数值计算方法期末考试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4

2. 已知求积公式

()()2

1

121

1()(2)636f x dx f Af f ≈

++⎰

，则A ＝（ ）

A ． 16

B ．13

C ．12

D ．2

3

3. 通过点

()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）

A ．

()00l x ＝0，

()110l x = B ．

()00l x ＝0，

()111

l x =

C ．()

00l x ＝1，()111

l x = D ． ()

00l x ＝1，

()111

l x =

4. 设求方程

()0

f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性

B ．平方

C ．线性

D ．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组

1231231

220223332

x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.

A ．

232

x x -+= B ．232 1.5 3.5

x x -+=

C ．

2323

x x -+= D ．

230.5 1.5

x x -=-

单项选择题答案

1.A

2.D

3.D

4.C

5.B

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T

X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .

2. 一阶均差

()01,f x x =

3. 已知3n =时，科茨系数()()()

33301213,88C C C ===，那么

()

33C = 4. 因为方程

()420

x f x x =-+=在区间

[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题

()211y

y y

x y ⎧'=+⎪⎨

⎪=⎩

的计算公式 .

填空题答案

1. 已知函数21

1y x =

+的一组

数据：

求分段线性插值函数，

并计算

()

1.5f 的近似值.

计算题1.答案

2. 已知线性方程组123123123

1027.2

1028.35 4.2

x x x x x x x x x --=⎧⎪

-+-=⎨⎪--+=⎩

（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2） 对于初始值

()()

0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()

1X （保

留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解 原方程组同解变形为 1232133

120.10.20.720.10.20.830.20.20.84

x x x x x x x x x =++⎧⎪

=-+⎨⎪=++⎩

雅可比迭代公式为

()()()()()()

()()()1123121313120.10.20.72

0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =

高斯－塞德尔迭代法公式

()()()()()()

()()()11231121

31113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =

用雅可比迭代公式得()()

10.72000,0.83000,0.84000X =

用高斯－塞德尔迭代公式得

()()

10.72000,0.90200,1.16440X =

3. 用牛顿法求方程3310x x --=在

[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1

011dx x +⎰.

计算题4.答案

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案

一、填空（共20分，每题2分）

1. 设

2.3149541...x *

=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商

()()()211221

14

,321f x f x f x x x x --=

=

=---，

()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商

()123,,______

f x x x =

3. 设(2,3,1)T

X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 2

1.250x x --= 的近似根，用迭代公式

x =

01x =， 那么

1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨

=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

6、

1151A ⎛⎫

= ⎪

-⎝⎭，则A 的谱半径

＝ 。

7、设

2()35, , 0,1,2,... ,

k f x x x kh k =+== ，则

[]12,,n n n f x x x ++=

和

[]123,,,n n n n f x x x x +++=

。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代

都 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。

10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =+

+-

---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写

成 。

填空题答案

1、2.3150