高等数学期中试卷(2017级)

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20162017年高三数学(理)上期中试题含答案

2016-2017年高三数学（理）上期中试题(含答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 , ,则 ( )A. B. C. D.2.已知复数，若是实数，则实数的值为 ( )A. B. C. D.3.以下判断正确的是 ( ).函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件.命题“ ”的否定是“ ”C.“ ”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )A.120 cm3B.100 cm3C.80 cm3D.60 cm35.由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为( )A. B. C. D.6.设等差数列的前项和为，若 , , ，则 ( )A. B. C. D.7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )A. B. C. D.8.设，则 ( )A. B. C. D.9.已知函数，则的图象大致为 ( )A B C D10.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为 ( )A¬. B. C. D.11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线y= 与椭圆的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于 ( )A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为 ( )A. B . C. D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分.13.已知向量 .14.已知，则 .15.已知满足约束条件若的最小值为 ,则 .16.在中，内角的对边分别为 ,已知 , ，则面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数 .(Ⅰ)求的最小正周期及对称中心;(Ⅱ)若，求的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面 .(Ⅰ)求证： ;(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.19.(本小题满分12分)随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数 35 2510已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.(Ⅰ)求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;(Ⅱ)用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望 .20.(本小题满分12分)已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点(Ⅰ)证明：抛物线在点的切线与平行;(Ⅱ)是否存在实数，使以为直径的圆经过点 ?若存在，求的值;若不存在，说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数 .(Ⅰ)当时，求的单调区间;(Ⅱ)若函数在其定义域内有两个不同的极值点.(ⅰ)求的取值范围;(ⅱ)设两个极值点分别为，证明: .请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线的极坐标方程为 .(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数，且的解集为 .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若，且，求证： .兰州一中2016-2017-1学期期中考试高三数学试题参考答案(理科)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}032|{2<--=x x x A ，集合}0,2|{≥==x y y B x，则=B A （） A ．)3,1(- B ．)3,0[ C ．)3,1[ D ．)3,1( 【答案】C 【解析】试题分析：因为2{|230}{|13}A x x x A x x =--<⇒=-<<，{|2,0}{|1}xB y y x B y y ==≥⇒=≥，所以{|13}A B x x =≤<，故选C ．考点：2.已知向量)23,21(-=BA ，)23,21(=BC ，则=∠ABC （） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 【答案】C考点：平面向量的夹角公式．3. 若直线l 与平面α相交，则（）A ．平面α内存在直线与l 异面B ．平面α内存在唯一直线与l 平行C ．平面α内存在唯一直线与l 垂直D ．平面α内的直线与l 都相交【答案】A 【解析】试题分析：因为直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，所以只有A 正确，故选A ．考点：空间直线与平面的位置关系．4.已知q p ,是两个命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由p q ∧是真命题，可得p 真q 真；由p ⌝是假命题，知p 为真命题，但若q 为假命题，则不能推出p q ∧是真命题，所以“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，故选B ．考点：1、充分条件与必要条件；2、命题的真假．5.已知某路段最高限速h km /60，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：h km /），若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A ．154 B ．52 C ．158 D ．53【答案】C考点：1、古典概型；2、茎叶图．6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．21 B ．1 C ．23D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其底面积为()1321122S =+⨯=，高为3=h ，所以该几何体的体积113333322V Sh ==⨯⨯=，故选C ．考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7.若执行如图所示的框图，输入8,4,2,14321====x x x x ，则输出的结果是（）A ．41 B ．47 C ．415D ．4 【答案】C考点：程序框图图．8.已知21,F F 是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，41sin 21=∠F MF ，则双曲线E 的离心率为（） A ．315 B ．35C ．2D ．3 【答案】A9.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2a b =,ABC ∆的面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是（） A ． 30>B B ．B A 2= C ．b c < D ．2b S ≤ 【答案】D 【解析】试题分析：因为21sin sin 2ABC S ab C b C ∆==，又在ABC ∆中sin 1C ≤，所以2S b ≤，故选D ．考点：三角形面积公式．10.函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图象大致为（）【答案】A 【解析】试题分析：因为3()(1cos )sin 4sin cos 22x x f x x x =-=，()12f π=，故排除B ；又因为()f x 为奇函数，故排除D ；当0x →时，cos 1,sin 0x x →→，此时()0f x →，故排除C ，故选A ．考点：三角函数的图象与性质．【知识点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要方面，通过图象可以观察出函数的性质，是数形结合思想应用的必备途径，作函数的图象一般可以研究函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性（对称中心，对称轴），确定特殊点（与坐标轴的交点，最值点等），还有函数值变化的趋势等等．11.已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（） A ．12或1- B ．12或2 C.1或2 D ．1-或2 【答案】D12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足0)()('<+x f x f ，设)(2m m f a -=，)1(12f eb m m ⋅=+-，则b a 、的大小关系是（）A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．b a 、的大小与m 有关【答案】B 【解析】试题分析：设()()xg x e f x =，因为0)()('<+x f x f ，所以()(()())0xg x e f x f x ''=+<，所以函数()g x 为R 上的减函数，又因为210m m -+>，所以21m m -<，所以2()(1)g m m g ->，即22()m m ef m m --＞(1)ef ，即221()(1)mm f m m e f -+->，所以a b >，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知i 是虚数单位，复数12i+的模等于．【答案】5 【解析】试题分析：21212|2||||||2|i ii i i i+-++===-==．考点：1、复数的运算；2、复数的模．【一题多解】1|21||2|||i i i ++=== 14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a = ．【答案】2 【解析】试题分析：因为2228228237log log log ()log ()1a a a a a a +===，所以372a a =．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算． 15.若()()201622016012201621x a a x a x a xx R -=++++∈…，记2016201612iii a S ==∑，则2016S 的值为．【答案】1-考点：二项式定理．16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，角23πβα=+的终边与单位圆交于点()22,B x y ，记()12fy y α=-.若角α为锐角，则()f α的取值范围是．【答案】)23,23(-考点：1、三角函数定义；2、两角差的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．【知识点睛】三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若()1223,,k k k a a a k N *++∈恰好依次为等比数列{}n b 的第一、第二、第三项，求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）()2n a n n N *=∈；（Ⅱ）9932883nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用n a 与n S 的关系结合条件等式即可求得通项公式n a ；（Ⅱ）首先利用等比数列的性质求得k 的值，由此求得n b 的通项公式，从而求得数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减法求和即可．试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112a S ==+=.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.检验1n =时，上式符合. ∴()2n a n n N *=∈.（Ⅱ）由题知1221,,k k k a a a ++成等比数列，12122++⋅=k k k a a a ，即)32(2)1(2)22(2+⋅+=⋅k k k ，解得3k =.18.（本小题满分12分）在某天的上午00:12~00:9时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如下表1与图2所示.已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）.（Ⅰ）确定图2中,x y 的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.（注：将频率视为概率，参考数据：535 6.5158231217660.5,⨯+⨯+⨯+⨯=2222351523523235154110,351535232255++⨯⨯+⨯⨯=++⨯=）【答案】（Ⅰ）分布列见解析，()8.105E X =；（Ⅱ）0.411或4111000．（Ⅱ）记A 为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”，()1,2X i =为该顾客前面第i 位客户的用时量，则()()()()()1212121255,88,5 6.5P A P X X P X X P X X P X X ===+==+==+==()()12125, 6.5 6.5,5P X X P X X +==+==.由于各客户口的办理业务相互独立，()()()()()()12121212121255,88,5 6.55, 6.5 6.5,5P X X P X X P X X P X X P X X P X X ==+==+==+==+==+==227372373220.4112020201002020⎛⎫⎛⎫=++⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或4111000.考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，平面α过点11A B ，，且1//CC α平面，平面α与三棱台的面相交，交线围成一个四边形.（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；（Ⅱ）若111111826,AB BC B C AB BC BB CC BB C C ABC ===⊥=⊥，，，平面平面，二面角1B -AB-C 等于︒60，求直线1AB 与平面α所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）平行四边形，图形见解析；∴直线1AB 与平面α. 考点：1、直线与平面所成角隅2、空间向量的应用．20.（本小题满分12分）设椭圆()222:11x E y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知FA FA e OF OA+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）动直线l 过点()2,0N -，l 与椭圆E 交于P Q 、两点，求OPQ ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）a =．（Ⅱ）由题l 与x 轴不重合，设l 的方程是2x my =-，由22212x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222220my y -+-=，即()222420m y my +-+=，因直线与椭圆有相异交点，()2216820m m ∆=-+>，解得m >或m <12122242,22m y y y y m m +==++，1y =212OPQS ON y ∆= 令0t =>，则2242224224222=⋅≤+=+=∆tt t t t t S OPQ . 当2t m =⇒=OPQ ∆.考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式．【方法点晴】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1n n f x a x x=+-，其中,n N a *∈为常数. （Ⅰ）当2n =，且0a >时，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若1a =，对任意的正整数n ，当1x ≥时，求证：()1f x x +≤.【答案】；（Ⅱ）见解析．（Ⅱ）证：因为1a =，所以()()1ln n n f x x x -=+. 当n 为偶数时，令()()()1ln 11n g x x x x =--++，则()()()11111111n n n x n g x x x x x ++=+-=+++++′ 1x ≥∴()0g x >′，所以当[)1,x ∈+∞时，()g x 单调递增，()g x 的最小值为()1g ，因此()()()()()()21111ln 111ln 111ln 21ln 222111n n n g x x x g x =--+≥=--+=--≥--++331311121975ln ln ln 0416********e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=>=>，所以()1f x x +≤成立.当n 为奇数时，要证()1f x x +≤，由于()()1101n n x -<+，所以只需证()ln 1x x +≤.令()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =-=>++′，当[]1,x ∈+∞时，()()ln 1h x x x =-+单调递增，又()11ln 2ln02e h =-=>，所以当1x ≥时，恒有()0h x >,命题()ln 1x x +≤成立.综上所述，结论成立.考点：1、函数极值与导数关系；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题请从下面所给的22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为θρsin a =，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）.（1）若2=a ，直线l 与x 轴的交点为M ，N 是圆C 上一动点，求||MN 的最大值；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值.【答案】（1）15+；（2）23=a 或1132=a ．（2）由θρsin a =，可化为θρρsin 2a =，∴圆C 的普通方程为4)2(222a a y x =-+. ∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半， ∴2||2134|823|22a a ⋅=+-，解得：23=a 或1132=a . 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数3|2|)(--=x x f ，|3|)(+=x x g .（1）求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式a x g x f +<)()(对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）}2|{->x x ；（2）2>a ．：。

2017-2018学年河北省衡水中学高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷

2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与极坐标不表示同一点的极坐标是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：与极坐标不表示同一点的极坐标是．故选：B．利用极坐标的表示方法即可得出．本题考查了极坐标的表示方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.下列表述：综合法是由因到果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法．其中正确的语句与A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故正确，不正确．故选：C．根据综合法的定义可得正确；根据分析法的定义可得正确，不正确．本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．3.若复数z满足为复数单位，则z的共轭复数为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则z的共轭复数为故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是A. 或B. 或C. 且D. 且【答案】B【解析】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：或，故选：B．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．5.方程为参数表示的曲线是A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】解：为参数，可得，，，即，方程为参数表示的曲线是双曲线的上支，故选：B．方程为参数，消去参数，即可得出表示的曲线．本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．6.若，，，则a，b，c大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，因为，所以．故选：D．根据的原函数为，的原函数为，的原函数为，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上如图，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则A. 15B. 11C. 8D. 7【答案】A【解析】解：根据题意：盘子数量时，游戏结束需要移动的最少次数；盘子数量时，小盘乙柱，大盘丙柱，小盘再从乙柱丙柱，完成，游戏结束需要移动的最少次数；盘子数量时，小盘丙柱，中盘乙柱，小盘从丙柱乙柱，用的方法把中盘和小盘移到乙柱，大盘移到丙柱，再用的方法把中盘和小盘从乙柱移到丙柱，完成，游戏结束需要移动的最少次数；以此类推，，时，．故选：A．根据移动方法与规律发现，随着盘子数量的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到乙柱，然后把最大的盘子移动到丙柱，再用同样的次数从乙柱移动到丙柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律即可．本题考查了图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到乙盘，再把最大的盘子移动到丙盘，然后再用同样的次数从乙柱移动到丙柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目住处的能力要求比较高．8.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是A. B. C.D.【答案】B【解析】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：故选：B．从平面图形到空间图形，同时模型不变．本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力解题的关键是掌握好类比推理的定义．9.设函数，则函数的所有极大值之和为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，时，，时，，时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，函数的各极大值之和．故选：D．先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值，即可求函数的各极大值之和．本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和利用导数求得当时，取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．10.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，M是曲线C上的动点以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T的极坐标方程为，则点M到T的距离的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：曲线C的参数方程为为参数，M是曲线C上的动点．设，曲线T的极坐标方程为，曲线T的直角坐标方程为，点M到T的距离，当时，点M到T的距离的最大值为．故选：B．设，曲线T的直角坐标方程为，点M到T的距离，由此能求出点M到T的距离的最大值．本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值求法，考查极坐标、直角坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为A. B.C. D. ，【答案】D【解析】解：结合图象：和时，，而，故在，递减，故选：D．结合函数图象求出成立的x的范围即可．本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题．12.已知函数关于x的方程，有5不同的实数解，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，由，解得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．当时，函数取得极大值也是最大值为．方程化为．解得或．如图画出函数图象：可得m的取值范围是故选：C．利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数为虚数单位的虚部为______．【答案】【解析】解：，其虚部为．故答案为：．利用复数的运算法则化简即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为______．【答案】【解析】解：把直线l的方程化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，故答案为：．把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是______．【答案】甲【解析】解：假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲利用反证法，可推导出丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了逻辑推理，正确使用反证法，是解答的关键．16.已知实数a，b满足，，则______．【答案】【解析】解：分别设，，则表示曲线上的点到直线的距离，则的最小值表示为和直线平行的曲线的切线的之间的距离，，，，解得，，曲线过点的切线方程为，即，直线与直线的距离，的最小值为，故答案为：．分别设，，则的点到直线的距离，则的最小值表示为和直线平行的曲线的切线的之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线间的距离公式即可求出答案．本题考查了导数的几何意义和平行线之间的距离公式，关键是构造曲线和直线，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：位于虚轴上；位于一、三象限；位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【答案】解：复数z对应的点位于虚轴上，则．时，复数z对应的点位于虚轴上．复数z对应的点位于一、三象限，则或．当时，复数z对应的点位于一、三象限．复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则或．或时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【解析】根据复数的几何意义求出点的坐标，利用点在虚轴上建立方程关系即可根据点在一三象限建立不等式关系即可根据点与圆的方程进行求解即可．本题主要考查复数的几何意义，根据条件求出点的坐标，根据条件建立坐标关系是解决本题的关键．18.已知数列满足．写出，，，并推测的表达式；用数学归纳法证明所得的结论．【答案】解：当，时当时，，同样令，则可求出，，猜测由已得当时，命题成立；假设时，命题成立，即，当时，，且，，即，即当时，命题成立．根据得，都成立．【解析】取，2，3，分别求出，，，然后仔细观察，总结规律，猜测的值．用数学归纳法进行证明，当时，命题成立；假设时，命题成立，即，当时，，，当时，命题成立故都成立．本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．19.在平面直角坐标系xoy中，曲线过点，其参数方程为为参数，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ已知曲线与曲线交于A、B两点，且，求实数a的值．【答案】解：Ⅰ曲线参数方程为，其普通方程，-------分由曲线的极坐标方程为，，即曲线的直角坐标方程-------分Ⅱ设A、B两点所对应参数分别为，，联解得要有两个不同的交点，则，即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，，又由可得，即或-------分当时，有，，，符合题意-------分当时，有，，，符合题意-------分综上所述，实数a的值为或-------分【解析】Ⅰ利用三种方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ根据参数方程的几何意义可知，，利用，分类讨论，求实数a的值．本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表假设该区域空气质量指数不会超过：分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．Ⅰ请估算2017年以365天计算全年空气质量优良的天数未满一天按一天计算；Ⅱ该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【答案】解：Ⅰ由直方图可估算2017年以365天计算全年空气质量优良的天数为：天------------分Ⅱ由题可知，4级污染以下的概率．X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------分则：，，，，，，．的分布列为分元------------分【解析】利用直方图的性质即可得出．Ⅱ由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且．求椭圆C的方程；Ⅱ过点F作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点T，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ由得其交点坐标是，设，，则，解得：，，由点B在椭圆C上，得，即，又，解得：，，椭圆C的方程是；Ⅱ设直线PQ的方程为，，，由，得，则，，，，当时，直线FT的方程为，由，得，，即，，，设，则，则，应用在递增，，则，当时，PQ的中点是F，，，，，综上，，故的取值范围是．【解析】Ⅰ输出B的坐标，带入椭圆的方程，求出，的值，求出椭圆方程即可；Ⅱ设直线PQ的方程为，，，联立方程组，得到，表示出，求出其范围即可．本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用，是一道综合题．22.已知，函数．若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围；当时，求函数的最小值的最大值；设函数，，求证：．【答案】解：函数在区间内单调递减，恒有成立，而，故对，恒有成立，而，则满足条件．所以实数a的取值范围为．当时，．x所以的最小值．随x的变化，，的变化情况如下表：所以的最大值为．证明：因为，所以当时，．因为，所以在区间内是增函数，故．当时，，由，解得舍去或．又，故时，，所以在区间内是增函数，所以．综上所述，对，恒成立．【解析】函数在区间内单调递减，恒有成立，即，恒有成立，然后求解即可．当时，求出的最小值转化求解的最大值．，当时，利用函数的导数，判断单调性，转化证明即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论，以及转化思想的应用，是难题．。

山西省沁县中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

沁县中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1.已知复数z满足，那么的虚部为（）A. 1B. -iC.D. i【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.【详解】因为，所以虚部为1，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.2.函数在点（1,1）处的切线方程为：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.【详解】因为，所以，切线方程为，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.3.定积分的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定积分的含义，只需求出曲线在上与x轴围成扇形的面积即可.【详解】由得，根据定积分的意义可知，扇形的面积即为所求.故选B.【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义及圆的方程面积问题，属于中档题.4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D. 在数列中，，，由此归纳出的通项公式【答案】C【解析】【分析】演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项.【详解】因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以对角线互相平分.【点睛】本题主要考查了推理中演绎推理的概念，属于容易题.5.曲线与坐标轴所围成图形面积是（）A. 4B. 2C.D. 3【答案】D【解析】【分析】根据定积分的意义，曲线与坐标轴所围成面积可转化为求在上的定积分与在上的定积分值的差即可.【详解】根据定积分的意义可知，，故选D.【点睛】本题主要考查了定积分的意义及定积分的运算，属于中档题.利用定积分解决面积问题时，要注意面积与定积分值的关系，当曲线在x轴下方时，定积分值的绝对值才是曲线围成的面积.6.函数的单调递减区间是( )A. B. C. D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的单调递减区间，需要求函数导数在定义域上小于零的解集即可.【详解】因为，令解得，所以选C.【点睛】本题主要考查了导数及利用导数求函数的单调区间，属于中档题.解决此类问题时，要特别注意函数的定义域，通过解不等式寻求函数单调区间时要注意定义域的限制.7.函数的图象可能是（）【答案】A【解析】试题分析：因为，所以为奇函数，故排除B、D；当时，，故排除C，故选A．考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性．8.设已知函数，下列结论中错误的是（）A.B. 函数的图象是中心对称图形C. 若是的极小值点，则在区间单调递减D. 若是的极值点，则【答案】C【解析】因为所以由零点存在定理得因为,所以函数的图象是中心对称图形若是的极小值点，则在区间若是的极值点，则,因此C错,选C.9.在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是( )A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】试题分析：由图像可得图像所示的圈可以用首项为2，公差为1的等差数列表示，前120个圈中的●的个数即为，，解得，前120个圈中的●有个，故选D．考点：等差数列的定义及性质；等差数列前n项和公式 .10.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（）A. 12，26B. 24，26C. 12，0D. 6，8【答案】A【解析】【分析】复数是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q的值.【详解】因为是方程的一个根，所以，即，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.11.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为函数在上是减函数，所以恒成立，分离参数，求的最小值即可.【详解】因为，在上是减函数，所以恒成立，即，而，所以只需，即，故选B.【点睛】本题主要考查了导数及导数在函数单调性中的应用，属于难题.解决已知函数单调性，求函数中参数的取值范围问题，一般需要利用导数大于等于零（或小于等于零）恒成立，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题来处理.12.已知都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①为奇函数，为偶函数；②；③当时，总有，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】当时，总有,即，所以在上是增函数，且在R上是奇函数，又，所以当或时，因此可求解.【详解】令，因为，所以在上是增函数，又，故在R上是奇函数，且，所以当或时，因为，所以或，解得或，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，增减性，函数导数在判定单调性上的应用，解不等式，属于难题.解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为____________【答案】【解析】试题分析：观察给定的式子左边和式的分母是从1,2,3，……，直到，右边分母为2，分子为n+1，故猜想此类不等式的一般形式为：（）。

2017届高三下学期期中数学试卷

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 的对应点为1n =()1,1，则2z =( ) AB ．2iCD ．2+2i2．命题p x ∈R ：且满足sin21x =．命题q x ∈R ：且满足tan 1x =．则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的取值范围是( )A ．[]13-，B ．[]31--，C ．[]1-，6D ．[]6,1-4．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A．34+ B．44+ C．34+ D．32+5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+∞，单调递减，若实数a 满足()()313lo log g 21f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是( )A ．(]03，B ．103⎛⎤⎥⎝⎦，C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,36．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若120AMB ∠=o ，则该双曲线的离心率为( )ABC ．3D ．27．在ABC △中，76cos BC AC C ===，，．若动点P 满足()()213AP AB AC λλλ=-∈R u u u r u u u r u u u r +，，则点P的轨迹与直线BC AC ，所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10 C． D．8．已知()()2ln 1,0,x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．[)1+∞，C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,19．已知数列{}a 满足()21413n n n a a a a n +*==--∈N ，，则122017111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a b >∈R ，，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),2m a b =时，b 的取值范围为( )A ．13b >B ．13b <C ．12b >D ．12b <二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知全集为R ，集合{}{}2 31680x A y y x B x x x -==≤=+≤，，，则A B =U ____，A B =R I ð____．12．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a =____；数列{}n a 的通项公式为n a ____． 13．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点()1,0F ，则p =____；M 是抛物线上的动点，()64A ,，则MA MF +的最小值为____．14．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin2x =____，1tan πsin cos 4xx x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=____． 15．已知直线280x my +-=与圆()224C x m y -+=：相交于A B 、两点，且ABC △为等腰直角三角形，则m =____．16．若正数a b c ，，满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是____． 17．如图，矩形ABCD中，1AB BC ==，ABD △沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在⎣⎦内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为____．三、解答题：（第18题）18．已知函数()()πsin 03f x x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，＞的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =g 的最大值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AB AD BD DC =⊥，（Ⅰ）求证：AE BD ⊥；（Ⅱ）若22DB DC ==，且二面角A BD C --为60o ，求AD 与面BCD 所成角的正弦值．20．已知函数()()ln 0af x x a x=+>．（1）判断函数()f x 在(]0,e 上的单调性（e 为自然对数的底）；（2）记()f x '为()f x 的导函数，若函数()()3222g x x x a x f x -=+'在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =u u u u r u u u u r ，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()02D ，-作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设N 是过点40,17⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．已知数列{}n a 满足21132n n n a a a a n N *+==+∈，，*，设()2log 1n n b a =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：()11112231n n n b ++++<≥-L ；（Ⅲ）若2nC n b =，求证：123nn n C C +⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．。

衢州四校2017学年第一学期期中联考高二数学试题及答案

衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数学试题卷命题人：龙游中学张飞熊周兆明审校：邵志成本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。

2. 答题时，请按答题纸上的注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 不等式22530x x --<成立的充要条件是（） A ．102x -<< B.132x -<< C.132x -<< D.16x -<< 2. 已知直线0(0,0)Ax By C AB BC ++=>>，则直线不经过（）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 已知圆2221:(1)(3)(0)C x y r r -++=>和圆222:16C x y +=，则圆1C 与圆2C 的位置关系中不可能的是（）A ．相切 B.相交 C.内含 D.外离4. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱）高为2，体积为8，则这个球的体积是（） A 3π B.43π C.433D.123π 5. 用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台上、下底面的半径分别为2cm 、5cm ，圆台的母线长为9cm ，则圆锥的母线长为（） A ．15cm B.9cm C.6cm D.185km 6. 已知命题：①若22ac bc >，则a b >；②“若3b =，则29b =”的逆否命题；③“若,a b 是偶数，则a b +是偶数”的逆命题；④“若1x =，则220x x +-=”的否命题.其中真命题的个数有（）A ．0 B.1 C.2 D.3 7. 设,αβ是两个不同的平面，l 是空间的一条直线，则下列命题正确的是（） A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l β B.若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//⊥l ααβ，则⊥l β D.若//,⊥l ααβ，则⊥l β8. 在ABC ∆中，5,6,AB AC BC PA ===⊥平面,8ABC PA =，则P 到BC 的距离是（） A 52535 D.459. 如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与,αβ所成的角分别为45,30，过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为11,A B ，则11:A B AB 等于（）A ．1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:410.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点12(,0),(,0)F c F c -，P 为直线2a y c=上一点，1F P 的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．2[,1)2 B.3[ C.3 D.2(0,2非选择题部分共110分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.在直观图（如图）中，四边形''''O A B C 为菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标系中，四边形ABCO 周长为 cm ，面积为 cm 2.12.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，则该椭圆的离心率是，2ABF ∆的周长是 . 13.已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为，它的外接球的表面积为 . 14.过点(3,2)P 的直线l 与,x y 的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，则ΔAOB 面积的最小值为，此时两截距之和为 .15.如图，正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为a ，连接'',',',,','A C A D A B BD BC C D 得到一个三棱锥，则三棱锥''-A BC D 的高是 .16.有六根细木棒，其中较长的两根分别为5cm ，4cm ，其余四根均为3cm ，用它们拼成一个三棱锥，则其中较长的棱所在直线的夹角的正弦值为 .17.已知(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 在直线AC 上，若 ||2|AD BD ≤恒成立，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求：（I ）顶点C 的坐标；（II ）直线BC 的方程.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 为正三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，E 为PC 中点，F 为AC 与BD 的交点. （I ）求证：//EF 平面PAD ；（II ）求直线EF 与PB 所成的角.20.（本题满分15分）已知圆C 过点(3,1)A ，(2,2)B 且圆心在直线20x y -=上. （I ）求圆C 的方程；（II ）直线l 过点(4,3)P --且被圆C 截得弦长||8AB =，求直线l 的方程；（III ）过圆C 外一动点M 作圆C 的两条互相垂直的切线，切点为,E F ，求EF 的中点轨迹方程.21.（本题满分15分）如图，正方形123SG G G 的边长为2，,E F 分别为1223,G G G G 的中点，现沿,SE SF及EF 把正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合于一点G . （I ）求证：⊥SG 平面EFG ；（II ）求二面角--G EF S 的余弦值；（III ）求直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值.22.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>66)P 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆：2234x y +=的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，求||AB 的最大值.衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 12，8 12.21，8 13. 63，π4 14. 12，1015.a 332 16. 5317. (,0]-∞ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由题意，得直线AC 的方程为0112=-+y x …………4分解方程组⎩⎨⎧=-+=--0112052y x y x ，得)3,4(C ……… 7分（Ⅱ）设),(00y x B ，则)21,25(00++y x M . 于是有 0521500=-+-+y x ，即01200=--y x 解方程组⎩⎨⎧=--=--0520120000y x y x ，得)3,1(--B ……… 12分直线BC 的方程为：6590x y --=……………………14分 19. 解：（Ⅰ）F E , 分别是AC PC ,的中点 PA EF ||∴PAD EF PAD EF 平面平面⊄⊂, ∴ EF ||平面PAD ……… 7分（Ⅱ）PA EF ||∴ APB ∠是直线EF 与PB 所成的角平面⊥PAD 平面ABCDAD AB ⊥ ⊂AB 平面ABCD ∴ ⊥AB 平面PAD∴ ⊥AB PA侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是正方形∴ PA AB =∴ ︒=∠45APB直线EF 与PB 所成的角为︒45 ……… 15分20. 解：（Ⅰ）设圆心C ),(b a ，半径为r 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-02)1()3()2()2(222222b a r b a r b a 解得 5,2,1=-=-=r b a∴ 圆C 的方程 25)2()1(22=+++y x ……… 5分（Ⅱ）设直线l 方程 )4(3+=+x k y 即 034=-+-k y kx 由 82||22=-=d r AB 得 3=d则 31|13|2=+-=k k d 得 34-=k直线方程为 02534=++y x若直线l 的斜率不存在，方程为4-=x 也符合条件故直线l 的方程 02534=++y x 或 4-=x ……… 10分 (III)由已知得四边形MECF 为正方形，边长为5 EF 的中点为正方形的中心H ，且225||=HC EF 的中点轨迹方程 225)2()1(22=+++y x ……… 15分21. 解：（Ⅰ） G GF GE GF SG GE SG =⊥⊥ ,, ∴ ⊥SG 平面EFG ； ……… 5分（Ⅱ） F E ,分别3221,G G G G 的中点 ∴ GF GE SF SE ==, 取EF 的中点D ，连接SD,GD ∴ EF GD EF SD ⊥⊥,∴ GDS ∠是二面角S EF G --的平面角正方形321G G SG 的边长为2 ∴ 2,223,22,2====SG SD GD EF 由（Ⅰ）知 SGD ∆是∆Rt ，则31cos ==∠SD GD SDG 故二面角S EF G --的余弦值为31……… 10分 (III)作SD GO ⊥交于点O ，连接OE 由（Ⅱ）知 ⊥EF 平面SGD ∴ EF GO ⊥ ∴ ⊥GO 平面SEF∴ GEO ∠是直线GE 与平面SEF 所成角在GOD Rt ∆中，31cos ==∠GD OD ODG∴ 3222=-=OD GD OGGOE Rt ∆中，32sin ==∠GE GO GEO ∴ 35cos =∠GEO 故直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值为35……… 15分 22. 解：（Ⅰ）由已知得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+22222361321c b a a cb a 得⎩⎨⎧==1322b a ∴ 椭圆C 的方程为 1322=+y x ……… 6分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，3||=AB设切线l 方程 m kx y +=，原点到直线l 的距离为23，则231||2=+k m 得 )1(4322+=k m由 ⎩⎨⎧+==+mkx y y x 3322 得 0336)13(222=-+++m kmx x k设),(),,(2211y x B y x A 则 13)1(3,1362221221+-=+-=+k m x x k km x x ∴ ]4))[(1(||2122122x x x x k AB -++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=13)1(34136)1(22222k m k km k 13)13)(1(122222+-++=k m k k )0(461912322≠≤+++=k kk 当且仅当33±=k 时，2||=AB 当0=k 时，3||=AB故 ||AB 的最大值为2 ……… 15分。

2017届高三下学期期中数学试卷-答案

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷答案1~5．BCCAC 6~10．DAABD11．(]0,4；()02，． 12．2；2,121,2n n n =⎧=⎨+≥⎩13．2；714．34-； 15．2或1416．521718．解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ = 由勾股定理得3QM =， ∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()πππsin sin 333h x f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g21ππsin cos 2333πx x x =+ 12π2π1cos sin 433x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12ππ1sin 2364x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362x -=，即1x =时，()34max h x =． 19．证明：（Ⅰ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， Q E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴ BD FE ⊥． Q AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ，Q AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角∴60AFE ∠=o Q 2AB AD ==， ∴ABD △为等腰直角三角形，故112AF BD ==，又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g ，即2AE =，∴2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥，又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED △中，2AE AD =，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin 4AE ADE AD ∠==．20．解：（1）Q ()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x af x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减，当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增，若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减．（2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+Q 函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，Q 231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭） 21．解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=，1212221612,1414k x x x x k k +==++，由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形假设存在矩形OANB ，则0OA OB =u u u r u u u rg ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==± 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-22．解：（Ⅰ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又Q ()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（Ⅱ）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立，则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立．（3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111n nn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ，其次Q ()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ，111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f （﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC=∴S△ABC=×7×6×=15，∴S△BCD=S△ABC=5．故选：A8．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据图象得出g（x）在（﹣∞，0）上的零点个数，得出g（x）在[0，+∞）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+ =3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），∴a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a n+1﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则a n+1﹣a n=（a n﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．11．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算．【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=﹣，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣， =，化简整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d =rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形， ∴圆心C （m ，0）到直线2x +my ﹣8=0的距离d =rsin45°，即=，解得：m =2或14，故答案为2或14．16．【考点】7F ：基本不等式．【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案．【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6，化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A ′的大小为θ，用θ表示出A 和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE A E '，．∵矩形ABCD 中，1AB BC =，∴22AE CE ==．∴A 点的轨迹为以E 为半径的圆弧． A EA ∠'为二面角A BD A -'-的平面角．以E 为原点，以EB EA EA '，，为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -，设A EA θ∠'=，则022A θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，102C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-，，∴AC =解得10cos 2θ≤≤，∴6090θ≤≤o o ，∴A 点轨迹的圆心角为30o ， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：18．【考点】HK ：由y =Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ 的值，可得sin ∠POQ ，求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y =f （x ）的解析式．（Ⅱ）求出g （x ）的解析式，化简h （x ）=f （x ）g （x ）的解析式，再根据x 的范围求出h （x ）的值域，从而求得h （x ）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ =勾股定理得3QM =，∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()2πππ1ππsin sin sincos 3332π333h x f x g x x x x x x ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g12π2π12ππ11cos sin sin 4332364x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666⎡⎤⨯-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362⨯-=，即1x =时，()34max h x =． 19．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）取BD 的中点F ，连EF ，AF ，推导出FE ∥DC ．从而BD ⊥FE ．再求出BD ⊥AF ，从而BD ⊥面AFE ，由此能证明BD ⊥FE ．（II ）由BD ⊥AF ，得∠AFE 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，由此能求出AD 与面BCD 所成角的正弦值．【解答】证明：（I ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， ∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴BD FE ⊥． ∵AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ， ∵AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（II ）由（I ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角 ∴60AFE ∠=o ∵2AB AD ==， ∴ABD V 为等腰直角三角形，故112AF BD ==，又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g，即AE =2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥，又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED V 中，2AE AD ==，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin AE ADE AD ∠=．20．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再根据a 与e 的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g （x ），再求导，函数g （x ）有极值等价于关于x 的方程3x 2﹣ax +1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a 的范围．【解答】解：（1）∵()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x a f x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减，当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增，若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减．（2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+∵函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，∵231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a 的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭）21．【分析】（1）设M （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C 的方程．（2）设出直线l 的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C 的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=， (1212)221612,1414k x x x x k k +==++，… 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA OB =u u u r u u u r g ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==±… 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-…22．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8H ：数列递推式．【分析】（I ）由题意可知：，，两边取对数，即可求得b n +1=2b n ，则{b n }是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a n ，代入即可求得a n ；（II ）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n （n ≥2）；（III ）．证明：由得c n =n ，，利用二项式定理展开，，当n =1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又∵()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（2）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立，则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立．（3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111nnn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ，其次∵()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ， 111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．。

2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A类)

2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知函数sin(23)z x y =+，则734(0,0)z x y ∂=∂∂ （）（A ）32-；（B ）43；（C ）3423-⋅；（D ）3423⋅。

2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =，则（）（A ）(0,0)d 3d 4d z x y =+ ；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)；（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)；（D ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)。

3. 曲线3cos x t =，4sin y t =，z t =在0t =处的法平面方程是（）（A ）40y z -=；（B ）40y z +=；（C ）3041x y z -==；（D ）3041x y z -==-。

4. 设常数0a >，平面闭区域{(,)|,}D x y x y a a x a =≤≤-≤≤，1{(,)|,0}D x y x y a x a =≤≤≤≤，则(cos sin )d Dxy x y σ+=⎰⎰ （）（A ）12cos sin d D x y σ⎰⎰；（B ）12d D xy σ⎰⎰；（C ）12(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰；（D ）14(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰。

5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)O 的某个邻域(,)U O δ内有定义。

对于下列两个命题（I ）若(,)f x y 在点O 连续，且2200(,)(0,0)lim 01sin cos x y f x y f A x x y y →→-=>+--，则(,)f x y 在点O 取到极大值；（II ）若在(,)U O δ中(,)xy f x y 和(,)yx f x y 均存在，且极限00lim xy x y f A →→=和00lim yx x y f B →→=也均存在，则A B =；下列选项正确的是（）（A ）仅（I ）正确；（B ）仅（II ）正确；（C ）（I ）和（II ）都正确；（D ）（I ）和（II ）都错误。

贵州省遵义市2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）2．已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．07264．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x35．已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（）A．100°B．160°C．100°或160°D．130°6．已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．7或89．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数B ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数C ．为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数D ．A +B 为a 1，a 2，…，a n 的和10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=112．已知定义域为R 的偶函数f （x ），其导函数为f'（x ），对任意x ∈[0，+∞），均满足：xf'（x ）＞﹣2f （x ）．若g （x ）=x 2f （x ），则不等式g （2x ）＜g （1﹣x ）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13．已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．15．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m．16．已知平面α截一球面得圆M，过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在公差不为零的等差数列{a n}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁R B）=（）A．（2，6）B．（2，7）C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B的补集，从而求出其和A的交集即可．【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，∴∁R B）={x|x≤2或x≥7}，∴A∩（∁R B）=（﹣3，2]，故选：C．2．已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】利用复数的加法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=a+i，若z+=4，可得a+i+a﹣i=4，可得a=2．则复数z的共轭复数=2﹣i．故选：B．3．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0116 B．0927 C．0834 D．0726【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，故选：B．4．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【分析】分别判断给定四个函数的单调性，可得答案．【解答】解：函数y=﹣2x+1，则y′=﹣2，在定义域上单调递减；函数，则y′=﹣，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；函数y=lgx，则y′=＞0恒成立，在定义域上单调递增；函数y=x3，则y′=3x2≥0恒成立，在定义域上单调递增；故选：B5．已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（）A．100°B．160°C．100°或160°D．130°【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设OP与x轴的负半轴的夹角为β，利用任意角的三角函数的定义可求β，分类讨论，利用三角形内角和定理即可得解．【解答】解：如图，设OP与x轴的负半轴的夹角为β，∵由已知可得：P（﹣cos50°，sin50°），∴tanβ=||=tan50°，可得：β=50°，∴当A点在x轴正半轴时，α=180°﹣（50°﹣30°）=160°，当A点在x轴负半轴时，α=180°﹣50°﹣30°=100°，故选：C．6．已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，底面面积为：2，底面周长为：6+2，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S=2×2+4×（6+2）=24+12，故选：A．8．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．6 B．7 C．8 D．7或8【考点】数列的应用．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n=3n﹣1，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=21n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+n﹣9，∴由二次函数的性质可知：n=时，S n取得最大值，∵n∈N*，故当n=7时，S n取得最大值，故选：B．9．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数B．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数C．为a1，a2，…，a n的算术平均数D．A+B为a1，a2，…，a n的和【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选B．10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，则a2+（a+1）2=25，a＞0．解得a=3．∴sinθ=，cos．∴sin2θ==．故选：D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．12．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】由题意和乘积的导数可得偶函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为|2x|＜|1﹣x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的偶函数，∵xf'（x）＞﹣2f（x），x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=（x2f（x））′=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴g（x）=x2f（x）在[0，+∞）R上单调递增，∵不等式g（2x）＜g（1﹣x），∴|2x|＜|1﹣x|，即（x+1）（3x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）13．已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为﹣3．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z=﹣2×3+3=﹣3；故答案为：﹣3．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得AD，进而可得CD．【解答】解：如图所示，依题意可知∠AED=45°，∠EAD=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EDA=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知AD==米∴在Rt △ADC 中，CD=ACDsin ∠DAC=×=m ，故答案为．16．已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N ，若该球的表面积为64π，圆M 的面积为4π，则圆N 的半径为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】先求出圆M 的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4． ∵圆M 的面积为4π， ∴圆M 的半径为2．根据勾股定理可知OM=2，∵过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ， ∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN 中，ON=，∴圆N 的半径为．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 2=3，且a 1、a 3、a 7成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，记b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式．（2）利用等差数列的求和公式求得S 3n ，然后利用裂项相消法求和即可．【解答】解：（1）设{a n }的公差为d ，依题意得，解得，所以a n =2+（n ﹣1）×1=n +1；（2）由（1）知，等差数列{a n }的首项是2，公差是1，则S3n=3n×2+=，∴，∴，故．18．2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由分层抽样性质能求出乙厂生产的产品总数．（2）样品中优等品的频率为，由此能求出乙厂生产的优等品的数量．（3）由题意ξ=0，1，2，，由此能求出ξ的分布列和均值．【解答】解：（1）乙厂生产的产品总数为：；…（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…（3）ξ=0，1，2.，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…均值…19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…因AA1=AB，则AD⊥A1B…由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．【解答】解：（1）由题得：，4a=8，所以a=2，．…又b2=a2﹣c2，所以b=1即椭圆C的方程为．…（2）由题意知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，此时；当m=﹣1时，同理可得…当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0）由设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0又由l与圆．得所以==…因为|m|≥1所以，且当时，|AB|=2，由于当m=±1时，，所以|AB|的最大值为2．…21．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；（2）对a讨论，若a＜1，若a≥1，讨论f（x1）﹣f（x2）的最值或范围，即可得到所求a的最小值．【解答】解：（1）因为，所以f'（0）=﹣2，因为f（0）=1，所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1=0…由解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：所以函数f（x）在x=2时，取得极小值…（2）由题设知：当x＞1时，，当x＜1时，，若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），则x1，x2∈[a，+∞），由于，显然不符合题设要求…若a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，由于，显然，当a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），不等式恒成立，综上可知，a的最小值为1…请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2的方程，然后写出曲线C2的参数方程；（2）设出曲线C2上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值．【解答】解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0，因为曲线C2的直角坐标方程为：．∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：=，∴当sin（60°﹣θ）=﹣1时，点P（），此时．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2016年12月1日。

2017秋期中高三数学(理)试题及答案

2017年秋期期中考试三数学试题（理）及答案一、选择题：1.已知集合}13|{+-==x xy x A ，}1lg |{<=x x B ，则A∩B=（ D ） A ． ]3,1[- B ．]3,1(- C ．（0，1] D ．（0，3]2.复数z 满足i z z 48||-=+，则z=( A )A.i 43+B.i 43-C.i 34+D.i 34-3.设命题p ：0ln ,0>->∀x x x ，则p ⌝为（ D ）A ．0ln ,0≤->∀x x xB ．0ln ,0<->∀x x xC ．0ln ,0000≤-≤∃x x xD ．0ln ,0000≤->∃x x x4.设{n a }为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则1a =（ B ）A ．18B ．20C ．22D ．245.若y x ,是正数，且141=+yx ，则xy 有（ A ） A ．最小值16 B ．最小值161 C ．最大值16 D ．最大值161 6.在△ABC 中，8=a ，10=b ，︒=45A ，则此三角形解的情况是（ B ）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解7.已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当0<x 时，)1ln()(x x g --=，函数⎩⎨⎧><=)0)(()0()(3x x g x x x f ，若)()2(2x f x f >-，则实数x 的取值范围是( D )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，2)∪(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1) 8.已知)(x f y =是定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈==+4,4sink N k k x x A 且π，值域为{}3,,e B π=的函数，则这样的函数共有（ A ）个.A.6B.27C.64D.819.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=0,ln 0,1)(2x x x kx x xx f 有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是( C )A ．(－4,0)B ．(－4,0]C ． (－∞，0]D ．(－∞，0)10.已知O 是ABC ∆所在平面内的一定点，动点P满足),0(+∞∈+=λλAC AB OA OP ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ A ）A.内心B.垂心C.外心D.重心11.已知有穷数列{}n a 中，n=1,2,3, ,729.且1)1()12(+-⋅-=n n n a .从数列{}n a 中依次取出.,,,1452 a a a 构成新数列{}n b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列.记数列{}n a 的所有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ A ）A.T S >B.T S =C.T S <D.S 与T 的大小关系不确定12.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（ B ） A.-1 B.0 C.1 D.2二、填空题： 13.已知,52cos sin =θθ则θtan = ．212或 14.在ABC ∆中，7=AB ,25=AC .若O 为ABC ∆的外心，则=⋅BC AO．28815.下列结论：①”的充要条件；”是““a a a >>1②存在x a x a a xlog ,0,1<>>使得；③函数x x y 2tan 1tan 2-=的最小正周期为2π；④任意的锐角三角形ABC 中，有A B cos sin >成立。

2017年秋季学期期中考试高三数学理试卷精品

2017年秋季学期期中考试高三数学（理）试卷（考试时间120分钟，满分150分）命题人：审题人：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{|21}x A y y ==+， {|B x y ==，则A B ⋃=（） A. {}1 B. R C.φ D. (,1)(1,)-∞+∞2．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则判断错误的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．44．已知4213332,3,25a b c ===，则（） A b a c << B a b c << C b c a << D c a b <<5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（） A. 150种 B. 180种 C. 240种 D. 540种7. 将函数()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移(0)m m >个单位后所对应的函数是偶函数，则的最小值是（）A.B.C. D. 8．执行如图的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A. 12s >B. 710s >C. 35s > D. 45s >9．数列{}n a 是首项11a =，对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 的前5项和5S =（）A. 121B. 25C. 31D. 3510．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P 是DC 的中点，则|P A →＋2PB →|＝( ) A.822B ．2 5C ．4D ．5 11．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b c ＝cos A1＋cos C ，则sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，12B.⎝⎛⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎦⎤12，1D.⎣⎡⎭⎫－1，12 12．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E 的焦点与实轴端点，若椭圆D 与双曲线E 的一个交点在直线y ＝2x 上，则椭圆D 的离心率为( ) A. 2－1 B.3－2 C.5－12 D.3－222二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为________.14． ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.15. 一个四面体的所有棱长都等于a ，则该四面体的外接球的体积等于 16. 设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，'()()xf x f x -＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分12分)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n . (1)若{}a n 是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{}a n 是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .18．(本小题满分12分)某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表： (1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率； (2)若甲获得奖励为X 元，求X 的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图15所示，P A 与四边形ABCD 所在平面垂直，且P A ＝BC ＝CD ＝BD ，AB ＝AD ，PD ⊥DC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若P A ＝3，E 为PC 的中点，设直线PD 与平面BDE 所成角为θ，求sin θ.20．(本小题满分12)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>1，短轴长为（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 求直线AB 的方程。

2017级第三学期数学期中试卷(A3)

................. .......封.............................装................................线...................................................封.................................装.................................线..................................2017级第三学期期中考试数学试卷注意事项：1、考试时间：90分钟2、请首先按要求在试卷的标封处填写姓名、身份证号码。

3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

4、不要在试卷上乱写乱画，不要在标封区填写无关内容。

卷面5分。

一、填空题（共20分，每空1分）（1）800角是第象限角，-300角是第象限角。

（2）零度角的弧度数为，900= 弧度，π= 度（3）cos00= sin900= tan450=（4）函数y=sinx的定义域为，值域为。

（5）已知αsin=21-，23π≤α≤2π，则αcos= ，αtan= 。

（6）设θsin>0且θtan<0，则θ是第象限角。

（7）已知A={1.2.3.4.5.6}，B={2.5.6}则BA = 。

（8）20180= ，02018=（9）{)(30360ZKK OO∈-⋅=αα}所表示的角α是第象限角。

（10）5的倒数是，315-的相反数是，α2sin+α2cos= 。

二、选择题（共30分，每空1分）（1） 3000角的终边在（）A、第四象限角B、第三象限角C、第二象限角D、第一象限角（2）已知αsin =0.2则)sin(α-值是（）A、0.2B、-0.2C、0D、不存在（3）sin（-12300）的值是（）A、21- B、23± C、23D、23-（4）已知αcos=-0.4则cos（πα10-）的值是（）A、0.4B、-0.4C、0D、4.0±（5）设r为圆的半径，则弧长为43r的圆弧所对的圆心角为（）A、1350B、πo135C、1450D、πo145（6）若∈θ[0.2π]，且θθθθcossinsin1cos122-=-+-，则θ的取值范围是（）A、[0，2π] B、 [2π，π] C、[π，23π] D、[23π，2π]（7）已知角α的终边经过点（21，22-）则αtan的值是（）A、21- B、23- C、2- D、22-（8）6π转化为角度为（） A、300 B、600 C、450 D、900（9）下列命题中正确的是（）A、第一象限的角都是锐角 B 、 =cos1400C、αtan=1则4πα= D、ααcossin-=2.5不可能成立（10）已知角α的终边上一点的坐标为（23-、21）则α是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角（11）设θsin>0，θtan<0，则=（）A、θcos B、θtan C、θcos- D、θcos±（12）下列各三角函数值中为负值的是（）A、o1100sin B、cos（-30000） C、tan（-1150） D、45tanπ（13）设θsin<0、θtan>0,则角θ是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角（14）与3300角终边相同的角为（）A、-600B、3900C、-3900D、-450（15）第二象限的角的集合可以表示为（）A、{oo900<<αα} B、{oo18090<<αα}C、{ZKKK ooo∈⋅+<<⋅,36090360αα} D、{ZKKK ooo∈⋅+<<⋅+,36018036090αα}........................封.............................装................................线...................................................封.................................装.................................线..................................（16）图像经过点（2π、1）的函数是（）A 、y=sinx B 、y=-sinx C 、y=cosx D 、y=-cosx （17）函数y=cosx 是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数（18）函数y=sinx 与函数y=-sinx 的图像（）A 、关于原点对称B 、关于x 轴对称C 、关于y 轴对称D 、关于坐标轴对称（19）下列等式中正确的是（）A 、sin （α+7200）=αsin -B 、cos （α+2π）=αcosC 、sin （α-3600）=αsin - D 、tan （α+4π）=αtan - （20）下列各式值与αsin 相等的是（）A 、cos （2π+α）B 、sin （2π-α）C 、cos （4π-α）D 、sin （2π+α）（21）已知53sin =α，且α是第二象限的角，则αtan 的值等于（）A 、34B 、43C 、43-D 、43±（22）下列各式错误的是（）A 、sin5850<0B 、tan(-6750)>0C 、cos(-6900)<0D 、tan10100<0 （23）1800+k ·3600(Z K ∈)表示（）A 、第二象限角B 、第三象限角C 、第四象限角D 、界限角（24）下列各命题正确的是（）A 、终边相同的角一定相等B 、第一象限的角都是锐角C 、锐角都是第一象限的角D 、小于90度的角都是锐角（25）已知角α是第三象限角，则角α-为（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角（26）锐角的集合可以写成（）A 、[0、2π] B 、(0、2π) C 、(∞-、2π) D 、（0、π）（27）α-的修边与单位圆交点的坐标是（）A 、（αs i n 、αcos ）B 、（-αsin 、-αcos ）C 、（)s i n(α-、)cos(α-） D 、（-αcos 、-αsin ）（28）集合A={1.3.5}集合B={1.2.4},则B A =（）A 、{1，5}B 、{3，5}C 、{1}D 、{2，4}（29）已知函数f （x ）=2x-5则f （1）=（） A 、-3 B 、7 C 、-7 D 、3 （30）指数函数y=x 3的图像不经过（）A 、（1、3）B 、（-2、9）C 、（21、3） D 、（0、1）三、判断题。

山东省潍坊市2017届高三上学期期中联考数学(理)试题Word版含答案

山东省孝坊审2017 A 高三上学期期中联考高三理科数学第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共 10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M ={」,0 , 1 ,2 },N =<x2八x —x —2 <0},则 M n N =(A. {0 , 1}B.{—1 , 0}C . {1,2}D . {—1 , 2}2.设命题p :孜 c0 , x 2 >1，则 -p 为（ : )A. P x Z 0 , x <1B. F x v 0 ,X 2 £1C.处0 , x 2 <1D.弍 <0 , x <13.为了得到函数y=sin 2x 的图象，只需将函数y-sin 2x -匸的图象（）k 4丿A.向左平移匸个单位 B •向右平移二个单位 C •向左平移匸个单位884D.向右平移二个单位 4A. [0 ,：：)B .(-二,2] C. 0 , 2 ] D . [0 , 2){y 兰X5.若变量x , y 满足约束条件x • y _1，贝U 目标函数z = 2x • y 的最小值为（）y - -1A. -3 B . -2 C. -1 D . 16. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其大意为： “有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”问此人第4天和4.函数f x 口1 ■ In 5 -2x .e x-1的定义域为第5天共走了（）A. 60 里 B . 48 里 C.36 里 D . 24 里27. 函数y=2x J 的图象大致是( )e9.如图，在平行四边形ABCD 中，M , N 分别为AB , AD 上的点，且3 ^"4 2 ■AM = 3 AB ，AN = 2 AD ，连接AC ，MN 交于P 点，若A =A ，则■的值为（）43第H 卷（非选择题共90 分）、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）个整数，则实数 k 的取值范围为（）A .1 1 . -1， 1 4 1 1 4 B ・( 1 ， ] C 3 In2 In3 3ln 2ln 3 D .1 4 1(-1]ln32ln 210.函数f x = kx • 4 In x —x x .1 ,若f x j >0的解集为s , t ,且s , t 中只有一14 1 (ln3 3，2ln 2 1]D. 8.函数f xx. R 都有f x • 3 - _f x ，若当x 3，2 时，…2，则f 2017产（A. £ B-C. 4-C.713 17C.A. B B311.定积分.0 3x2 e x 1 dx的值为_________________14. 一艘海警船从港口 A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65，港口 A 的东偏南20处，那么B ，C 两点的距离是海里.X 1， X 2， x 3，贝U x,X 2 x 2x 3*1X 3 等于 __________ . ___________ 三、解答题（本大题共6小题，共75分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分） /3设函数f x 二si ，x cos ，，x - ..3cos 2・，x ，-2■［门，0的图象上相邻最高点与最低点的距离为•.二4 .（I ）求••的值;上的单调递减区间 17. （本小题满分12分）已知在△ ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量 m = a -b ，sin A sin C 与向量 n = a -c , sin A C j j 共线.(I)求角C 的值；(U)若 ACCB = -27，求7B 的最小值.18. （本小题满分12分）已知 m R ，设 p: -x ［-1，1 ］， x 2 -2x -4m 2 8m - 2 _0 成立；q : x 1，2 I ，log 1 x 2 -mx • 1 ：：： -1成立，如果“ p q ”为真，“ p q ”为假，求m 的取值范围.212.不等式x_2 . -2x 1 0的解集为13.已知—4 V ，则 COS 二：0，4， S「415.1 x —设函数 f ^lOg a X-1 1 *1__ _2若函数g (x ) = [f (x )] +bf (x )+c 有三个零点U)若函数 y =f x —7 0 :::I 2是奇函数，求函数g x 二 cos 2x :- :在 10，2；二 l|19. （本小题满分12分）已知数列:a n /的前n项和为S n , a^1，且点P务,S n （其中n _1且n • N ）在直线4x_3y_1=0上；数列丄是首项为-1，公差为2的等差数列.（I）求数列:an / ,汎？的通项公式；（U）设C n 1，求数列Ln 1的前n项和T n.a n +b n20. （本小题满分13分）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为— 1 （升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9 （升），匕0丿返回水面的平均速度为巴（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5 （升），记2该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y （升）.（I）求y关于v的函数关系式；（U）若c纽空15 c 0，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.21. （本小题满分14分）已知函数f x二皿.x+1（I）求曲线y二f X在点1 , f 1处的切线方程；（U）若X 0 且x -1，f X --如.X X —1（i ）求实数t的最大值；（ii ）证明不等式：Inn，1一1一1 r N* 且n_2 .J 丿 2 2n高三理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABADA 6-10:CAADB二、填空题11. e 1 12. -1，1 13. - 14. 10.2515.2 三、解答题_2打16.解：(I) f x =sin ,x cos ,x —p ；3cos 2 ,x1 3 1 cos2 .x3sin 2 x -2 2 21 3sin 2 x - cos2，x 2 2( JI \ =sin !2 x , ........................................I 3丿设T 为f x 的最小正周期，由f x 的图象上相邻最高点与最低点的距离为二 $ 4，得--2 f ：i!f 2f x max 彳=-24，因为 f x max 二1，所以 + ，4 =二 2，4，整理得f 31 )g x 二cos 2x - 二cos 2x-§ ，令 2k _2x - ― _2k ■亠，，k Z ，3则 kx Ek 二 2 ， k Z ................................................. 10分 6 3•••单调递减区间是k 二•…，• 2…，k • Z ， -6 6又I x ・ 0，2二 1，二当"0时，递减区间为E ，丰当无■!.时；递减区间为［£用，争•二函数如在［0宀］上的单调递减区间是［半，yL ［井討］ .............. 1询T =2二又因为■, 0，T 二三2«=2~，所以•=-2、0，二 f x 「二 sin x'』I 3丿ji(U)由(I)可知 f x 二sin x -I 3丿y =f x •::是奇函数，贝 U sin 「一二\ 3丿317.解： (I)T 向量m 与向量n 共线，/. a -b sin A C = a _c si nAsin C ,由正弦定理可得： a 「b b 二a 「c a c ,• 2 2 2--c =a b ab , 2 2 2a b -c 1• • cosC 二2ab 2T 0 :: c ::：二，• C = ............................3(n)v AC CB = -27, • CA CB = 27,■/ A^2 =宦一才=|CB |2 +1 CA2 -2CB CA ,• AB2 >2'C^' iCA _2 X2718.解：若 p 为真：对1-1 , 1 ], 4m 2 -8m _x 2 - 2x -2 恒成立， ................... 1 分设 f (x )=x 2 —2x —2，配方得 f (x )=(x —応—3 , ................................................ 2 分 • f x 在1-1 , 1 1上的最小值为$ ,--4m 「8m _ -3，解得丄 _ m _ 空,2 2• p 为真时：1 _m _3 ; ................................. 4 分2 2若 q 为真：x 二 1 , 2 1, x 2 - mx • 1 • 2 成立，2• m ：：： —1成立 ........................... 6 分x设 g(x ,•宦cose 今風屈CA 為…CA CB -27 ,=54 ,=2 54 _54 =54 .... .................I• •• A^' >^6，(当且仅当••• 的最小值为30…CA=3.6 时，取=”)12分x x易知g x 在1 , 2 ］上是增函数，••• g x 的最大值为g 2 =3 , A m ... 3 ,••• q 为真时,•' p q ”为真, 为假，二 p 与q 一真一假,1 I - 当P 真q 假时2 -3 m2 1十m v —或当p 假q 真时 2I 3 m2 综上所述，m的取值范围是m ：：：i 或m = I 19.解： (I)由点 P a n , S n 在直线 4x _3y -1=0 上, --4a n _3S n -1 =0 即 3S =4a n -1 , 又 3S n 」=4a n 1 -1 n 亠2 , a两式相减得a n =4a n 二,• —=4 n 亠2 , a 丄 •沐，是以4为公比的等差数列，又a 1 =1 , n 1• • an 二 4 ； r-1为首项，以-2为公差的等差数列, 1 1 一 1 n -1 -2 =1 -2n , • b n : b n 1 -2n 1 1 _2n .. C n • n 丄， a n b n 43-2 n 1-2 n n 2,4 4 3—2 n +1 —2n ................n _!n44 (U)由(I)知, • T m …■-T n S 4142 •丄T n V W …4 4 4 以上两式相减得， 4ln 1 4 424心1 -2n20. 解: （I ）由题意，下潜用时理（单位时间），用氧量为［卜|' v \10 丿（升） , 1 分21.解：（1）由题意0 , •：：且1x 1 -ln x「丿、x 'x 十1 —xl n xf' x =x22,（x +1 jx （x +1 ）11一"4 1 _2n 1 1 - 45 6n 5 〒, .....33 420 6n +5 T n . 9 9 汇4 一4n11分 12分60 3v 2 60 X —+ v 50 v水底作业时的用氧量为 10 0.9=9 （升），返回水面用时60 J 20v 2（单位时间），用氧量为空1.5=型（升）,v•••总用氧量23vy = 240 + +9（v >0 ）. 50 v3/ 秆、,6v 2403（v -2000 ）（U ） y'22——,50v 225v 2令 y ，= 0 得 v =10*2 ,在0：：:V ：：:103 2时，y' <0，函数单调递减,在v 1032时，y' 0，函数单调递增,•当 C ：：：103 2时，函数在c ，103 2上递减，在103 2，15上递增, •此时，V =103 2时总用氧量最少,当c _1032时，y 在l.c , 15 1上递增,•此时v =c 时，总用氧量最少. 13分1y _0 x -1 即 x —2y 一1 =0In x In x t■ ■ …一0 ,x 1X —1 x、 t(x 2—1) 设 h x =21 n x 亠x则 h'x ' t 1 丄 J x t4?LJ , ...............................x I X J x(1)当 t _0 时，••• x 0，二 h' x 0 ,• •• h x 在0 ,亠•• j 上单调递增，又h 1 [=0 ,1• x"0 , 1 时，h x ：；：0，又——2 0 ,1 -x• g x <0，不符合题意 ... .. (7)分(2)当 t ：：：0 时，设」x =tx 2 2x t ，① 若丄=4 -4t 2乞0，即t —1时，，x _0恒成立，即h'x _0在0，亠「j 恒成立，• h x 在0，亠「j 上单调递减又h 1 ]=0，• x 可0，1 时，h x 0，0， g x 0，1 -xx"1，仁応时，h x ：：0，冷：：:0， g Xi 〉0，符合题意 .................. 9 分1 -x② 若厶-4 -4t 2 .0，即-1 ：：：t ：：：0时，」x 的对称轴x r-f 1，•x 在1，-1上单调递增，• X ，1，-1 时，，X if =2 2t 0，• h' x 0，又 f 1 i ；=2 =0，In x x 1In x t---------- —,x -1 x二f x 在点1 , f 1处的切线方程为由题意知• •• h x h 1 =0 , 而」^ ：：：0 , • g x ：：：0,不符合题意， 1 -x综上所述t _ _1. ................................................................ 11分1=x , .........................................x 1 1 1 I 1• 2ln n ：：：1 2 …—||_2 3 n -1 n 1 1111• Tn n ：：1…_2 3n2 2n1 , 4上单调递增(ii由（i ）知t =_1时,ln x In x 1 0，x 1x -1x令 x= k ,则 2ln kk< k -1 k —1 k3 n 1111 1 1 1 1 In ............ In l<1 + + + + +… • + + + +2 n -1 2 23 3 n - 2 n -1 n -1nxx 1时整理得2ln xk -1 1 1 ——=+ ----------- , k k k -1n 1 1 即In n ：：: 7 --一』21 ......................................................................2n .14分。

2017高等数学试题及答案

2017高等数学试题及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 函数y=x^2+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2xC. x^2D. 1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 定积分∫(0,1) x^2 dx 的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 微分方程dy/dx = x的通解是（）。

A. y = x^2 + CB. y = e^x + CC. y = ln(x) + CD. y = sin(x) + C答案：A5. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * ln(x) + CD. e^x / x + C答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6. 函数y=ln(x)的二阶导数是________。

答案：1/x^27. 极限lim(x→∞) (1/x) 的值是________。

答案：08. 定积分∫(0,π) sin(x) dx 的值是________。

答案：29. 微分方程dy/dx = y/x的通解是________。

答案：y = Cx10. 函数y=x^3的不定积分是________。

答案：1/4 * x^4 + C三、计算题（本题共4小题，每小题10分，共40分）11. 求函数y=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数：y' = 3x^2 - 3二阶导数：y'' = 6x12. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

答案：lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)] = 413. 计算定积分∫(1,e) (1/x) dx。

答案：∫(1,e) (1/x) dx = ln(e) - ln(1) = 114. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3，且y|_(x=0) = 1。

2017年级期中试卷数学【含答案】

2017年级期中试卷数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)2. 若矩阵A的行列式det(A)=0，则矩阵A是：A. 可逆矩阵B. 不可逆矩阵C. 对角矩阵D. 单位矩阵3. 在平面直角坐标系中，点(1, 2)关于y=x的对称点是：A. (2, 1)B. (-1, -2)C. (1, -2)D. (-2, 1)4. 若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则下列哪个定理可以用来计算定积分∫(0到1)f(x)dx的值？A. 微积分基本定理B. 牛顿-莱布尼茨公式C. 中值定理D. 洛必达法则5. 三角函数中，sin(α+β)的正确表达式是：A. sinαcosβ + cosαsinβB. sinαcosβ cosαsinβC. sinα cosβD. cosα + sinβ二、判断题（每题1分，共5分）6. 若向量组线性相关，则它们一定可以表示为一个向量的倍数。

（）7. 在欧几里得空间中，两个非零向量垂直当且仅当它们的点积为零。

（）8. 若多项式函数P(x)在实数域上有重根，则它一定不可分解为一次因式的乘积。

（）9. 对于任何实数x，都有e^x > 0。

（）10. 在复数域中，任何非零复数的n次方根都有n个不同的值。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = _______。

12. 若矩阵A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则det(A) = _______。

13. 若复数z满足|z| = 1，则z的实部和虚部的乘积的最大值为 _______。

14. 二项式定理中，(x+y)^5展开后的项数为 _______。

河海大学2015、2016、2017年《高等数学》上册期中试卷

4
4
4
五、（8 分）已知函数 y ex sin x ，求高阶导数 y(2016) .
1 f (x) 1
六、（6 分）设极限 lim x0
x x2
1 ，试确定常数 a, b ，使当 x 0 时， f (x) 与 axb 等
价.
七、（6
分）设数列 xn由递推公式
xn1

1 2
( xn
b 处的切线斜率是 2
.
5、设函数 f (x) ex cos x ，则 f (4) (0)
.
三、计算下列各题（每小题 6 分，共 30 分）
1、求极限 lim x0
1 x sin x cos x (1 e3x ) ln(1 x) .
2、设 f (x) (3 1 x 1)g(x) ，其中 g(x) 在 x 0 处连续，求 f (0) .
5、函数 f (x) (x2 x 2) x2 x 的不可导点的个数是（）.
A、0； B、1； C、2； D、3. 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、用极限的定义表述 lim 2x 1为
.
x0
2、函数
f
(x)

cos x, ax b,
x x
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、
lim n
n2 n 1
2n1

.
2、就奇偶性而言，函数
f
(x)

1 2x 1

1 2
是
函数，其导函数是
3、设 f (x) x(x 1)(x 2)(x n) ，则 f (1)
.
函数.
4、

2017届高三上学期期中考试数学(理)(含答案)word版

江西师大附中高三年级数学（理科）期中考试试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅2．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（） A ．27B ．9πC ．33D ．274π 3．“2a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[1,2]-上存在零点0x ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4．把函数sin 3)y x x =-的图象适当变化就可以得到sin 3y x =-的图象，这个变化可以是（）A ．沿x 轴方向向右平移4π B ．沿x 轴方向向左平移4π C ．沿x 轴方向向右平移12π D ．沿x 轴方向向左平移12π5．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| = 12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形6．若实数a 满足()12a y y y R >---∈恒成立，则函数()()256a f x log x x =-+的单调减区间为（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25B ．()+∞,3C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25, D ．()2,∞-7．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ． 2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 48．有下列命题：①在空间中，若OA//O A ''，OB//O B ,''则AOB=A O B '''∠∠；②直角梯形是平面图形；③{}{}{}⊆⊆长方体正四棱柱直平行六面体； ④若a b 、是两条异面直线，俯视图正视图侧视图,a α⊂平面////a βα平面,b 平面，则//αβ；⑤在四面体P ABC -中，P A B C ⊥，PB AC ⊥，则点A 在面PBC 内的射影为PBC ∆的垂心，其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列1{}()f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( ) A ．20122013B ．20112012C ．20102011D ．2009201010．已知函数()32f x x x =-∈R ，．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若1244x ≤，则继续赋值21()x f x =，…，以此类推，若1n x -≤244，则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*()n ∈N ．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围是（） A ．65(33]k k --，B ．56(3131]k k --++，C ．65(3131]k k --++，D ．45(3131]k k --++，二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为 ; 12．已知m>0,n>0,向量()()121a m b n ==- ，，，，且a //b ，则12m n+的最小值是．13．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 14．一个三角形数阵如下：1 2 22 32 42 5262 72 82 92……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为________．15．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos2()22A B C -+= （1）求角A 的大小；（2）若3b c +=，求a 的最小值．17．（本小题满分12分）（1）解不等式122x x x --<-；（2）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是PC 的中点，PA =PD ，BC =12AD ．（1）求证：PA //平面BMQ ；（2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 、{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，n N *∈（1）证明数列1{}nb 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；； (2) 用数学归纳法证明：对任意的n N *∈有21122n n S n +≤≤+成立．20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S pa n =-，*n N ∈，其中常数2p >．（1）若23a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）对于（1）中数列{}n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*n N ∈），在k b 与1k b +之间插入12k -（*k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m ,使得数列{}n c 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)1ln()(+=x x f ，x x g 21)(=，（1）求函数)()(x g x f y -=的极值；（2）不等式2)(++>x tx x f )(*N t ∈，当1≥x 时恒成立，求t 的值；（3）证明：852ln )]1(3)2([3213+<--<∑=n k f k f n nk 。

河北衡水中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷及答案

2016～2017学年度上学期高三年级期中考试理科数学试卷命题人郭晓蕾本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2B．C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD 1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B．C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．16.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.（本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20.（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016～2017学年度上学期高三年级期中考试理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e ]），又，当x ∈[1，e ]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x +2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e ]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcos θ，y=ρsin θ，曲线C 1：ρ=﹣sin θ，∴ρ2=﹣4ρsin θ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsin θ=﹣ρcos θ，∴tan θ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分（2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ，根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD |=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE |=|t 2|=，∴|CD |：|CE |=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m +1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m +1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a |≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a |≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a |+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。

2017年级期中试卷数学【含答案】

2017年级期中试卷数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x在x=0处的导数为-2，则f(x)在x=0处的切线方程为：A. y = -2x + 1B. y = -2x 1C. y = 2x + 1D. y = 2x 12. 设矩阵A为对称矩阵，则下列选项中正确的是：A. A的转置矩阵与A相等B. A的转置矩阵与A不相等C. A的逆矩阵与A相等D. A的逆矩阵与A不相等3. 若函数f(x) = e^x sinx在x=0处的极限为1，则：A. f'(0) = 1B. f'(0) = 0C. f'(0) = -1D. f'(0)不存在4. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，则f(x)的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若级数∑(n=1 to ∞) a_n收敛，则级数∑(n=1 to ∞) (a_n / n^2)也收敛的是：A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)上单调增加，则f'(x)在区间(a, b)上恒大于0。

（）2. 若矩阵A为上三角矩阵，则A的特征值为其对角线上的元素。

（）3. 若函数f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处可导。

（）4. 若函数f(x)在区间(a, b)上可积，则f(x)在区间(a, b)上连续。

（）5. 若级数∑(n=1 to ∞) a_n收敛，则级数∑(n=1 to ∞) (a_n / n)也收敛。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x + 2，则f'(x) = _______。

2. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为_______和_______。

3. 若函数f(x) = e^x sinx，则f'(0) = _______。

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