复变函数与积分变换期中考试题附答案
复变函数与积分变换试题及答案14
复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题(每题4分,共16分)1、当 ()z f 为下面( )项时,⎰=≠2|z |0dz )z (f : A 、 e z cosz B 、21)-z (1 C 、 1z 1- D 、π-z 1 2、点 z =21 关于单位圆 | z | = 1 的对称点是( ) A 、 1 + i B 、2 C 、 2 i D 、 -23、下列各项中o 正o确的是( )A 、| sin z | ≤1B 、 Ln z 2 = 2 Ln zC 、f(z)= e z 的周期是2πiD 、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 4、若z 0是f (z) 的m 阶极点,下列说法o 错o误的是( )A 、z 0是)z (f 1的m 阶零点 B 、)z (f lim o z z →存在 C 、f(z) 在z 0不解析 D 、)z (f lim oz z →= ∞ 二、计算题(每题6分,共30分)1、设 z =i1i 3+ 求 | z | 、 arg z 和 z3、求 Ln (1- i ) 及其主值 ln (1- i )2、求 ⎰cz dz 其中 c: z = 0 到 z = 2 + i 的直线段4、设 z = 2 + 2 i ,写出z 的指数表达式,并计算 ( 2 + 2 i )45、求在映射f (z) = z 2 +3z 下,过点z =2i 的光滑曲线C 在该点的转角和伸缩率三、解答题(每题7分,共35分)1、求方程 z 3 - 8 i = 0 的全部三个根1、f (z ) = 2 x 3+3 y 3i 在何处可导? 何处解析? 如果可导,求出f '(z).3、求dz )4z )(1z (z e 2|z |2z ⎰=-- ( C 为正向)4、将 f(z) =2)1z )(z 2(1-- 在 0< |z -1| <1 上展开成罗朗级数。
(幂为(z -1))5、指出 f(z) =6zsinz z - 在有限复平面上的孤立奇点及类型,并求奇点处的留数四、 解答题(1、2题6分,3题7分共19分)1、求将上半平面 Im z > 0 保形映照到单位圆 | w | < 1内, 且满足 f ( 2 i )= 0,arg ) i 2(f ' =2π 的分式线性映照。
复变函数与积分变换试题及答案7
复变函数与积分变换试题与答案一、填空(每题2分)1.z=i 的三角表示式是:。
指数表示式是。
2.|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。
3.38的全部单根是: ,, 。
4.函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。
5.设C 是正向圆周|z |=1,积分⎰c z dz2=。
6.函数221)1()(z ez f -=的弧立奇点是和,其中是极点,是本性奇点。
7.级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。
8.分式线性映射具有,,。
二、判断题(每题2分,请在题后括号里打“√”或“×”)。
1.零的辐角是零。
( ) 2.i <2i .( ) 3.如果f (z )在z 0连续,那么)(0z f '存在。
( ) 4.如果)(0z f '存在,那f (z )在z 0解析。
( ) 5.z e e -=2( ) 6.解析函数的导函数仍为解析函数( ) 7.幂级数的和函数在其收敛圆内解析。
()8.孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β9.单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。
( ) 10.共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。
()三、计算题(每题6分) 1.dz zzc ⎰3sin (其中C 为正向圆周|z|=1)2.⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++4||3211z dz z z (积分沿正向圆周进行)3.dz z ze z z⎰=-2||21(积分沿正向圆周进行)4.求函数)2()(1)(10-+=z i z z f 在无穷远点处的留数四、求解题(每题6分)1. 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数)(z f ,使f (0)=0。
2. 求函数2)1(1)(z z z f -=在1|1|0<-<z 内的罗朗展开式。
五、解答题(每题6分)1.求函数⎩⎨⎧≥<=-000)(t e t t f tβ的傅氏变换)(ωF 。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+;复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2;23Argz k pp =+;arg 3z p=;13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î,求解方程组可得,45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+;ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+;0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=;221cos ()22i e e pp p -=+;10 、21024z dzz z ==++ò ;1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=,则0z =是(一级极点);31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=,0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导?何处解析?在可导处求出导数。
(1)()22f z x iy=+;解:22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶,一阶偏导连续,因此当,x y y x u v u v ==-时,即x y =时可导,在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
2.-8i得三个单根分别为:、、。
3.Lnz在得区域内连续。
4.得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
5.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
7.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8.幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
10.若f(t)满足拉氏积分存在条件、则L [f(t)]= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)=0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2.C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
(2)七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0得解y (t )。
八、(10分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1.ﻩﻩ、ﻩ ﻩ2、ﻩ-i ﻩﻩ2iﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 4、 空集5、ﻩ2z ﻩ6.0 7、将常形域映为角形域ﻩ8、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ10、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0(3分)∴ﻩﻩ(2分)三、解:原式=(2分)ﻩ(2分)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(3分) z 1=0 ﻩz2=1ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2.解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分)(分)(分)( ﻩﻩ(2分) ﻩ2.解: (1分)ﻩ(2分)六、1.解:∵ﻩ(3分)ﻩ∴结论成立 (2)解:∵ﻩ(2分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴(2分)七、解:∵ﻩﻩ(3分)S (2)-(1):∴ (3分)∴八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是f(z)在D 内解析得(ﻩ ﻩ)条件。
复变函数与积分变换试题及答案5
复变函数与积分变换试题及答案5复变函数与积分变换试题与答案 1.若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数,则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
() 2.因为|sin |1z ≤,所以在复平⾯上sin z 有界。
()3.若()f z 在0z 解析,则()()n f z 也在0z 解析。
() 4.对任意的z ,2Ln 2Ln z z =()⼆填空(每题3分)1.i 22i =-- , ia r g 22i =-- 。
2.ln(3i)-= , i i = 。
3.在映照2()24f z z z =+下,曲线C在iz =处的伸缩率是,旋转⾓是。
4.0z =是241e zz -的阶极点,241Re [,0]ze s z -=。
三解答题(每题7分)设2222()i()f z x axy by cx dxy y =++-++。
问常数,,,a b c d为何值时()f z 在复平⾯上处处解析?并求这时的导数。
求(1)-的所有三次⽅根。
3.2d Cz z其中C 是0z=到34i z =+的直线段。
4.||2e cos d z z z z=?。
(积分曲线指正向)5.||2d (1)(3)z zz z z =+-?。
(积分曲线指正向)6 将1()(1)(2)f z z z =--在1||2z <<上展开成罗朗级数。
7.求将单位圆内||1z <保形映照到单位圆内||1w <且满⾜1()02f =,1πarg ()22f '=的分式线性映照。
四解答题(1,2,3题各6分, 4题各9分)1.求0 0()e 0ktt f t t -设22()e e sin 6()t t f t t t t t δ-=+++, 求()f t 的拉⽒变换。
设221()(1)F s s s =+,求()F s 的逆变换。
4. 应⽤拉⽒变换求解微分⽅程23e (0)0, (0)1t'==? 复变函数与积分变换试题答案 1若(,)u x y 与(,)v x y 都是调和函数,则()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.的模 ,幅角 。
)31ln(i --2.-8i 的三个单根分别为: ,,。
3.Ln z 在 的区域内连续。
4.的解极域为:。
z z f =)(5.的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6.。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7.指数函数的映照特点是:。
8.幂函数的映照特点是:。
9.若=F [f (t )],则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。
二、(10分)已知,求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数,且f (0)=0。
三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2)1.⎰=-2||)1(z z z dz2. C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、(10分)求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z 六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1., 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6.07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解:∵∴(5分)yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴(2分)222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z (2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(∴原式=(2分) =23126⨯⨯i πi 63π-四、1.解:原式(3分)z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0(2分)]11[2+-=i π2.解:原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-=1ich π-五、1.解:ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分)(分)(分)((2分)11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)(2分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1.解:∵(3分)∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(2)解:∵(2分)1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴(2分))(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解:∵(3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S (2)-(1):∴(3分)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ;③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。
复变函数与积分变换试题及答案(4)
3 4
考试科目:复变、积分学号:
12
西安建筑科技大学考试试卷(共4页)
班级:姓名:考试科目:复变函数与积分变换学号:
五.将函数 在圆环域 内展开成罗朗级数。
六.计算下列各积分(积分路径均取正向):1Βιβλιοθήκη ;2. ;3. ;
七、(10分)应用拉氏变换求方程组 满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。
西安建筑科技大学考试试卷(共4页)评卷人填写
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
分数
阅卷人
(全日制)班级:姓名:
一.填空题:
1. ;
2.方程 的全部解为;
3. ;
4. ;
5. ;
6.幂级数 的收敛半径 。
二.讨论函数 可导性与解析性。
三.已知调和函数 ,求解析函数 。
四.将函数 展开成 的幂级数,并指出幂级数的收敛半径。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题(本题共8小题,每小题2分,满分16分) 二、(1))ln(-1i +的虚部是π43 三、(2)映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、(3)设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数,则常数=m 1 ,=n -3 五、(4)沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、(5)若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ,则该级数的收敛半径为2七、(6)设()z f 在10<<z 内解析,且()10=→z zf lim z ,则 ()[]=0,z f s Re i π2八、(7)设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、(8)设t cos e )t (f t=,则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题(本题共5小题,每小题2分,满分10分。
) (1)2z )z (f =在0=z 处(B )(A )解析 (B )可导(C )不可导 (D )既不解析也不可导 (2)下列命题中正确的是( D )(A )设y ,x ,iy x z +=都是实数,则()1≤+iy x sin (B )设)z (g )z z ()z (f m--=0,)z (g 在点0z 解析,m 为自然数,则0z 为()z f 的m 级极点(C )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 (D )幂级数的和函数在收敛圆内解析(3)级数∑∞=-+02))1(1(n n n in(A )(A )条件收敛 (B )绝对收敛 (C )发散 (D )敛散性不定(4)设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点,则=m ( C )(A )5 (B )4 (C )3 (D )2(5)设)()(0t t t f -=δ,则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f ( D )。
复变函数与积分变换期中考试题()附答案
«复变函数与积分变换»期中考试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i-的幅角是;2,1,0,23±±=+-kkππ2.)1(iLn+-的主值是;i432ln21π+3. 211)(zzf+=,=)0()5(f;04.以原点为中心,焦点在实轴上,长半轴短半轴分别为a,b的椭圆曲线方程是(用复数形式表示!!!);z=acost+ibsint t∈[0,2π]5.=⎰+i11z)dzz(e^;ie^(1+i)=ie(cos1+isin1)二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为();B(A)yxiuuzf+=')(;(B)yxiuuzf-=')(;(C)yxivuzf+=')(;(D)xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf(),则0d)(=⎰C zzf;D(A)23-z;(B)2)1(3--zz;(C)2)2()1(3--zz;(D)2)2(3-z.3.若c 为不经过1与-1的正向曲线,则⎰+-cdz 1)^2)(z 1(zz 为();D(A )πi/2; (B )-πi/2; (C )0; (D)以上的都可能.4.下列结论正确的是( );B(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f ;(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的().B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件.三.按要求完成下列各题(共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求dc b a ,,,;解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
复变函数与积分变换试题及答案4
复变函数与积分变换试题及答案4一、填空题(每空2分,共20分) 1、复数i 31+的主幅角为3π。
2、复数i +3与复数i 32+乘积的主幅角为 23arctan 31arctan +。
3、复数i 31+-的三角表示为:)32sin 32(cos 2ππ+4、函数122+z z的解析区域为:i z ±≠。
5、=+)31(i e πe -6、自原点到i +1的直线上,积分?+=i iydz 10i --17、级数∑∞=+-121])[(n nn i 的收敛性为发散。
8、幂级数∑∞=13n n n z 的收敛半径为319、函数)1(sin 2ze z z-的全部奇点为∞=,2,0i k z π(答对一个给1分)。
10、函数1 +z e z在1-=z 处的留数为 1-e二、计算或证明(每小题10分,共80分)1、证明函数iy x z f +=2)(处处不解析证明:因为y v x u ==,2(3分);1,0,0,2=??=??=??=??y v x v y u x x u (3分);当21=x 时,C —R 条件满足,函数只在直线21=x 可导(3分);于是)(z f 在复平面处处不解析。
(2分) 2、证明 1s i n s i n22=+z z 证明:)(21s i n iz iz e e i z--=(2分);)(21cos iz iz e e z -+=(2分);)2(41)2(41cos sin 222222+++-+-=+--z i z i z i z i e e e e z z (4分)=1(2 分);3、计算积分dz e iz ?+20)2(解:函数2+z ze 的一个原函数为z e z 2+(4分);原式=i z z e 20|)2(+(4分)=)142-+i e i(2分)。
4、在+∞<<="" p="">)1(12-+z z z 成洛朗级数解:)1(1112)1(123-+-=-+z z z z z z =)11(11)11(122zz z z-+-=∑∑∞=∞=+0201112n nn n zz z z (6分) 5.求函数12+z z在有限奇点处的留数解:1)(2+=z zz f 有两个有限远奇点:i z i z =-=21,;且均为一阶极点;)(lim]),([Re i z z i z f s i z -=--→=21;同样可求21]),([Re =i z f s (2 分)。
(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案一、填空(3分×10)1.)31ln(i --的模 ,幅角。
2.-8i 的三个单根分别为: , , 。
3.Ln z 在 的区域内连续。
4.z z f =)(的解极域为: 。
5.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。
6.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。
7.指数函数的映照特点是: 。
8.幂函数的映照特点是: 。
9.若)(ωF =F [f (t )],则)(t f = F )][(1ω-f 。
10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]= 。
二、判断题(每题2分,共20分,请在正确的题打“√”,错误的题后打“×”)1.区域Im(z)>0是无界的单连通的闭区域。
( )2.初等函数在其定义域内解析,可导。
( )3.解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。
( )4.如果f (z )在z o 解析,那么f (z )在z o 连续。
( )5.如果)(o z f '存在,那么f (z )在z o 解析。
( )6.如果z o 是f (z )的奇点,那么f (z )在z o 不可导。
( )7.如果u (x ,y ),v (x ,y )的偏导数存在,那么f (z )=u +iv 可导。
( )8.每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。
( )9.幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
( )10.在z o 处可导的函数,一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。
( )二、计算题(6分×4)1.求p ,m ,n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。
2.求u (x ,y )=y 3-3x 2y 与它的共扼调和函数v (x ,y )构成的解析函数)()()(y x iv y x u z f ,,+=3.⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-++4||3211z dz z z (积分沿正向圆周进行)4.dz z ze z z ⎰=-2||21(积分沿正向圆周进行)四、(5分)将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数)1(1)(z z z f -= (1<|z |<+∞)五、(5分)求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -. 6. 2k i π,()k z ∈. 7. 0; 8. i ±; 9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( ) 8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1.一、填空(3 分×10)1.ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2.-8i 的三个单根分别为: . . 。
3.Ln z 在的区域内连续。
4. f ( z ) = z 的解极域为: 。
5. f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7.指数函数的映照特点是: 。
8.幂函数的映照特点是: 。
9.若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10.若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6. Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2.c(z co-s i z)3 C:绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1.0 | z - i | 12.1 | z - i | +六、证明以下命题:(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)= 2i [-1+1] =02 分)一、1. 3. 8.二、解: 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解: 四、 4. 空集 5. 2z 6. 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分) - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= (2分)Re s 5 分) -2i z 2 2 分)z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21.解:原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解:①定义; ②C-R 充要条件 Th ; ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解:∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S (2)-(1):∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2.解: 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1.解:f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分)n =0 n =-12. 解: f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分)11+1 分)1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1.+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分) ∴结论成立++e -i t dt = 2() -(2 分)sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 (2) (3 分) Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2( w ) 与 1 构成傅氏对七、解:∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分)=1=02 分)复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7.若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数与积分变换试题及答案6
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题(3分×5)1.8的三个立方根分别是 。
2.函数e z f =)(在z 平面上是否解析,有无奇点及弧立奇点 。
3.设C 是正向圆周|z |=1,则⎰cn zdz= 。
4.分式线性映照具有:保 性,保 性,保 性。
5.设f (t )的拉代积分存在,则L [f (t )]= 。
二、判断题(2分×7,请在题后括号内打“√”、“×”)。
1.1+i <2(1+i )() 2.若)(0z f '存在,则f (z )在z 0处解析。
( ) 3.解析函数的导函数仍为解析函数。
( ) 4.幂级数的和函数在其收敛圆内解析。
( ) 5.函数在弧立奇点的留数是其罗朗展式中的C -1()6.从|Z |≤1到|w |≤1的分式线性函数构成的映照的一般形式为0z z z z e w i --=θ。
( ) 7.单位脉冲函数的傅氏变换结果为1。
()三、计算题:(8分×4)1.dz z zz ⎰=1||3sin 2.dz z z z ⎰=-+4||)3)(1(13.设)2()(1)(10-+=z i z z f ,求]),([Re i z f s -4.dz z ze z z⎰=-2||21四、解答题:(8分×3)1. 求由22),(y x y x u -=为实部的解析函数f (z ),使f (0)=0 2.求函数)1(1)(2z z z f -=在圆环1|1|0<-<z 内的罗朗展式。
3.求把上半平面0)(>z I m 映照成单位圆1||<w 的分式线性函数,并使f (i )=0,f (-1)=1。
五、解答题(第1小题7分,第2小题8分)1. 设F )()]([w F t f =,求F )]52([-t f 2.求方程t e y y y -=-'+''32满足初始条件10='=t y ,00==t y的解。
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i-的幅角是〔〕;2.)1(iLn+-的主值是〔〕;3.211)(zzf+=,=)0()5(f〔〕;4.0=z是4sinzzz-的〔〕极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zf s〔〕;二.选择题〔每题3分,共计15分〕1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕;〔A〕yxiuuzf+=')(;〔B〕yxiuuzf-=')(;〔C〕yxivuzf+=')(;〔D〕xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf〔〕,那么0d)(=⎰C zzf.〔A〕23-z;〔B〕2)1(3--zz;〔C〕2)2()1(3--zz;〔D〕2)2(3-z. 3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 〕.(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成以下各题〔每题10分,共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a〔2〕.计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数; 〔1〕110<-<z ,〔2〕10<<z ,〔3〕∞<<z 1五.〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一.填空题〔每题3分,共计15分〕1.231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕;2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕; 3.211)(z z f +=,=)0()5(f 〔 0 〕,4.0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s 〔-1 〕; 二.选择题〔每题4分,共24分〕1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕;〔A 〕 y x iu u z f +=')(; 〔B 〕y x iu u z f -=')(;〔C 〕y x iv u z f +=')(; 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f 〔 D 〕,那么0d )(=⎰Cz z f .〔A 〕23-z ; 〔B 〕2)1(3--z z ; 〔C 〕2)2()1(3--z z ; 〔D 〕2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ; 〔B 〕i z 2=点绝对收敛;〔C 〕i z+=1点绝对收敛; 〔D 〕i z 21+=点一定发散.4.以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导,那么)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析,那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ,那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析;〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数.5.以下结论不正确的选项是〔 D 〕.的可去奇点;为、zA 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成以下各题〔每题10分,共40分〕〔1〕.设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -.6. 2k i π,()k z ∈.7. 0;8. i ±;9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
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得分
得分
«复变函数与积分变换»期中考试题
电子信息专业2015年11月
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分
一.填空题(每小题3分,共计15分)
1.231i -的幅角是 ; 2,1,0,23
±±=+-
k k ππ
2.)1(i Ln +-的主值是 ;i 4
32ln 21π
+ 3.
211)(z
z f +=,
=)0()5(f ;0 4.以原点为中心,焦点在实轴上,长半轴短半轴分别为a ,b 的椭圆曲线方程是 (用复数形式表示!!!);
z=acost+ibsint t ∈[0,2π]
5.
=⎰+i
11
z)dz z(e^ ;ie^(1+i)=ie(cos1+isin1)
二.选择题(每小题3分,共计15分)
1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );B
(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;
(C )
y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.
2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰C
z z f ; D
(A )
23-z ; (B )2
)
1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .
3.若c 为不经过1与-1的正向曲线,则⎰+-c
dz 1)^2)(z 1(z
z 为()
;D
(A )πi/2; (B )-πi/2; (C )0; (D)以上的都可能.
4.下列结论正确的是( );B
(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰
C
dz z f ;
(C )如果0)(=⎰
C
dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;
(D )函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是
),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.
5.函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的().B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件.
三.按要求完成下列各题(共计40分)
(1)设)()(2
2
2
2
y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求
d
c b a ,,,;
解:因为)(z f 解析,由C-R 条件
y v x u ∂∂=∂∂ x
v
y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+
,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c
给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
得分
(2).计算
⎰
-C
z
z z z e d )
1(2
其中C 是正向圆周:2=z ; 因为函数z z e z f z
2
)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆
2
1,c c 且位于c 内
⎰⎰⎰-+-=-21
d )1(d )1(d )1(222C z C z C z
z z z e z z
z e z z z e i z e i
z e i z z
z z πππ2)1(2)(20
2
1=-+'===
(3)计算积分
c
2
d 1
-z z
4πsin
z ,其中|z|=2;
(4)求积分⎰=1
d z z
z z e ,并证明p.d θ)sin θ(cos p
=⎰
四、(本题10分)设复数z1,z2,z3对应等边三角形的三个顶点得分
试求证: z1^2+z2^2+z3^2-z1z2-z2z3-z3z1=0.
五.(本题14分)用解析函数与调和函数的关系解问题
验证3xy^2-x^3y)u(x,=是调和函数,并求以)y u(x,为实
部的解析函数)(z f ,使之适合i )
0(=f .
得分
六、(本题6分)将一对二元实变函数
2
^2^,y^2x^22x u y x y
v +=+=
化为一个复变函数.
得分。