0727第三章 两自由度系统振动(讲)

第三章两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀

拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由

度振动系统) [工程实例演示]

§3-2 两自由度系统的自由振动

一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）

②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和

k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位

置为坐标原点，以向下为正方向。

(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。这些力的作用方向如图所示。

应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：

()()⎭

⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x m （3.1）

令 2212121,,m k c m k b m k k a ==+=

则（3.1）式可改写成如下形式：

()()⎭

⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x m ⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx x

bx ax x （3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。

(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。m 2虽然只受一个弹簧k 2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点

m 1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。

若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。

二、固有频率和主振型

[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。

设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：

()()⎭⎬⎫+=+=ϕωϕωt A x t A x n n sin sin 2211 （3.3）

其中振幅A 1与A 2、频率n ω、初相位角ϕ都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：

()()()()⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+-=+=ϕωωϕωωϕωωϕωωt A x t A x t A x t A x n n n n n n n n sin ;cos sin ;cos 2222221111

（3.4）

将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：

()()⎪⎭⎪⎬⎫=-+-=--00221212A c cA bA A a n n ωω （3.5）

上式是A 1、A 2的线性齐次代数方程组。A 1、A 2=0显然不是我们所

要的振动解，要使A 1、A 2有非空解，则（3.5）式的系数行列式必须

等于零，即：

22n n c c

b

a ωω---- = 0 将上式展开得：

()()024=-++-b a c c a n n ωω （3.6）

解上列方程，可得如下的两个根：

()bc c a c a b a c c a c a n +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=2222,12222 ω （3.7）

由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation ）或特征方程（characteristic equation ）。特征方程的特征值（characteristic value ）即频率n ω只与参数a ，b ，c 有关。而这些参数又只决定于系统的质量m 1，m 2和刚度k 1，k 2，即频率n ω只决定于系统本身的物理性质，故称n ω为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即12121n n n n n ωωωωω，把，且和<称为第一阶固有频率（first order natural circular frequency ）。[基频]2n ω称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency ）。[（推广）理

论证明，n 个自由度系统的频率方程是2n ω的n 次代数方程，在无阻

尼的情况下，它的n 个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。]

将所求得的1n ω和2n ω代入（3.5）式中得： ()()()()⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫-=-==-=-==222221222212111121n n n n c c b a A A c c b a A A ωωβωωβ （3.8）