第五章 大数定律与中心极限定理

X 1 , X 2 , ..., X n , ... 不论服从什么分布, 当
n 足够大时,
总可以近似地认为
∑X
i =1
n
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i
n
nσ
N ( 0,1)
N ( n , nσ 2 )
或者等价于近似地认为
∑X
i =1
n
1
例1 设供电站供应某地区1000户居民用电,各户用电情况 相互独立,已知每户每日用电量(单位:度)在[0,20]上服从 均匀分布,求这1000户居民每日用电量超过1000度的概率. 解 设第 i 户居民的用电量为随机变量 X i ( i = 1, 2, ...,1000) 则 X i 在[0.20]上服从均匀分布, 由中心极限定理得
(5.1)
证明
因为 X 1 , X 2 , ..., X n , ... 相互独立,故
1 n 1 D ∑ Xi = 2 n i =1 n C ∑ D( X i ) ≤ n i =1
n
由车贝雪夫不等式得
1 n D ∑ Xi 1 n 1 n n i =1 ≥ 1 C P ∑ X i ∑ E( Xi ) < ε ≥ 1 n i =1 n i =1 ε2 nε 2
E ( X i ) = , D( X i ) = σ 2 ( i = 1 , 2 ,) ,则对于任意的 > 0 , ε 1 n 有 lim P ∑ X i < ε = 1 n →∞ n i =1
.
上述定理表明,当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n 的算术平均 n ∑ X i 在概率的意义下接近于它们的 i =1 数学期望,换句话说,在定理的条件下, n 个独立同分
X 1 , X 2 , ..., X n , ... 独立同分布,且数学期望和方差分别为
E ( X i ) = , D( X i ) = σ 2 > 0, i = 1 , 2 , , ,则随机变量
Yn =
∑X
i =1
n
i
E (∑ X i )
i =1 n
n
=
∑X
i =1
n
i
n
d (∑ X i
i =1
�
nσ
的分布函数 Fn ( x ) = P { yn ≤ x} 对于任意实数
x
满足
n t2 ∑ X i n x 1 lim Fn ( x ) = lim P i =1 e 2 dt ≤ x = ∫ x →∞ x →∞ ∞ nσ 2π
定理4 定理 告诉我们,独立同分布的随机变量序列
E ( X i ) = 10, D ( X i ) =
100 . 3
10 100 10 000 ≈ 1 Φ ≈ 1 Φ ( 0.55 ) = 1 0.708 8 = 0.291 2 1000 × 100 / 3
1000 1000 P ∑ X i > 10 100 = 1 P ∑ X i ≤ 10 100 i =1 i =1 1000 X i 1000 × 10 10 100 1000 × 10 i =1 = 1 P ≤ 100 × 100 / 3 1000 × 100 / 3
x 1 t2 ξ n np lim P e dt ≤ x = ∫ n →∞ ∞ 2π np(1 p) 注:德莫夫-拉普拉斯中心极限定理不仅在概率论发展的早期起 过重要作用,而且至今在实际问题中还被广泛地使用,它告诉 我们,二项分布不仅可用泊松分布逼近(泊松定理),还可用 正态分布逼近.
2
n
i =1
例2 某单位设置一电话机,共有200个电话分机,设每 个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假设每个分机 是否使用外线通话是相互独立的.问总机要有多少外线才 能以不小于90%的概率保证每个分机正常使用外线时可 供使用? 解 设 X 为要使用外线通话的分机数,则 X B(200, 0.05) 如果有外线 n 条, 则 P { X ≤ n} ≥ 0.9 . 由德莫夫-拉普拉斯中心极限定理
X 200 × 0.05 P { X ≤ n} = P ≤ 200 × 0.05 × 0.95 n 10 ≈ Φ ≥ 0.90 200 × 0.05 × 0.95 9.5 n 200 × 0.05
查表得知
n 10 9.5
≥ 1.28
,所以 n ≥ 13.945
从而总机应备14条外线才能保证各分机以不低于90% 的概率使用外线.
∑
即该地区1000户居民每日用电量超过10100度的可 能性为29.12%. 如果定理 定理4中的 X 1 , X 2 , ... 独立同分布,均服从参数为 p 定理 的(0-1)的分布, 则 ξ n = ∑ X i B ( n, p ) , 于是有 定理5(德莫夫-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理) 定理 设随机变量 ξ n ( n = 1, 2, ...) 服从参数为 n, p(0 < p < 1) 的二项分布,则对任意 x ,有
第五章 大数定律与中心极限定理
§4.1 大数定律 §4.2 中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§4.1 大数定律
一,大数定律的意义 在第一章中,我们已经指出,事件发生的频率具 , 有统计规律性,即个别随机事件在某次实验中可能发 生,也可能不发生,但随着试验次数的增加,事件发 生的频率逐渐稳定于某个常数.这种稳定性将在大数定 律中给出严格的阐述.
1
n
布的, 随机变量的算术平均,当试验次数 n 无限增加时, 将几乎变成一个常数. 设Y1 , Y2 , ..., Yn , ... 是一个随机变量序列, a 是一个常数, 若对于任意的 ε > 0 有 lim P { Yn a < ε } = 1 n →∞
p. Yn a → 记作
依概率收敛于 则称随机变量序列 Y1 , Y2 , ..., Yn , ... 依概率收敛 a 根据依概率收敛的定义, 独立同分布的大数定律也可 叙述为: 设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n , ... 独立同分布,且
nA p . p → n
且都服从参数为P 的(0--1)分布,则 E ( X i ) = p , D( X i ) = p(1 p), ( i = 1 , 2 ,) ,并且
nA = ∑ X i , n = 1, 2, ... ,因此有定理3 的结论. 定
i =1 n
注:
nA 贝努里大数定律表明事件发生的频率 依概率收敛 n
E ( X i ) = , D ( X i ) = σ 2 ( i = 1 , 2 , )
,则序列
1 n p. Yn = ∑ X i → n i =1
三,贝努里大数定律
定理3 定理 (贝努里大数定律)设 nA 是 n次独立重复试验 中事件A出现的次 数,p是事件A在每次试验中发生的 概率,则 ,即对ε >0, nA lim p <ε=1 n →∞ n 贝努里大数定律是独立同分布大数定律得直接结果.事 实上,设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n , ... 独立同分布,
1 n 1 n C 所以 1 ≥ P ∑ X i ∑ E ( X i ) < ε ≥ 1 2 n i =1 nε n i =1
令 n→∞ , →∞
即得式(5.1). 定理2 定理 (独立同分布的大数定律) 设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n , ... 独立同分布,且
于事件的概率 p ,这个定 理以严格的数学形式表达了 频率的稳定性.这就是说,当 n 很大时,事件发生的频率 . , , 与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验 次数很大时,就可以用事件发生的频率作为事件概率的 估计.
§4.2 中心极限定理
在随机变量的各种分布中,正态分布占有特别重 要的地位.中心极限定理告诉我们,大量的在同一数 量级上的微小干扰的叠加,当干扰个数趋于无穷大时, 一般趋于正态分布.在这里我们仅不加证明地介绍两 个条件较强的中心极限定理. 定理4 定理 (独立同分布的中心极限定理) 设随机变量
二,车贝雪夫大数定律 定理1 设随机变量 X 1 , X 2 , ..., X n , ... 相互独立,具有有 定理 限方差,且有公共上界 C 即 D( X i ) ≤ C , i = 1, 2... 则对任意的 ε > 0 ,有
1 n 1 n lim P ∑ X i ∑ E ( X i ) < ε = 1 n →∞ n i =1 n i =1