第2章 多自由度系统振动

( 2)
2×2方阵
因此，振型可表示为 u [u (1) , u ( 2) ] 第一主振型
1 u (1) (1)
1 u ( 2) ( 2)
第二主振型
对于 n 个自由度振动系统
K X 0 M X 由特征方程，可求出 n 个固有频率 n1 ~ nn
x1 A1(1) sin( n1t 1 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 ) (1) ( 2) x2 A2 sin( n1t 1 ) A2 sin( n 2 t 2 )
(1) ( 2) x1 A1 sin(n1t 1 ) A1 sin(n 2t 2 ) (1) (1) ( 2) ( 2) x2 u A1 sin(n1t 1 ) u A1 sin(n 2t 2 )
11
9l 3 768EI
α21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上m2处所产 生得位移，由材料力学，得
11l 3 21 768EI
同理，可以求出其他柔度系数。
最后得出总柔度系数矩阵
11 12 13 9 11 7 l3 [ ] 21 22 23 ＝11 16 11 768EI 31 32 33 7 11 9
系统的动能： T
1 ) 2 1 J ( )2 c l 3 m( x c c 2 2
2 2
系统的势能： U 1 k ( x l ) 2 1 k ( x l ) 2 1 c 4 c 2 c 5 c 利用拉格朗日方程，得
k x k x F sint c ml3 m x c 1 c 2 c
F jz
z j qi
)
T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力
例题2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由 度系统的动力学微分方程（右图）。 『解』广义坐标：取C点（G点为质心）的直线位移为 xc 为q1， 转角为θ c为q2 ，此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。 另设： k1l 4 k 2 l5
xG 和 在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。
G
2.用拉格朗日方程建立微分方程
d T T U ( ) Fi , (i 1,2,, k ) 拉格朗日方程 i dt q qi qi
Fi ( F jx
j 1
N
x j qi
F jy
y j qi
xc Fc 2 2 k1l4 k 2l5 c Tc 0
m 质量矩阵 M ml3
ml3 为对称阵 2 J ml3
k1 k2 刚度矩阵 K 0
为对角阵 k1l42 k2l52 0
在两个方程中出现，称为惯性耦合。 G 和 x G
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
2 c k11k22 k12
n1 n 2
n1 为一阶固有频率（或第一阶主频率） n 2 为二阶固有频率（或第二阶主频率）
固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。 将所求得的固有频率 n1 和 n 2 代入系统特征矩阵方程 得出两个固有频率下的振幅比值

(1) 2 (1) k11 m11 n A2 1 (1) k12 A1 2 ( 2) k11 m11 n A2 2 ( 2) k12 A1
（二）多自由度系统的固有频率与主振型
对于一个多自由度的自由振动系统（以二自由度系统为例）
K X 0 M X
（2-5）
设质量块作简谐振动，即
x1 A1 sin( n t ) x2 A2 sin( n t )
2 n
A1 A1 ( M K ) sin( n t ) 0 带入（2-5）式，则 A A 2 2 上式对于任意时间t 成立，则
k11 (k1 k2 ) 1 k1 k2
『例』（P26）：质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统 的动力学微分方程。
『解』刚度影响系数kij ：
k11 (k1 k2 ) 1 k1 k2 k12 k2 k13 0 k21 k2 k22 k2 k3 k23 k3 k31 0 k32 k3 k33 k3 k4
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3 k 4
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！ （2）刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性！（P27）
柔度影响系数法又称为单位力法
柔度影响系数αij ：在系统的 j 点作用一个单位力（即Fj =1 ），而其余 各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。
G k1 k2 x k2l2 k1l1 xG F m 0 0 J k l k l k l 2 k l 2 T sin t G 2 2 1 1 1 1 2 2 G
xc Fc 2 2 k1l4 k 2l5 c Tc 0
讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P26）
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
G x x 即 M K G F G G
k1 k 2 m 0 [ K ] 质量矩阵 [ M ] k l k l 刚度矩阵 0 J 1 1 22 k 2 l 2 k1l1 F 2 2 力列阵 F sin t k1l1 k 2 l 2 T
『例』（P27）：图2-3所示，简支梁上有质量 m1、m2 、m3，不计梁的自重。 的 位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。
『解』柔度影响系数α ij ：
α11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ，而质量m2、 m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材 料力学，得
m1 [M ] 0 0 0 m2 0
[ K ]X 0 动力学微分方程为 M X
则
0 0 m3 k11 [K ] k 21 k 31

k12 k 22 k 32
k13 k1 k 2 k 23 k2 k 33 0
讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P25）
G k1 k2 x k2l2 k1l1 xG F m 0 0 J k l k l k l 2 k l 2 T sin t G 2 2 1 1 1 1 2 2 G
3.影响系数法

刚度影响系数法 柔度影响系数法
刚度影响系数法又成为单位位移法
刚度影响系数kij ：在系统的 j 点产生单位位移（即 xj=1 ），而其余 各点的位移均为零时，在系统的 i点所需要加的力。
例如，上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1，而其它各质量位移均为0 时，在质量m1所施加的力。此时
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
2.1 多自由度系统的自由振动
1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应（模态叠加）
（一）多自由度振动微分方程的建立
牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法（第9章）
1.用牛顿定律建立微分方程
例题1（P24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质 量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2 ，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用 在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕 其质心扭转振动。 『解』取刚性杆的广义坐标为 xG 和 G
由牛顿定律，系统的振动微分方程为
G F sin t (k1 k2 ) xG (k2l2 k1l1 )G mx T sin t (k l k l ) x (k l 2 k l 2 ) J G 2 2 11 G 11 2 2 G
写成矩阵表达式：
第2章 多自由度系统振动
本章目的： 掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法