高中数学《直线与圆的位置关系》课件
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《直线和圆的位置关系》-完整版课件
B A
O
(3).如果AB是⊙O的切线,OA⊥AB,那么A是 切点
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 垂直于切线 直线经过切点
(半径)垂直于切线 直线经过切点 经过圆心
练习
如图,AB是⊙O的直径,∠ABC=45°,AB=AC.直 线AC与⊙O有怎样的位置关系?
解:因为∠ABC=45°, AB=AC. 所以∠C=45°, ∠BAC=90°. 所以AB⊥AC. 又AB是⊙O的直径. 所以直线AC与⊙O相切.
• 例题2:已知⊙A的直径为6,点A的坐标为(-3,-4),则⊙A与 X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______
相离
相切
Y
B OX
.A
问题1:
如图点A是⊙O上一点, OA是⊙O的 半径,AB⊥OA垂足为A,则AB是 ⊙O的_切_线_ _
O
A
B
切线的判定定理:经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线
切线的性质: 圆的切线垂直于经
过切点的半径.
O Al
如果l是 ⊙O 的切线,A 为切点,那么AM⊥OA. 你能说明理由吗?
反证法:假设l与OA不垂直 则过点O作OM⊥l,垂足为M 根据垂线段最短的性质, 得OM<OA, 即圆心O到直线l的距离d<R ∴直线l 与⊙O 相交 这与已知“l是 ⊙O 的切线”矛盾 ∴假设不成立,即OA⊥l
C
(2)∵∠A=50°,所以
∠ABC+∠ACB=130°,
所以∠OBC+∠OCB=65°.
∴∠BOC=115°.
课堂小结
• 掌握切线性质定理及两个推论,注意每个定理中均有过切点、 过圆心和垂直于切线三要素 .
直线和圆的位置关系课件ppt
又∵CA=CB
O
∴OC⊥AB
∴AB为⊙O的切线
A
C
B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• 练习1:O为∠BAC平分线上一点, OD⊥AB于D,以O为圆心,以OD为 半径作⊙O,求证:AC与⊙O相切。
• 练习2:如图, ⊙M与X轴相交于点A
(2,0)B(8,0)与Y轴相切于点C,则圆心 M的坐标是多少?
Y
。M
X
A
B
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
三、小结:
切线的判定定理: 必具两个条件:_过_半_径_的_外_端_点 ,
四、巩固练习
1、如图,在等腰三角形ABC中,
AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心,OB
长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC于E,求
证:DE是⊙O的切线。
A
O ●
B
D
F E C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的,应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失,增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
问题(二)
将问题1中的问题反过来,如果直线L是
⊙O的切线,A为切点,那么半径OA与直线L是不
是一定垂直呢?
L
圆的切线性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言:
O. . A
∵是⊙O的切线,A为切点
∴OA⊥L
反过来,经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习:
①判断直线4x-3y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系.如
果相交,求出交点坐标.
解:因为圆心O(0,0)到直线4x-3y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10,所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人:XXXXXX 时 间:XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时,
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中,接到气象台
的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域.已知泉州港口位
于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,
那么它是否会受到台风莫拉克的影响? y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束,希望大家继续努力
为解决这个问题,我们以台
港口
风中心为原点 O,东西方向为
x 轴,建立如图所示的直角坐 标系,其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度.
直线与圆的位置关系
这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
直线与圆的位置关系 课件
则Δ=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)(k2+2k+4)=0, 解得 8k2+6k=0,即 k=0 或 k=-34, 因此,所求直线 l 的方程为 y=4 或 3x+4y-13=0.
类型 3 弦长问题 [典例 3] 设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2 =0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为 ________.
解析:由圆 C:x2+y2-2ay-2=0 可得 x2+(y-a)2= |-a+2a|
a2+2,所以圆心 C(0,a),由题意可知 2 = a2+2-3, 解得 a2=2,所以圆 C 的面积为π(a2+2)=4π.
答案:4π
归纳升华 1.求弦长常用的三种方法: (1)利用圆的半径 r,圆心到直线的距离 d,弦长 l 之 间的关系 r2=d2+2l 2求弦长.
0)为圆心,以 3为半径长的圆.
设xy=k,即 y=kx. 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值.
|2k-0|
此时
= 3,
k2+1
解得 k=± 3. 故xy的最大值为 3,最小值为- 3.
(2)设 y-x=b,即 y=x+b,当直线 y=x+b 与圆相 切时,纵截距 b 取得最大值和最小值.
法二 (几何法)圆 x2+y2=100 的圆心为(0,0),半径
r=10, 则圆心到直线的距离 d= 3|2a+| 42=|a5|, ①当直线和圆相交时,d<r,即|a5|<10,-50<a<50; ②当直线和圆相切时,d=r,即|a5|=10,a=50 或 a
=-50;
③当直线和圆相离时,d>r, 即|a5|>10,a<-50 或 a>50.
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想:自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线,即可以作0条. 问题:如何刻画直线与圆相切? 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切,求直线l的方程.
解法2:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ,不合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切,求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程,
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C:(x-1)2 + (y-3)2 =5相切,求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
高中数学人教版必修2直线、圆的位置关系 课件PPT
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
练习
4:已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过P点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时,这条直线与圆 (1)相切,(2)相交,(3)相离
4.2.1
直线与圆的位置关系
1.圆的标准方程
题型二 切线问题 例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切
线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 k 1 .
k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
2.求圆的切线方程的常用方法
判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
代数方法
比较d与半径r的大小
消去y(或x)
px2 qx r 0
应用举例
例1. 如图,已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系;如 果相交,求它们的交点坐标.
y l B
参考答案
C. A
O
x
练习
1. 求以C(1、3)为圆心,并和直线3x-4y-6=0 相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 位置关系.
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离, 则圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的
2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l:3x+y-6=0 被圆 C:x2+y2-2y-4=0 截得 的弦长.
分析:弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解.
解析:法一:圆C:x2+y2-2y-4=0 可化为x2+(y-1)2=5, 其圆心坐标为(0,1),半径r= 5. 点(0,1)到直线l的距离为d=|3×03+2+11-2 6|= 210, l=2 r2-d2= 10,所以截得的弦长为 10. 法二:设直线l与圆C交于A、B两点.
所成的切点处时,DE为最短距离.此时DE的最小值为
|0+0-8| 2
-
1=(4 2-1) km.
即DE的最短距离为(4 2-1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1.认真审题,明确题意. 2.建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际 问题中建立直线与圆的方程. 3.利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. 4.把代数结果还原为实际问题的解释.
将A′(x0,-3)代入圆的方程,得x0= 51, ∴当水面下降1 m后,水面宽为2x0=2 51(m).
答案:(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点 A(1,2), 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条,则 a 的取值范围为________.
5,则弦长=2
r2-d2=4
5.
答案:4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
解析:圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程,如何通过代数方法,
研究直线与圆的位置关系?
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1:把太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,那么在日出的过程中,
体现了直线和圆的哪些位置关系?
相交
相切
相离
探究交流
问题2:如何判断直线与圆的位置关系?
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距:圆心到弦所在直线的距离;
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长:
①两点距离:联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
高中数学选择性必修一《2.5.1 第一课时 直线与圆的位置关系》课件
答案:4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围,使直线 x-my+3=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 分别满足:
(1)相交;(2)相切;(3)相离.
[解] 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,
故圆心(3,0)到直线 x-my+3=0 的距离为 d= m62+1,圆
)
A.0 或 2
B.2
C. 2
D.无解
解析:由圆心(0,0)到直线
x+y+m=0
的距离为半径得|m|= 2
m,解得 m=2.
答案:B
4.直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得方 程 可 化 为 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25. 故 圆 心 为 (3,4),半径 r=5.又直线方程为 2x-y+3=0,所以圆心到 直线的距离为 d=|2×34-+41+3|= 5,所以弦长为 2 r2-d2 =2× 25-5=4 5.
2.[变条件]若将本例中条件“与直线 y=x+2 平行”换为“过 点 P(5,1)”其他条件不变,结论又如何呢?
解:设所求切线方程为 y-1=k(x-5), 即 kx-y-5k+1=0. 由|2k-3k-2+5k1+1|=2 2.得 k=-6±2 10. 故所求切线方程为(-6+2 10)x-y+31-10 10=0 或(-6 -2 10)x-y+31+10 10=0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4 和直线 l:kx-y-4k+3=0,
(1)求证:不论 k 取何值,直线和圆总相交; (2)求当 k 取何值时,圆被直线 l 截得弦最短,并求最短弦长 的值.
题型一 直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围,使直线 x-my+3=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 分别满足:
(1)相交;(2)相切;(3)相离.
[解] 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,
故圆心(3,0)到直线 x-my+3=0 的距离为 d= m62+1,圆
)
A.0 或 2
B.2
C. 2
D.无解
解析:由圆心(0,0)到直线
x+y+m=0
的距离为半径得|m|= 2
m,解得 m=2.
答案:B
4.直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得方 程 可 化 为 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25. 故 圆 心 为 (3,4),半径 r=5.又直线方程为 2x-y+3=0,所以圆心到 直线的距离为 d=|2×34-+41+3|= 5,所以弦长为 2 r2-d2 =2× 25-5=4 5.
2.[变条件]若将本例中条件“与直线 y=x+2 平行”换为“过 点 P(5,1)”其他条件不变,结论又如何呢?
解:设所求切线方程为 y-1=k(x-5), 即 kx-y-5k+1=0. 由|2k-3k-2+5k1+1|=2 2.得 k=-6±2 10. 故所求切线方程为(-6+2 10)x-y+31-10 10=0 或(-6 -2 10)x-y+31+10 10=0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4 和直线 l:kx-y-4k+3=0,
(1)求证:不论 k 取何值,直线和圆总相交; (2)求当 k 取何值时,圆被直线 l 截得弦最短,并求最短弦长 的值.
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0>3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
人教版高中数学选修一2.5.1 直线与圆位置关系 课件
x1 2, x2 1
y1 0 ;
x2 1
把 x1 2,代入方程①,得
由
x1 把
2, x2 1代入方程① ,得 y 2 3.
因为: (3) 2 4 1 2
所以,直线 l 与圆的两个交点是:
=1>0
所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.
A(2,0),B(1,3)
y
o
P.
x
变式
例2 过点
作圆O:x2+y2=1的切线l,求此切线l的方程.
①当切线l的斜率存在时,
解: 设切线l的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0
y
.P
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得
|2 − |
2
+1
= 1 解得
=
o
x
此时,切线l的方程为3x-4y+5=0.
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆
的位置关系.(逻辑推理)
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学
问题与实际问题.(数学建模)
思维脉络
情境导学
“大漠孤烟直,长河落日圆”,这是唐代
诗人王维的诗句.它描述了黄昏日落时分塞
外特有的景象.
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些
基本的几何图形呢?它们有哪些位置关系呢?
运算量较大
请谨慎选择
Ax By C 0
2
2
2
(
x
a
)
(
y
b
)
r
2.几何法:计算圆心到直线的距离d,与半径r相比较
y1 0 ;
x2 1
把 x1 2,代入方程①,得
由
x1 把
2, x2 1代入方程① ,得 y 2 3.
因为: (3) 2 4 1 2
所以,直线 l 与圆的两个交点是:
=1>0
所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.
A(2,0),B(1,3)
y
o
P.
x
变式
例2 过点
作圆O:x2+y2=1的切线l,求此切线l的方程.
①当切线l的斜率存在时,
解: 设切线l的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0
y
.P
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得
|2 − |
2
+1
= 1 解得
=
o
x
此时,切线l的方程为3x-4y+5=0.
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆
的位置关系.(逻辑推理)
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学
问题与实际问题.(数学建模)
思维脉络
情境导学
“大漠孤烟直,长河落日圆”,这是唐代
诗人王维的诗句.它描述了黄昏日落时分塞
外特有的景象.
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些
基本的几何图形呢?它们有哪些位置关系呢?
运算量较大
请谨慎选择
Ax By C 0
2
2
2
(
x
a
)
(
y
b
)
r
2.几何法:计算圆心到直线的距离d,与半径r相比较
人教版高中数学第四章第二节直线与圆的位置关系 (共17张PPT)教育课件
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M
M
M
O
O
O
问题1:你知道直线 和圆的位置关系有
几种吗?
y
0
x
一.直线与圆的位置关系(用公共点个数来区分)
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交, 这条直线叫圆的割线, 这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线, 这个公共点叫切点。
=1>0 直线 l 与圆相交,有两个公共点.
A(2,0),B(1,3)
一、代数方法。主要步骤:
把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离; 当Δ=0, 直线与圆相切 ; 当Δ>0时,直线与圆相交。
例1 如图,已知直线l: 3x y 6 和0 圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如
1.圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2
圆心为: (a, b) 半径为: r
2.圆的一般方程:
圆心为:
(
D 2
,
E 2
)
,半径为:
1 2
D2 E2 4F。
3.点到直线的距离公式:
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
果相交,求它们交点的坐标.
解法二:圆 x2 y2 2y 4 可0化为 x2 ( y 1)2 5.
其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5,点C (0,1)到直
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解 如下图,圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 的距离为 d=
|b| ,圆的半径 2
r=
2.
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∴当 d=r,|b|=2,即 b=2 或 b=-2 时,圆与直线相 切.
∵b 为直线的截距,数形结合可知, 当-2<b<2 时,直线与圆相交, 当 b>2 或 b<-2 时,直线与圆相离.
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探究1 直线与圆位置关系的判断 例 1 已知圆的方程是 x2+y2=2,直线 y=x+b,当 b 为何值时,圆与直线相交、相切、相离?
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解 判断直线与圆位置关系问题可转化为 b 为何值时, 方程组yx=2+xy+2=b,2,②① 有两组不同实数解;有两组相同实 数解;无实数解的问题.
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1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( × )
(2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或
相切.( √ )
(3)直线 x+2y-1=0 与圆 2x2+2y2-4x-2y+1=0 的位
;
d<r⇔直线 l 与圆 M □7 相交
.
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(2)代数法 直线 l:Ax+By+C=0,圆 M:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 直线 l 与圆 M 的方程联立得方程组,消去 y(或 x)整理,得关 于 x(或 y)的一元二次方程 mx2+nx+k=0(或 my2+ny+k= 0),其判别式为 Δ=n2-4mk,
当 b=2 或 b=-2 时,Δ=0,方程组有两组相同的实数 解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;
当 b<-2 或 b>2 时,Δ<0,方程组没有实数解,因此直 线与圆没有公共点,直线与圆相离.
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[解法探究] 例 1 可以用几何法做吗?
将②代入①,整理得 2x2+2bx+b2-2=0.③ 方程③的根的判别式 Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2). 当-2<b<2 时,Δ>0,方程组有两组不同实数解,因此 直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;
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置关系是相交.( √ )
(4)当 m=2 时,直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=1 必相
切.( × )
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2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m= ____2____. (2)(教材改编,P128,T3)直线 3x+4y+12=0 与圆 2x2+ 2y2-4x=0 的位置关系是____相__离____. (3)(教材改编,P128,T4)当直线 x+y-a=0 与圆 x2+(y -1)2=2 相离时,则 a 的取值范围为___a__<_-__1_或___a_>_3__.
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2.切线段的长度公式 (1)从圆外一点 P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的切 线,则 P 到切点的切线段长为 d= x0-a2+y0-b2-r2. (2)从圆外一点 P(x0,y0)引圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的 切线,则 P 到切点的切线段长为 d= x20+y20+Dx0+Ey0+F.
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3.(教材改编,P128,T4)设直线 l 过点 P(-2,0),且与圆 x2+y2=1 相切,则 l 的斜率是( )
A.±1
B.±12
C.±
3 3
D.± 3
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课后课时精练ຫໍສະໝຸດ 数学 ·必修2(2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: 几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0 +y0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可求得 k,切线方 程即可求出.并注意检验当 k 不存在时,直线 x=x0 是否为 圆的切线. 代数法:设切线方程 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+ y0,代入圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ =0 求得 k,切线方程即可求出.并注意检验当 k 不存在时, 直线 x=x0 是否为圆的切线.
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2.直线与圆位置关系的判定方法 (1)几何法 直线 l:Ax+By+C=0,圆心为 M(a,b)、半径为 r 的
圆,圆心 M 到直线 l 的距离 d= □4 |aA+A2b+B+B2C|
.
d>r⇔直线 l 与圆 M □5 相离
;
d=r⇔直线 l 与圆 M □6 相切
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第四章 圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系
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知识点 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有三种位置关系
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Δ>0⇔直线 l 与圆 M □8 相交 ; Δ=0⇔直线 l 与圆 M □9 相切 ; Δ<0⇔直线 l 与圆 M □10 相离 .
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圆的切线问题 1.求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程: 先求切点与圆心的连线的斜率 k,则由垂直关系,k 存 在且 k≠0 时,知切线斜率为-1k,由点斜式方程可求得切线 方程.如果 k=0 或 k 不存在,则由图形可直接得切线方程 为 x=x0 或 y=y0.