线性代数模拟试卷一
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555nn A A +==。
5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1TTTAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0T T A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8B ．M 2C ．M 2-D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数模拟试题1
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
得分
评阅人
三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
得分
评阅人
一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
得分
评阅人
四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．0B．一EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．AB为对称矩阵B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C．A+B为对称矩阵D．kA为对称矩阵正确答案：A解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0C．AB=0且r(A)=n，则B=0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．｜A｜=0正确答案：C解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分13．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分14．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分填空题15．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：0解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分22．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________正确答案：2解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分26．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分28．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分29．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分30．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分31．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分33．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分38．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川大学网络教育学院 线性代数1 模拟题和答案。汇编
《线性代数》模拟试题１１.解释下列概念（１）向量组的秩答：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数（２）线性方程组的解的结构答：齐次线性方程组Ax=0的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解（３）克拉默法则答：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式D≠0。
有唯一解，其解为（４）方阵的特征值和特征向量答：设A为n阶方阵，若数λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A 的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值λ的特征向量。
２.已知下列矩阵和向量,,,(a)计算下列表达式（１）Ａ-Ｂ答：（２）｜Ｂ｜答：（３）ＡＢ答：（４）Ｂ-１答：(b)用克拉默法则求方程组AX=b,其中X=(X1,X2,X3)答：(c)求C的特征值和特征向量《线性代数》模拟试题21.解释下列概念（１）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
（２）Ｎ维向量答：N 个有次序的数a 1,a 2..a n 所组成的数组称为N 维向量（３）向量线性相关的条件：答：向量组a 1,a 2..，a s (s>=2)线性相关的充要条件是a 1,a 2..，a s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示（４）矩阵的相似条件答：对于矩阵A、B，如果能找到n 阶可逆矩阵P，使得：P^(-1)AP=B，则A、B 矩阵相似２.计算行列式答：３.计算下列矩阵的乘法答：４.计算矩阵的逆答：５.用克拉默法则求方程组答：６.求下列矩阵的特征值和特征向量答：《线性代数》模拟试题3１.解释下列概念（１）总结齐次和非齐次线性方程组有解的条件答：非齐次线性方程组有解的条件：系数矩阵的柣等于增广矩阵的柣；齐次方程组有唯一零解的条件：系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解（２）向量线性无关的条件答：满秩是向量组线性无关的充要条件（３）伴随矩阵答：n阶方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵称为A的伴随矩阵A*（４）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
线性代数 模拟题1
一、 选择题1.设向量()()()=-1,0,1=2,-3,=,3,1T T Tx y αβγ-，，，且2αβγ+=，则x =（ ）..1A - .0B .2C .1D 2.已知()11=1,2,3=1,,=23TT T A αβαβ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，,则n A =（ ） 111213212223212223111213313233311132123313123.,010100100,010,001101a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则（）A. 12APP B =B. 21AP P B =C. 12PP A B =D. 21P PA B =4.排列2413的逆序数()τ=5.如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x xx x kx x 有非零解,则 k =（ ）A.-2B.-1C.1D.26.若3阶行列式1023145x x 的代数余子式121A =-，则代数余子式21A =（）.1A - B ．4 C ．-2 D ．27．设A 、B 为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ）A ．|AB|=|BA|B ．|A+B|=|A|+|B|C ．（AB ）-1=A -1B -1D ．（A+B ）2=A 2+2AB+B 28．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ）A ．-4B ．-1C ．1D ．49.若矩阵A 满足()12,A A E A E -+=+=则（ ）.A A E - .B A E + .2C A E -+ .D A10.设123,,,,αααβγ均为4维列向量，且4阶行列式321,,,2,αααβ=-123,,,1,βγααα+=-则4阶行列式1232,,,γααα=（ ）A ．0B ．2C ．1D ．-111.设A 为三阶矩阵，且|A |=2，则|（A *）-1|=（ ） A.41B.1C.2D.412．设A 为5×4矩阵，若秩（A ）=4，则秩（5A T ）为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513.设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t 2+1）线性相关，则实数t=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ， β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ）A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T16．对非齐次线性方程组A m ×n x =b ，设秩（A ）=r ，则（ ）A ．r =m 时，方程组Ax =b 有解B ．r =n 时，方程组Ax =b 有唯一解C ．m =n 时，方程组Ax =b 有唯一解D ．r <n 时，方程组Ax =b 有无穷多解17．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．218.设()21,103T a A ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭是的特征向量，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．-1D ．2 19．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41B ．21C ．2D ．420.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( )A.0B.2C.3D.2421.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( )A.-2B.0C.2D.422.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321 23．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足().0A a <<.0B a <<.C a <<.1D a <<二、计算题1.已知矩阵A=011110124⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，B=101332⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，（1）判断A 是否可逆，如可逆，求A 的逆矩阵A -1以及秩；（2）解矩阵方程AX=B.2．求行列式01121102(1)12102110-----(2)a b b b a bb b a的值.3. .已知矩阵A=111011002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B=121011-⎛⎫⎪-⎝⎭，（1）求A 的逆矩阵A -1；（2）解矩阵方程XA=B.4．求线性方程组123412341234221245224x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+++=⎨⎪---+=-⎩（1）求导出组的基础解系；（2）求方程组的一般解。
考研数学二(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设n维行向量α=，A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．OB．-EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，选(C) 知识模块：线性代数部分2．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)<nC．A2-B2=(A+B)(A-B)D．｜A｜=0正确答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)<n，于是｜A｜=0，选(D) 知识模块：线性代数部分3．设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B．(Ⅰ)线性相关C．(Ⅱ)线性相关D．(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关正确答案：D解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γm线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)只有零解，而无解，故(A)不对；方程组有非零解，而无解，故(B)不对；方程组无解，但只有零解，故(C)不对；若Ax=b有无穷多个解，则r(A)=r()B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n-1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=选(B) 知识模块：线性代数部分6．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．A．可逆矩阵B．实对称矩阵C．正定矩阵D．正交矩阵正确答案：B解析：因为A与对角阵合同，所以存在可逆矩阵P，使得pTAP=A，从而A=(pT)-1P-1=(p-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选(B) 知识模块：线性代数部分填空题7．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：x解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分8．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=_______正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2 知识模块：线性代数部分9．设A=，则(A-2E)-1=_______．正确答案：解析：A-2E= 知识模块：线性代数部分10．设，且α，β，γ两两正交，则a=_______，b=_______．正确答案：-4，-13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．知识模块：线性代数部分11．设A=(a(C1，C2为任意常数)解析：因为AX=0有非零解，所以｜A｜=0，而｜A｜==-(a+4)(a-6)且a(C1，C2为任意常数)．知识模块：线性代数部分12．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_______，对应的特征向量为_______正确答案：4，解析：因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为知识模块：线性代数部分13．设5x12+x22+tx3x2+4x1x2-2x1x3-2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_______．正确答案：t>2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5>0，=1>0，｜A｜>0，解得t>2．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模拟题1含答案
（A）若 m n ，则 Ax b 有无穷多解；
（B）若 m n ，则 Ax 0 有非零解，且基础解系含有 n m 个线性无关解；
（C）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax b 有唯一解；
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（D）若 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax 0 仅有零解.
5．若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（ ）.
.
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．下列矩阵中，（
）不是初等矩阵.
0 0 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
（A） 0 1 0 （B） 0 1 2 （C） 0 2 0 （D） 0 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
2．设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）.
5.(11 分) 设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3 ，
（1）写出 f 对应的对称矩阵 A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.
四、证明题(13 分)
1.(6 分)向量组 A :1＝(0,1,1)T, 2＝(1,1, 0)T; 向量组 B : 1＝(1, 0,1)T ,
（2） A E 1 5 3 4 5 3 3 3 5 0 3 3
= (-4)(-9) ….. ……. ….. ……. ……. ……. ….. ……. ……. ……...(3 分)
3. n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是______ .
4.设 B 可逆，矩阵 C 的秩 R C 3 , A BC ，则矩阵 A 的秩 R A
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
线性代数模拟题一及参考答案
《线性代数》模拟题（一）及参考答案一、填空题1. 行列式3465202081001000D == .2. 若行列式1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233623623623a a a a a a a a a a a a ++=+ . 3. 设三维向量(3,1,2)T α=-，(3,1,4)T β=，若向量γ满足23αγβ+=，则γ= .4. 设A 是三阶方阵，将A 的第一行与第二行交换得到矩阵B ，则||A B -= .5. 三阶方阵A 的逆矩阵的行列式的值为6，则行列式|2|A -= .6. 设200020102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式2AX E A X +=+，则X = .7. 设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则A 的逆阵1A -= .8. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R A =，又102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .9. 设n 阶矩阵A 中所有元素都为(0)a a ≠，则()R A = .10. 已知1(1,4,3)T α=，2(2,,1)T t α=-，3(2,3,1)T α=-线性相关，则t = .11. 设P 是n 阶正交阵，x 是n 维单位向量，则向量y Px =的长度||||Px = .12. 设1(1,1,1)T α=，2(1,0,1)T α=-，3α是正交向量组，则3α= . 13. 若λ是n 阶方阵A 的特征值，则23A E -的特征值是 .14.设三阶方阵A 有三个不同的特征值，其中两个特征值分别为2,3，已知||48A =，则A 的第三个特征值为 . 15. 已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2,3,4,5，E 为四阶单位矩阵，则||B E -= .16. 设二阶实对称矩阵A 的特征值为2,2-，则2A = .17.设A 为三阶实对称矩阵，1(1,2,3)T α=和2(2,2,)T k α=分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数k = . 18.已知三阶实对称矩阵A 的特征多项式为||(1)(2)(5)E A λλλλ-=-+-，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的正惯性指数为 . 19. 二次型222(,,)(1)2f x y z x a y z yz =+++-为正定，则a 应满足条件 .20. 设三阶实对称矩阵A 满足22A A O +=，且()2R A =，若kE A +为正定矩阵，则数k 应满足的条件是 . 二、单项选择题1. 设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是()A T A A -. ()B (T CAC C 为任意n 阶方阵). ()C T AA . ()D ()(T AA B B 为n 阶方阵). 答 【 】2. 设,A B 是两个n 阶方阵，则下列结论中正确的是()A ()k k k AB A B =. ()B ||||A A -=. ()C ()T T T BA B A =. ()D 22()()E A E A E A -=-+. 答 【 】3. 设齐次线性方程组55510A x ⨯⨯=有非零解，则必有()A ()1R A =. ()B ()5R A =. ()C ||0A =. ()D ||0A ≠. 答【 】 4.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A 123,2,3ααα. ()B 122331,,αααααα---.()C 1123,2,αααα-. ()D 1223123,,2ααααααα+-+-. 答【 】 5.设向量组1(1,2,3)T α=，2(0,1,2)T α=，3(0,0,1)T α=，(1,3,6)T β=，则下列结论中正确的是()A 123,,,αααβ线性无关. ()B β不能由123,,ααα线性表示.()C β能由123,,ααα线性表示，且表示法唯一. ()D β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一. 答 【 】 6. 设有向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,14)T α=，4(1,2,2,0)T α=-，5(2,1,5,10)T α=，则该向量组的最大无关组是()A 123,,ααα. ()B 124,,ααα. ()C 125,,ααα. ()D 1245,,,αααα. 答 【 】7. 设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. 答【 】 8. 设三维列向量组123,,ααα线性无关，则123(,,)A ααα=是()A 奇异矩阵. ()B 对称矩阵. ()C 正交矩阵. ()D 可逆矩阵. 答【 】 9. 设二阶矩阵A 满足|2|0E A +=，|3|0A E -=，则||A =()A 32-. ()B 23-. ()C 23. ()D 32. 答【 】 10. 设矩阵10000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵10000001y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则参数,x y 的值分别为()A 0,1x y ==. ()B 1,0x y ==. ()C 0,1x y ==-. ()D 1,0x y =-=. 答【 】 11. 设11012021A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵，则a 的取值范围是()A 5a <. ()B 5a >. ()C 5a <-. ()D 5a >-. 答 【 】12. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有一个非零特征值为()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4. 答 【 】 13.设202A ⎛= ⎝⎭，则行列式2|22|A A E --的值为()A 0. ()B 4. ()C 16. ()D 32. 答【 】14. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于()A43. ()B 34. ()C 12. ()D 14. 答 【 】 15. 设222123123121323(,,)224f x x x x x x x x x x x x =+-+--，令123P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则f 经线性变换x Py =后所得到的二次型为 ()A 222123121323494624y y y y y y y y y +-+--. ()B 2221231323264y y y y y y y +---. ()C 22121213446y y y y y y ++-. ()D 222123132349624y y y y y y y +---. 答 【 】 二、计算题：1. 计算下列四阶行列式：(1) 101221010101142D --=--. (2) x a a aax a a D a ax a a a ax=.2. 已知矩阵(2,1,0)A =，(1,2,3)B =，2()51f x x x =-+，求T A B 及()T f A B .3. 设B 为三阶矩阵，且满足2AB A B =+，又301030103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .4. 求解齐次线性方程组12341234123420,3630,51050.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩5. 设有非齐次线性方程组123412342341,23,3,x x x x x x x x t x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩问t 取何值时，方程组有解？在方程组有解时，求其通解.6. 已知向量组:A 1(1,2,3)T α=-，2(0,2,5)T α=-，3(1,0,2)T α=-，（1）求该向量组的秩，判别向量组的线性相关性，并求一个最大无关组.（2）将3α表为12,αα的线性组合. 7.设三阶方阵A 的特征值为11λ=，20λ=，31λ=-，所对应的特征向量分别为1(1,2,2)T p =，2(2,2,1)T p =-，3(2,1,p =-- 2)T ，求A .8. 设011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1) 求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵. (2) 写出A 对应的二次型123(,,)f x x x .9. 设二次型22212312323(,,)4332f x x x x x x x x =+++. (1) 用矩阵记号写出二次型f ； (2) 求一个正交变换，把二次型化为标准形；(3) 判别二次型的正定性.10. 已知2221231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =+++-为正定二次型， (1) 确定t 的取值范围； (2) 写出f 的规范形.11. 求二次型2212312121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x =--++的规范形. 四、证明题：1. 设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，证明：122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.2. 证明：三维向量空间3R 中向量集合{(,,)|0}TV x y z x y z =++=是向量空间，并求出它的维数和一个基. 3. 设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，证明：1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.《线性代数》模拟题（一）参考答案一、填空题1.10.2.36.3.(3,5,8)T .4.0.5.43-.6.300030103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7.12002500001230011-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 8.2. 9.1. 10.3-. 11.1. 12.(1,2,1)(0)T k k -≠. 13.23λ-. 14.8. 15.24. 16.4004⎛⎫⎪⎝⎭. 17.2-. 18.1. 19.0a >. 20.2k >.二、单项选择题1.C .2.D .3.C .4.A .5.C .6.B .7.B .8.D .9.B . 10.A . 11.B . 12.C . 13.B . 14.B . 15.A . 二、计算题：1.解(1) （法一）（展开法则）221210121121122101221(1)202202(1)(1)22200256142506142D ++-----==⨯--=-=-⨯-=---.(法二)（上三角）10121012101210120125012501250125222112201010026001300130054005400540011D --------=====⨯=-------.(2) 333003000(3)00(3)()300003000x a a a a x a a a a x a x ax a a x a D x a x a x a x a x a ax a x a a x ax a a axx a++-+-===+-=+-+--+-.2.解 22461(1,2,3)1230000T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记T C A B =，则2()()5T f A B f C C C E ==-+，其中2()()()T T T T C A B A B A BA B === ()44T T T BA A B A B C ==，故100246146()45010123113001000001T f A B C C E E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.解 （法一）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，220A E -=≠，知1(2)A E --存 在，则1(2)B A E A -=-.又*101(2)020101A E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1*10111(2)(2)02022101A E A E A E --⎛⎫ ⎪-=-= ⎪- ⎪⎝⎭.故 10130120110200300302101103102B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（法二）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭.由101301101301101301100201(2,)010030~010030~010030~010030101103002204001102001102A E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知2A E -可逆，且1201(2)030102B A E A --⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.4.解 1211121112013613~0040~00105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则124223442,,0,,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为12122110(,)0001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5.解 111111111111111(,)2311~01112~01112011130111300001B A b t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()2R A R B ==，方程组有无穷多解.此时1111110224~01113~011130000000000B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1342343344224,3,,,x x x x x x x x x x =--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为1212224113(,)100010x c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.解 （1）设123101(,,)220352A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则101101~022~011055000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，知()23R A =<，故该向量组的秩为2，123,,ααα线性相关.由于12(,)2R αα=，即12,αα线性无关，故12,αα即为所求的一个最大无关组.（2）若令31122k k ααα=+，则由101~011000A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，知121,1k k =-=.故所求的表示式为312ααα=-+.7.解 因A 的特征值互不相等，所以A 与对角阵101⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，其中123(,,)P p p p = 122221212-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.故1122112210212210211122102212012210129932121212202212220A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=---=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.解 (1)由22111101001111111(1)(2)(1)(2)111112A E λλλλλλλλλλλλλλλλ------=--=--=---=-+-=--+---，求得A 的 特征值为12λ=-，231λλ==.当12λ=-时，解(2)0A E x +=.由2111012121~011112000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.当231λλ==时，解()0A E x -=.由111111111~000111000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故所求的一个可逆矩阵为123111(,,)110101P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，并使1211P AP --⎛⎫ ⎪=Λ=⎪ ⎪⎝⎭. (2) 123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++. 9.解 (1) 112323400(,,)031013T x f x Ax x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2) 2240031031(4)(4)(68)(2)(4)13013A E λλλλλλλλλλλλ---=-=-=--+=-----，求得A 的特征值为12λ=，234λλ==.当12λ=时，解(2)0A E x -=.由2001002011~011011000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭. 当234λλ==时，解(4)0A E x -=.由0000114011~000011000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将23,ξξ单位化，得2(1,0,0)T p =，3T p =.故正交矩阵为123010(,,)00P p p p ⎛⎫ ==- ⎝，并使1244P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.所求的一个正交变换为11223301000x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，标准形为222123244f y y y =++. (3) 由于f 的标准形的三个系数全为正（或f 的矩阵A 的特征值全为正），故f 为正定二次型. 10.解 (1) f 的矩阵1140102t A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则21404t t t =->，211111||404242042102100t t t A t t t t t -===-=->--，即有 22t -<<及t <<t的取值范围为t <<(2) 由于三元二次型f 为正定二次型，所以f 的正惯性指数为3，f 的规范形为222123f y y y =++. 11.解 222222221231231223123232231232233(,,)2()32[()]()32[()]44f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+=-----+=---+- 2212323()(2)x x x x x =-+--，据此知原二次型的规范形为2212f y y =-.注 本题中二次型的标准形（即合同标准形）也是2212f y y =-.四、证明题：1. 证明 （法一）设有数123,,k k k ，使112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.因123,,ααα线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 此方程组的系数行列式为10111020011=≠，则方程组只有零解，即1230k k k ===.因此122331,,αααααα+++线性无关.依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知12,αα+2331,αααα++也是该方程组的三个解向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故1223,αααα++31,αα+是该方程组的一个基础解系.（法二）122331123101(,,)(,,)110011ααααααααα⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，记为B AK =.因20K =≠，知K 可逆，所以()()R B R A =.因矩阵A 的列向量组123,,ααα线性无关，则()3R A =，从而()3R B =.故B 的列向量组122331,,αααααα+++线性无关. 依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知122331,,αααααα+++也是该方程组的三个解 向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故122331,,αααααα+++是该方程组的一个基础解系. 2.解 证明：因齐次线性方程组0x y z ++=的系数矩阵的秩()13R A =<，知0x y z ++=有非零解，所以集合V 是由x y ++0z =的所有解向量构成的非空集合.又根据齐次线性方程组的解向量的性质知，对,a b V ∀∈，有a b V +∈；k R ∀∈，有ka V ∈，即集合V 对向量的加法及乘数封闭，故集合V 是向量空间.因为0x y z ++=的系数矩阵的秩()1R A =，所以0x y z ++=的基础解系中有312-=个线性无关的解向量，即向量空间V 的基中含有2个向量，故向量空间V 的维数dim 2V =.由此知0x y z ++=的任两个线性无关的解向量都是V 的基.3.证明 依题设，有A αλα=，则11P A P αλα--=，即111P APP P αλα---=，111()()P AP P P αλα---=，故依特征值和特征 向量的定义，1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模拟试卷
51附录一：模拟试卷试卷一一、填空题 （4×5=20分）1.111110110110111= .2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 .3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 .二、选择题 （4×5=20分）1. 设B A ,为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）（A ）A=0，或B=0； （B ）A+B=0； （C ）|A|=0或|B|=0； （D ）|A|+|B|=0三、计算下列各题 （2×10=20分）1. 已知X =AX+B , 其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=350211B ，求矩阵X . 四、设线性方程组 (10分)（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=-++04253033202432143214321x x x x x x x x x x x x （II ）⎩⎨⎧=++=++020321421x nx x mx x x（1）求线性方程组（I ）的通解.（2）n m ,取何值时，（I ）（II ）有公共非零解.试卷二一、填空题：（4×5=20分）1．设A 是4阶矩阵，已知=-=*A A 则,64)2( . 2．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001I ，则逆矩阵=--1)2(I A .523．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001P ，则54AP P = . 4．设0121211230101120)(-==a i j A ，ij A 为ij a 的代数余子式（j i ,=1.2,3,4），则=+++433323132A A A A .二、选择题：（4×5=20分）1．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则B A 和的秩（ ）（A ）必有一个等于0； （B ）一个小于n ，一个等于n ； （C ）都小于n ；（D ）都等于n 。
线性代数自考题分类模拟1
故D判断错误．答案为D．
16. 设A为三阶方阵且
则|-2A|= A.-4 B.4 C.-1 D.1
答案：A [解答]
答案为A．
17.
A.6d B.-6d C.2333d D.-2333d 答案：B [解答]
答案为B． 18. 行列式
A.a+b+c+d B.0 C.abcd D.1 答案：B [解答]
则A41+A42+A43+A44= A.10 B.0 C.4 D.2 答案：B [解答] 令
则A41+A42+A43+A44=D'=0．答案为B．
13. 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则 D= A.-15 B.15 C.0 D.1
答案：A [解答] 利用拉普拉斯定理：一个行列式等于它的任一行(或行)的各元素与其对应的代数余子式乘积的 和．应用时切记元素aij的余子式Mij与其代数余子式Aij的区别：
A.0 B.21 C.42 D.-42 答案：D [解答] 行列式展开性质，
答案为D． 10. 行列式
A.a4-b4 B.(a2-b2)2 C.b4-a4 D.a4·b4
答案：B [解答] 利用行列式性质展开
答案为B． 11. 设A是一个n阶行列式，余子式与代数余子式分别为Mij和Aij，则 A.Aij=Mij B.Aij=-Mij C.Aij=(-1)i+jMij D.Aij=(-1)ijMij 答案：C [解答] 由代数余子式的定义知，Aij=(-1)i+jMij．答案为C． 12.
[解答]
故根为±1，±2．答案为C． 24.
《线性代数》(经管类)模拟试题一
《线性代数》（经管类）模拟试题一一、单项选择题1．如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ）A ．不变B ．变号C ．若n 为奇数，行列式变号；若n 为偶数，行列式不变D ．若n 为奇数，行列式不变；若n 为偶数，行列式变号2．设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）A ．若02=A ，则0=AB ．若A A =2，则0=A 或E A =C ．若AC AB =，且0≠A ，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+3．设A 为n m ⨯矩阵，若齐次线性方程组0=AX 只有零解，则对任意m 维非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =（ ）A ．必有唯一解B ．必无解C ．必有无穷多解D ．可能有解，也可能无解4．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．1α可由βαα,,32线性表示D ．β可由21,αα线性表示5．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则（ ）A ．0λ可以是任意一个数B ．00>λC ．00≠λD ．00<λ二、填空题 6．=00000000a b ba b a ab ______________7．三阶行列式154222321=D ，则=++131211|A A A __________8．设A ，B 均为n 阶矩阵，E AB =2)(，则2)(BA =__________ 9．设A 为n 阶方阵，且2=A ，*A 为A 的伴随矩阵，则1*-+A A =_________10．单个向量α线性相关的充要条件是__________11．设向量组m ααα,,,21 的秩为r ，则向量组m αααααα++++ 21211,,,的秩为_________ 12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=83102113201t A 的秩为2，则t=___________13．设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩（A ）=_________14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101011A ，则A 的特征值为_________15．设3元实二次型AX X x x x f T =),,(321经正交变换化成的标准形为213y f =，则矩阵A 的特征值为_________三、计算题16．计算4阶行列式4433221100000000a b b b b a b a D =17．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121A ，又23)(2+-=x x x f ，求)(A f 18．设向量组)0,1,1(1-=α，)1,4,2(2=α，)1,5,1(3=α，)1,0,0(4=α，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。
线性代数全真模拟试卷
线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
线性代数模拟试卷1,2,3及参考答案(有三处错误)
3 2
1
E 2 A A2 。
1
版权属于燕山大学应用数学系，如有错误，请联系 zzzlmn@
09 级线代作业参考答案 提示： A( A 2 A E ) E 。
2
线代模拟试卷
1
1 5． 设 X 满足矩阵方程 a a2
三、计算 n 阶行列式（8 分）
1 2 1 cn 1 2 1 1 2 2 1 解： c1 2 , c2 3 ,设 k n 时， ck k 1 ，由行列式可得关系式 1 2 cn 2cn 1 cn 2 于是在归纳假设下， cn 2cn 1 cn 2 2n (n 1) n 1 ，由数学归纳法 cn n 1 2 1
变换矩阵。 （7 分） 解： f ( x1 x2 x3 ) x2 4 x3 4 x2 x3 ( x1 x2 x3 ) ( x2 2 x3 )
2 2 2 2 2
y1 x1 x2 x3 , 令 y2 x2 2 x3 , ，即作变换 y x3 , 3 x1 y1 y2 y3 , y2 2 y3 , ， x2 x y3 , 3
2．若非齐次线性方程组 AX=b 无解，则系数矩阵 A 的秩与其增广矩阵 B（Ab）的秩关系为： R(B)=R(A)+1. （√） 3．设 A 是 n 阶矩阵，其秩 r<n，那么 A 的 n 个行向量中的任意 r 个行向量构成其行向量组 的一个最大线性无关组。 （×） 提示：应为 r 个线性无关的行向量。 4．若 n 阶方阵 A 相似于对角阵，则 A 必有 n 个互不相同的特征值。 （×） 提示：应为 n 个线性无关的特征向量。 5．实对称矩阵 A 的不同特征值所对应的特征向量必正交。 （√） 二．填空题（40）
线性代数模拟试题
四、（10分） 求解矩阵方程 、（ 分 1 2 3 6 6 6 X 2 3 1 = 5 4 3 3 1 2 3 1 2 取何实值时， 、（15分 五、（ 分） λ 取何实值时，线性方程 组 λ x1 − x 2 = λ λ − =λ x2 x3 λ x 3 − x4 = λ − x1 + λ x 4 = λ 有唯一解，无穷多解， 无解？ 有唯一解，无穷多解， 无解？在有无穷多解的
α在基 β 1 , β 2 , β 3 下的坐标 . 、（15分 五、（ 分） λ取何值时 线性方程组 取何值时,
( 2λ + 1) x 1 − λ x 2 + (λ + 1) x 3 = λ − 1 (λ − 2) x 1 + (λ − 1) x 2 + (λ − 2) x 3 = λ ( 2λ − 1) x + (λ − 1) x + ( 2λ − 1) x = λ 1 2 3
β 1 = 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 , β 2 = 2α 1 + α 2 + 2α 3 , β 3 = α 1 + 5α 2 + 3α 3 .
1．证明 β 1 , β 2 , β 3 也是 R 3 的一个基; 2．求由基 β 1 , β 2 , β 3 到基 α 1 ,α 2 ,α 3 的过渡矩阵; 3．若向量 α在基 α 1 ,α 2 ,α 3 下的坐标为 (1,−2,0), 求
(1)由基(ΙΙ )到基(Ι )的过渡矩阵; ( 2)向量α在基(ΙΙ )下的坐标 .
模拟试题（ 模拟试题（一）参考答案
1( 一、．B ); 2. ( B ); 3. (对 ); 4. (对 ); 5. (对 ). 1 2 二、．; ( −1) 2. ; 3. x = 0, y = −2; 4. t < 2 . 2
线性代数模拟题
线性代数模拟题一一填空题（每空3分，共30分）1、设 1231231232D a a ab b bc c c== 则213121321336322a a ab b bD c c c==2、设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=3、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3211254321A ，则=--1)2(A4、设A 是45⨯矩阵，()2R A =.则线性方程组0AX =的基础解系含有 个解向量5、设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组AX b =的解，若1122313ηληληη=++也是AX b =的解，则12λλ+=6、设），，（a 21=α，），，（01b =β，若α与β正交，则a 、b 所满足的关系为7、二次型()2221231231223,,246fx x x x x xx x x x =+---的矩阵A =8、设4阶方阵A 的特征值分别为1,2,3,2.-则A A +2的特征值为9、设157222203D = , 则313233A A A ++= 10、设()()1,2,1,1,3,2,1,1,22,αβγαβ=-=-+= 则γ=二 、计算行列式11111000000002211n n a a a a a a ---（10分） 三 、设301110,2014A AB A B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭. 求矩阵B .（12分）四、设向量组 ），，，，（432111-=α， ），，，，（1398732-=α， ），，，，（330313----=α， ），，，，（636914-=α ，求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.（14分）五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12分）1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩ 六、已知实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020212022A ， 1.求A 的特征值与特征向量. 2.求一正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分） 七、设21λλ≠，且21λλ，为A 的特征值，21αα，为它们对应的特征向量，证明21αα，线性无关．（6分）线性代数模拟题二一. 填空题（每题3分，共30分）1. 设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=2. 设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组A X b =的解，若1122313ηληληη=++也是A X b =的解，则12λλ+=3. 211132xx D x x=中x 的系数为 4. 设四元线性方程组AX b =的系数矩阵的秩为2，已知AX b =有解1,2,3,ηηη则AX b =的一般解为5. 设(1,1,0,2),(,1,1,1),k αβα=-=-与β正交，则k =6. 设二元方阵,A B 的逆分别是11532,,1414A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1()AB -= 7. 设3阶方阵A 的特征值为2，-1，3，则2A =8. 设A 为4⨯5矩阵，若A 的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则A 的秩为9. 设134213,473ij A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 中第I 行第j 列的元素的代数余子式，则21222334A A A ++=10. 二次型2221,23123121323(,)246f x x x x x x x x x x x x =++--+所对应的矩阵为二. 计算行列式 （10分）1234234134124123D =三.已知132301111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2A AB E -=，求B （10分）四.求解方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（12分）五.设向量组12345,,,,ααααα中12345(1,3,1,1),(1,7,3,9),(2,8,0,6),(3,9,3,3),(4,13,3,6)ααααα=-=----==-=-（1）求向量组的秩.（2）求向量组的一个极大无关组.（3）将其余向量用极大无关组线性表示 （14分）六.设A =124242421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求A 的特征值.（2）求A 的特征向量（3）求正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分）七.证明：若非零向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，且表达唯一，则12,,,m ααα 线性无关. （8分）线性代数模拟题三一、 判断题：（10分）1、两个n 维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等； ................. （ ）2、两两正交的非零向量组一定是线性无关的向量组； ................... （ ）3、矩阵A 、B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组有唯一解当且仅当R （A ）=R （B ）； .......................... （ ）4、n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似； ............ （ ）5、n 阶方阵A 与B 的特征值相同的充分必要条件是A 与B 相似。
线性代数模拟试题及答案
班级： 姓名： 学号：131《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分）1．设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= .2．三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。
3．设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。
4．设矩阵,则。
5．设矩阵可逆，且矩阵,所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列)初等变换而得到.6．设向量组，若 则一定可以由向量唯一的线性表示。
7．非齐次线性方程组有 唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵的行列式 ，则矩阵一定有一个特征值。
9．阶矩阵有个特征值1，2，，阶矩阵与相似，则. 10．向量组: （填是或不是）向量空间一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）得分阅卷人班级： 姓名： 学号：132注意:请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法( ）不正确 （A ） 若方程组有解,则系数行列式； （B ） 若方程组无解,则系数行列式；(C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解； （D) 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2。
设为阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） ； （B) ； （C ） ；（D ） 。
3。
奇异方阵经过( ）后，矩阵的秩有可能改变。
(A ） 初等变换； (B ） 左乘初等矩阵； (C ） 左、右同乘初等矩阵； (D ） 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（ ）。
（A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关； （D) 增广矩阵的列向量组线性无关。
5．设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) （A ） 4/3; (B) 3/4；(C ） 1/2； （D) 1/4。
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2018—2019学年第二学期期末考试
课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟
一、选择填空题：（每题2 分，共14分）
1）行列式3
15
4
12231---中，元素4的代数余子式为 。
2）设行列式11
121321222331
32
33
3a a a a a a a a a =，则313233
2131
2232
233311
12
13
222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3）设112311131111A --⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
，则A 的秩()r A = 。
4）设向量组
123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α
线性相关。
5）线性方程组121232
343414
1
x x a x x a x x a x x a -=-⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩有解的充要条件是 。
6）若A 的特征值为1,0,2-，则2
A 的特征值为 。
7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。
二）计算下列行列式（10分）
1110110110110111
；
三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵B 。
四）已知向量组[
]1132
0α=，[]270143α=，[]32101α=-，
[]45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关
组线性表示。
（12分）
五）设有线性方程组12312312336
32334x x x x x x x x ax b
++=⎧⎪
++=-⎨⎪-++=⎩
，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？②
无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。
（12分） 六）（14分）
1、求一正交变换X PY =，将二次型222
123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标
准形。
（线性代数A 的同学选做）
2）已知矩阵310130002A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求一正交矩阵p ，使得T
P AP 为对角矩阵。
（线性代数
B 的同学选做）
七）设向量组123120347110
,,,011234b a αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
(1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？
(2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。
（12分）
八）若矩阵0102040a A b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10
分）
九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。
（4分）。