线性代数模拟试卷一
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2018—2019学年第二学期期末考试
课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟
一、选择填空题：（每题2 分，共14分）
1）行列式3
15
4
12231---中，元素4的代数余子式为 。
2）设行列式11
121321222331
32
33
3a a a a a a a a a =，则313233
2131
2232
233311
12
13
222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3）设112311131111A --⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组
123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α
线性相关。
5）线性方程组121232
343414
1
x x a x x a x x a x x a -=-⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩有解的充要条件是 。
6）若A 的特征值为1,0,2-，则2
A 的特征值为 。
7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。
二）计算下列行列式（10分）
1110110110110111
；
三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵B 。
四）已知向量组[
]1132
0α=，[]270143α=，[]32101α=-，
[]45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关
组线性表示。（12分）
五）设有线性方程组12312312336
32334x x x x x x x x ax b
++=⎧⎪
++=-⎨⎪-++=⎩
，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？②
无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分） 六）（14分）
1、求一正交变换X PY =，将二次型222
123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标
准形。（线性代数A 的同学选做）
2）已知矩阵310130002A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求一正交矩阵p ，使得T
P AP 为对角矩阵。（线性代数
B 的同学选做）
七）设向量组123120347110
,,,011234b a αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
。
(1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？
(2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分）
八）若矩阵0102040a A b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10
分）
九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）