反比例函数的典型例题集

反比例函数的典型例题一

例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y -

=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8

1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．

说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x

k

y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，

（4），（5）就是这两种形式． 反比例函数的典型例题二

例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．

(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；

(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；

(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；

(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答：

说明：本题考查了

正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义．

反比例函数的典型例题三

例 已知反比例函数6

2)2(--=a x

a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．

分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6

2)2(--=a x

a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，

所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.

2,5a a

所以5=a ，解析式为x

y 2

5-=．

反比例函数的典型例题四

例 （1）若函数2

2

)1(--=m

x m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）

A ．±1

B ．1

C ．3

D ．－1

（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数x y 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若A

B C ∆的面积为S ，则：

A ．1=S

B ．2=S

C ．3=S

D ．S 的值不确定

解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,

12,

012m m 解得1-=m ．

故应选D ． （2）由双曲线x y 1

=关于O 点的中心对称性，可知：O BC O BA S S ∆∆=． ∴12

1

22=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA ．

故应选A ．

反比例函数的典型例题五

例 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．

分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，

所以)0(,212

211≠=

=k k x

k y x k y ． 所以x

k

x k y y y 2121+=+=．

将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+.531

3,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==.821,8

1121k k 所以x

x y 821

811+=

． 所以当1-=x 时，48

21

811-=--

=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了2

1k k 、的值．

反比例函数的典型例题六

例 根据下列表格x

（1量x 的取值范围．

解：（1）图像如右图所示．

（2）根据图像，设)0(≠=

k x

k

y ，取6,1==y x 代入，得1

6k

=

． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6

>=

x x

y ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性．

反比例函数的典型例题七

例（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数x

y 3

=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）

（2）一次函数12

--=k kx y 与反比例函数x

k

y =

在同一直角坐标系内的图像的大致

位置是图中的（ ）

解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又x

y 3

=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．

（2）若0>k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线x

k

y =

的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0

反比例函数的典型例题八

例 已知函数2

42

31-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=m

x m y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y 随x

的增大而减小，求反比例函数的解析式．

解：因为y 是x 的反比例函数，

所以1242

-=-m ，所以21=

m 或.2

1-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小，

所以031>+m ，所以31->m ，所以2

1

=m ，

所以反比例函数的解析式为.65x

y = 说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数x

k

y =

)0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0

反比例函数的典型例题九

例 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米． （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．