2020年高考数学隐零点问题解题技巧

专题三 . 隐零点专题

知识点

一、不含参函数的隐零点问题

已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围.

二、含参函数的隐零点问题

已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0.

例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=.

（I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数；

（II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥.

例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2

--=，且()0f x ≥. （I ）求a ；

（II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<

x x f x -=

+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2

e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

例 5.（2013.湖北.10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则 A.21)(,0)(21->>x f x f B.2

1)(,0)(21-<

C.21)(,0)(21-<>x f x f

D.21)(,0)(21->

（I ）求函数)(x f 的单调区间及其图象在点1=x 处的切线方程；

（II ）若Z ∈k ，且)()1(x f x k <-对任意1>x 恒成立，求k 的最大值.

例1

例4