6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题

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知识点 平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b

＝x 1x 2＋y 1y 2

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(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.

若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

(3)cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22

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思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.

1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )

2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.

3.两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a 与b 的夹角为0°.( × )

4.若向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫

12，12，则|a |＝|b |.( × ) 提示 |a |＝1，|b |＝

⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22

，显然|a |≠|b |.

一、数量积的坐标运算

例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A.10 B.－10 C.3 D.－3 答案 B

解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .

(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.

跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 C

解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， 所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)， 则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 二、平面向量的模

例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，求a －2b 及其模的大小. 解 ∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，

∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.

反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方.

(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C.5 D.25 答案 C

解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，

∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题

例3 (1)已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C

解析 因为|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1， 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝1

2.

又因为θ∈[0，π]，则θ＝π

3.

所以向量a 与b 夹角的大小为π

3

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(2)设向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，若m ⊥n ，则实数x 的值为( ) A.－1 B.1 C.2 D.3 答案 C

解析 因为向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，m ⊥n ， 所以m ·n ＝(2x －1)×1＋3×(－1)＝2x －1－3＝0，解得x ＝2. 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)求解方法：由cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22

直接求出cos θ.

(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b

|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；

cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.

跟踪训练3 已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7

解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3). 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.

1.若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A.3 B.－3 C.53 D.－53

答案 A

解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.

2.已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.13

5 D.13 答案 A