第十一章广义积分与含参变量的积分

参变量积分

0
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,

0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有

Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是

d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c

含参变量广义积分

a
又积分
a f y (x, y) dx
在c, d 上一致收敛，
则含参变量的无穷积分
g( y) f (x, y) dx
a
在c, d 上可导且
d
dy a
f (x, y) dx a
f (x, y) dx y
3. 函数和函数
本段介绍用含参数广义积分表达的两个特殊
函数 , 即 ( ) 和 B( p, q) 。在积分计算等方面, 它
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分 f (x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的 a
充要条件是： 0 , 存在与y 无关的常数 N, 使得
A N, A N, y Y , 都有
A
f (x, y) dx
。
A
利用柯西收敛准则证明下列M判别法:
定理1：若 | f (x, y) | (x), x a , y Y ,
它在任意区间[0, A]上关于x是可积的，即定积分 A 0
存在. 又这时
| tetx2 | decx2 ,
tetx2 dx
而无穷积分 d ecx2 dx是收敛的. 因此J(t)在[c, d ]上一 0
致收敛.
(2) 当0 t d时，对于任意取定的 A 0, 有
|
tetx2 dx |
只要 A N, 则有
A
f (x, y0 )dx f (x, y0 )dx g( y0 ) 。
A
a
上面收敛定义中的常数 N 通常与 y0 有关。许多应用
中都需要如下一致收敛概念。
定义：设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果

第十一讲含参变量的无限积分

三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义，[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u d x +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈都对应唯一一个无穷积分（值）(,)af x u dx +∞⎰，于是，(,)af x u dx +∞⎰是[,]αβ上的函数，表为()(,),[,]au f x u dx u ϕαβ+∞=∈⎰，称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，u 是参变量．已知无穷积分()af x dx +∞⎰与数值级数1n n u ∞=∑的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分(,)af x u dx +∞⎰与函数级数1()nn ux ∞=∑之间亦应如此．讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用．[,]u αβ∀∈，无穷积分(,)af x u dx +∞⎰都收敛，即[,]u αβ∀∈，有(,)lim(,)A aaA f x u dx f x u dx +∞→+∞=⎰⎰，即0,,u u A a A A ε∀>∃≥∀>，有(,)(,)(,)A aaAf x u d x f x u d x f x u d x ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰．（4）一般来说，相等的ε之下，不同的,u u A 也不同。

是否存在一个通用的0A a ≥，0,[,]A A u αβ∀>∀∈，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在[,]αβ上存在0A ，于是，有下面的一致收敛概念：定义若000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)(,)(,)A aaAf x u dx f x u dx f x u dx ε+∞+∞-=<⎰⎰⎰，则称无穷积分(,)af x u d x +∞⎰在区间I 一致收敛；若无穷积分(,)af x u dx +∞⎰在区间I不存在通用的0A a ≥，就称(,)af x u dx +∞⎰在区间I 非一致收敛．现将一致收敛与非一致收敛对比如下：一致收敛： 000,,,,A a A A u I ε∀>∃≥∀>∀∈有(,)Af x u dx ε+∞<⎰；非一致收敛：0000,,,A a A A u I ε∃>∀≥∃>∃∈，有00(,)A f x u dx ε+∞≥⎰．例5 证明：积分0xu ue d x +∞-⎰在区间[,](0)a b a >一致收敛，在[0,)+∞上非一致收敛．证：设0A >，则1()xutt A uA aAA uA uued x xu tuedt e dt ee a u b u+∞+∞+∞-----===≤≤≤⎰⎰⎰．0ε∀>，要使不等式Aa e ε-<成立，只要11ln0A aε>≥。

含参变量广义积分

若函数序列sn ( x) 在集合 X 上一致收敛,
n 1 k 1 n
则称函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛。
n 1

即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。
若函数项级数 un ( x) 在 X 上一致收敛，
n 1

则它也在 X 收敛,但反之不成立。
设二元函数 f ( x, y ) 在 (x,y) a x , c y d 上有定义，
固定y c , d , 若无穷积分 f ( x, y)dx收敛，

则在 c , d 上定义了一个函数

a
g ( y) a来自f ( x, y)dx ,
c yd ,
如果函数项级数 un ( x )在区间 I 上满足条件:

(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
则函数项级数 un ( x )在区间 I 上一致收敛.
注 : 如上判别法得出的级数收敛还是绝对收敛。又级数 an 也称为函数级数 un ( x) 的强级数。

一切 y 都收敛, 若 0, N a, 使当 A N 时, 对一切 y Y , 都有

A
f x, y dx ,
则称含参变量的无穷积分 a f x, y dx 在 Y 上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, y dx
n 1 n 1
例1

0
e
x
sin x dx

含参量广义积分

含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。

在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。

含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。

含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。

如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。

对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。

例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。

含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。

在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。

总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。

- 1 -。

数学与应用数学专业专升本专业课考试大纲

数学与应用数学专业专升本专业课考试大纲一、《数学分析》部分课程性质：数学分析是高等师范院校基础数学专业和应用数学专业的必修课。

本课程是进一步学习许多后继课程，如复变函数论，常微分方程，数理方程，微分几何，概率论，实变函数论等课程的必要的基础知识。

也为在更高层次上理解中学数学的相关内容打下必要的基础。

考核方式：专业课试卷数学分析部分占60%，采用闭卷考试。

考核内容：第一章函数考核内容：函数定义，函数的四则运算；四类特殊函数的概念；复合函数、反函数的概念。

第二章极限考核内容： N -ε定义证明一些数列极限；收敛数列的三个性质、四则运算和两边夹法则； Cauchy 收敛准则；两边夹定理的应用；函数极限定义；函数极限的三个性质，四则运算法则，两类重要极限；等价无穷小在计算极限中的应用。

第三章函数连续考核内容：函数连续概念；间断点的定义及分类；函数的左连续与右连续；连续函数的运算及其性质；初等函数的连续性；闭区间上连续函数三个性质。

第四章导数与微分考核内容：导数定义及几何意义；可导与连续的关系；求导法则及基本初等函数的求导公式，复合函数求导法则；隐函数与参数方程的求导方法；微分的定义；初等函数的高阶导数。

第五章微分学基本定理及其应用考核内容： Lagrange 中值定理， Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理及其应用；洛必达法则；Taylor 公式及其应用；导数在研究函数上的应用。

第六章不定积分考核内容：不定积分的性质，不定积分公式表；分部积分法与换元积分法；有理函数的不定积分法；简单无理函数与三角函数的不定积分。

第七章定积分考核内容：定积分的定义，可积准则；定积分的性质；定积分的分部积分法与换元积分法；定积分的应用（求面积旋转体体积）。

第八章级数考核内容：数值级数及其敛散性以及判别，收敛级数的性质，条件收敛与绝对收敛，绝对收敛级数的性质；函数级数，函数级数一致收敛的概念及其判别，函数级数一致收敛时和函数的分析性质，函数列的一致收敛及其性质；幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数和函数的分析性质，泰勒级数及其基本初等函数的幂级数展开。

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分．一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的．例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分（一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性：（1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性．（反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进行讨论，这里不再赘述．。

高等数学含参变量的广义积分

g( x, y )在[a, b]上一致有界，则含参量反常积分

c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
xy sin x 例4 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 在 [0, d ] 上一致收敛. sin x 证 : 由于反常积分 dx 收敛 0 x (当然，对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
对参量x, g ( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分

c
f ( x, y) g ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
定理3（阿贝尔判别法:）
若 (i )

c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数，且对参量x ,
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续，含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
注:
连续性定理说明，在一致收敛的条件下，极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x x0 c
lim

含参量反常积分

0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
例3 : 证明含参量反常积分
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).

0
e
ux 2
dx
证:
u [a,), 有 e
而无穷积分 e
0
ux2
e

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分．一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的．例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分（一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性：（1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性．（反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进行讨论，这里不再赘述．。

含参变量积分

( x) = f ( x) 的解，并且满足条件 y (a) = y ' (a) =
n −1
= y ( n −1) (a) = 0 。
证明：设 F ( x, t ) = ( x − t )
f (t ) ，则 f ( x, t ), f x ( x, t ) 在 [a, b] × [ a, b] 上连续，因此有
2 ∂ 2u 2 ∂ u 的解。是弦振动方程 2 = a ∂t ∂x 2
证明：由题设知
∂ 2u ∂ 2u 与 2 均存在，且有 ∂t 2 ∂x
1 ∂u 1 ' = [ f ( x − at )(−a ) + f ' ( x + at ) ⋅ a ] + [aF ( x + at ) + aF ( x − at )] 2a ∂t 2 1 a = [ f ' ( x + at ) − f ' ( x − at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )] 2 2 2 a ∂u a = [af '' ( x + at ) + af '' ( x − at )] + [ F ' ( x + at ) − F ' ( x − at )] 2 2 2 ∂t
d
d
b
（4）若 f ( x, y ) 在 [ a, b] × [c, d ] 上连续，则
∫
一、参量的常积分
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
1、一致收敛性及其判别法定义 1 设函数定义在无界区域 G = ( x, y ) c ( x ) ≤ x ≤ d ( x), a ≤ x ≤ b 上，若对每一固

高等数学：第十一章广义积分与含参变量的积分

1x
因此积分 dx发散. y
1x
y 1 x
b dx
1x
01
bx
例3. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b 所需能量由
E
b kq1q2 a r2
dr
给出, 其中q1, q2是电荷的数量, k为常数. 若q1, q2 的单位为库仑(C), a, b是米(m), E的单位为焦耳(J).
k = 9109.
a
X
即当A X时有
A
g(x)dx
g(x)dx
X
X
由已知条件：当x X a时,0 f (x) g(x).
所以 A f (x)dx
A
g(x)dx
g(x)dx
X
X
X
而 g(x)dx收敛,所以当A X时，A f (x)dx有界,因此 f (x)dx收敛。
X
X
X
由于 f (x)dx
一个氢原子由一个质子和一个电子组成, 它们带有数值为1.610–19 C的相反电荷. 求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量. 假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径
RB = 5.310–11m.
解: 因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表示为
E
a
例.
判断
２
１ x ln
x
dx(
0,
R) 的敛散性.
解:
当
1时，２
１ x ln
x
dx
２
１ x ln x
dx
ln
ln
xA 2
.
１
当
1时，x
ln 1
x
1 ln x

《含参变量广义积分》课件

对含参变量广义积分进行了系统的定义和性质研究，包括积分区间、积分变量、参变量等要素，以及积分的基本性质和运算规则。
含参变量广义积分的计算方法
针对不同类型的含参变量广义积分，提出了多种计算方法，如换元法、部分分式法、留数法等，并给出了相应的计算步骤和实例。
含参变量广义积分的应用
探讨了含参变量广义积分在数学、物理、工程等领域的应用，包括求解定积分、求解微分方程、求解积分方程等，并给出了具体的应用实例。
信号处理
在信号处理中，含参变量广义积分被广泛应用于信号的滤波、调制和解调等处理过程。通过广义积分，可以有效地提取信号中的有用信息，并抑制噪声干扰。
优化设计
在工程优化设计中，含参变量广义积分可以用来描述系统的性能指标和约束条件，从而进行更有效的优化设计。
在金融领域的应用
风险评估与管理
在金融领域中，含参变量广义积分被广泛应用于风险评估与管理。通过引入广义积分，可以对金融市场的风险进行更准确的度量和控制。
03
求解物理问题
含参变量广义积分在解决某些物理问题中具有重要应用，如求解电磁场
问题、流体动力学问题等。通过引入适当的广义积分，可以简化问题的
求解过程。
在工程领域的应用
控制系统设计
在工程领域中，控制系统设计是含参变量广义积分的一个重要应用方向。通过引入广义积分，可以对系统的动态性能进行更准确的描述和控制。
应用领域
物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用。
含参变量广义积分的背景和重要性
背景
随着科学技术的发展，越来越多的实际问题需要用到含参变量的广义积分。例如，在控制工程中，需要用到含参变量的广义积分来描述系统的动态行为。
VS

变量积分

教案27含参变量有限积分一、含参变量有限积分定义设二元函数),(y x f 在区域{}I u b x a y x D ∈≤≤=,|),(有定义，I u ∈∀，一元函数),(u x f 在],[b a 可积，称⎰=ba dx u x f u ),()(ϕI u ∈为含参变量有限积分定义，u 为参变量。

二、含参变量有限积分性质 1、极限性质：如果二元函数),(u x f 在0u u =点关于x 一致连续，（即0>∀ε，0),(0>∃u εδ，当δ<-||0u u 时，],[b a x ∈∀，有ε<-|),(),(|0u x f u x f ．）则 ⎰⎰⎰==→→bab a u u bau u dx ux f dx u x f dx u x f ),(),(),(0lim lim．2、连续性：若二元函数),(u x f 在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰=ba dx u x f u ),()(ϕ在区间I 上连续，且⎰⎰⎰→→→====ba uu bau u bauu dx u x f dx u x f u u dx u x f ),(),()()(),(lim lim lim 0000ϕϕ．即可在积分号下取极限。

3、可微性（积分号下求导）若),(),,(u x f u x f u '在区域{}I u b x a u x D ∈≤≤=,|),(连续，则⎰⎰'='b au ub adx u x f dxu x f ),(),()(．4、莱布尼兹公式：若函数)(u a ϕ=与)(u b ψ=在区间],[d c 上连续，可导；函数),(u x f 与),(u x f u '在区域{})()(,|),(u x u d u c u x D ψϕ≤≤≤≤=内连续，则)(]),([)(]),([),(),()()()()()(u u u f u u u f dx u x f dxu x f u u u uu u ϕϕψψψϕψϕ'⋅-'⋅+'=⎰⎰'．5、可积性（积分号下求积分）若二元函数),(u x f 在区域{}d u c b x a u x D ≤≤≤≤=,|),(连续，则⎰⎰⎰⎰=dad cdcbadu u x f dx dx u x f du ),(),(．例1 设⎰⎰-=xxtr t d dr e x f 02][)(，求)(x f 、)(x f '．解：0>∀a ，设{}x t a x a t x D ≤≤≤≤-=0,|),(，则函数⎰-=xtr dr e t x g 2),(及2),(x x et x g -='在区域D 上连续，所以，222][)(xxxx xtrxedr et d dr ex f ---==='⎰⎰⎰．将上式从0到x 积分，)1(21)0()(22-=+=--⎰x xte f dt tex f ．例 2 在闭区间]3.1[上求一线性函数bx a +，用其近似代替函数2)(x x f =，使得⎰-+3122)(dx x bxa 最小。

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证设 x 和 x x是[a,b]上的两点，则
( x x) ( x)
( xx )
( x)
f ( x x, y)dy f ( x, y)dy.
( xx )
(x)
12
xx
f ( x x, y)dy
( xx )
(x)
( x)
f ( x x, y)dy f ( x x, y)dy
x
x
f ( x, y) ( x, y, x), (6)
x
9
其中 0 1，可小于任意给定的正数，只要
x 小于某个正数 . 因此
(
x
,
y, x )dy
dy
(
)
这就是说
lim
x0
(
x,
y,
x)dy
0.
综上所述有
( x ),
(
x
x) x
(
x
)
f
( x, x
y)
dy
(
x,
y,
x)dy,
1
( xx )
f ( x x, y)dy
x ( x)
1 [ ( x x) ( x)] f ( x x,),
x
其中在 ( x)与 ( x x) 之间. 当 x 0时,
1 [ ( x x) ( x)] ( x),
x
f ( x x,) f [ x, ( x)],
17
于是 1 ( xx) f ( x x, y)dy f [ x, ( x)] ( x).
x ( x) 类似地可证,当 x 0 时,
1 ( xx) f ( x x, y)dy f [ x, ( x)] ( x).
x ( x) 因此，令 x 0 ，取(8)式的极限便得公式(7).

含参变量的积分

设二元函数f(x,u)在区域 D(a x , u )
有定义。u [, ],
无穷积分 a
f (x,u)dx 都收敛，即
u [ , ] 都对应唯一一个无穷积分（值）a f (x,u)dx
于是，
f (x,u)dx是区间 a
[, ]
证: 令 F (x,t) (x t)n1 f (t), 显然, F (x,t) 及 Fx (x,t)
在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得
(x) 1
x
(n
1)( x
t)n2
f
(t) d t
(n 1)! 0
1 (x x)n1 f (x)
(n 1)!
一致收敛(a>0).
0
证明： u [a, ), e 有 ux2 eax2
又x 1，有
eax2

ax
e.
因为无穷积分

1
e
ax
dx

1 a

1
eaxd
(ax)
e

1 a
eax
1
1 a 收敛,
a
所以无穷积分

1
eax2
dx
收敛，从而无穷积分
u [, ]
.
下面给出函数 (u) 在区间 [, ] 的可微性.
定理4. 若 f (x,u)及其偏导数 fu(x,u) 都在矩形域
R(a x b, u )连续,而函数 a(u)与b(u) 在区间
[, ]可导，u [ , ]，有 a a(u) b, a b(u) b
则函数 (u) b(u) f (x,u)dx,u [, ] 在区间 a(u)

第十一章 广义积分与含参变量的积分

参变量积分

含参变量广义积分

第十一讲 含参变量的无限积分

含参变量广义积分

含参量广义积分

数学与应用数学专业专升本专业课考试大纲

第十讲含参变量的积分

高等数学含参变量的广义积分

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含参变量积分

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变量积分

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