《信号与系统》学习报告

《信号与系统》学习报告

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一、概述

在从事科学研究过程中，科学家们借助一定的工具手段或通过一定的思维方式不断发现新现象、新事物，提出新理论、新观点。科学家们揭示事物内在规律的“过程”被学者们提炼、总结为了“科学研究方法”。

“科学研究方法”的存在有利于学术规范的形成，有利于各门学科的可持续发展。从科研角度来讲，科学研究方法的优劣直接影响着科学研究的效果和效率；从学术角度来讲，科学研究方法的理解有助于对该学科的深入探讨。

《信号与系统》这门课程在介绍信号与系统分析的基本知识和方法的同时，实际上反映了许多科学研究的思维方法和规律[1]。因此，通过对这门课的知识内容所用“科学研究方法”的讨论和分析，学习科学家们建立模型、分析问题的思维方式和手段是非常有必要的。

傅里叶变换与拉普拉斯变换是《信号与系统》这门课程的核心内容，也是处理数学问题和工程问题不可或缺的理论工具。本文主要分析在傅里叶变换及拉普拉斯变换的研究过程中所涉及的科学研究方法。

二、科学研究的方法

我们主要举例探讨以下三种科学研究方法或思想：

（1）“变换”概念的引入：类比于空间变换、正交分解的思想；

（2）“傅里叶变换”的引入：改变观察问题的参照系；

（3）从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换：将局部规律推广到全局。

三、在课本内容中的体现与应用

1.类比思想

有时人们说，科学的解释在于产生一种还原，将一个疑难的不熟悉的现象还原为我们已经熟悉的事实和原理[2]。比如玻尔的氢原子模型与行星绕日轨道、波动理论与水波的传播，将不熟悉的理论模型“类比于”某个熟悉的现象。在某些特定的情况下，“类比思想”能够帮助我们理解抽象、陌生的概念，是非常有价值的。

对于傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换，所谓“变换”无论数学过程多么复杂，其本质都是正交变换，其核心就是一种信号可以用另一种信号作为基函数线性表示。这一概念可以类比为空间中的正交分解；变换的基函数可以类比为空间的基向量；变换过程中的积分

运算类比为空间内向量的内积运算。

正如三维空间中，任何一个向量都可以被三个基向量线性表示。对于傅里叶级数，将周期函数理解为某个线性空间上的矢量，函数的傅里叶级数展开则可理解为该空间上矢量的正交分解[3]。对于一般函数的傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换，其实就是将原函数分解为一系列“基函数”的线性叠加。傅里叶变换的“基函数”是正弦函数；拉普拉斯变换的“基函数”是幅度按指数变化的正弦函数；Z变换的“基函数”是周期变化的离散序列。

无论是傅里叶变换、拉普拉斯变换还是Z变换，这些“变换”都在做积分运算。所谓积分运算就是内积运算，就是向量的投影运算。对经过傅里叶变换后象函数的分析计算，来代替对原函数的分析计算。类比于三维空间中，通过对基向量上投影的分析，来代替对投影前向量的分析。被投影到基向量上以后，向量的运算变得更方便。因此，原函数经过“变换”后也大大简化了某些运算。

2.改变观察问题的参照系

观察分析一件事物的时候，站在不同的角度，采用不同的参照系来进行观察，往往是寻找解决问题方法的重要手段。改变观察问题的参照系这一思维方式，就是把一个域中的复杂问题映射到另外一个数学域上，得到一个相对简单的问题，计算完成以后再映射回来。这样就略去了在原本域上的复杂求解。

图1 求解问题的方法

在我们所讨论的《信号与系统》课程中，这两个“域”是“时域”和“频域”，而“映射”即是“变换”。简述之，就是将复杂的域信号从时域经傅里叶变换到频域上，计算完成以后再逆变换到时域。除了这里所讲的傅里叶变换外，还有如拉普拉斯变换和Z变换等线性变换。

前面讨论过“变换”这一概念类比于三维空间的正交变换，这里讨论一下“时域”和“频域”这两个概念。

时域和频域相当于观察事物的两个不同的观察面。时域就是以时间为坐标轴的观察面，

而频域就是以频率为坐标轴的观察面。由于我们所生活的世界被时间贯穿，事物的变化走势都是随着时间而发生改变，因此，我们更习惯于从时域的角度来观察这个动态的世界。如果我们试图从另一个角度，即频域的角度观察世界，就会发现这个万物随时间变化的世界其实是静止不变的。这么想来有些让人难以接受。

那么，我们将世界类比于三维空间，将时域和频域类比为其中的两个坐标平面。这样就方便理解物体在不同平面上的投影是不同的。我们往往会站在时域的坐标平面上观察问题，但对于某些问题站在频域的角度上更方便解答，于是就有了用来贯穿时域和频域的傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。而这种在时域和频域中变换的思想就是“改变观察问题的参照系”的思想。

图2 时域与频域图解

这种解决问题的思路在数学上常常使用。类似的“变换”还有指数对数变换、空间坐标变换、运算时的变量代换和复变函数的保角变换等。

3.将局部规律推广到全局

由于许多信号函数不满足傅里叶变换绝对可积的条件，因此我们将局部规律推广到全局，将讨论背景扩大，具体为将傅里叶变换中的中的扩展为，得到了拉普拉斯变换。

由所反映的与的关系可知，拉普拉斯变换和傅里叶变换具有相当程度的相似性，但两者必然存在差别，这将同时体现在课本的具体内容和组织结构上。实际上这是科学研究中，通过将局部规律推广到全局的一个实例，从逻辑上讲将出现三种情况[4]：一是局部规律反映了全局规律。例如二者的数学表现形式几乎一样，性质上拉普拉斯变换的性质与傅里叶变换的性质有很大的相似性。在某些性质如延时性质、时域卷积，甚至只需要将与互换。

二是部分局部规律的获得是基于局部条件的，在全局中需要加以必要的修改。例如傅里

叶变换的是振荡的重复频率，而拉普拉斯变换的不仅给出了傅里叶变换给出的重复频率，还表示了振荡幅度的衰减或增长速率。因而也增加了收敛域的问题。

三是某些局部规律在全局中不成立。

四、总结

通过查阅资料和和思考后写出的这篇大作业，一方面加深了我对所写知识内容的理解，促进了对科学研究方法的思考；另一方面在学习过程中我也认识到傅里叶变换对《信号与系统》课程的重要性，以及《信号与系统》课程对工程类学生的重要性。

借助科学研究方法，我们可以看到傅里叶变换生动活泼的另一面，它带着我们贯穿时域与频域，在数学推导上复杂却又像空间变换一样令人熟悉，理解起来既晦涩难懂又在解决问题的思路上清晰无比。

我非常喜欢知乎上一位作者的感慨：

“在时域，我们观察到琴弦上下的摆动，而在频域，只有那一个永恒的音符。

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。”

这就是傅里叶变换。

五、参考文献

[1]熊庆旭.“信号与系统”中三个层次教学探索[J].电气电子教学学报，2009，31(01):5-7.

[2]伊姆雷·拉卡托斯. 科学研究纲领方法论[M]. 上海译文出版社，2016.

[3]邓新蒲，吴京.傅里叶级数的起源、发展与启示[J].电气电子教学学报，2012，34(05):1-4.

[4]熊庆旭. 信号与系统[M]. 北京:高等教育出版社, 2011. 201-202