线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试

课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟

一、选择填空题：（每题2 分，共14分）

1）行列式3

15

4

12231---中，元素4的代数余子式为 。

2）设行列式11

121321222331

32

33

3a a a a a a a a a =，则313233

2131

2232

233311

12

13

222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。

3）设112311131111A --⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组

123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α

线性相关。

5）线性方程组121232

343414

1

x x a x x a x x a x x a -=-⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩有解的充要条件是 。

6）若A 的特征值为1,0,2-，则2

A 的特征值为 。

7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。

二）计算下列行列式（10分）

1110110110110111

；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求矩阵B 。

四）已知向量组[

]1132

0α=，[]270143α=，[]32101α=-，

[]45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关

组线性表示。（12分）

五）设有线性方程组12312312336

32334x x x x x x x x ax b

++=⎧⎪

++=-⎨⎪-++=⎩

，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？②

无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分） 六）（14分）

1、求一正交变换X PY =，将二次型222

123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标

准形。（线性代数A 的同学选做）

2）已知矩阵310130002A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求一正交矩阵p ，使得T

P AP 为对角矩阵。（线性代数

B 的同学选做）

七）设向量组123120347110

,,,011234b a αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。

(1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？

(2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分）

八）若矩阵0102040a A b ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10

分）

九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）