二数学选修2-3质量检测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归系数：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，a y bx=-独立性检验：22()()()()()n ad bca b c d a c b dc-=++++，2 2.706c£变量无关联第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本答题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的五位数中，能被5整除的奇数共有A．20个B．36个C．72个D．81个4．64(1(1-+的展开式中x的系数是A．4 B．3 C．3-D．4-5．在25(21)x x-+的展开式中，x4的系数为A．210 B．90 C．70 D．－210 6．对任意正整数n，定义n的双阶乘如下，则选项中的假命题是当n为偶数时，!!(2)(4)642n n n n=--创创，当n 为奇数时，!!(2)(4)531n n n n =--创创A ．7!!个位数为5B ．6!!48=C ．6!!23!=?D ．(7!!)(6!!)7!= 7．下列说法正确的有①x 关于y 的线性回归方程y ˆ＝bx ＋a 必过样本中心(x ,y )；②如果变量η与ξ之间不存在线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n )，不能写出一个线性方程；③设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程是yˆ＝bx ＋a ，则a ，b 叫做回归系数；④为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量η与ξ之间是否存在线性相关关系．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是A ． 2B ．22C ．34D ．－2 9．一个盒子中装有大小、形状相同的3个黑球和2个白球，从盒子中随机摸出3个球，用ξ表示摸出的黑球个数，则P (ξ≥2)等于A ．110 B ． 25 C ．35 D ．71010．从甲、乙等6名世博会志愿者中，选出4人给美、英、法、日展馆各派一人从事接待工作，则甲、乙两人不能选派到日本馆的不同方案有A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

高二数学选修1-2质量检测试题(卷).04

高二数学选修1－2质量检测试题（卷）.04本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至6页.考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开.看，我把它打开了.所以它是我的录像机.请问这一推理错在哪里？ A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．以上都不是 2．复数534i -的共轭复数是： A ．3455i - B ．3455i + C ．34i - D ．34i +3．下列有关样本相关系数的说法不正确的是Ａ．相关系数用来衡量两个随机变量x 与y 的之间的线性相关程度Ｂ． 1r ≤，且r 越接近0，相关程度越小Ｃ． 1r ≤，且r 越接近1，相关程度越大Ｄ． 1r ≥，且r 越接近1，相关程度越大4. 下面几种推理是合情推理的是（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒；（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形内角和是()2180n -︒A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）5．用反证法证明命题“如果a b >>A ．=B ．C ．=<D ．=<6．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1,D ．(1,7．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7 则y 与x 的线性回归方程y=bx +a 必过点 A ．（0.5，3） B ．（1.5，0） C ．（1，2） D ．（1.5，4） 8．复数2211(1)(1)i ii i -++=+-A ．iB ．－ｉC ．—１D ．１ 9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n +10．设两个相互独立的事件,A B 都不发生的概率为19，若A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率，则事件A 发生的概率()P A 是A ．29B ．23C ．13D ． 118二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上.11．1×9＋2=11，12×9＋3=111，123×9＋4=1111，1234×9＋5=11111，猜测123456×9＋7=12．若复数z (1)(2)m m i =-++对应的点在直线220x y --=上，则实数m 的值是13．一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，放回后再取一球，则第一次取出红球且第二次取出黄球的概率为14．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是15．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；①垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确结论的序号是 16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i ,- i ,2+ i ,则点D 对应的复数为_________高二数学选修1－2质量检测试题（卷）输入x 计算的值输出结果x是否 … ① ② ③第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 把答案填在题中横线上.11．；12. ；13. ；14. ;15._______ _______；16. __________________.三、解答题：本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．( 本小题满分14分)已知复数2245(215)3m mz m m im--=+--+，m R∈.（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）若复数z是实数，求m的值.18.（本小题满分12分）阅读下文，然后画出该章的知识结构图.推理与证明这一章介绍了推理与证明这两个知识点.推理这节包括合情推理和演绎推理；证明这节包括直接证明和间接证明.合情推理中有两种常用推理：归纳推理和类比推理.直接证明有综合法和分析法；间接证明通常用反证法. 19．（本小题满分14分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．（1）根据以上数据建立一个22⨯列联表；（2）试判断是否晕机与性别有关？(参考数据：2 2.706χ>时，有90%的把握判定变量A，B有关联；2 3.841χ>时，有95%的把握判定变量A，B有关联；2 6.635χ>时，有99%的把握判定变量A，B有关联.新课标第一网参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b d χ-=++++)20．（本小题满分14分）已知：a ,b,c,d 都是实数，且221a b +=，221c d +=，求证：1ac bd +≤。

高二数学理科选修22质量检测题答案

高二数学理科选修2－2质量检测题答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．B 11．C 12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.13．3 15．215π 16．51162-⨯ 14．在四面体P ABC -中，平面PAB 、平面PBC 、平面PCA 两两垂直，则ABC∆面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和．即2222ABC PAB PBC PCA S S S S ∆∆∆∆=++．三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分18分）（1）证明：要证明113a b b c a b c +=++++，只要证明3a b c a b c a b b c +++++=++，（2分）只要证明1c a a b b c +=++，只要证明c b c a a b a b b c +++=+⋅+()()()()，只要证明222c a ac b +=+，（5分）ABC ∆ 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，60B ∴∠=︒，（7分）由余弦定理，有2222cos60b c a ac =+-︒，即222b c a ac =+-，∴222c a ac b +=+．故原命题成立，得证．（9分）（2）证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．（11分）设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．（13分）24()n n +∵是偶数，（15分）2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾．（17分）由上述矛盾可知，a 一定是偶数．（18分）18．（本小题满分16分）解：(1)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ （2分）由于()f x 在点2x =处取得极值故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩, （6分）化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩ （8分）(2)由(1)知3()1212f x x x =-+,2()312f x x '=-令()0f x '=,得122,2x x =-= （10分）当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< ，故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数. （13分）由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)28f -=,()f x 在22x =处取得极小值(2)4f =-此时(3)21,(3)3f f -== （15分）因此()f x 上[3,3]-的最大值为(2)28f -=最小值为(2)4f =- （16分）19．（本小题满分16分）解：(1) ∵ 1=a ∴2)(23+-+=x x x x f ∴ 123)(2-+='x x x f ,（3分） ∴ =k 4)1(='f , 又3)1(=f ,所以切点坐标为)3,1( （5分）∴ 所求切线方程为)1(43-=-x y ,即014=--y x . （7分）(2)22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+-由()0f x '= 得x a =- 或3a x =,（9分） ①当0a >时,由()0f x '<, 得3a a x -<<. 由()0f x '>, 得x a <-或3a x > 此时()f x 在(,)3a a -上单调递减, 在(,)a -∞-和(,)3a +∞上单调递增. （12分） ②当0a <时,由()0f x '<,得3a x a <<-. 由()0f x '>,得3a x <或x a >-, 此时()f x 在(,)3a a -上单调递减，在(,)3a -∞和(,)a -+∞上单调递增. （15分）综上所述:0a >时,()f x 在(,)3a a -上单调递减, 在(,)a -∞-和(,)3a +∞上单调递增 0a <时,()f x 在(,)3a a -上单调递减，在(,)3a -∞和(,)a -+∞上单调递增.（16分） 20．（本小题满分16分）解:（1）∵323333(1)21S S a a a a =+=++=+,又315S =,37a ∴=,（2分） ∵2318S a =+=,又212222(2)22S S a a a a =+=-+=-,（4分）25a ∴=,11223a S a ==-=,（6分）综上知13a =,25a =,37a =；（7分）(2)由(1)猜想21n a n =+,下面用数学归纳法证明. （8分） ①当1n =时,结论显然成立；（9分） ②假设当n k =(1k ≥)时,21k a k =+, 则3(21)357(21)(2)2k k S k k k k ++=+++++=⨯=+,（11分）又213k k S a k +=+-, 21(2)3k k k a k +∴+=+-,解得123k a k +=+（13分） 12(1)1k a k +∴=++,即当1n k =+时,结论成立；（15分）由①②知,对任意*,21n n N a n ∈=+. （16分）。

人教A版选修2-2—第二学期质量检测高二数学(理)试卷答案.docx

2009—2010学年度第二学期期中质量检测高二数学试题（理）参考答案及评分意见一、选择题（每题5分）1~4 D A B C 4~8 C A C C 二、填空题（每题5分）9. 2 10. π11. -1 12. 3π13. 214. 在直角三棱锥中，斜面的“中面”的面积等于斜面面积的14三、解答题15．证明：取BD 的中点E,连接AE,CE. 在ABD ∆中，因为，,AB AD BE DE ==所以，AE BD ⊥---------------------------4分在BCD ∆中，同理可得：CE BD ⊥ Q AE CE E =I -----------------8分 ∴BD ⊥面AECAC ⊂Q 面AECBD AC ∴⊥--------------------------12分16、解：由,,A B C 成等差数列，在ABD ∆中，由余弦定理得，有，2B A C =+. ① AD =,,A B C Q 为ABC ∆的内角， =A B C π∴++= ② =分由①②，得3B π=--------------5分答：BC --------12分Q D 是BC 的中点122BD BC ∴== ------------6分17.解：（Ⅰ）11,215n n n a a a a +==+Q 12133532111215a a a ∴===+⨯+ 3317a = 4323a =-------------------------3分；（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列∴猜想数列{}n a 通项公式：361n a n =----------------------5分用数学归纳法证明如下：① 当1n =时，由题意可知135a =，命题成立.------6分 ② 假设当n k =(1,)k k N ≥∈时命题成立，即361k a k =-，----7分那么，当1n k =+时，133361321656(1)12161k k k a k a a k k k +-====+++-⨯-- 也就说，当1n k =+时命题也成立----------------------------------------------13分综上所述，数列{}n a 的通项公式为361n a n =----------------------------14分 18、解（Ⅰ）因为3()44()f x ax x a R =-+∈，所以'2()34f x ax =-----------------------------------2分因为函数()f x 在2x =时有极值，所以'(2)0f =，即3440a ⨯-=得 13a =------------------------------------------------3 分所以31()443f x x x =-+所以'2()4(2)(2)f x x x x =-=+-令，'()0f x = 得， 2,x =或2x =-----------4分当x 变化时'()f x ，()f x 变化如下表：A B DC E所()f x 的以区间为(,2)-∞-，(2,)+∞；()f x 的单调减区间为(2,2)-。

高二下学期选修1-2质量检测数学试题

高二下学期选修1-2质量检测数学试题姓名：学好：成绩：一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1、在回归分析中，相关指数R 2越接近1，说明（）A 、两个变量的线性相关关系越强B 、两个变量的线性相关关系越弱C 、回归模型的拟合效果越好D 、回归模型的拟合效果越差2则A 、（2，2）点 B 、（1.5，0）点 C 、（1，2）点 D 、（1.5，4）点3. 用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A 、a ，b 都能被5整除B 、a ，b 都不能被5整除C 、a ，b 不都能被5整除D 、a 不能被5整除4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在：（） A 、大前提 B 、小前提C 、推理过程D 、没有出错5、命题“关于x 的方程)0(≠=a b ax 的解是唯一的”的结论的否定是（） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解6、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表；则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性（）7、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n 项可能是（） A 、n 10 B 、110-n C 、110+n D 、n 11.8、下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180︒，归纳出所有三角形的内角和都是180︒；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多边形内角和是()2180n -⋅︒A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（2）（4）D 、（2）（4） 9、右图给出的是计算201614121++++ 框内应填入的条件是（）A 、10>iB 、10<iC 、20>iD 、20<i10、设c b a ,,大于0，则3个数ac c b b a 1,1,1+++的值（）A 、都大于2B 、至多有一个不大于2C 、都小于2D 、至少有一个不小于2二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．“若5x =或6x =，则(5)(6)0x x --=”的逆否命题是 .12．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩，则1______.(2)f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．已知集合{}1,,A a b =，集合{}2,,B a a ab =，若A B =，则实数20122011______.a b -= 14．若函数()log (1)(01)x a f x a x a a =++>≠且在区间[]0,1上的最大最小值之和为a ，则a 的值为 .１5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[]6,6-上所有根的和为 . 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共4小题，共40分） 16．（10分）已知0>a ，且a ≠1，设命题:p 函数)1(log +=x y a 在),0(+∞∈x 内单调递减；命题q ：函数1)32(2+-+=x a x y 有两个不同零点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围。