评注曲线系解题

k2 b2
+ -
1 a2
时
,上述方程表示圆.
故 A 、B 、C 、D 四点共圆.
例 7 已知 MN 是 ⊙O 的一条弦 , R 是
MN 的中点 ,过 R 作弦 AB 和弦 CD ,过 A 、B 、
C 、D 四点的二次曲线交 MN 于点 P、Q. 求
证 : R 是 PQ 的中点.
证明 :以圆心 O 为原点 、过点 R 的直线
7
(2sin θ- cos θ+ 3) x - (8sin θ+ cos θ+ 1) = 0. 则(2 x - 8) sin θ- ( x + 1) cos θ+ 3 x - 1 = 0. 令 u = cos θ, v = sin θ,得 u2 + v2 = 1. 于是 ,问题转化为直线系
(2 x - 8) v - ( x + 1) u + 3 x - 1 = 0 与单位圆有交点.
例
6
过不在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
上的任一
点 P 作两条直线分别交椭圆于 A 、B 和 C 、D
四点. 若直线 AB 、CD 的倾斜角分别为α、β,
且 α+β=π,求证 : A 、B 、C 、D 四点共圆.
证明 :设直线 AB 、CD 的方程分别为 y =
kx + m , y = - kx + n. 则过 A 、B 、C 、D 四点
( x2 - 1) ( - 2 - 1) + ( y2 - 2) ( - 2 - 2) = 9. 这就是说 ,点 A 、B 都在直线
( x - 1) ( - 2 - 1) + ( y - 2) ( - 2 - 2) = 9 上 ,即切点弦 AB 所在的直线方程为
3 x + 4 y - 2 = 0. 评注 :当点 A ( x1 , y1 ) 在圆 ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = r2 上运动时 ,方程 ( x1 - a) ( x - a) + ( y1 - b) ( y - b) = r2 表示以 A 为切点的切线系方程. 例 3 在四边形 ABCD 中 ,对角线 AC 平 分 ∠BAD ,在 CD 上取一点 E , B E 与 AC 相交 于 F ,延长 DF 交 BC 于 G. 求证 :
x1 x2 ( n + m) ] y = 0. 同理 , AG 的方程为
kx1 x2 ( m - n) x + [ mn ( x1 + x2 ) -
x1 x2 ( n + m) ] y = 0.
显见两直线 A E、AG 的倾斜角互补 , 由 图 1 可知 , E 在 x 轴上方 , G 在 x 轴下方.
的具体值 ,从而实现问题的解决. 本方法既可 运用于求解曲线方程问题 ,又常见于证明多 点共线 、多线共点等问题. 运用此方法往往可 免除解联立方程组 、求交点等麻烦 ,着重体现 参数变换 、整体处理 “、待定系数”等数学思想
和方法. 例 1 若双曲线的两条渐近线方程为
Байду номын сангаасy=
±2 3
x ,且经过点
M
练习题
1. 对于任意的 a ∈R ,曲线系
ax2 - 2 xy - ax - y - 2 a + 1 = 0
的所有曲线都经过两个定点. 试求这两定点的坐标.
(提示 :原方程化为 a ( x2 - x - 2) - (2 xy + y -
1) = 0. 由
x2 - x - 2 = 0 , 得两定点坐标为 2 xy + y - 1 = 0
(
9 2
,-
1)
,试求其方程.
解 :以
y=
±2 3
x
,即
x2 32
-
y2 22
= 0 为渐近
线的双曲线系方程是
x2 32
-
y2 22
=λ (λ≠0) .
又点 M
9 2
,-
1
在其上 ,代入得 λ= 2.
因此
,所求双曲线方程是
x2 18
-
y2 8
= 1.
评注
:与
x2 a2
-
y2 b2
=1
有相同渐近线的双
48 n = 0. 此方程表示圆的充要条件是
1+ m + n = - 4m 和2- 2n =0
同时成立 ,得 m =
-
2 5
且
n
= 1.
代入得 x2 + y2 -
9 2
x
-
4y
-
30
= 0.
这就是所求的外接圆方程.
评注 : 若三条直线 A1 x + B1 y + C1 = 0 、
A2 x + B2 y + C2 = 0 和 A3 x + B3 y + C3 = 0 两
2
,
1 5
,
( - 1 , - 1) . )
3 x + 4 y - 2 = 0. 这就是所求的切点弦 AB 所在的直线方 程. 评注 :方程 ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 - 16 + n[ ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 - 9 ] = 0 所对应的曲线系为 (1) 当 n = - 1 时 ,表示经过两圆交点的 直线 ; (2) 当 n ≠- 1 时 ,表示经过两圆交点的 圆系. 解法 2 :设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) , 则以 A 、B 为切点的圆 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 9 的切线方程分别为
6
中等数学
评注曲线系解题
李岩刚
(浙江省永康市第一中学 ,321300)
(本讲适合高中) 曲线 系 是 指 具 有 某 种 性 质 的 曲 线 的 集
合 ,曲线系方程是指含有参数的方程 ,当参数 变化时分别对应所有这些曲线.
利用曲线系解题就是先直接设出符合部
分条件的曲线方程 ,再根据题中的其他条件 , 通过推理 、运算得出曲线系方程中参数应取
( x - 6) ( x + 2 y) + m ( x + 2 y) ( x - 2 y + 8) +
n ( x - 6) ( x - 2 y + 8) = 0. 整理得
(1 + m + n) x2 + (2 - 2 n) xy - 4 my2 +
(8 m + 2 n - 6) x + (16 m + 12 n - 12) y -
为 y 轴建立直角坐标系. 设 ⊙O 的半径为 r ,
R 的坐标为 (0 , b) ,直线 AB 、CD 的方程分别
为 y = k1 x + b , y = k2 x + b. 则过 A 、B 、C 、D
四点的二次曲线系方程为
( y - k1 x - b) ( y - k2 x - b) + λ( x2 + y2 - r2 ) = 0. 又 R 是 MN 的中点 , 故 MN ⊥y 轴 , 且 MN 的方程为 y = b. 由上述两方程得 (λ+ k1 k2 ) x2 =λ( r2 - b2 ) 且 y = b. 这就是说 P、Q 两点的横坐标互为相反 数且纵坐标相同. 因此 , R 是 PQ 的中点. 评注 : (1) f ( x , y) +λ( A1 x + B1 y + C1 ) ·
过点 E 的直线系方程为
kx1 x + ( m - x1 ) y - kmx1 + λ[ kx2 x - ( n - x2 ) y - knx2 ] = 0.
又 A (0 ,0) ,代入上述方程得 λ=
-
mx1 nx2
,
代入整理得 A E 的方程为
kx1 x2 ( n - m) x + [ mn ( x1 + x2 ) -
所以 , CD 的方程为
( x - x1 ) (0 - kx1 ) = ( y - kx1 ) ( m - x1 ) , 即 kx1 x + ( m - x1 ) y - kmx1 = 0 ;
B F 的方程为
( x - x2 ) (0 + kx2 ) = ( y + kx2 ) ( n - x2 ) , 即 kx2 x - ( n - x2 ) y - knx2 = 0 ;
因此 , ∠GAC = ∠EAC. 例 4 给定曲线族 2(2sin θ- cos θ+ 3) x2 - (8sin θ+ cos θ+ 1) y = 0 (θ为参数) . 求该曲线族在直线 y = 2 x 上所 截得的弦长的最大值. (1995 ,全国高中数学联赛) 解 :由已知该曲线族恒过原点 , 而直线 y = 2 x也过原点 ,知曲线族在 y = 2 x 上所截 得弦长仅取决于曲线族与 y = 2 x 的另一个交 点的坐标. 把 y = 2 x 代入曲线族方程得 2 (2sin θ- cos θ+ 3) x2 2 (8sin θ+ cos θ+ 1) x = 0. 当 x ≠0 时 ,有
两相交于相异的三点 ,则经过这三个交点的
8
中等数学
二次曲线系方程为
( A1 x + B1 y + C1 ) ( A2 x + B2 y + C2 ) + m ( A2 x + B2 y + C2 ) ( A3 x + B3 y + C3 ) +
n ( A1 x + B1 y + C1 ) ( A3 x + B3 y + C3 ) = 0.
2005 年第 7 期
∠GAC = ∠EAC. (1999 ,全国高中数学联赛) 证明:如图 1, 以 A 为原点 , AC 所 在的直线为 x 轴建 立直角坐标 系. 设 C ( m ,0) 、F ( n , 0) 、
D ( x1 , kx1 ) .
图1
因 为 AC 平 分
∠BAD ,故设 B ( x2 , - kx2) .
( x1 - 1) ( x - 1) + ( y1 - 2) ( y - 2) = 9 ,
( x2 - 1) ( x - 1) + ( y2 - 2) ( y - 2) = 9. 因为这两条切线均过点 P( - 2 , - 2) ,则
( x1 - 1) ( - 2 - 1) + ( y1 - 2) ( - 2 - 2) = 9 ,
曲线系方程是
x2 a2
-
y2 b2
=λ
(λ≠0)
.
例 2 过点 P ( - 2 , - 2) 作 ⊙M :
( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 9
的两条切线 , A 、B 为切点. 求切点弦 AB 所在
的直线方程.
解法 1 :因为半径 r = 3 ,圆心为 M (1 ,2) ,
所以 ,| PM| = 5.
故圆心到直线距离不大于半径 ,即
| 3 x - 1|
≤1.
(2 x - 8) 2 + ( x + 1) 2
解得 - 8 ≤x ≤2.
把 x = - 8 代入 y = 2 x 得 y = - 16.
所以 ,| x| max = 8 ,| y| max = 16.
因此 ,弦长的最大值为 82 + 162 = 8 5 . 评注 : 方程 A1 x + B1 y + C1 + λ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (λ≠0) 所对应的曲线系为 (1) 当 A1 x + B1 y + C1 = 0 与 A2 x + B2 y + C2 = 0 相 交 时 , 表 示 经 过 两 直 线 交 点 的 直 线 ; (2) 当 A1 x + B1 y + C1 = 0 与 A2 x + B2 y + C2 = 0 平行时 ,表示与两直线平行的直线. 例 5 已知三角形三边所在的直线方程 分别为 x - 6 = 0 、x + 2 y = 0 和 x - 2 y + 8 = 0. 求这个三角形的外接圆方程. 解 :经过三角形三顶点的二次曲线系方程 为
( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 就是经过两条直线
A1 x + B1 y + C1 = 0 ,
A2 x + B2 y + C2 = 0
与二次曲线 f ( x , y) = 0 的四个交点的二次 曲线系方程 ;
(2) 此题的证明通过巧设过 A 、B 、C 、D 四点的二次曲线系方程 ,大大简化了运算.
又 PA 为切线 ,则 PA ⊥AM . 故
| PA| = | PM| 2 - | AM| 2 = 4.
收稿日期 :2004 - 10 - 15 修回日期 :2005 - 01 - 04
同理 ,| PB | = 4. 因此 , A 、B 就是圆 ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = 16 与圆 ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 = 9 的交点. 两圆方程相减得
的二次曲线系方程为
( y - kx - m) ( y + kx - n) +
λ( b2 x2 + a2 y2 - a2 b2 ) = 0 ,
即 (λb2 - k2 ) x2 + (λa2 + 1) y2 + ( n - m) kx -
( m + n) y + mn - λa2 b2 = 0.
因 此 , 当 λb2 - k2 = λa2 + 1 , 即 λ =