简谐运动位移公式推导资料讲解

简谐运动位移公式推导

问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图

（a）所示,

将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求

位移x与时间t的函数关系式。

图（a）

分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量, 再求解该微分方程。

推导：取物体平衡位置0为坐标原点，物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F,

由胡克定律息4K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。

d2x

根据牛顿第二定律，m物体加速度a=必=肿=m=-m x

可令m=co 代入（a）,得

dt 2 显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程

⑷

（4）式属可将阶的二阶微分方程，

若设X'=u ，消去t,就要把把X”转化为关于X 与t 的函数，那么 du

dx +^ X =0, u dx

udu - 6? J Xdx

n n —

u=x ：x'=4 …=4

•…⑹

dx

d2x

再 次 分 离 变 量，

=dt X=0.

dt 2 X=0 ，即 X'+'」

X=0 X '

du F 面分离变量再求解微分方程, 然后两边积分，得

-u 2

2 +C, 即/ 7 2

• x +C1