高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》268PPT课件 一等奖名师
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高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(2)课件 新人教A版必修5.ppt
15
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
2
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
19
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
2
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
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当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》347PPT课件 一等奖名师
S pp ap bp cp d ,其中p a b c d .
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
2
思考：以上公式对任意的四边形是否都成立？
八、课后作业
南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积
术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三
角形的边长满足 a b 12, c 8.则此三角形面积的最大值=__8___5____.
六、师生小结
<1>海伦（Heron）:古希腊数学家主要著作有《量度论》，《体积求法》，《几何》
等，最著名的是已知三边长求三角形面积的海伦公式.
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,
设 BD x ，那 么 DC a x .
由于AD是△ABD、△ACD的公共边.
h c2 x2 b2 a x2.
则x c2 b2 a2 . 2a
于是h
c2
c2
b2 2a
a2
2
.
又
SABC
1 2
ah
1 2
ac2c2源自b2 2a开平方得积．”若把以上这段文字写成公式, 即S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
在ABC 中，若 AB 13, BC 14, AC 15,D在AC上，且BD平分 ABC,
则 ABC 的面积=________; BD=____________.
[针对训练] 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，
S
p p a p b p c
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》311PPT课件 一等奖名师
2．此类题目的求解策略： (1)找基线(如本题中AC)． (2)测基线长及视角(如AC、∠BAC及∠BCA)． (3)用正弦定理求解两点间的距离(AB的长)．
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度． 解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中
AD＝taBn3D0°，CD＝taBn4D5°. 又AC＝AD＋CD＝taBn3D0°＋taBn4D5°＝8， ∴BD＝ 38＋1＝4( 3－1) (m)． 即水田的宽度为4( 3－1)米．
4. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰 好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船 的速度是每小时________．
解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所 以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5，于是这只船的速度是05.5＝10(海里/小 时)．
变式训练2 如图，隔河看两目标A，B，但不能到 达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B， C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
解析：在△ABC中， ∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，可得 AC＝ABsi·nsiCnB＝12s0insi6n07°5°＝20(3 2＋ 6)．
设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝
2 2
AC＝
20( 3＋3)．
∴河的宽度为20( 3＋3)米 .
变式训练1 在题设条件不变的情况下，求水田的宽 度． 解：过B作BD⊥AC，在Rt△BDA及Rt△BDC中
AD＝taBn3D0°，CD＝taBn4D5°. 又AC＝AD＋CD＝taBn3D0°＋taBn4D5°＝8， ∴BD＝ 38＋1＝4( 3－1) (m)． 即水田的宽度为4( 3－1)米．
4. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰 好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的 南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船 的速度是每小时________．
解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所 以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10，在直角三角形 ABC 中，可得 AB＝5，于是这只船的速度是05.5＝10(海里/小 时)．
变式训练2 如图，隔河看两目标A，B，但不能到 达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝ 75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B， C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
解析：在△ABC中， ∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，可得 AC＝ABsi·nsiCnB＝12s0insi6n07°5°＝20(3 2＋ 6)．
设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝
2 2
AC＝
20( 3＋3)．
∴河的宽度为20( 3＋3)米 .
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》344PPT课件 一等奖名师
等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=2，an=16，n=8 （2）a1=6，d=－3，n=10
8
例题讲解
在等差数列 an 中，第5项 a5 1,前10项和
S10 0，求前20项的和 S20
方程思想
9
练习
在等差数列an 中
（1）已知： a2 a5 a12 a15 36,求S16 (2) 已知： a6 20,求S11
Sn
n(a1 2
an )
等差数列前n 项和的公式
6
公式拓展
等差数列的前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
公式涉及基本量
a1, an , n, Sn
an a1 (n 1)d
SSnn nna1a1na(1n22(1n) d 1)d
公式涉及基本量
a1, d , n, Sn
7
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的
等差数列前n项和
求 S=1+2+3+······+100=？
高斯算法：
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
你知道高斯是怎么计算的 吗？
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
······ 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是：
101100 5050. 2
问题探究
如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面 每一层比上一层多放一根，共9层，这堆钢管 共有多少根？
4 + 5 + 6 +7+8+9+10+11+12
3
方法改进
8
例题讲解
在等差数列 an 中，第5项 a5 1,前10项和
S10 0，求前20项的和 S20
方程思想
9
练习
在等差数列an 中
（1）已知： a2 a5 a12 a15 36,求S16 (2) 已知： a6 20,求S11
Sn
n(a1 2
an )
等差数列前n 项和的公式
6
公式拓展
等差数列的前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
公式涉及基本量
a1, an , n, Sn
an a1 (n 1)d
SSnn nna1a1na(1n22(1n) d 1)d
公式涉及基本量
a1, d , n, Sn
7
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的
等差数列前n项和
求 S=1+2+3+······+100=？
高斯算法：
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
你知道高斯是怎么计算的 吗？
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
······ 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是：
101100 5050. 2
问题探究
如图堆放着一堆钢管，最上层放了4根，下面 每一层比上一层多放一根，共9层，这堆钢管 共有多少根？
4 + 5 + 6 +7+8+9+10+11+12
3
方法改进
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课课件_1
已知三边a，b，c，求三角形面积
S
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
2
是否过于复杂？不易记忆？
知识升华
S
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
2
S p p a p b p c
p 1（a b c） 2
知识应用
1、例题：已知三角形三边为分别为m，n， l其周长记为C，求该三角形面积。
2、同学间相互出题，随意变换三角形的 三边字母或者周长的字母解决问题。
知识应用
例3、三边长是a，b，c的三角 形，满足c>a>b.2a=b+c，且 它的周长是12，面积是6， 试判断这个三角形的形状.
直角三角形
收获
解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦 定理可得：
cos B c2 a2 b2 1272 682 882 0.7532
2ac
2 127 68
sin B 1 0.75322 0.6578
S 1 ac sin B 1 127 68 0.6578 2840.4(m2 )
2
2
答：这个区域的面积是2840.4m2
已知三边a，b，c，求三角形面积
利用 S 1 ac sin B
2
cos B
sin2 B cos2 B 1
S
1 4
c2a2
c2
a2 2
பைடு நூலகம்
b2
2
高中数学解三角形ppt课件
证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看
对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。
高中数学《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》293PPT课件 一等奖名师
因此，国王不可能实现他的诺言。
公式的应用：
例1：求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 ,K K ; 248(2)a127 a91 ,q 243
0
(1) Q
a1
1 ,q 2
1 2
s8
1 [1 ( 1 )8 ]
2
2
1 1
255 256
2
(2)Q
a9
a1 q8, a1
27, a9
a1
a 2 1
a n2 1
n 1 (1)
将（1）式两边同乘以公比q，得：
S a a a a a q q q2 q3 qn1 qn (2)
n
1
1
1
1
1
思考：
借助(1)(2)两式，能否求出前n项和？
q q q q Sn a1 a1
a1
a 2 1
a n2 1
n 1错 (1)
10
50
q5
4
两式相除，得：
1
a1 q
10 3
s15
a1(1 1
q15) q
a1 1 q
[1
(q5)3]
130
(1
43)
210
巩固练习：
在等比数列{an} 中，a1
8 ，q
1 2
，an
1 2
,
则Sn
31 2
挑战高考
(2017新课标全国2理科)我国古代数学名著 《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，
等比数列的前n项和
岷县四中
董军明
知识回顾：
1、等比数列的定义是什么？
如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比等于同一常数，那么这个
公式的应用：
例1：求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 ,K K ; 248(2)a127 a91 ,q 243
0
(1) Q
a1
1 ,q 2
1 2
s8
1 [1 ( 1 )8 ]
2
2
1 1
255 256
2
(2)Q
a9
a1 q8, a1
27, a9
a1
a 2 1
a n2 1
n 1 (1)
将（1）式两边同乘以公比q，得：
S a a a a a q q q2 q3 qn1 qn (2)
n
1
1
1
1
1
思考：
借助(1)(2)两式，能否求出前n项和？
q q q q Sn a1 a1
a1
a 2 1
a n2 1
n 1错 (1)
10
50
q5
4
两式相除，得：
1
a1 q
10 3
s15
a1(1 1
q15) q
a1 1 q
[1
(q5)3]
130
(1
43)
210
巩固练习：
在等比数列{an} 中，a1
8 ，q
1 2
，an
1 2
,
则Sn
31 2
挑战高考
(2017新课标全国2理科)我国古代数学名著 《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，
等比数列的前n项和
岷县四中
董军明
知识回顾：
1、等比数列的定义是什么？
如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比等于同一常数，那么这个
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例课件 新人教A版必修5.ppt
13
问题二：测量高度问题 （1）：底部不可以到达
例 3 、 A B 是 底 部 B 不 可 到 达 的 一 个 建 筑 物 ,A 为 建 筑 物 的 最 高 点 .设 计 一 种 测 量 建 筑 物 高 度 A B 的 方 法 .
14
解 ： 选 择 一 条 水 平 基 线 H G , 使 H , G , B 三 点 在 同 一 条 直 线 上 。 由 在 H ,G ,两 点 用 测 角 仪 测 得 A 的 仰 角 分 别 是
， ， C D a ,测 角 仪 器 的 高 是 h .
在ACD中 ， AC=sin a(sin),
AB=AE+h =A C sin +h = a sin：测量高度问题
（2）：底部可以到达
例 4 、如图 , 在山顶 铁塔上 B 处测得地 面上一点 A 的俯角 54 0 40 ' , 在塔底 C 处测得 A 处的俯 角 50 0 1 '.已知铁 塔 BC 部分的高为 27 . 3 m , 求出山高 C D ( 精确到 1 m ).
你能根据所学知识设计一B 种测量方案吗?
A
C
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的
一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的
对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.
3
B
解：根据正弦定理，得
AB AC
sin ACB sin ABC
A
C
AB ACsin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
8
思 考
背景 资料
如何测量地球与月亮之间 的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地 球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子 午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小 和两地之间的距离,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km.
问题二：测量高度问题 （1）：底部不可以到达
例 3 、 A B 是 底 部 B 不 可 到 达 的 一 个 建 筑 物 ,A 为 建 筑 物 的 最 高 点 .设 计 一 种 测 量 建 筑 物 高 度 A B 的 方 法 .
14
解 ： 选 择 一 条 水 平 基 线 H G , 使 H , G , B 三 点 在 同 一 条 直 线 上 。 由 在 H ,G ,两 点 用 测 角 仪 测 得 A 的 仰 角 分 别 是
， ， C D a ,测 角 仪 器 的 高 是 h .
在ACD中 ， AC=sin a(sin),
AB=AE+h =A C sin +h = a sin：测量高度问题
（2）：底部可以到达
例 4 、如图 , 在山顶 铁塔上 B 处测得地 面上一点 A 的俯角 54 0 40 ' , 在塔底 C 处测得 A 处的俯 角 50 0 1 '.已知铁 塔 BC 部分的高为 27 . 3 m , 求出山高 C D ( 精确到 1 m ).
你能根据所学知识设计一B 种测量方案吗?
A
C
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的
一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的
对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.
3
B
解：根据正弦定理，得
AB AC
sin ACB sin ABC
A
C
AB ACsin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
8
思 考
背景 资料
如何测量地球与月亮之间 的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地 球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子 午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小 和两地之间的距离,从而算出了地球与月球 之间的距离约为385400km.
_高中数学第一章解三角形2应用举例4课件新人教版必修
命题方向2 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距 中的应用
要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、 B 两地的距离．
[分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较 多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为 简便．
跟踪练习
如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个 声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当 时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
[解析] (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝ 1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32. 同理，cos∠PAC＝723－x x. 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)．
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45×
22＋
22×35＝－
2 10 .
(2)由(1)知 cosC＝－102，∴sinC＝7102， 由正弦定理，得sAinBC＝sBinCA， ∴AB＝10×27102＝14.
2 ∴BD＝7.
在△BCD 中，由余弦定理，得
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
人教版高中数学必修5第1章《解三角形》PPT课件
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
由sina A＝sinc C得，
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
∴A＝45°，b＝4 6，c＝4( 3＋1)．
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
高效测评 知能提升
当B＝60°时，C＝90°， c＝ a2＋b2＝4 3； 当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
8分 10分
12分
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．
答案： B
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
解析： (1)由正弦定理得sin C＝c·sinb B＝8sin430°＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°， 从而A＝180°－(B＋C)＝60°， a＝ c2－b2＝4 3.
2018_2019学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究四 易错辨析
易错点 忽略三角形的条件致错
【典型例题 4】 在钝角△ABC 中,a=1,b=2,c=t,且 C 是最大角,求 t 的
取值范围. 错解:∵△ABC 是钝角三角形,且 C 是最大角,∴C>90°,
∴cos C<0.∴cos C=������2+2���������������2���-������2<0,∴a2+b2-c2<0,即 1+4-t2<0.
方法总结余弦定理和正弦定理一样,都是围绕着三角形进
行边角互换的,所以在有关三角形的题目中,要有意识地考虑用哪个定理更 合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用两个定理的信息.一般地,如果遇 到的式子含角的余弦或是边的二次式,要考虑用余弦定理;反之,若遇到的式 子含角的正弦或是边的一次式,则大多用正弦定理;若是以上特征不明显,则 要考虑两个定理都有可能用.
cos
A=������2+2������������2������-������2
=
2+ 2×
6+ 2
2×
2
2
-3
6+ 2
=
12.
2
∵0°<A<180°,∴A=60°.∴C=75°.
当 c=
62
2时,由余弦定理得
cos
A=������2+2������������2������-������2
=
2+ 2×
2 6-
2×
64
2
=
12.
∴A=30°.∴B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°.
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_23
若m n 2 p,则am an 2ap 若m n 2 p,则aman ap2
前项
和Sn
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1)
Sn
a1 anq 1 q
(q
1)
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
第一课时
等差数列
等比数列
定义 通项 公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
an1 q an
an a1qn1 an amqnm
性质 若m n p q，则am an ap aq 若m n p q，则aman apaq
（1）观察法
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（二）由 Sn 求通项公式
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（三）由递推公式求通项公式
类型1 an1 an f (n)
求法：累加法
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
（三）由递推公式求通项公式
类型2 an1 / an f (n)
求法：累乘法
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制作 06
2010年上学期
作业：
导学案 章末小结 对应变式训练题
前项
和Sn
Sn
n(a1 2
an
)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(q
1)
Sn
a1 anq 1 q
(q
1)
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第一课时
等差数列
等比数列
定义 通项 公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
an1 q an
an a1qn1 an amqnm
性质 若m n p q，则am an ap aq 若m n p q，则aman apaq
（1）观察法
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（二）由 Sn 求通项公式
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（三）由递推公式求通项公式
类型1 an1 an f (n)
求法：累加法
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（三）由递推公式求通项公式
类型2 an1 / an f (n)
求法：累乘法
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作业：
导学案 章末小结 对应变式训练题
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_14
就是用小斜平方加上大斜平方，
送到斜平方，取相减后余数的一
半，自乘而得一个数小斜平方乘
以大斜平方，送到上面得到的那
个。相减后余数被4除冯所得的数
作为“实”，作1作为“隅”，开
平方后即得面积.
S
1 4
c 2 a 2
c2
a2 2
b2
2
三斜求积术与海伦公式等价
S
1 4
c
2a
2
c2
a2 2
b2
2
1 c a2 b2 b2 c a2 16
1 c a bc a bb c ab c a
16
1 pc a b 2bb c a 2ab a c 2c
8
pp ap bp c
？ 问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里， 中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步， 欲知为田几何？
以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小 斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
4a 2
b
p
c
h 2 p p a p bp c
a
由S
1 2
ah得：
S pp ap bp c
海伦公式的推导
方法二：同角三角函数平方关系和余弦定理
证明：由 sin2C cos2C 1及余弦公式 cosC a2 b2 c2
习题： 1、求内切圆半径等于1的三角形面积的最小值； 2、老师提供资料鼓励学有余力的同学继续探究用 其他方式证明海伦公式
高中数学：第一章 解三角形 1.2(二)
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测 得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后 到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°， 求此山的高度CD.试把本问题抽象成数学模型.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
提示 问题本质是：如图，已知三棱锥DABC，DC⊥平面ABC， AB＝m，用α，β，m，γ表示DC的长.
20( 6＋ 2).故选 C.
答案 C
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【探究2】 一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10 海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看 见一灯塔在船的北偏西30°，另一灯塔在船的北偏西15°， 则这艘船的速度是每小时( )
A.5 海里 C.10 海里
B.5 3 海里 D.10 3 海里
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲 观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示 甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A.d1>d2
B.d1<d2
C.d1>20 m
D.d2<20 m
解析 仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问 题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或 余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂反馈
课堂小结
1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题 的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要 的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计 算方式.
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4
2
则用“三斜求 积”公式求得△ABC的面积为 _____.
课堂练习
练习1.在ABC中，AB 3, BC 13 AC 4,求ABC的面积
2. 在△ABC中，b 2, B ,C ,求ABC的面积.
64
c2 sin Asin B b2 sin Asin C a2 sin B sin C
I
正负开方术
数
书
九
II
章
三斜求积术
III
大衍总数术
I 德国数学史家康 托尔赞扬秦九韶 是“最幸运的天 才”
此前法国大数学家拉 格朗日也是这样称赞 牛顿的
有着“科学史之父”美 誉的美国科学史家萨顿 甚至认为，秦九韶是“ 他那个民族，他那个时 代，并且确实也是所有 时代最伟大的数学家之 一”
2005年，牛津大 学出版了《数学史 —从美索不达米亚 到现代》，该书重 点提及12位数学 家，提及了秦九韶 是唯一的中国人
(a
b
c)(a
b
c)(b 4c 2
a
c)(b
a
c)
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 4c 2
ha
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[求出面积S ] (a b c)(a b c)(b a c)(b aC c)
2010年，BBC 广播公司制作4 集纪录片《数学 的故事》，第2 节17分钟讲述中 国，秦九韶是唯 一提及的中国人
古代其他 数学成就
利用祖暅原理求球体积
牟合方盖
古代其他 数学成就
牟合方盖
割圆术
问题提出 能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
公式转化
三斜求积公式
公式转化
公式转化
等 价
自主探究 除了上述方法外，还有没有证明海伦公式的方法？ 提示：勾股定理
进而有
A
t a2 b2 c2 2c
C
b
h
a
c-t c
t DB
[再用a,b,c表示出h]
C
h2
a2
t2
a2
a2
b2 2c
c2
2
b
4a2c2 (a2 b2 c2 )24c 2c-[ac(a2b2
c2 )][2ac 4c 2
(a2
b2
c2 )] A
tc
[(a c)2 b2 ][b2 (a c)2 ] 4c 2
转化为数学语言为下列图形：
典型例题
典型例题2
• 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形 面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的 边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为
• 1 [a2c2 - (a2 c2 - b2 )2] 若 a2 sin C 4sin A， (a c)2 12 b2
三角形内切圆
已知三角形三边的a,b,c, 求三角形的面积
如图, AB=c, BC=a, CA=b, CD⊥AB于D, CD=h, 又记 BD=t,则 AD= c-t
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
t a2 b2 c2
A
2c
[再用a,b,c表示h]
C
b
h
a
c-t c
t DB
h (a b c)(a b c)(b a c)(b a c) 2c
[进而求出面积S ]
S p( p a)( p b)( p c)
[首先求出t(用a,b,c,h表示]
Rt△BCD中应用勾股定理,t2+h2=a2,
Rt△ACD中应用勾股定理,(c-t)2+h2=b2,
h2=a2-t2=b2-(c-t)2 由a2-t2=b2-(c-t)2
移项得 a2-b2=t2-(c-t)2=c(2t-c)
2
2
2
2
(a b c) [(a b c) b][(a b c) c][(a b c) c]
2
2
2
2
为方便记忆,令(abc) p
2 S p( p a)( p b)( p c)
课堂练习
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
（2）S 1 bcsin A 1 acsin B 1 absin C及其变形
2
2
2
（3）S 1 r(a b c)(r为三角形内接圆的半径) 2
（4）海伦公式
问题提出 能否用已经学习过的面积公式推导出海伦公式呢？
问题提出
公式转化
公式推导
先把③代入② 再把② 代入①，得：
① ② ③
“三斜求积” 公式
秦九韶
秦九韶，字道古。普州安岳(今四川安岳)人。南宋 嘉定元年(1208年)生;约景定二年(1261年)卒于梅州。 中国古代数学家。
秦九韶代表作品有《数书九 章》，并创造了大衍求一术， 三斜求积术，秦九韶算法等 重要的数学方法。
三斜求积术
我国著名的数学家秦九韶在《数书九 章》提出了“三斜求积术”。 秦九韶 他把三角形的三条边分别称为小斜、 中斜和大斜。“术”即方法。三斜求 积术就是用小斜平方加上大斜平方， 送到斜平方，取相减后余数的一半， 自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平 方，送到上面得到的那个。相减后余 数被4除冯所得的数作为“实”，作1 作为“隅”，开平方后即得面积。
例题2，如图，四边形ABCD内接于圆O中SABCD =
,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求BC的长度
33 4
课堂小结
首先对海伦公式进行带入处理，化成三角形三边 表示三角形面积的表达式：
课堂小结
余弦定理
“三斜求积”公式
等价
海伦公式
三角形的面积公式：
（1）S 1 ah(h表示边a上的高) 2
海伦秦九韶公式
选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修五 第一章“阅读与思考”
知识回顾
2.余弦定理中我们得到三个推论：（从三角形三边计算出三角
形三个角）
新课导入
问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中 斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为 田几何？
转化为数学语言为下列图形：
新课导入 运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？
S 1 ch h
2
2c
b
1 c (a b c)(a b c)(b a c)(b a c)
h
a
2
2c
c-t
t
(a b c)(a b c)(b a c)(b a c) A
cD B
4
S (a b c) (a b c) (a b c) (a b c)
S
2 sin( A B) 2 sin( A C) 2 sin(B C)
课堂练习3
• 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知 三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长
为 a, b, c 则三角形的面积S可由公式 S p p a p b p c
• 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海 伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a 6,b c 8
• 则此三角形面积的最大值为_____.
公式推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公 式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：
在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= a b c d ,则S四边形=
2
( p a)(p b)(p c)(p d)
典型例题