维纳-霍夫方程实验报告
维纳-霍夫方程
生物医学工程专业课程设计报告题目维纳-霍夫方程学院电气工程学院专业生物医学工程姓名哈哈哈学号哈哈哈哈哈哈指导老师邱蕾起迄日期: 2019年11月30日-2019年12月25日前言 (1)1.课程设计要求 (2)1.1目的及任务 (2)2.课程设计内容 (2)3.设计原理 (2)3.1设计思想 (2)3.2主要仪器设备及耗材 (5)3.3程序设计 (6)4.设计过程及结果 (9)4.1心电、脑电信号的获取 (9)4.2心电、脑电信号添加有色噪声的滤波及结果 (9)4.2.1心电信号滤波主程序及结果 (10)4.2.2脑电信号滤波主程序及结果 (15)4.3心电、脑电信号添加白噪声的滤波及结果 (20)4.3.1脑电信号滤波主程序及结果 (20)4.3.2脑电信号滤波主程序及结果 (25)5. 结果分析 (30)6. 课程设计总结 (30)6.1思考题 (31)6.2心得 (31)从连续的（或离散的）输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
维纳滤波器是一种线性滤波器。
维纳滤波理论是由数学家N．维纳(Norbert Wiener ，1894-1964)于第二次世界大战期间提出的。
这一科研成果是这一时期重大科学发现之一，他提出了线性滤波的理论和线性预测的理论，对通信工程理论和应用的发展起了重要的作用。
维纳滤波就是为纪念他的重要贡献而命名的。
维纳滤波（wiener filtering) 一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。
这种滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。
它可用于提取被平稳噪声污染的信号。
1.课程设计要求1．1目的及任务学习求解维纳-霍夫方程，寻找最小均方误差意义下的最优滤波器。
《生物医学信号处理》课程教学大纲
《生物医学信号处理》课程教学大纲课程编号：适用专业：生物医学工程、生物信息学、生物信息技术以及相关专业学时数：48学分数：3先修课程：《线性代数与空间解析几何》、《人体解剖生理学》、《信号与系统》、《数字信号处理》等执笔者：《生物医学信号处理》课程组编写日期：2013年5月一、课程性质和任务《生物医学信号处理》是一门理论与实践、原理与应用紧密结合的重要专业基础课。
本课程培养学生熟练掌握离散时间信号和系统的基本理论和基本分析方法，使学生了解如何应用数字频谱分析、最优滤波器等技术解决生物医学领域中的具体问题。
本课程对于生物医学工程、生物信息学等专业的学生是必备的重要专业基础课。
二、理论课程教学内容和要求（40学时）第1章生物医学信号处理概述1．教学内容（1）学习生物医学信号处理的理由（2）信号及其类型（3）一些典型的生物医学信号简介（4）处理生物医学信号的目的2．教学要求（1）了解本课程背景，包括整个课程的教学内容、学习方法、与其他课程之间的联系、学习要求和考核要求；（2）掌握确定性、随机、分形和混沌等4种类型信号的定义以及相互之间的联系与差别；（3）理解生理过程自发产生的信号，如心电、脑电、肌电、眼电、胃电等电生理信号和血压、体温、脉搏、呼吸等非电生理信号；（4）了解外界施加于人体的被动信号，如超声波、同位素、X射线等；（5）掌握生物医学信号的主要特点。
第2章数字信号处理基础1．教学内容（1）傅立叶变换及其意义（2）傅立叶变换的性质（3）频域分析和谱图表示（4）频域分辨率（5）数字滤波器的设计和实现2．教学要求（1）掌握傅立叶变换的意义及各种变换对、离散傅立叶变换；（2）掌握傅立叶变换的性质；（3）掌握信号的频域分析和谱图表示方法；（4）正确理解频域分辨率的概念；（5）了解常用的数字滤波器的设计和实现方法。
第3章随机信号基础1．教学内容（1）随机信号（2）随机信号的统计特征描述（3）几种典型的随机过程（4）随机信号通过线性系统2．教学要求（1）了解随机信号的表示方法；（2）掌握概率分布函数和各态遍历随机过程；（3）掌握随机信号的统计特征量和样本数字特征；（4）掌握高斯（正态）过程、理想白噪过程和限带白噪过程；（5）理解随机信号通过线性系统的基本关系式。
维纳霍夫方程求解
维纳霍夫方程求解维纳霍夫方程是描述电磁波在导体中传播的重要方程之一。
它可以用来分析电磁波在导体中的衰减、反射和传播等特性。
在实际应用中，了解和掌握维纳霍夫方程的求解方法对于电磁波的传输和干扰等问题具有重要意义。
维纳霍夫方程的基本形式可以表示为：∇²E - με∂²E/∂t² = -σE这里，E是电场强度，∇²表示拉普拉斯算子，μ是导磁率，ε是介电常数，∂²E/∂t²是关于时间的二阶导数，σ是导体的电导率。
为了求解维纳霍夫方程，可以采用分离变量法。
将电场强度E进行分解，使其成为空间和时间的乘积形式：E(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)将这个形式代入维纳霍夫方程中，可以得到以下形式：(1/X)∂²X/∂x² + (1/Y)∂²Y/∂y² + (1/Z)∂²Z/∂z² - (1/v²)∂²T/∂t² = -σ/ε其中，v是电磁波在介质中的传播速度。
根据分离变量法的原则，等式两边的各项必须等于同一个常数，记为-k²。
则有：(1/X)∂²X/∂x² = -kx²(1/Y)∂²Y/∂y² = -ky²(1/Z)∂²Z/∂z² = -kz²-(1/v²)∂²T/∂t² = -ω²这里，ω是角频率。
为了求解这些方程，可以引入一些边界条件。
例如，在导体表面，电场强度为零，即E(x, y, z, t) = 0。
这样，可以使用傅里叶级数展开来求解上述方程，并结合边界条件，得到电场的具体形式。
维纳霍夫方程的求解方法还包括有限差分法等数值计算方法。
利用差分法，可以将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算的方式得到电场分布的数值解。
维纳——霍夫方程
维纳——霍夫方程维纳-霍夫方程，又称为维纳-霍夫方法，是几何学家和数学家威廉维纳和赫尔曼霍夫的名字的结合，它是一种算法，用于在一维、二维和三维图形中计算曲线的最短距离。
这种方法是计算机视觉、图像识别、分类和分析的基础。
一维维纳-霍夫方程是指在一维空间中，把一条曲线拆分成一系列线段，每个线段的最长距离（称为维纳-霍夫距离）就是把曲线凸包包围起来的最短距离。
二维维纳-霍夫方程是指在二维空间中，把一条曲线拆分成一系列线段，得到的最大维纳-霍夫距离即为曲线的最短距离。
它的应用领域包括：空间数据拟合、空间数据分析和空间多媒体搜索等。
它可以用于检测图像中的线条、边缘及其他凸特征，从而可以实现几何形状的测量和分析，也可以用于图像复原和图像重构，并可以为图像处理发展进一步提供重要的技术支持。
三维维纳-霍夫方程是指在三维空间中，把一条曲线拆分成一系列线段，得到的最大维纳-霍夫距离就是曲线的最短距离。
它的应用领域包括：自动机器视觉、机器抓取、三维重建、三维量测、快速绘制三维图形等。
维纳-霍夫方程的发展可以追溯到二十世纪三十年代，当时威廉维纳提出了一种新的近似算法，用以计算从一条曲线到另一条曲线或者从一个多边形到另一个多边形之间的最短距离，这种算法也就是维纳-霍夫方程。
此外，当威廉维纳和赫尔曼霍夫在20世纪60年代开始深入研究维纳-霍夫方程时，他们还发现了一种快速算法，用于计算多边形凸包的最大维纳-霍夫距离，从而把凸多边形转换成任意曲线，从而可以计算出该曲线的最短距离。
霍夫还发现，维纳-霍夫方程不仅可以用来计算曲线的最短距离，还可以用来检测曲线上的特征。
他设计了一种算法，用以检测曲线上的局部特征，如极大值、极小值、极值点、突变点等，从而有助于图像处理的进一步发展。
20世纪以后，维纳-霍夫方程已被广泛应用于计算机科学和信息技术领域，如图像处理、压缩、多媒体、自然语言处理等。
它的优点之一是将计算复杂度降低到常数时间，使其可以在短时间内完成计算，从而实现高速运算。
维纳霍夫方程求解
维纳霍夫方程求解
摘要：
1.维纳霍夫方程的概述
2.维纳霍夫方程的求解方法
3.维纳霍夫方程的应用实例
正文：
一、维纳霍夫方程的概述
维纳霍夫方程，又称为维纳霍夫变换方程，是信号处理领域中一种重要的线性时不变系统方程。
它广泛应用于信号处理、系统分析以及通信系统等诸多领域。
维纳霍夫方程之所以重要，是因为它描述了输入信号与输出信号之间的关系，通过求解这个方程，我们可以得到系统的输出响应。
二、维纳霍夫方程的求解方法
维纳霍夫方程的求解方法有很多，其中最常见的是采用拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换可以将维纳霍夫方程从时域转换到频域，从而简化问题的求解。
具体的求解步骤如下：
1.首先，根据系统的输入信号和输出信号，列出维纳霍夫方程。
2.对方程进行拉普拉斯变换，将时域信号转换为频域信号。
3.求解变换后的方程，得到频域的输出信号。
4.最后，对频域信号进行逆拉普拉斯变换，得到时域的输出信号。
三、维纳霍夫方程的应用实例
维纳霍夫方程在实际应用中有很多实例，下面我们以一个简单的例子来说明。
假设有一个一阶系统，其输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，系统的传递函数为H(s)。
根据维纳霍夫方程，我们可以得到：
y(t) = X(t) * H(s)
其中，X(t) 是输入信号x(t) 的拉普拉斯变换结果。
通过这个方程，我们可以分析系统的输出响应，进而设计或调整系统，以满足特定的性能要求。
综上所述，维纳霍夫方程是信号处理领域中一种重要的方程，通过求解这个方程，我们可以得到系统的输出响应。
实验报告-卡尔曼滤波
数字信号处理实验报告姓名： 专业: 通信与信息系统 学号: 日期：2015.11实验内容任务一：一连续平稳的随机信号()t x ，自相关函数()tx er -=τ，信号()t x 为加性噪声所干扰，噪声是白噪声，测量值的离散值()k z 为已知，s T s 02.0=，-3.2，-0.8，-14，-16，-17，-18，-3.3，-2.4，-18，-0.3，-0.4，-0.8，-19，-2.0，-1.2，-11，-14，-0.9，-0.8，10，0.2，0.5，-0.5，2.4，-0.5，0.5，-13，0.5，10，-12，0.5，-0.6，-15，-0.7，15，0.5，-0.7，-2.0，-19，-17，-11，-14，自编卡尔曼滤波递推程序，估计信号()t x 的波形。
任务二：设计一维纳滤波器。
（1）产生三组观测数据：首先根据()()()n w n as n s +-=1产生信号()n s ，将其加噪（信噪比分别为20dB ，10dB ，6dB ），得到观测数据() n x 1，() n x 2，() n x 3。
（2）估计() n x i ， 1=i ，2，3的AR 模型参数。
假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。
实验任务一 1. 卡尔曼滤波原理1.1 卡尔曼滤波简介早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。
它用状态空间法描述系统，由状态方程和量测方程所组成，即知道前一个状态的估计值和最近一个观测数据，采用递推的算法估计当前的状态值。
由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果。
卡尔曼滤波一经出现，就受到人们的很大重视，并 在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统。
心电信号预处理
《生物医学信号处理》实习报告次!其特征值包括初始瞬态的幅值和工频成分的幅值!衰减的时间常数;其持续时间一般为15左右,幅值可达记录仪的最大值"。
(3)人为运动人为运动是瞬时的(但非阶跃)基线改变,由电极移动中电极与皮肤阻抗改变所引起"人为运动由病人的运动和振动所引起,造成的基线干扰形状可认为类似周期正弦信号,其峰值幅度和持续时间是变化的,幅值通常为几十毫伏"。
(4)肌电干扰(EMG)肌电干扰来自于人体的肌肉颤动,肌肉运动产生毫伏级电势"EMG基线通常在很小电压范围内"所以一般不明显"肌电干扰可视为瞬时发生的零均值带限噪声,主要能量集中在30一300Hz范围内"。
(5)基线漂移和呼吸时ECG幅值的变化基线漂移和呼吸时ECG幅值的变化一般由人体呼吸!电极移动等低频干扰所引起,频率小于5Hz;其变化可视为一个加在心电信号上的与呼吸频率同频率的正弦分量,在0.015一0.3Hz处基线变化变化幅度的为ECG峰峰值的15%"。
上面的电极接触噪声与人为运动所产生的噪声是人为因素造成的，当然也可以通过人为因素来避免。
然而工频干扰、肌电干扰(EMG)与基线漂移和呼吸时ECG幅值的变化就不是人为因素所能消除的了。
为了滤除掉上述三种噪声，我按照实验要求设计了三种不同的滤波器。
分别是巴特沃斯滤波器与切比雪夫滤波器。
为了对比他们的滤波效果，又设计了一个维纳滤波器。
最后运用SNR指标定量分析了不同滤波器的去噪能力。
以下是3种滤波器的原理：1.巴特沃斯滤波器的设计原理其特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零（对理想低通滤波的逼近：巴特沃思滤波器是以原点附近的最大平坦响应来逼近理想低通滤波器）。
而滤波器的幅频特性是随着滤波器的阶次N的增加而变得越来越好，在截止频率有：（1）衰减具有不变性。
通带、阻带均具有单调下降的特性。
维纳-霍夫方程
3、s 为脑电信号，w 强度为 0.4,1 和 2，M=1024:
信号 10 5 0 -5 -10 2 1 0 -1 -2 噪声 10 5 0 -5 -10 信号 4 2 0 -2 -4 噪声 10 5 0 -5 -10 信号 10 5 0 -5 -10 噪声
0
500
1000
1500
0
500
1000
图 1-3 N=68
2、s 为心电信号，w 强度为 0.4,1 和 2，M=1024:
信号 1 0.5 0 -0.5 -1 2 1 0 -1 -2 噪声 1 0.5 0 -0.5 -1 信号 4 2 0 -2 -4 噪声 1 0.5 0 -0.5 -1 信号 10 5 0 -5 -10 噪声
0
500
三、实验原理 根据正交原理可以推导出维纳-霍夫方程，满足该方程的滤波器输出信号的估计 值与信号在最小均方误差意义下最接近。
Rxs j
m
h mR j m
opt xx
j ,,0,,
根据滤波器的形式，维纳滤波器可以分为三种情况：非因果 IIR 型，因果 IIR 型， FIR 型，对于实时性有要求的情况下用后两种形式。
1500
0
500
1000
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0
500
1000
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0
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0
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1500
观测值 10 5 0 -5 -10 10 5 0 -5 -10
信号估计 10 5 0 -5 -10
观测值 5
信号估计 10 5 0 0 -5 -5 -10
观测值 4 2 0 -2 -4
LMS算法
二、最速下降法
• ▽wJ(n) =2Rw(n)-2p • 更新权值向量 w(n+1)=w(n)+μ[Rw(n)-p] • 算法稳定的充要条件 0<μ<2/λmax λmax是相关矩阵R的最大特征值。 最速度下降法缺点：求真实梯度需计算有关 的相关函数，其中包含数学期望，不易求得。
三、LMS算法
• LMS算法使用有关的相关函数的瞬态估计。 R’(n)=u(n)uH(n) p’(n)=u(n)d*(n) 可推导得梯度▽wJ(n) 的瞬时估计为 ▽’wJ(n)=-u(n) e*(n) 权值向量更新公式 w’(n+1)=w’(n)+μu(n) e*(n) 其中e(n)= d(n)- uH(n) w’(n)
LMS算法
主要内容
• • • • 一、维纳霍夫方程 二、最速下降法 三、LMS算法 四、归一化LMS算法
一、维纳霍夫方程
• 考虑如下图的横向滤波器
• n时刻的输入向量u(n)=[ u(n),u(n-1),……,u(nM+1)] T • 权值向量w(n)=[w0(n),w1(n),……., wM-1 (n)]
二、最速下降法
• 最速下降法是迭代下降的一种形式，通过迭代 找到极值。迭代调整权矢量使系统的均方误差 沿其负梯度方向下降，最终达到最小均方误差。 • 更新权值向量 w(n+1)=w(n)-μ▽wJ(n)/2 式中μ是收敛因子，用于调整迭代步长。 ▽wJ(n)是均方误差的梯度。
二、最速下降法
• 考虑如下图横向滤波器
一、维纳霍夫方程
• 滤波器输出y(n)= w*(n)u(n) • 期望响应为d(n) • 误差e(n)=d(n)-y(n) • 按照误差最小均方准则，横向滤波器的最 优权向量wo(n)满足以下方程 Rwo(n)=p 其中，R=E[u(n) uH(n)]，P=E[u(n)d* (n)] 这就是维纳霍夫方程，它的解wo(n)= R-1 p称 为维纳解。
第二章维纳滤波2-3
解 得 B ( z )。 因 B ( z ) 是 xx ( z ) 单 位 园 内 的 零 、 极 点 组 成 ， 所 以 B ( z )和 1 B(z) 都是物理可实现的因果系统。
G ( z )也 可 分 为 因 果 性 与 非 因 果 性 的 情 况 ， 但它是将激励信号白化后所得的白噪声， 使 求 解 G ( z )比 直 接 求 解 H
2 -1
又 因 为 x ( n ) s ( n ) ( n ), x ( n )的 信 号 模 型 为 ：
v(n)
w (n) A( z)
s(n)
x(n)
当 x ( n )的 功 率 谱 密 度 也 是 z的 有 理 式 时 ， 显 然 可 将 x (n )表 示 如 下 信 号 模 型 ：
2
1
2
ws (k )
2
ws ( z )=
xs
(z)
1
w k -
B(z
)
E e (n) m in =
2 -1 1 1 xs ( z ) xs ( z ) -1 c ss ( z ) - 2 B ( z -1 ) B ( z ) z d z 2 j w
x s (- m ) b ( m ) w s (- m )
x s ( m ) b (- m ) w s ( m )
(z) B(z xs
ws 1
)
1
ws
(z)
( z )=
xs
(z) )
B(z
H
opt
(z)
G (z) B(z)
xs 1
ˆ s ( n )的 均 方 误 差 ：
多普勒效应对OFDM的影响及克服方法
多普勒效应对OFDM的影响及克服方法清华大学广州京信工程硕士班黄士达摘要：分析了在高速运动环境下所产生的多普勒效应对OFDM系统的影响。
重点论述了为克服多普勒效应的影响，所采用的各种克服方法和技术，包括最大似然估算法与预均衡结合的方法、利用相邻子载波共同传输同一符号，抑制多普勒频移对系统的影响的方法和将频域的多普勒效应扩展作为分集的方法等。
关键词：OFDM；多普勒效应；最大似然估计算法；预均衡；频域分集；1 引言正交频分复用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)是一种特殊的多载波技术，通过延长传输符号周期，从而增强抵抗多径衰落的能力，是一种新型高效的数字调制技术。
20世纪70年代，人们提出了采用离散傅里叶变换来实现多个载波的调制，简化了系统结构，使OFDM 技术得到了广泛的应用。
同时，由于无线通信技术，特别是无线多媒体技术的飞速发展，要求的数据传输速率越来越高，采用OFDM调制技术可有效地处理信道干扰，提高系统的传输速率，因此备受瞩目。
1995年欧洲电信标准委员会(ETSI)将OFDM作为数字音频广播(DAB)的调制方式，这是第一个以OFDM作为传输技术的标准。
欧洲数字视频广播联盟也在1997年采用OFDM作为其地面广播(DAB-T)调制标准。
1999年IEEE将OFDM作为其无线局域网标准IEEE802．11a的物理层的调制标准。
目前OFDM技术已被广泛应用于广播式的音频和视频领域以及通信系统中。
然而，对频偏的敏感性是OFDM的一个主要缺点，而高速移动环境必然会带来很大的多普勒频移，从而使得O FDM系统的性能急剧变坏。
因此，研究OFDM技术在高速移动环境下的应用，提高其抗多普勒效应的能力，具有很大的实用价值。
2多普勒效应及对OFDM的影响如图1所示，当移动台以恒定速率v 在长度为d , 端点为X和Y 的路径上运动时收到来自远端源S 发出的信号。
维纳滤波报告
维纳滤波实验报告一、实验任务产生含噪声信号X(n)=sin(2*pi*f*n)+w(n),f=0.05,w(n)~N(0,1.2)。
编写程序运用维纳滤波进行去噪处理，要求画出去噪前和去噪后图形，滤波误差及收敛过程。
二、实验程序clc;clear;N=256 ; %信号与噪声的长度w=randn(1.2,N); %产生高斯白噪声，令方差为1.2f=0.05; %实正弦信号频率s=sin(2*pi*f*(0:N-1)) ; %产生正弦信号subplot(311);plot(s);title('有用信号s(n)')x=s+w;subplot(312);plot(x);title('加噪信号x(n)')[rx,lags]=xcorr(x,N,'biased'); %观测信号的自相关函数rx1=toeplitz(rx(N+1:end)); %对称化自相关函数矩阵使之成为方阵，滤波器的阶数为N+1阶rx2=xcorr(x,s,N,'biased'); %观测信号与期望信号的互相关函数rx2=rx2(N+1:end);h=inv(rx1)*rx2'; %维纳-霍夫方程sh=filter(h,1,x); %加噪信号通过滤波器后的输出subplot(313);plot(sh);title('通过维纳滤波后的估计信号sh(n)')e=mean((s-sh).*(s-sh)); %计算最小均方误差st=sprintf(‘输入与输出信号的均方误差e=%8.5f',e);disp(st); %将均方误差输出三、实验结果输入与输出信号的均方误差e= 0.06199四、实验总结维纳滤波器作为一种理想的线性滤波器，优点是适应面广泛，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量还是向量都可以应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
多普勒效应对OFDM的影响及克服方法
多普勒效应对OFDM的影响及克服方法清华大学广州京信工程硕士班黄士达摘要：分析了在高速运动环境下所产生的多普勒效应对OFDM系统的影响。
重点论述了为克服多普勒效应的影响，所采用的各种克服方法和技术，包括最大似然估算法与预均衡结合的方法、利用相邻子载波共同传输同一符号，抑制多普勒频移对系统的影响的方法和将频域的多普勒效应扩展作为分集的方法等。
关键词：OFDM；多普勒效应；最大似然估计算法；预均衡；频域分集；1 引言正交频分复用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)是一种特殊的多载波技术，通过延长传输符号周期，从而增强抵抗多径衰落的能力，是一种新型高效的数字调制技术。
20世纪70年代，人们提出了采用离散傅里叶变换来实现多个载波的调制，简化了系统结构，使OFDM 技术得到了广泛的应用。
同时，由于无线通信技术，特别是无线多媒体技术的飞速发展，要求的数据传输速率越来越高，采用OFDM调制技术可有效地处理信道干扰，提高系统的传输速率，因此备受瞩目。
1995年欧洲电信标准委员会(ETSI)将OFDM作为数字音频广播(DAB)的调制方式，这是第一个以OFDM作为传输技术的标准。
欧洲数字视频广播联盟也在1997年采用OFDM作为其地面广播(DAB-T)调制标准。
1999年IEEE将OFDM作为其无线局域网标准IEEE802．11a的物理层的调制标准。
目前OFDM技术已被广泛应用于广播式的音频和视频领域以及通信系统中。
然而，对频偏的敏感性是OFDM的一个主要缺点，而高速移动环境必然会带来很大的多普勒频移，从而使得O FDM系统的性能急剧变坏。
因此，研究OFDM技术在高速移动环境下的应用，提高其抗多普勒效应的能力，具有很大的实用价值。
2多普勒效应及对OFDM的影响如图1所示，当移动台以恒定速率v 在长度为d , 端点为X和Y 的路径上运动时收到来自远端源S 发出的信号。
维纳-霍普夫方程
维纳-霍普夫方程
维纳-霍普夫方程（Wiener-Hopf equation）是一类特殊的积分方程，它的形式为：
其中$K(x)$ 和$g(x)$ 是已知的函数，$f(x)$ 是待求函数。
它是由美国数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）和英国数学家恩斯特·霍普夫（Ernst Julius Willy Hopf）在20世纪初所提出，主要应用于数学物理和工程学领域中的边界值问题、波动传播问题和信号处理等方面。
维纳-霍普夫方程的求解方法比较复杂，主要有经典方法、改进方法和数值方法等。
其中经典方法主要是通过特殊函数的性质、变换和逆变换来求解，如拉普拉斯变换、傅里叶变换、瑞利-斯多克数学方法等。
改进方法则是通过引入新的变量、函数或操作来简化原方程，如费曼路径积分、格林函数等。
数值方法则是将方程离散化，通过数值计算来求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
维纳-霍普夫方程的研究在现代数学、物理和工程学中都有广泛的应用，如声波传播、光学、电磁学、弹性力学、流体力学、化学反应动力学、金融工程等。
现代信号处理实验报告
实验报告实验课程：现代信号处理学生姓名：李行学号： 401030719013 专业：信息与通信工程指导老师：万国金实验一 维纳滤波器的设计一、 实验目的1、了解维纳滤波的实现原理2、Matlab 仿真实现加性干扰信号的维纳滤波。
3、分析影响维纳滤波效果的各种因素，从而加深对维纳滤波的理解。
二、 实验内容设计一维纳滤波器。
（1）、产生三组观测数据：首先根据)()1()(n w n as n s +-=产生信号)(n s ，将其加噪（信噪比分别为20dB ，10dB ，6dB ），得到观测数据)(1n x ,)(2n x ,)(3n x 。
（2）、估计)(n x i ，3,2,1=i 的AR 模型参数。
假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。
三、 实验原理维纳滤波是一种从噪声背景中提取信号的最佳线性方法。
维纳-霍夫方程为()()()()()k r k h m k r m h k r xx m xx xd *0=-=∑+∞=当()n h 是一个长度为M 的因果序列（即一个长度为M 的FIR 滤波器）时，维纳-霍夫方程表述为()()()()() ，，，210*10==-=∑-=k k r k h m k r m h k r xx M m xx xd定义()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02120111011021xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xd xd xd xd M r M r M r M r r r M r r r M r r r h h h R R h则可写成矩阵的形式，即h R Rxx xd=对上式求逆，得到R R h xd xx 1-=由以上式子可知：若已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数，则可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。
维纳——霍夫方程
霍夫方程是一个用来描述物理系统的微分方程，它可以用来求解物体在不同时间和位置之间的力学行为。
它是由德国数学家卡尔·霍夫于1858年发明的，最初是用来描述气流力学中流体运动的。
霍夫方程也被广泛应用于其他物理学领域，如量子力学、声学、光学和引力场理论中。
通常情况下，霍夫方程可以表达为:
$$\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{v}\mathbf{F}) = 0$$
其中$\mathbf{F}$ 是一个函数（或者说向量场）, $\mathbf{v}$ 是速度向量. 这意味着随时间t 的变化, 函数 F 的对应都会随之而变化. 通常情况下, 霍夫方程也会附带有一些关于 F 的初始条件.。
实验四 维纳-霍夫方程
实验四 维纳－霍夫方程1． 本次实验的目的和要求学习求解维纳-霍夫方程，寻找最小均方误差意义下的最优滤波器。
2． 实践内容或原理根据正交原理可以推导出维纳-霍夫方程，满足该方程的滤波器输出信号的估计值与信号在最小均方误差意义下最接近。
()()()+∞-∞=-=∑+∞-∞=,,0,,optj m j R m h j R m xxxs根据滤波器的形式，维纳滤波器可以分为三种情况：非因果IIR 型，因果IIR 型，FIR 型，对于实时性有要求的情况下用后两种形式。
图1 维纳滤波器对于FIR 型维纳滤波器，维纳-霍夫方程的形式为()()()1,,1,01opt -=-=∑-=N j m j R m h j R N m xx xs或者写成矩阵形式xsopt xx R H R =其中()()()[]Topt N h h h 110-= H()()()[]Txs xs xs xs N R R R 110-= R ()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=021201110xx xx xx xx xx xxxx xx xx xx R N R N R N R R R N R R RR这样，如果信号和噪声的二阶统计特性已知，则易求解xsxx R R H 1-=维纳滤波的均方误差是()[]()()()∑-=-=120N m xs opt ss m R m h R n e E3． 需用的仪器、试剂或材料等电脑、MATLAB 应用软件或C 语言编程软件 4． 实践步骤或环节1）先确定信号的自相关函数和噪声的能量，进而编写程序求解维纳-霍夫方程，寻找最优滤波器；2）编写程序仿真信号，噪声和观察波形，然后把观察信号通过滤波器得到的信号估计与原始信号比较，观察是否达到了去噪的目的；3）选择不同信号（仿真信号，实际采集的心电，脑电信号），人工添加噪声，调整噪声的相对强度，观察滤波效果。
5． 教学方式教师先对核心内容做简要讲解，然后学生自己查资料编程。
实验报告
题目要求：假设一个点目标在x ，y 平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。
其中，x 方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y 方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。
1、 产生满足要求的x 方向和y 方向随机噪声500个样本；2、 明确期望信号和观测信号；3、 试设计一FIR 维纳滤波器，确定最佳传递函数：1opt xx xs h R R -=，并用该滤波器处理观测信号，得到其最佳估计。
（注：自行设定误差判定阈值，根据阈值确定滤波器的阶数或传递函数的长度）。
4、 要求3中，也可以选择Kalman 滤波器进行滤波处理，采用哪种滤波器可以自由选择。
5、 分别绘制出x 方向和y 方向的期望信号、噪声信号、观测信号、滤波后信号、最小均方误差信号的曲线图；6、 在同一幅图中绘制出期望信号、观测信号和滤波后点目标的运动轨迹。
一、解题思路实验中假定点目标做匀速圆周运动，主要分为一下几步：(1) 分别产生x轴和y轴方向的信号和噪声，然后合成观测信号。
(2) 根据wiener-hopf方程的矩阵形式分别求出x方向和y方向的最优传递函数h。
opt(3) 将x方向和y方向的观测信号分别通过最优滤波，再进行合成，最终得到最优滤波后的观测信号。
二、matlab的实现程序及注解clear;clf;sita=0:pi/249.5:2*pi;xnoise=sqrt(0.05)*randn(1,500);%产生x轴方向噪声ynoise=sqrt(0.06)*randn(1,500);%产生y轴方向噪声x=cos(sita)+xnoise;%产生x轴方向观测信号y=sin(sita)+ynoise;%产生y轴方向观测信号%产生维纳滤波中x方向上观测信号的自相关矩阵rxx=xcorr(x);for i=1:100for j=1:100mrxx(i,j)=rxx(500-i+j);endendxd=cos(sita);%产生维纳滤波中x方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵rxd=xcorr(x,xd);for i=1:100mrxd(i)=rxd(499+i);endhoptx=inv(mrxx)*mrxd';%由维纳-霍夫方程得到的x方向上的滤波器最优解fx=conv(x,hoptx);%滤波后x方向上的输出nx=sum(abs(xd).^2);eminx=nx-mrxd*hoptx;%x方向上最小均方误差%产生维纳滤波中y方向上观测信号的自相关矩阵ryy=xcorr(y);for i=1:100for j=1:100mryy(i,j)=ryy(500-i+j);endendyd=sin(sita);%产生维纳滤波中y方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵ryd=xcorr(y,yd);for i=1:100mryd(i)=ryd(499+i);endhopty=inv(mryy)*mryd';%由维纳-霍夫方程得到的y方向上的滤波器最优解fy=conv(y,hopty);%滤波后y方向上的输出ny=sum(abs(yd).^2);eminy=ny-mryd*hopty;%y方向上最小均方误差subplot(2,4,1)plot(xd);title('x方向期望信号');subplot(2,4,2)plot(xnoise);title('x方向噪声信号');subplot(2,4,3)plot(x);title('x方向观测信号');subplot(2,4,4)n=0:500;plot(n,eminx);title('x方向最小均方误差');subplot(2,4,5)plot(yd);title('y方向期望信号');subplot(2,4,6)plot(ynoise);title('y方向噪声信号');subplot(2,4,7)plot(y);title('y方向观测信号');subplot(2,4,8)plot(n,eminy);title('y方向最小均方误差');figure;plot(xd,yd,'k');hold on;plot(x,y,'b:');hold on;plot(fx,fy,'g-');title('最终结果');三、结果分析x方向及y方向的期望信号、噪声信号、观测信号以及滤波后的最小均方误差如上图所示。
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大理大学实验报告课程名称生物医学信号处理实验名称维纳-霍夫方程专业班级姓名羽卒兰cl学号实验日期2016年5月20日实验地点2015—2016学年度第 3 学期%load eegdata; %导入脑电信号的数据 %load icpdata; %导入颅内压信号的数据 %load respdata; %导入个呼吸信号的数据%s = ecgdata(1:M)'; %取生成心电信号(1:M)的逆矩阵 %s = eegdata(1:M)'; %取生成脑电信号(1:M)的逆矩阵 %s = icpdata(1:M)'; %取生成颅内压信号(1:M)的逆矩阵 %s = respdata(1:M)'; %取生成呼吸信号(1:M)的逆矩阵 w = 0.4*randn(1,M); %白噪声，系数代表噪声相对强度 x = s+w; %仿真信号Rss = xcorr(s,s); %估计信号自相关函数 Rww = xcorr(w,w); %估计噪声自相关函数 [h,e] = WH(Rss,Rww,M);ss = filter(h,1,x); %用维纳滤波器滤波 figure;subplot(2,2,1);plot(n,s);title('信号');%生成两行两列窗口，在第一个窗口画图，并标题 subplot(2,2,2);plot(n,w);title('噪声');%生成两行两列窗口，在第二个窗口画图，并标题 subplot(2,2,3);plot(n,x);title('观测值');%生成两行两列窗口，在第三个窗口画图，标题 subplot(2,2,4);plot(n,ss);title('信号估计');%生成两行两列窗口，在第四个窗口画图标题 figure;plot(n,ss-s);title('估计误差');%画估计误差图 error=mean((ss-s).^2)%求最小均方误差 思考题：观察实验结果，对于几种不同的信号，维纳滤波是否都取得了较好的效果？如果效果不好，试分析原因。
1.只改变数据长度，观察其对信号的影响 1.1仿真信号，噪声强度w=0.4，阈值取，M 分别取1024，2000，3000，400050010001500-1-0.500.51信号50010001500-2-1012噪声50010001500-2-1012观测值50010001500-1-0.500.51信号估计500100015002000-1-0.500.51信号500100015002000-2-1012噪声500100015002000-2-1012观测值500100015002000-1-0.500.51信号估计信号的长度M=1024 N=103 error=0.0092 信号的长度M=2000 N=114 error=0.0079100020003000-1-0.500.51信号100020003000-2-1012噪声100020003000-2-1012观测值100020003000-1-0.500.51信号估计 01000200030004000-1-0.500.51信号1000200030004000-2-1012噪声1000200030004000-2-1012观测值1000200030004000-1-0.500.51信号估计信号的长度M=3000 N=200 error=0.0044 信号的长度M=4000 N=204 error=0.0050图1 仿真信号的维纳滤波图（数据长度M 分别为1024，2000,3000,4000）答：从图1可以看出，随着仿真信号长度M 分别为1024，2000,3000,4000的增大，N 值也逐渐增大，最小均方误差error 有下降的趋势，因此信号估计图越接近原信号，主要是因为M 越大，样本点数越大，原始信号的采集量越大，结果比较准确。
1.2心电信号，噪声强度w=0.4，阈值取，M 分别取128，256，512，1024050100150-0.500.51信号050100150-2-101噪声50100150-2-1012观测值050100150-1-0.500.5信号估计100200300-0.50.51信号100200300-2-112噪声010*******-2-1012观测值010*******-1-0.50.5信号估计信号的长度M=128 N=46 error=0.0326 信号的长度M=256 N=76 error=0.0189200400600-1-0.500.51信号020*******-2-1012噪声200400600-2-1012观测值020*******-1-0.500.5信号估计50010001500-1-0.500.51信号50010001500-2-1012噪声050010001500-2-1012观测值050010001500-1-0.50.5信号估计信号的长度M=512 N=89 error=0.0234 信号的长度M=1024 N=176 error=0.0229 图2 心电信号的维纳滤波图（数据长度M 分别为128,256,512,1024）答：从图2可以看出，随着心电信号长度M 分别为128,256,512，1024的增大，N 值也逐渐增大，最小均方误差error 有下降的趋势，因此信号估计图越接近原信号,但是心电信号有局限性，所以取值的时候要注意，要想取到1024以上，可以进行周期延拓。
1.3脑电信号，噪声强度w=0.4，阈值取，M 分别取128，256，512，102450100150-4-2024信号50100150-2-1012噪声50100150-4-2024观测值50100150-4-2024信号估计100200300-10-55信号100200300-2-1012噪声010*******-10-55观测值010*******-55信号估计信号的长度M=128 N=28 error=0.1261 信号的长度M=256 N=77 error=0.1497200400600-10-55信号200400600-2-112噪声020*******-10-55观测值020*******-55信号估计50010001500-10-50510信号50010001500-2-1012噪声050010001500-50510观测值050010001500-5510信号估计信号的长度M=512 N=162 error=0.1149 信号的长度M=1024 N=444 error=0.1317 图3 脑电信号的维纳滤波图（数据长度M 分别为128,256,512,1024）答：从图3可以看出，随着脑电信号长度M 分别为128,256,512，1024的增大，N 值逐渐增大，最小均方误差error 有上升的趋势，那是因为脑电信号是非平稳随机信号，不适用，脑电信号有局限性，所以取值的时候要注意，要想取到1024以上，可以进行周期延拓。
1.4颅内压信号，噪声强度w=0.4，阈值取，M 分别取128，256，512，1024050100150246信号050100150-2-101噪声50100150-20246观测值50100150-20246信号估计100200300246信号100200300-2-112噪声100200300-2246观测值100200300-2246信号估计信号的长度M=128 N=81 error=0.1266 信号的长度M=256 N=188 error=0.07442004006000246信号200400600-2-112噪声020*******-50510观测值020*******-50510信号估计50010001500246信号50010001500-2-112噪声50010001500-5510观测值50010001500-2246信号估计信号的长度M=512 N=197 error=0.0819 信号的长度M=1024 N=264 error=0.0747 图4 颅内压信号的维纳滤波图（数据长度M 分别为128,256,512,1024）答：从图4可以看出，随着颅内压信号长度M 分别为128,256,512，1024的增大，N 值逐渐增大，最小均方误差error 有下降的趋势，颅内压信号有局限性，所以取值的时候要注意，要想取到1024以上，可以进行周期延拓。
1.5呼吸信号，噪声强度w=0.4，阈值取，M 分别取128，256，512，10245010015005001000信号50100150-1-0.500.51噪声0501001505001000观测值0501001505001000信号估计010*******5001000信号010*******-112噪声010*******5001000观测值010*******5001000信号估计信号的长度M=128 N=3 error=0.1622 信号的长度M=256 N=54 error=0.140420040060005001000信号200400600-2-1012噪声020*******5001000观测值020*******5001000信号估计5001000150005001000信号50010001500-2-1012噪声0500100015005001000观测值0500100015005001000信号估计信号的长度M=512 N=113 error=0.1581 信号的长度M=1024 N=264 error=0.1513图5 呼吸信号的维纳滤波图（数据长度M 分别为128,256,512,1024）答：从图5可以看出，随着呼吸信号长度M 分别为128,256,512，1024的增大，N 值逐渐增大，最小均方误差error 有下降的趋势，呼吸信号有局限性，所以取值的时候要注意，要想取到1024以上，可以进行周期延拓。
2.只改变噪声强度，观察噪声强度对信号的影响 2.1仿真信号，阈值取，M=1024，W 分别取0.1,0.2,0.4,0.850010001500-1-0.500.51信号50010001500-0.4-0.200.20.4噪声50010001500-112观测值50010001500-1-0.50.51信号估计50010001500-1-0.500.51信号50010001500-1-0.500.51噪声50010001500-2-1012观测值50010001500-1-0.500.51信号估计信号的长度M=1024 N=37 error=0.0014（W=0.1） 信号的长度M=1024 N=92 error=0.0042（W=0.2）50010001500-1-0.500.51信号50010001500-2-1012噪声50010001500-2-1012观测值50010001500-1-0.500.51信号估计50010001500-1-0.500.51信号50010001500-4-2024噪声50010001500-4-2024观测值50010001500-1-0.500.51信号估计信号的长度M=1024 N=88 error=0.0118（W=0.4） 信号的长度M=1024 N=183 error=0.0234（W=0.8） 图6 仿真信号的维纳滤波图（噪声强度W 分别取0.1,0.2,0.4,0.8）答：从图6可以看出，随着仿真信号的噪声强度0.1,0.2,0.4,0.8的增大，N 有逐渐增大的趋势，最小均方误差error 越大，维纳滤波效果越差。