第二章解析函数演示文稿

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解析函数的性质ppt课件

即存在 f (z) a ib. 于是 w f z z f z a ib z z ( 0,当z 0) （可微）
(a ib)z (1 i2 )z (a ib)(x iy) (1 i 2 )(x iy)
ax by 1x 2y i bx ay 2x 1y ux, y ivx, y
2
1 1 1
2 4 6
8
10
解析函数退化为常数的几个充分条件：(课下练习) (a)函数在区域内解析且导数恒为零； (b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)解析函数的共轭在区域内解析。
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
6810 y
两族分别以直线y=x和坐标轴 u=024
2
为渐近线的等轴双曲线
8 64 1
v=10 8 6 4
x2y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。
u v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
1x 2x
2y 1y
u
v
uxx vxx
uyy vyy
o o
ax by bx ay
o o
ux vx
vy u
a,
y b.
f
(z)
ux
ivx
vy
iuy .
即w f (z) u(x, y) iv(x, y)在D内一点x,y解析

第二章解析函数(研究生)

lim R( z )
z 0
lim x 0
x 0 y 0
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【例2】证明
f ( z ) x 2 yi 在任意点处不可导
f ( z z ) f ( z ) 证明: lim z 0 z
[( x x ) 2( y y )i ] ( x 2 yi ) lim z 0 x yi
存在，则称w = f (z)在z0处可导. 记为
dw f ( z0 ) dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
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【例1】设 f ( z ) z Re( z ), 求 f (0)
f ( z ) f ( 0) 解: f (0) lim z 0 z 0 zR( z ) lim z 0 z
1. 定理1：
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域D内有定义, 则
f(z)在D内一点z处可导的充要条件是 u (x, y), v (x, y), 在z=(x, y)处可微，且满足C-R条件 .
u x v x
u y v y
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第二章解析函数
§1 解析函数的概念 §2 解析函数的充要条件
§3 初等函数
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§1
解析函数的概念
一. 复变函数的导数与微分
1. 导数的定义：设 w = f (z) 在D上有定义, z0 D,
z0 z D 若极限
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
解:方法一:

第二章解析函数

第二章解析函数§1 解析函数的概念§2 函数解析的充要条件§3 初等函数一、重点与难点重点：难点：1. 解析函数的概念；2. 函数解析性的判别1. 解析函数的概念；2. 初等函数中的多值函数及主值的概念二、内容提要复变函数导数微分解析函数初等解析函数指数函数三角函数对数函数幂函数性质解析函数的判定方法可导与微分的关系可导与解析的判定定理双曲函数§1 解析函数的概念1.复变函数的导数与微分2.解析函数的概念1. 复变函数的导数与微分•存在, 则就说f (z)在z0可导, 此极限值就称为f (z)在z0i ) 导数的定义定义设函数w=f (z)定义于区域D, z0为D中一点, 点的导数,记作不出D的范围。

如果极限也就是说, 对于任给的时, 有, 存在, 使得当若f (z )在D 内处处可导, 就说f (z )在Ｄ内可导。

•应当注意, 定义中任意的, 定义中极限值存在的要求与无关, 也就是说, 当都趋于同一个数。

(即)的方式是的方式在区域D 内以任何方式趋于z 0时, 比值例1求f (z)=z2 的导数。

[解] 因为所以例2问f (z)=x + 2yi 是否可导？[解]设沿着平行于x轴的直线趋向于z，因而这时极限设沿着平行于x轴的直线趋向于z ，因而这时极限设沿着平行于y轴的直线趋向于z，因而这时极限所以f (z)=x + 2yi 的导数不存在。

ii)可导与连续容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。

事实上, 由在z0点可导的定义，对于任给的相应地有一个令则,, 使得当时, 有由此得所以即在连续。

iii) 求导法则与实函数相同, 复变函数也有类似的求导公式与法则，罗列如下：, 其中c为复常数。

, 其中n为正整数。

, 其中c为复常数。

, 其中n为正整数。

，其中。

，其中w = f (z)与是两个互为反函数的单值函数，且。

iv) 微分的概念小量, 而设函数w =f (z )在z 0可导, 则有其中因此, 如果函数在z 0的微分存在, 则称函数f (z )在z 0可微。

第二章解析函数

z x iy 处可微且满足C-R条件
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微），则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。解因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有

第2章复变函数与解析函数精品PPT课件

①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解设 zxiy ，wuiv，则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例

2第二章-解析函数

Lnz = ln z + i arg z
2/26/2011
而其余各个值可由
Lnz = ln z + 2kπi (k = ±1,±2, …) 表达，对于每一个固定的k, Lnz = ln z + 2kπi(k = ±1,±2,…) 为单值函数，称为Lnz的一个分支，特别，当 z=x>0，Lnz的主值lnz=Lnx，就是实变数对数函数.
2/26/2011
定理二：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x,y)在D内可微，并且满足柯西‐黎曼方程
∂u ∂v ∂u ∂v = , = ∂x ∂y ∂y ∂x
2/26/2011
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 1）
w= z
解： x x 2）因为 u = e cos y, v = −e sin y
∂u x ∂u x = e cos y, = −e sin y; ∂x ∂y ∂v x ∂v x = e sin y, = e cos y, ∂x ∂y
u = e x cos y, v = −e x sin y ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x
2/26/2011
并且由于上面四个一阶偏导数都是连续的，所以f(z)在复平面内处处可导，处处解析，并且根据
∂u ∂v 1 ∂u ∂v + f ′(z ) = + i = ∂x ∂x i ∂y ∂y
有
x ′ f (z) = e (cosy +i siny) = f (z)
2/26/2011
解： 2 3）由 w = z Re( z ) = x + ixy, 得所以 ∂u ∂u

第02章_解析函数

z = 0时 z ≠ 0时
0 当∆y = 0, ∆x → 0时 ∆x Q lim 不存在！ = ∴ 不存在！ ∆ z → 0 ∆ x + i∆ y 1 当∆x = 0, ∆y → 0时
֠
复变函数在一点处可导， (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上这是因为Δ →0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，但在复变函数中，却轻而易举。
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程简称方程(简称方设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，在内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是在点处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足可微， Cauchy-Riemann方程方程
f (z)在点 0处可导。称此极限值为 (z)在z0的导数，在点z 在点处可导。称此极限值为f 在的导数，
dw 记作 f ' ( z 0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z → 0 ∆z
如果w=f(z)在区域内处处可导，则称在区域D内处处可导如果在区域内处处可导， f (z)在区域内可导。在区域D内可导在区域内可导。
的可导性，本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，函数一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。

第2章解析函数new

例2 判断f (z) x 2 yi是否可导？
解设：z x iy，z x iy，
z z x x i y y
lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
z0
z
lim x 2yi z0 x yi
该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取值
的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
解法二：
考虑极限：
z
lim z 0
z
z
z
lim z 0
z z
设z 0时保持幅角不变：z z ei，z z ei
lim lim lim z0
z z z
z =
z
z z0
z0
z ei z ei
e2i
则z沿不同路径趋于零时，不同，lim z z z 不同
z0
z
则该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取值的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
复变函数与积分变换
2020/3/27
07:57
Huafeng Zhang
School of Physics and Optoelectronic Engineering, Yangtze University
Δz沿x轴趋于零时：
lim z0
f
z
z
z
f
z
u x
i
v x
Δz沿y轴趋于零时：
lim z0
f
z z
z
f
z
v y
i
u y
若f(z)在z点可导，沿任意方向，极限 lim z0

第二章解析函数

1第二章解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数1）定义 2.1.1：设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域)(0z N 内有定义，)(00z N z z z ∈∆+=，若极限zz f z z f z z z f z f z z z z ∆-∆+=--→→)()(lim)()(lim000000存在，且极限值为有限复数，则称函数)(z f w =在点0z 可导或可微，极限值称为)(z f 在点0z 的导数或微商，记为)(0z f '或0z z dz df =，或0z z dz dw=，即zz f z z f z z z f z f z f z z z z ∆-∆+=--='→→)()(lim)()(lim)(0000000。

若)(z f 在区域D 内每点z 均可导，则称)(z f 在区域D 内可导。

这时对于区域D 中的任一z ，都对应着)(z f 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数)(z f '，称之为原来函数)(z f 的导函数，有时也称为导数。

若导数)(z f '又可导，定义)()(z f dz d z f '=''，称为二阶导数，一般地，称)()()1()(z f dzd z f n n -=为)(z f 的n 阶导数。

复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。

2）可导和连续的关系：我们知道，若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立。

那么可导与连续有何关系？设函数)(z f w =在点0z 处可导，则由定义，对于任给的0>ε，对应存在0>δ，使得当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f成立。

令)()()(000z f zz f z z f '-∆-∆+=α那么0lim 0=→∆αz由此得到z z z f z f z z f ∆+∆'=-∆+α)()()(000即0])([lim )]()([lim 00000=∆+∆'=-∆+→∆→∆z z z f z f z z f z z α故有)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆2【注】：与极限情况类似，尽管复函数导数的定义形式与一元实函数导数定义完全相同，但实际上复函数在一点可导的定义比实函数的要荷刻得多。

ch2.1第二章解析函数第一讲函数解析的概念判定

第二章解析函数第一讲解析函数的概念及其判定1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法5 判定函数在区域内解析的方法1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法5 判定函数在区域内解析的方法回顾实变函数的导数与微分的概念一元函数 0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆∆∆→+-=0lim x y x∆∆∆→0d ()d y f x x'=()()()000()f x x f x f x x x x∆∆ρ∆∆'+-=+极限存在连续可导可微1 复变函数的导数及其微分复变函数的导数若极限 ()00000()()d lim d z z z f z z f z w f z z z∆∆∆=→+-'==设函数定义于区域 ()w f z =,D C ⊆存在，则称在点可导, 并把这个极限值称为 0z z =()f z 000000()()()()lim =lim z z z f z z f z f z f z z z z ∆∆∆→→+---在点的导数，记做 ()f z 0z z =若在区域 D 内每一点都可导, 则称()f z 在区域 D 内可导. ()f z可导与连续 ()0000()()lim z f z z f z f z z ∆∆∆→+-'= 0,0, 0z εδ∆δ∀>∃><<当时，恒有()000()()f z z f z f z z∆ε∆+-'-<()()000()()f z z f z z f z z∆ρ∆∆+-'=-令()0lim 0,z z ∆ρ∆→=则()()()000()-f z z f z f z z z z∆∆ρ∆∆'+=+由此得，例1 考察的连续性与可导性. ()f z z =解 ()0()()lim z f z z f z f z z∆∆∆→+-'=0lim z z z z z∆∆∆→+-=0lim z x i y x i y ∆∆∆∆∆→-=+0lim x x ik x x ik x ∆∆∆∆∆→-=+y k x∆∆=11ik ik-=+极限不存在，虽处处连续，但处处不可导.复变函数的微分记作令设函数在可导， ()w f z =0z D ∈()()000()() f z z f z z f z z∆ρ∆∆+-'=-则 ()()000()()+w f z z f z f z z z z∆∆∆ρ∆∆'=+-=其中， ()0lim 0.z z ∆ρ∆→=()0d w f z z ∆'=且是关于 ()0,z z z ∆ρ∆∆→z ∆为函数在处的微分，()0f z z ∆'()w f z =0z 若函数在的微分存在，则称函数在 z 0 可微. ()w f z =0z 的高阶无穷小，则称 ()0d f z z '=若在区域 D 内每一点都可微, 则称在区域 D 内可微. ()f z ()f z 极限存在连续可导可微1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法2 导数举例及求导法则例2 求的导数. 解一般的， 2()f z z =()220lim z z z z z ∆∆∆→+-=02lim 2z z z z z∆∆∆→==()0()()lim z f z z f z f z z∆∆∆→+-'=()1,n n z nz n Z -+'=∈例3 讨论可微性. 解故处处不可导,从而处处不可微. 对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也可能处处不可微.21ik ik -=+()2f z x yi =-02lim x y k xx ik x x ik x ∆∆∆∆∆∆∆→=-=+()()0lim z f z z f z z∆∆∆→+-002-lim x y x i y x i y ∆∆∆∆∆∆→→=+()2f z x yi =-求导公式与法则其中c 为复常数.其中n 为正整数. (1) ()0, c '=1(2) (),nn z nz -'=[](3) ()()()().f zg z f z g z '''±=±[](4) ()()()()()().f z g z f z g z f z g z '''=+2()()()()()(5) ,(()0).()()f z f z g z f z g z g z g z g z '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦其中其中 ()w f z =与 ()z w ϕ=互为反函数且都是单值函数.().w g z =1(7)(),()f z w ϕ'='{}(6)[()]()(),fg z f w g z '''=1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法函数在一点解析的定义设 ,若存在的一个邻域，使得在此邻域内 ()f z 0z 0z D ∈若在不解析，则称为的奇点. ()f z 0z ()f z 处处可导, 则称在处解析. ()f z 0z 也称是的解析点. 0z ()f z 如果在区域 D 内处处解析，则称在D 内解析. ()f z ()f z 定理 1若在区域D 内可导，则在区域D 内解析. ()f z ()f z 3 解析函数的概念（1）有没有这样一个函数，只在一点解析，而在这点的邻域内不解析？思考题（2）闭区域解析与闭区域可导是否等价？（3）如果函数在曲线C 上可导，是否在该曲线上解析？ ()f z 结论：函数在一点解析与在一点可导不等价,解析要求高.函数区域内解析与区域内可导是等价的.特别地,结论：（除去分母为0的点）在区域D 内解析. （2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.（1）多项式在全平面内解析. ()p z ()()()(), ()(),f z f zg z f z g z g z ±设函数在区域D 内解析, 则 (),()f z g z例4 研究下列函数的解析性.解处处可导，处处解析;由例3知，处处不可导，处处不解析；()()21 0z z zϕ'=-≠()()22g z x yi =-()()12,f z z '=()()()()()()()()221; 22;13; 4.f z z g z x yi z h z z zϕ==-==()()13,z z ϕ=()f z 除去的复平面内处处解析. 0z =当时，上述极限存在且为0. 11ik ik -=+()z z z z zz z ∆∆∆++-=()()h z z h z z ∆∆+-()()24h z z =z z z z z ∆∆∆=++0z =0lim x y k xx ik x x ik x ∆∆∆∆∆∆∆→=-=+00lim x y x i y x i y ∆∆∆∆∆∆→→-+0lim z z z ∆∆∆→= 仅在处可导，故处处不解析. 0z =()h z 0z ≠当时，1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法可微的定义 (),z fx y =()00,U x y 设在内有定义，且若则称在处可微.,,x y ∆∆∀()()0000,,x x y y U x y ∆∆++∈(),z fx y =()00,x y 0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆∆∆=++-12()a x a y o ∆∆ρ=++回顾二元实变函数微分的概念可微的充分条件 (),,.z zz f x y x y∂∂=∂∂当连续时，可微=()()()(),w f z z f z f z z z z ∆∆∆ρ∆∆'+-=+假设在点可微，有 z x iy =+()w f z =(),f z a ib '=+ ()(),f z z f z u i v ∆∆∆+-=+令0lim ()0,z z ∆ρ∆→=w u i v ∆∆∆=+12() ,z i ρ∆ρρ=+12()a xb y x y ∆∆ρ∆ρ∆=-+- ()x i y ∆∆⋅+()a ib =+()x i y ∆∆⋅+12()i ρρ++21()i b x a y x y ∆∆ρ∆ρ∆++++w u i v ∆∆∆=+12()a xb y x y ∆∆ρ∆ρ∆=-+- ()x i y ∆∆⋅+()a ib =+()x i y ∆∆⋅+12()i ρρ++21()i b x a y x y ∆∆ρ∆ρ∆++++21.v b x a y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=+++12 ,u a x b y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=-+-于是()120,00,0x y ρρ∆∆∴→→→→12() , z i ρ∆ρρ=+0lim ()0,z z ∆ρ∆→=21.v b x a y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=+++12 ,u a x b y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=-+-于是()120,00,0x y ρρ∆∆∴→→→→12() , z i ρ∆ρρ=+0lim ()0,z z ∆ρ∆→=0→故是可微的，且 ()f z a ib '=+()12x y o ρ∆ρ∆ρ∴-=,.u ua b x y∂∂==-∂∂1212220x yx y ρ∆ρ∆ρρ∆∆-<<++(,)u x y ()u u f z ix y∂∂'=-∂∂⇑于是得到，在任意一点可微(即可导)的必要条件是 ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+ , .u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂,.v v b a x y ∂∂==∂∂, .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+同理是可微的，且 (,)v x y 在处都可微，且满足Cauchy-Reiman (,),(,)u x y v x y (,)x y 复变函数方程， ,.u ua b x y∂∂==-∂∂在任意一点处可微(即可导)的充分必要条件是 ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+, .u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+在处都可微，且满足Cauchy-Reiman (,),(,)u x y v x y (,)x y 定理1 复变函数方程，推论1注意定理的条件v u i y y ∂∂=-∂∂()u v f z i x x∂∂'=+∂∂u u ix y ∂∂=-∂∂v v i y x∂∂=+∂∂例5 证明函数在点满足C -R 方程，但在点不可导. 解 ()0,00,v x∂∴=∂u xy =()f z xy =()0,00.u y∂=∂ 0z = 0z =000lim 0.x x→-==()(),00,0limx u x u x→-=()0,0u x ∂∂(),0,v x y =同理，()0,00.v y∂=∂故 u (x ,y ) 在 (0,0) 点不可微，从而 f (z ) 在 z = 0 不可导.()()()0,0,00,0limx y u x y u x u yρρ→--2200limx y xy x y→→=+2220limx y kxx kx x k x→=⋅=+u xy=2.1k k=+1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法在任意一点处可微(即可导)的充分必要条件是在处都可微，且满足Cauchy-Reiman ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+(,),(,)u x y v x y , .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+(,)x y 定理1 复变函数方程，在区域 D 内可微(即可导)的充分必要条件是在内可微，且在 D 内满足Cauchy-Reiman()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+(,),(,)u x y v x y , .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂D 定理2 复变函数方程，推论2 如果 u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在区域 D 内各个一阶偏导数连续 (从而可微), 并且满足 C -R 方程, 则函数 f ( z ) 在区域 D 解析.注意：在讨论函数的极限与连续问题时， ()()(),,f z u x y iv x y =+等价于讨论两个二元实变函数的极限与连续问题，对 U 和 V 之间的关系没有任何要求. 但在讨论可导与解析性时，即使U 和 V 均可导，f ( z )也未必可导当然更未必解析。

解析函数的充要条件ppt课件

[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 ) eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
2
2)在复平面上处处,且解析
(sinz)'cosz (cosz)'si nz
(sin z)' 1 (eiz eiz )' 1 (eiz eiz ) cos z
2i
2
x y x y
定义方程
A 记忆
u u x y v v x y
u v v u
称为Cauchy-Rixemann方程y(简称Cx-R方程). y
;.
7
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程
u2 x u2y v0 v0 x y x y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z2仅在z 0处可导，但处处不。解析
;.
17
例2 求证函数
x
y
wu(x,y)iv(x,y)x2y2ix2y2
在 zxiy0处解析d， w . 并求 dz
证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：
它的定义为仅仅是个符号sincosiysincos公式就得imzicossiiyiyiyiyiyiy推广到复变数情形的正弦与余弦函数称为zzizizizi定义28cossinizizcoscosizizizizcos正弦与余弦函数的性质29是偶函数是奇函数izizcosizsicoseuler成立公式对一切有类似的结果是否与实变函数作为复变函数30三角公式的加法定理可推知一些及指数函数由正弦和余弦函数定义cossicoscossicoscoscoscossicoscosiychyxchyiyxchyiycossinsinsincoscoscotcossi其它三角函数的定义详见p5132chyiyshy即方程的零点cos的零点为cos不再成立在复数范围内thzcthzchzshzthz定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质为周期的函数都是以chzshz奇函数偶函数shzchz一定是多值函数反函数且是周期函数故它的定义的函数双曲函数均是由复指数三角函数chxiyiychiyshsi在整个复平面内处处解和chzshzchzshzshzchz定义指数函数的反函数称为对数函数

第二章解析函数演示文稿

解析函数的性质ppt课件

第二章 解析函数(研究生)

第二章解析函数

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ch2.1第二章解析函数第一讲函数解析的概念判定

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