控制系统建模与仿真的应用

f(u) Fcn3
1 s Integrator6
1 s Integrator7
2 theta
Subsystem1仿真结构图 仿真结构图
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
•PID控制器设计及仿真 控制器设计及仿真 1.双闭环 双闭环PID控制器设计 双闭环 控制器设计
X r ( s)
F (s)
D1 ( s)
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
•系统建模 系统建模
小车质量为 M ，倒立摆的质量为 m ，摆长为 2l ，小车的位置为 x ，摆的角度为 θ ，作 为摆杆的质心。 用在小车水平方向上的力为 F ， O 为摆杆的质心。
1
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
摆杆绕其重心的转动方程 摆杆重心的水平运动方程 摆杆重心的垂直运动方程 小车水平方向运动方程 一级倒立摆系统的动力学模型
外环控制器采用PD形式，其传递函数为： 外环控制器采用 形式，其传递函数为： 形式
D1 ( s ) = K 3 (τ s + 1)
10 G1 ( s ) ≈ 2 s
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
采用单位反馈构成外环反馈通道， 采用单位反馈构成外环反馈通道，即 D ' ( s) = 1 ，则系统的开环传递函数为
将连续的微分方程化成离散的差分方程 将积分项离散化
∫ e(t )dt ≈ ∑ e( j )∆t = T ∑ e( j )
t 0 j =0 j =0
k
k
将微分项离散化
de(t ) e(k ) − e(k − 1) e(k ) − e(k − 1) ≈ = ∆t dt T
T u (k ) = K P e(k ) + TI
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
1 F f(u) Fcn 1 s Integrator 1 s Integrator1 1 x 2 theta f(u) Fcn1 1 s Integrator2 1 s Integrator3
Subsystem仿真结构图 仿真结构图
1 F f(u) Fcn2 1 s Integrator4 1 s Integrator5 1 x
K1 = 0.175 K 2 = 1.625
内环控制器的传递函数为： 内环控制器的传递函数为：
D2' ( s) = 0.175s + 1.625
内环控制系统的闭环传递函数为： 内环控制系统的闭环传递函数为：
(2) 外环控制器的设计
64 W2 ( s ) = 2 s + 11.2 s + 64
精确模型
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
简化的模型
x && = −6θ + 0.8u && θ = 40θ − 2u
x F theta
Pulse Generator
xy.mat Subsystem To File
x F theta
Subsystem1
一级摆立摆系统Simulink仿真结构图 仿真结构图 一级摆立摆系统
•系统建模 系统建模
二级倒立摆结构参数表
M m1 m 2 m3 l1 l2
小车质量 摆杆 1 质量 摆杆 2 质量 质量块的质量 摆杆 1 转动中心到杆心的距离 摆杆 2 转动中心到杆心的距离 摆杆 1 与垂直方向的夹角 摆杆 2 与垂直方向的夹角 作用在系统上的外力 重力加速度
θ1 θ2
F g
1 . 32 kg 0 . 04 kg 0 . 132 kg 0 . 208 kg 0 . 09 m 0 . 27 m
W2 ( s ) =
KK s G2 ( s ) 64 = 2 1 + KK s G2 ( s) D2' ( s) s + 64 K1s + 64 K 2 − 40
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
令
ξ = 0.7
64 K 2 − 40 = 64 64 K1 = 2 × 0.7 × 64
连续系统中PID的控制规律为： 连续系统中PID的控制规律为： PID的控制规律为
1 u (t ) = K p e(t ) + TI
为微分时间常数。 数， T 为微分时间常数。
D
de(t ) ∫0 e(t )dt + TD dt
t
u (t ) 为调节器的输出信号， e(t ) 为偏差信号， K p 为比例系数， TI 为积分时间常 为调节器的输出信号， 为偏差信号， 为比例系数，
θ (s)
G1 ( s )
X (s)
外环系统结构图
对外环模型进行降阶处理， 的高次项，则近似为一阶传递函数为： 对外环模型进行降阶处理，若忽略 W2 ( s ) 的高次项，则近似为一阶传递函数为：
64 W2 ( s ) ≈ 11.2 s + 64
进行近似处理， 的传递函数为： 对模型 G1 ( s ) 进行近Fra Baidu bibliotek处理，则 G1 ( s ) 的传递函数为：
D2 ( s)
−2 s 2 − 40
G2 ( s)
θ (s)
−0.4 s 2 + 10 s2
G1 ( s )
X ( s)
D2' ( s)
D1' ( s)
一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
2. 内环控制器的设计
内环采用反馈校正进行控制 内环采用反馈校正进行控制 反馈校正
( J + ml 2 ) F + lm ( J + ml 2 ) sin θ ⋅θ&2 − m2l 2 g sin θ cosθ && = x ( J + ml 2 ) ( M + m ) − m2l 2 cos2 θ 2 2 2 && ml cos θ ⋅ F + m l sin θ cos θ ⋅θ& − ( M + m ) ml g sin θ θ = m2l 2 cos 2 θ − ( J + ml 2 ) ( M + m )
一级倒立摆双闭环控制系统Simulink仿真结构图 仿真结构图 一级倒立摆双闭环控制系统
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
•LQR控制器设计及仿真 LQR控制器设计及仿真 LQR
对一级倒立摆系统进行LQR控制器设计与仿真。 控制器设计与仿真。 例14.2.3 对一级倒立摆系统进行 控制器设计与仿真 1.一级倒立摆系统的状态空间模型 一级倒立摆系统的状态空间模型
J + ml 2 ) F − m 2l 2 gθ ( && = x J ( M + m ) + mMl 2 && ( M + m ) ml g θ − mlF θ = J ( M + m ) + mMl 2
2
θ& 2 ≈ 0,sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1
例 14.2.1 设一级倒立摆系统小车的质量 M = 1kg ，摆的质量 m = 1kg ，摆的长 建立系统的仿真模型。 度 2l = 0.6m ，重力加速度取 g = 10 m s ，建立系统的仿真模型。
D( s)
θ r (s)
D2' ( s )
G2 ( s )
θ ( s)
反馈校正采用 PD 控制器，设其传递函数为 D ' ( s) = K1s + K 2 ，为了抑制干扰，在 控制器， 为了抑制干扰，
2
前向通道上加上一个比例环节 D2 ( s) = K 。
(1)控制器参数的整定 控制器参数的整定
则内环控制系统的闭环传递函数为： 设 D2 ( s) 的增益 K = −20 ，则内环控制系统的闭环传递函数为：
& x = [θ ,θ&, x, x]T , u = F , y = [θ , x]T
2. 系统的能控性判定 3. 系统的能观性判定
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
4. LQR控制设计 控制设计 K = -95.4861 -22.3475 -7.0711 -12.5201 5. 系统仿真
-22.3475
1
57 W ( s ) = W2 ( s )G1 ( s ) D1 ( s ) = 2 K3 (τ s + 1) s ( s + 57)
采用基于 图法的希望特性设计方法， 采用基于 Bode 图法的希望特性设计方法，得 K 3 = 0.12,τ = 0.877 ，取 τ = 1 ，则外 环控制器的传递函数为： 环控制器的传递函数为：
22.3475
95.4861
x F theta
du/dt
Step onebanksystem du/dt 7.071
onelqr.mat To File
12.5201
基于精确模型的系统Simulink结构图 基于精确模型的系统Simulink结构图 Simulink
14.3 二级倒立摆系统的控制与仿真
0.12 F + 0.036sin θ ⋅θ& 2 − 0.9sin θ ⋅ cos θ x && = 0.24 − 0.09 cos 2 θ &2 θ = 0.3cosθ ⋅ F + 0.09sin θ ⋅ cosθ ⋅θ − 6sin θ && 0.09 cos 2 θ − 0.24
-95.4861 onelqr.mat To File x' = Ax+Bu y = Cx+Du Step onebanksystem du/dt -7.0711 du/dt
-12.5201
基于状态空间模型的系统Simulink结构图 基于状态空间模型的系统Simulink结构图 Simulink
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
D1 ( s ) = 0.12( s + 1)
一级倒立摆
X r ( s)
-
0.12( s + 1)
-
F ( s)
-20 1.6
W (s)
X ( s) θ ( s)
X调节器
0.175s + 1.625
θ调节器
一级倒立摆双闭环控制系统的方框图
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
3. 系统仿真
对一级倒立摆双闭环控制系统进行仿真。 例14.2.2 对一级倒立摆双闭环控制系统进行仿真。
设单位负反馈系统的开环传递函数为： 例14.1.1 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
200 G (s) = s ( s + 50 )
试应用MATLAB设计数字PID控制器。 试应用MATLAB设计数字PID控制器。 MATLAB设计数字PID控制器 方法一:采用零阶保持器法离散化 方法一 采用零阶保持器法离散化 方法二:采用双线性变换法离散化 方法二 采用双线性变换法离散化
0 40 & x= 0 −6 1 0 0 x1 0 0 0 0 x2 −2 + u 0 0 1 x3 0 0 0 0 x4 0.8 x1 1 0 0 0 x2 y= 0 0 1 0 x3 x4
k
离散PID全量输出表达式 全量输出表达式 离散
TD ∑ e( j ) + T [e(k ) − e(k − 1)] j =0
14.1 数字PID控制器的仿真 数字PID控制器的仿真
PID增量算式 增量算式
∆u ( k ) = u ( k ) − u ( k − 1) = K P e ( k ) − e ( k − 1) + K I e ( k ) + K D e ( k ) − 2e ( k − 1) + e ( k − 2 )
外环系统前向通道的传递函数为： 外环系统前向通道的传递函数为：
64(−0.4s 2 + 10) W2 ( s)G1 ( s ) = 2 2 s ( s + 11.2s + 64)
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
D1 ( s )
X r ( s)
K 3 (τ s + 1)
W2 ( s )
D1' ( s )
第12章 控制系统建模与仿真的应用 12章
主要内容 数字PID PID控制器的仿真 14.1 数字PID控制器的仿真 14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真 14.3 二级倒立摆系统的控制与仿真 14.4 双闭环调速系统的设计与仿真 14.5 过程控制系统的仿真
14.1 数字PID控制器的仿真 数字PID控制器的仿真
&& Jθ = Fy l sin θ − Fxl cos θ
d2 Fx = m 2 ( x + l sin θ ) dt
d2 Fy − mg = m 2 ( l cos θ ) dt
d 2x F − Fx = M 2 dt
ml 2 J= 3
14.2 一级倒立摆系统的控制与仿真
对系统进行线性化 系统的简化模型