高等数学期中试卷(2017级)

高等数学期中试卷（2017级） 学院_____班级______学号______姓名_______成绩 _____

1．（5分）设y

x y x z -+=arctan ，求点)2,1(处的全微分)2,1(dz 2．（5分）设),(y x z z =是由方程)(22z x yf z x -=+所确定的函数，其中f 具有连续导数，证明：x y

z y x z z =∂∂+∂∂ 3．（7分）设),(22xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x

z ∂∂、y x z ∂∂∂2 4．（7分）求函数222224)1(),(y x y x y x f +--=的极值

5．（6分）设 24),,(z xy x z y x f +-=，求

（1） 梯度)1,1,1(f grad ；

（2） ),,(z y x f 在点)1,1,1(处沿该点到点)5,4,1(方向的方向导数l

f ∂∂． （3）),,(z y x f 在点)1,1,1(处的方向导数的最大值。

6．（6分）计算⎰⎰D dxdy y

2sin ，其中D 为直线2,1=-=y x y 及1=x 围成的闭区域

7．（6分）计算

⎰⎰++D d y x y x σ22，其中D ：1,122≥+≤+y x y x 8．（8分）计算⎰⎰⎰Ω

+dv y x

)(22，其中Ω：z y x ≤+22，41≤≤z 9．（8分）计算⎰⎰⎰--+--++222

1112221011y x x dz z

y x dz dy dx 10．（8分）求曲面22y x z +=及226y x z --=所围立体的体积。

11．（8分）利用二重积分计算平面

1=++c

z b y a x （其中c b a ,,全大于零）被三个坐标面割出部分的面积。 12．（8分）设{}

0,),(22≥≤+=x y y x y x D ，),(y x f 为D 上的二元连续函数，且σπd y x f y x y x f D ⎰⎰---=),(8

1),(22，求),(y x f 13．（8分）某种玩具的零件是由边长为1的正三角形均匀薄片与矩形均匀薄片拼接而成，且正三角形的一边恰为矩形的一边，要使整个零件的质心落在正三角形的一边上，求矩形另一边长。

14．（10分）在第一卦限内作椭球面122

2222=++c

z b y a x 的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标，并求此最小体积。