高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》268PPT课件 一等奖名师

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2
则用“三斜求 积”公式求得△ABC的面积为 _____.
课堂练习
练习1.在ABC中，AB 3, BC 13 AC 4,求ABC的面积
2. 在△ABC中，b 2, B ,C ,求ABC的面积.
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c2 sin Asin B b2 sin Asin C a2 sin B sin C
I
正负开方术
数
书
九
II
章
三斜求积术
III
大衍总数术
I 德国数学史家康 托尔赞扬秦九韶 是“最幸运的天 才”
此前法国大数学家拉 格朗日也是这样称赞 牛顿的
有着“科学史之父”美 誉的美国科学史家萨顿 甚至认为，秦九韶是“ 他那个民族，他那个时 代，并且确实也是所有 时代最伟大的数学家之 一”
2005年，牛津大 学出版了《数学史 —从美索不达米亚 到现代》，该书重 点提及12位数学 家，提及了秦九韶 是唯一的中国人
(a
b
c)(a
b
c)(b 4c 2
a
c)(b
a
c)
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 4c 2
ha
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[求出面积S ] (a b c)(a b c)(b a c)(b aC c)
2010年，BBC 广播公司制作4 集纪录片《数学 的故事》，第2 节17分钟讲述中 国，秦九韶是唯 一提及的中国人
古代其他 数学成就
利用祖暅原理求球体积
牟合方盖
古代其他 数学成就
牟合方盖
割圆术
问题提出 能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
公式转化
三斜求积公式
公式转化
公式转化
等 价
自主探究 除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？ 提示：勾股定理
进而有
A
t a2 b2 c2 2c
C
b
h
a
c-t c
t DB
[再用a,b,c表示出h]
C
h2
a2
t2
a2
a2
b2 2c
c2
2
b
4a2c2 (a2 b2 c2 )24c 2c-[ac(a2b2
c2 )][2ac 4c 2
(a2
b2
c2 )] A
tc
[(a c)2 b2 ][b2 (a c)2 ] 4c 2
转化为数学语言为下列图形：
典型例题
典型例题2
• 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形 面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的 边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为
• 1 [a2c2 - (a2 c2 - b2 )2] 若 a2 sin C 4sin A， (a c)2 12 b2
三角形内切圆
已知三角形三边的a,b,c, 求三角形的面积
如图, AB=c, BC=a, CA=b, CD⊥AB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-t
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
t a2 b2 c2
A
2c
[再用a,b,c表示h]
C
b
h
a
c-t c
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[进而求出面积S ]
S p( p a)( p b)( p c)
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,
Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2,
h2=a2-t2=b2-(c-t)2 由a2-t2=b2-(c-t)2
移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c)
2
2
2
2
(a b c) [(a b c) b][(a b c) c][(a b c) c]
2
2
2
2
为方便记忆,令(abc) p
2 S p( p a)( p b)( p c)
课堂练习
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
（2）S 1 bcsin A 1 acsin B 1 absin C及其变形
2
2
2
（3）S 1 r(a b c)(r为三角形内接圆的半径) 2
（4）海伦公式
问题提出 能否用已经学习过的面积公式推导出海伦公式呢？
问题提出
公式转化
公式推导
先把③代入② 再把② 代入①，得：
① ② ③
“三斜求积” 公式
秦九韶
秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋 嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)卒于梅州。 中国古代数学家。
秦九韶代表作品有《数书九 章》，并创造了大衍求一术， 三斜求积术，秦九韶算法等 重要的数学方法。
三斜求积术
我国著名的数学家秦九韶在《数书九 章》提出了“三斜求积术”。 秦九韶 他把三角形的三条边分别称为小斜、 中斜和大斜。“术”即方法。三斜求 积术就是用小斜平方加上大斜平方， 送到斜平方，取相减后余数的一半， 自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平 方，送到上面得到的那个。相减后余 数被4除冯所得的数作为“实”，作1 作为“隅”，开平方后即得面积。
例题2，如图，四边形ABCD内接于圆O中SABCD =
,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求BC的长度
33 4
课堂小结
首先对海伦公式进行带入处理，化成三角形三边 表示三角形面积的表达式：
课堂小结
余弦定理
“三斜求积”公式
等价
海伦公式
三角形的面积公式：
（1）S 1 ah(h表示边a上的高) 2
海伦秦九韶公式
选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五 第一章“阅读与思考”
知识回顾
2.余弦定理中我们得到三个推论：（从三角形三边计算出三角
形三个角）
新课导入
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
转化为数学语言为下列图形：
新课导入 运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
S 1 ch h
2
2c
b
1 c (a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
h
a
2
2c
c-t
t
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c) A
cD B
4
S (a b c) (a b c) (a b c) (a b c)
S
2 sin( A B) 2 sin( A C) 2 sin(B C)
课堂练习3
• 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知 三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长
为 a, b, c 则三角形的面积S可由公式 S p p a p b p c
• 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海 伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a 6,b c 8
• 则此三角形面积的最大值为_____.
公式推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公 式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：
在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= a b c d ,则S四边形=
2
( p a)(p b)(p c)(p d)
典型例题