得各物理量的量纲如下
有限元分析中的单位问题
有限元分析中的单位问题大多数有限元计算程序都不规定所使用的物理量的单位，不同问题可以使用不同的单位，只要在一个问题中各物理量的单位统一就可以。
但是，由于在实际工程问题中可能用到多种不同单位的物理量，如果只是按照习惯采用常用的单位，表面上看单位是统一的，实际上单位却不统一，从而导致错误的计算结果。
比如，在结构分析中分别用如下单位：长度– m；时间– s；质量– kg；力- N；压力、应力、弹性模量等– Pa，此时单位是统一的。
但是如果将压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位就是不统一的；或者同时将长度单位改为mm，压力单位改为MPa，保持其余单位不变，单位也是不统一的。
由此可见，对于实际工程问题，我们不能按照手工计算时的习惯来选择各物理量的单位，而是必须遵循一定的原则。
物理量的单位与所采用的单位制有关。
所有物理量可分为基本物理量和导出物理量，在结构和热计算中的基本物理量有：质量、长度、时间和温度。
导出物理量的种类很多，如面积、体积、速度、加速度、弹性模量、压力、应力、导热率、比热、热交换系数、能量、热量、功等等，都与基本物理量之间有确定的关系。
基本物理量的单位确定了所用的单位制，然后可根据相应的公式得到各导出物理量的单位。
具体做法是：首先确定各物理量的量纲，再根据基本物理量单位制的不同得到各物理量的具体单位。
基本物理量及其量纲：·质量m；·长度L；·时间t；·温度T。
导出物理量及其量纲：·速度：v = L/t；·加速度：a = L/t2；·面积：A = L2；·体积：V = L3；·密度：ρ= m/L3；·力：f = m·a = m·L/t2；·力矩、能量、热量、焓等：e = f·L = m·L2/t2；·压力、应力、弹性模量等：p = f/A = m/(t2·L) ；·热流量、功率：ψ= e/t = m·L2/t3；·导热率：k =ψ/ (L·T) = m·L/(t3·T)；·比热：c = e/(m·T) = L2/(t2·T)；·热交换系数：Cv = e/(L2·T·t) = m/(t3·T)·粘性系数：Kv = p·t = m/(t·L) ；·熵：S = e/T = m·l2/(t2·T)；·质量熵、比熵：s = S/m = l2/(t2·T)；在选定基本物理量的单位后，可导出其余物理量的单位，下面举两个常用的例子。
关于量纲分析法
3
T M L
T
23
1 0 2 3 0 2 1 3
1 0 2 1 / 2 1 / 2 3
对比
l t g
l t 2 g
对比这里计算出的公式和实际公式
参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
原理分析
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
对量纲分析法的评价
量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重 要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意以下几点：
二、波浪对航船的阻力
与航船阻力有关的物理量： 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 航船阻力 f 海水密度, 重力加速度g。
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
( g , l , , v, s, f ) 0
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
g l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
1 2 1 2
航船阻力模型
注意3中含有 f ，为了得到 f 的 关系式，不妨设
1 g 1 2 2 l v 1 2 l s 2 g 1l 3 1 f 3
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
麦克斯韦Maxwell方程组各个物理量介绍
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的:▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。
电场线开始于正电荷，终止于负电荷。
计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。
更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙。
所以，没有磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。
磁场线会形成循环或延伸至无穷远。
换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。
以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
▪法拉第感应定律描述含时磁场怎样生成（感应出）电场。
电磁感应在这方面是许多发电机的运作原理。
例如，一块旋转的条形磁铁会产生含时磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项）。
在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，含时磁场又可以生成电场。
这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间（更详尽细节，请参阅条目电磁波方程）。
自由空间:在自由空间里，不需要考虑介电质或磁化物质的问题。
假设源电流和源电荷为零，则麦克斯韦方程组变为:、、、。
对于这方程组，平面行进正弦波是一组解。
这解答波的电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于平面波行进的方向。
电场与磁场同相位地以光速传播：。
仔细地观察麦克斯韦方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。
根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据麦克斯韦-安培定律，时变电场又生成了磁场。
这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。
第一种表述:将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。
这种表述采用比较基础、微观的观点。
《传递现象导论》1-4章课后答案
第一章习题解1-1.水流进高为h =0.2m 的两块宽平板之间的通道，如图1-52所示。
已知：通道截面具有速度分布2007575x u ..y =-。
求：通道截面平均速度U 。
解：由式（1-3）得通道截面平均速度()0.1220.0757.510.210.05m /s-⨯=⨯=⎰⎰x Au dA U =Ay dy1-2.如图1-53所示，在一密闭容器内装有水及油，密度分别为ρ水＝998.1kg /m 3,，ρ油＝850kg /m 3，油层高度h 1=350mm ，容器底部装有水银(ρ水银＝13600 kg /m 3)液柱压力计，读数为R =700mm，水银面的高度差h 2=150mm ，求容器上方空间的压力p 。
解：在图1-53中，U 型管上取控制面Ⅰ，两侧压力相等。
由式（1-20）流体静力学的平衡定律得 ()1210油水水银p+ρgh +ρg R+h -h =p +ρgR将大气压50 1.013310Pa =⨯p 和其它已知数据代入上式，可得容器上方空间的压力51.8710Pa =⨯p1-3.如图1-54所示，已知容器 A 中水面上的压力为p A =1.25大气压，压力计中水银面的差值 h 1=0.2m ,h 2=0.25m ,h =0.5m, ρH 2O =1000kg/m 3,ρHg =13550kg/m 3。
求：容器B 中压力p B 。
解：在图1-54中，各U 型管上取控制面Ⅰ、Ⅱ，各控制面两侧压力相等。
设中间管中空气压力为p ，并忽略空气密度。
由式（1-20）流体静力学的平衡定律得 ()2A H O 1Hg 1B Hg 2⎧⎪⎨⎪⎩p +ρg h+h =p+ρgh p =p +ρgh ()()2B A H O 1Hg 12p =p +ρg h+h -ρg h +h将55A 1.25 1.013310 1.26710Pa =⨯⨯=⨯p 和其它已知数据代入上式，可得容器B 中压力4B 7.3810Pa =⨯p1-4.证明：单位时间单位面积动量的量纲与单位面积力的量纲相同。
03量纲
3.模型举例 例1. 几何体中的长度、面积和体积 正立方体 棱长 L0=a, 底面周长 L1 = 4a， L3 3a 底面对角线长 L2 对角线长 2a 表面积 S1 = 6a2，底面面积 S2 = a2， 2 S3 2a 对角面面积
体积
V1 = a3，四棱锥体积 V2 = a3/3
T
量纲矩阵
1 0 2 3 1 A 0 0 1 1 1 0 1 2 0 2
Aα =0 无量纲解 =（1，-2/5，-1/5，1/5，0） 1 =（0，6/5，-2/5，-3/5，1） 2
1 rt 2 / 5E 1/ 5 1/ 5
ij
j 1
k
为x1, ,xk的无量纲乘积 [i ] = 1.
三. 量纲分析的应用实例
例 2 原子弹爆炸能量的估计 1945年7月美国在新墨西哥州 阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第 一颗原子弹。 但当时有关原子弹爆炸的任何 资料都是保密的 人们无法比较准确地了解这次 爆炸的威力。 两年以后，美国首次公开了这次爆炸的录影带 但没有发布任何有关的数据。 英国物理学家G.I.Taylor(1886-1975)通过研究这次爆炸的 录影带， 建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计。
20. 量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加项的 量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2
二. 量纲分析 量纲分析 是在物理领域中建立数学模型的方法. 利用物理量的量纲提供的信息， 根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。
工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析
第6章 相似理论和量纲分析
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6.1 量纲分析
量纲的概念 量纲齐次性原理 量纲分析法
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6.1 单位和量纲
• 物理量——物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理 量是用数值和单位表示的。
时间t的单位：秒、分、小时等。
由量纲齐次性知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有
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ab 1 a 3b c d 1 a c 2
三个方程有四个未知数，为此任意指定一个未知量为待定指数，如选 a为 待定指数，则可从上式解出
于是有
b 1a c 2a d 2a
CS
lm2
l
2 p
Cl2
体积比尺
CV
lm3
l
3 p
Cl3
长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺
是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为
导出物理量量纲与基本物理量间的关系。
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2.运动相似
——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统
对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一
比例。
速度比尺
Cv
vm vp
时间比尺 加速度比尺
Ct
tm tp
lm / vm lp / vp Nhomakorabea
Cl Cv
Ca
am ap
vm / tm vp / tp
Cv Ct
Cv2 Cl
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量纲分析法
第三节 量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。
任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。
解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。
量纲分析
解:下面我们按照定理的过程来做.
设关系式为 ( f,l,h,v, , , g) 0
(7)
取基本量纲为L, M ,T .由于
[ ] L3 M ,[] [ p / v ] L1MT 1.
x
回忆：压强[ p] [ f / S] L1MT 2 .
因此量纲矩阵为
我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有m,g,t,l.我们设
t m l g ,常数 , ,待定;为无量纲量.
两边取量纲得 : T M L (LT 2 )
T M L ( LT 2 )
由 量 纲 齐 次 原 理, 比 较 各 基 本 量 纲 的 幂 得
并设(1)式可写成 t ym l g , (2)
(2)式取量纲得 T y M L (LT 2 ) L0 M 0T 0 .
0,
由
量
纲
齐
次
原
理
得
0,
(3)
y 2 0.
解(3)得线性无关解为 ( y, , , )T (2,0,1,1)T . (4)
g
k
m2 r2
结合初值得到抛射问题模型为
x
(
r2g xr
)2
,
x(0) 0, x(0) v
(11)
这个方程为可降阶的高阶微分方程,可理论求 解,较复杂.总之,可解得
x x(t;r,v, g)
下面我们讨论用无量纲化方法来简化它.
这里是力学问题,采用长度和时间为基本量纲
[x] L, [t] T . 则 [r] L,[v] LT 1,[g] LT 2
七大基本量纲
七大基本量纲
七大基本量纲是国际单位制（SI）中定义的基本物理量的量纲。
它们是：
1. 长度（L）：表示空间的尺寸和距离。
2. 质量（M）：表示物体的惯性和重量。
3. 时间（T）：表示事件发生的顺序和持续的时间。
4. 电流（I）：表示电荷在导体中的流动。
5. 温度（θ）：表示物体的热量和热能状态。
6. 物质的物质数量（N）：表示物体中粒子数量的多少。
7. 光强度（J）：表示光源的辐射功率。
这些基本量纲可以组合成其他衍生量纲，例如速度、加速度、力、功等。
SI单位制使用这些基本量纲和其衍生量纲来描述和测量物理现象。
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
量纲分析与相似理论1
3 1
1 1
1
2
L : 0 31 1 1 1
1 解上述三元一次方程组得：
故
T : 0 1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1, 1 2, 1 2
FD 1 V 2d 2
例题2
同理：
1 2 Vd Re
代入 (1 , 2 ) 0 ，并就FD解出，可得：
CG CFI
式中：
C Cl Cg 重力比尺：C G ( Vg ) m ( Va ) p 3 C C C l Ca 惯性力比尺： FI ( Va )
m
( Vg ) p
3
C Cl CV
2
2
Ca
CV
2
Cl
故得弗劳德准则方程：
CV V V 1 or ( ) p ( )m Cg Cl gl gl
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如 流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3
力
dimF＝MLT－2
压强
dim p=M L－1 T－2
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
C C C
故得雷诺准则方程：
CV Cl Vl Vl 1 or ( ) p ( ) m C
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两 者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
物理量的单位与量纲
§2.2 物理量的单位和量纲2.2.1 国际单位制（SI 制）在历史上, 由于物理量的单位制有很多种，世界各国往往按照各自的习惯，沿用不同的单位制，这不便于科学技术的交流和发展，而且也不规范。
鉴于这种情况，国际计量大会决议推行统一的国际单位制（Le Système International dùnités ）简写为SI （注意是法文）。
我国也决定从1987年1月1日起，在各级学校的教科书中使用国际单位制。
国际单位制规定了7个具有严格定义的基本单位，见表2.1所示。
其中前三个单位：长度单位“米”、质量单位“千克”、时间单位“秒”是力学里的基本单位。
国际单位制除了规定7个基本单位之外，还有两个辅助单位，分别是平面角的单位弧度（rad ）和立体角的单位球面度（sr ）。
表2.1 国际单位制中的基本单位国际单位制规定的其它物理量所对应的单位，如力的单位牛顿、能量单位焦耳、电压单位伏特等等，都可以由这7个基本单位导出。
按照上述基本量和基本单位的规定，速度的单位是米每秒（1m s -⋅）；角速度的单位是弧度每秒（1rad s -⋅）；加速度的单位是米每二次方秒（2m s -⋅）；力的单位是千克米每二次方秒（2kg m s -⋅⋅），称为 “牛顿”，简称“牛”（N ）。
21N 1kg m s -=⋅⋅。
其它常见物理常数的名称、符号、数值和单位见附录B 。
2018年11月16日，第26届国际计量大会通过了关于修订国际单位制的决议。
国际单位制7个基本单位中的4个，即千克、安培、开尔文和摩尔将分别改由普朗克常数、基本电荷、玻尔兹曼常数和阿伏伽德罗常数来定义。
加之此前对“秒”、“米”和“坎德拉”的重新定义，至此组成国际计量单位制的7个基本单位均实现了由常数定义，全部告别了采用实物计量的历史。
为了便于读者理解，我们将力学中三个基本单位的新旧定义一并列出。
1. 秒，符号：s ，SI 的时间单位。
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
附录三物理量单位与量纲
附录三物理量单位与量纲1．物理学中的单位制1.1 基本单位和导出单位物理学是一门实验科学，常需要对各种物理量进行必要的测量。
对一个物理量测量的结果一般包括所测定的数值和所需用的单位两个部分。
由于各个物理量之间存在一定的规律性联系，所以可不必对每个物理量的单位都独立地给予规定，而只需选择一组互相独立的物理量为基本量，并为每一个基本量规定一个基本单位。
至于其它的物理量，由于它们都可以由基本量通过有关的关系式（定义或定律）导出，因而称为导出量，与之所对应的单位则称为导出单位。
1.2 单位制由基本单位和一系列有关关系式得到的导出单位就制定了一套单位，这就构成了一定的单位制。
1.2.1 国际单位制（SI）为了国际上的贸易、工业及科学技术交往的需要，1875年在法国巴黎由17个国家的外长制定了米制公约。
米制公约规定：长度单位为米、质量单位为千克（公斤）、时间单位为秒，这种单位制被称为米⋅千克⋅秒制（英文简写为MKS制）。
随着电磁学、热力学、光学和微观物理学的发展，基本量由3个扩大到7个，在此基础上发展起来的单位制被称为国际单位制，这是在1960年的第11届国际计量大会上被首次予以确认的，并统一以SI表示。
在国际单位制中，将单位分为三大类：基本单位、导出单位和辅助单位。
其中基本单位有7个，它们分别为：（1）长度单位―――米（m）。
1889年第1届国际计量大会上批准以铂铱米尺（被称为国际米原器）的长度为1米。
1983年第17届国际计量大会上对米作了最新的定义：“米是1/299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度”。
在通过“米”的定义的同时，还规定了复现新的米定义的三种方法（在此之前，应首先规定真空中的光速为c = 299792458m s-1）：一是利用平面电磁波在真空中经过时间间隔∆t 所传播的距离l = c∆t的关系，从计量时间∆t得出l；二是利用频率为ν的平面电磁波在真空中的波长λ = c/ν的关系，从测量频率ν得出波长λ；三是可采用所规定的某种饱和吸收稳频激光的辐射，或某些光谱灯的辐射，通过测量其频率而得出波长。
2012-2013年中国科学院大学考研试题 流体力学
科目名称：流体力学
第 1 页，共 2 页
二、 (共 15 分) 如图所示，有一水坝的蓄水面为 1/4 圆柱面，柱面与水库底相切。
已知水面距离坝顶高 h ，柱面半径为 R ，试求单位长度的水坝受到的水平方向水
压的合力 F 大小(不考虑大气压强)。
•
h
R
F
三、 (共 25 分) 已知某一理想流体的平面流动速度分布为： ux = x2 − y2 + y ， uy = −2xy + x 。 (1) 试问该流动是否存在势函数ϕ 和流函数ψ ，若存在则求出ϕ 和ψ 。 (2) 有一过 (0,1) 和 (2, 2) 两点的曲线，求过此曲线的体积流量。
0
u U0
1
u U0
dy
。
科目名称：流体力学
第 2 页，共 2 页
中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：流体力学
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
2 a,
2
2 2
a
的
流线示意图。
四、 (共 20 分) 现有密度为 的不可压缩理想流体经过一个截面积缓变的管道， 在两个不同截面 1 和 2 处，已知流动压强分别为 p1 和 p2 ，截面积分别为1 和 2 ， 忽略重力等体积力，试求管道内的体积流率。
五、 (共 20 分) 不可压缩均匀来流经过一半无限大平板产生边界层，已知均匀来 流密度为 0 ，速度大小为U0 ，方向平行于平板，黏性系数为 0 。设 u u(x, y) 为距离平板前缘 x 处且距平板壁面高 y 处( 0 y )的水平速度， (x) 为该截
第五章——量纲分析和相似原理
（3）运动相似 ——速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加 速度）方向一致，大小成比例
速度比例常数
CV
V' V
基本比例常数
加速度比例常数
Ca
a ' V '/ t ' CV a V / t Ct
CV2 Cl
流量比例常数
CQ
Q' Q
l '3/ t ' l3 /t
'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相 似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
19
5.2 相似原理与模型实验
3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中
p
g
V2 2g
l d
F2
Vd
,
d
令
F2
Vd
,
d
则
p V 2 l g 2g d
——达西公式。为沿程阻力系数。
8
5.1 量纲分析
3. Π定理的几点说明 （1）无量纲数组的特性 ① 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的 ② 无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数
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二、重点、难点
1．重点 重力相似准则、粘性力相似准则，压力相似准则， 模型设计；量纲和谐原理，瑞利法与π 定理。 2．难点：瑞利法与π 定理
引言： 一、实验观察法
在实物或原形上进行实验，观察实验现象，并 总结和推广到相应的模型或原形上。
二、相似方法：
该方法是模型中的现象相似于原型中的现象的 方法。应用条件：模型中发生的现象与原型中发生 的现象相似，才有可能应用于原型。 相似原理研究支配相似系统的性质以及如何用 模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实 验的依据。但不是一种独立的科学方法，只是实验 和分析研究的辅助方法。 三、量纲分析法： 是流体力学中重要的数学方法，它表征给定现 象（过程）的各个物理量的量纲进行分析，从形式 推理出发，建立包括有关物理量在内的描述确定现 象的（或过程）的方程。
第四章 相似原理与量纲分析
一、教学目的与任务 1．本章的学习目的 1）掌握流动相似的基本概念。 2）动力相似准则及理解模型设计的基本 方法。 3）能应用量纲和谐原理进行量纲分析。
2．基本内容
1）理解几何、运动、动力相似的基本概 念。 2）掌握各种动力相似准则，特别是重力 相似准则、粘性力相似准则能灵活应用 模型律进行模型设计。 3）理解量纲与单位的基本概念，量纲的 和谐原理。。 4）掌握量纲的基本分析方法：π 定理。
§4-1相似理论 --定常流动的相似理论
两种流动相似的必要和充分条件是几何 相似、运动相似及动力相似即力学相似 。
一、 几何相似
模型与实物的外形相同，各对应部分夹角相 等而且对应部分长度（包括粗糙度）均成一定比例。
长度
l l l'
A l 2 ；面积 A 2 l A' l '
qV 2 t q '3 l q 'V l t t' 2 l 2 '2 t l l ' l t t'
3 l
l
3
l ' ' l
l'
三、 动力条件相似
实物与模型的流体，对应质点所受的诸力成一定 比例。 F M a V 3
The photo was taken in a wind tunnel, looking upstream toward the rear of the car, A grid with small cotton tufts attached to it is placed in the wake of the car, and the tufts align themselves with direction, Large counter-rotating vortices are revealed, Next time you see a car on a cold day, notice how the exhaust fumes (mostly condensed water) are entrained in the wake of the car traveling along a dirt road on a dry day will also reveal these flow patterns.
动力相似条件，
——密度相似系数
同样，根据量纲可以直接写出如：质量比例尺、 压强比例尺、动力粘度、力矩和功率比例尺。
m l3 F p 2 A p p' F ' A A' l ' ' ' M l 32
F
或
a 其中， a a ' l 2 3 l 2 l 2 2 所以， F l l 2 l 2 t t F
2
F'
M ' a'
'V '
a l a
l
2
2
1 即两种几何相似系统
翼型、叶栅空气动力学国家级重点实验室低速翼型风洞 （ NF－3风洞）实验段,是亚洲最大的低速翼型风洞,是我国唯 一的一座可更换试验段的低速风洞,其中二元试验段截面积为3 米×1.6米，最大风速为130米/秒，紊流度低于0.05%，三元试 验段截面积为3.5米×2.5米，最大风速为90米/秒，螺旋桨试 验段直径为2.2米，最大风速为145米/
夹角 1 2 ; 1 2 ; 1 2 几何相似即使通过比例尺 l 来表达，只要 l 维持 一定，就能保证两个流动保持相似。
V l3 V 3 l3 V ' l'
二、 运动相似
对应的质点，流过相应的距离 的时间成一定比例。
t t t'
相似原理应用：
管流及水工结构受力、流模拟；水力机械运行特 性模拟；河渠模拟；河流均匀泥沙运动模拟；结构 模拟；土工模拟；模拟试验设备设施；模拟试验技
术（试验数据的采集、记录与分析）
右图为在风洞 中对协和飞机模型 作模拟实验时实拍 的尾涡照片。
在风洞中进行的建筑物模型风载实验
摩天大楼：左图为具有世界最高天线高度的芝加哥西尔斯大厦, 共110层,高443m。据测定顶层在大风中摇摆幅度达0.46m;右图 为中国第一,世界第四高楼金茂大厦,共88层,高420.5m。
低速翼型风洞（NF－3风洞）
大型风洞试验装置的测试段
大型风洞试验装置
翼型、叶栅空气动力学国家级重点实验室高速连续式增压 风洞（NF－6风洞），是国内第一座增压连续式高速风洞。
A screen on the floor of a wind tunnel displays drag readings as the racer simulates a short radius turn.
根据运动相似和几何相似推出流速与加速度的相似 关系，
l t ' l' t
t'
l
a t a a' v' t l t'
上述可知，运动相似与否，取决于
而流速相似和加速度相似最终又取决于
v
2
， a
l , t
相似，
。
根据运动量纲可以直接写出如：流量比例尺、运 动黏度比例尺和角速度比例尺。