03-1 弦的横向振动
弦的横振动问题
§8.1弦的横振动问题一、引言二、方程的导出三、定解条件1.定解条件的必要性2.初始条件3.边界条件4.定解问题四、例题一、引言(展示)数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。
解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定解条件(初始条件和边界条件)；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。
本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。
导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u，再从所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方程——数学物理方程。
返回页首二、方程的导出(展示1234)在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。
这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x轴，并以坐标x标志弦上各点。
设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是弦上x点在t时刻沿垂直于x方向的位移u(x，t)。
在弦上任取一小段x1x2(图8。
1)，设在t时刻成为弧长。
由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即(8.1-1)根据H o o k e定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张力T亦不随时间变化。
设弦的线密度为，在垂直于x方向上作用于单位弦长上的外力为，则段弦的横向运动方程为(8.1-2)式中和分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x轴的夹角。
根据弦作微小振动的假定，有(8.1-3)(8.1-4)因此，有(8.1-5)将上式代入(8.1-2)式,可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程(8.1-6)讨论：1）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即(8.1-7)即张力与x无关。
ft解弦振动方程
ft解弦振动方程弦振动是指弦上的波动现象，当弦受到外力作用时，会产生一系列的波动，即弦振动。
弦振动的基本原理可以通过一维波动来描述。
在弦振动中，弦的长度相对较长，可以近似看作一维的直线波动。
弦上的振动可以分解为横向和纵向的振动，而横向振动是指弦的横向位移，纵向振动是指弦的纵向位移。
根据弦振动的性质，可以得到弦振动方程，即描述弦振动的数学表达式。
最常见的弦振动方程是一维波动方程，也称为弦的振动方程。
一维波动方程可以用来描述弦上的横向振动，它的一般形式为：∂^2u/∂t^2 = v^2∂^2u/∂x^2其中，u是弦的横向位移，t是时间，x是弦上的位置，v是波速。
该方程表示了弦上的横向位移随时间和位置的变化关系。
弦振动方程的解决过程涉及到波动方程的求解技巧。
通常情况下，我们需要先确定弦振动的边界条件和初始条件，然后利用适当的数学方法求解弦振动方程。
对于简单的情况，可以使用分离变量法、叠加原理等方法求解。
弦振动方程的解决过程可以帮助我们理解弦振动的特性。
通过求解弦振动方程，我们可以得到弦上不同位置的振动情况，包括振幅、频率、波长等。
这些振动特性对于乐器演奏和声波传播等应用有着重要的影响。
在乐器演奏中，弦振动方程可以帮助我们理解音乐中的和弦、音高等概念。
不同的弦振动模式会产生不同的音高和音质，这也是乐器演奏中的重要技巧和表现手段。
在声学领域中，弦振动方程可以用来描述声波在弦上的传播过程。
声波的传播速度和频率与弦的特性密切相关，通过求解弦振动方程可以得到声波传播的特性参数，从而对声波传播进行分析和预测。
弦振动方程是描述弦振动的重要数学模型。
通过求解弦振动方程，我们可以深入理解弦振动的基本原理和特性。
弦振动方程在乐器演奏、声波传播等领域中具有广泛的应用，对于进一步研究和应用弦振动具有重要的意义。
弦振动实验原理
弦振动实验原理弦振动是物理学中一个重要的研究对象，它不仅在乐器演奏中起着关键作用，还在工程领域和科学研究中有着广泛的应用。
弦振动实验是研究弦振动特性的重要手段，通过实验可以直观地观察到弦的振动规律，从而深入理解弦振动的原理和特性。
本文将介绍弦振动实验的原理，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的物理现象。
首先，我们来介绍一下弦振动的基本原理。
当一根弦被拉紧并以一定的力量振动时，弦上将产生波动。
这种波动可以是横波，也可以是纵波，而在弦的振动实验中，一般研究的是横波。
横波是指波动方向与能量传播方向垂直的波动，而纵波则是波动方向与能量传播方向一致的波动。
在弦振动实验中，我们通常研究的是弦的频率、波长、振幅等特性，以及这些特性与弦的材料、长度、张力等因素的关系。
在进行弦振动实验时，我们需要一些基本的实验装置和仪器。
首先是弦，我们可以选择不同材质和不同长度的弦进行实验，以研究它们的振动特性。
其次是振动源，通常我们会用手指或者拨片等方式激发弦的振动。
另外，还需要频率计、振幅计等测量仪器，用来测量弦的振动频率和振幅。
通过这些实验装置和仪器，我们可以进行一系列的实验，研究弦的振动规律。
在实验中，我们可以通过调节弦的张力、改变弦的长度、用不同的材料制作弦等方式，来研究这些因素对弦振动特性的影响。
例如，当我们增加弦的张力时，会发现弦的振动频率会增大；当我们改变弦的长度时，会发现弦的波长会发生变化。
通过这些实验，我们可以得出一些定量的规律，从而更好地理解弦振动的原理。
除了定量的实验研究，我们还可以通过定性的实验观察弦振动的现象。
例如，我们可以用慢动作摄像机来观察弦的振动形态，可以用荧光粉等方式标记波节和波腹，以便更清晰地观察波动的特点。
这些定性的实验可以帮助我们更直观地理解弦振动的规律。
总之，弦振动实验是研究弦振动原理的重要手段，通过实验可以直观地观察和研究弦的振动特性。
在实验中，我们可以通过调节不同的参数，研究这些参数对弦振动特性的影响，从而更深入地理解弦振动的原理。
数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
由
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) uxx ( x , t ) dx
设细弦上各点线密 度为 ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
O
u
T2
T1 x
ds
ρgds x
x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T
cos 1≈cos 2 ≈1
铅直合力: F=m a T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1 T( tan 2－tan 1) = ρds utt
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
d s≈ dx utt= a2 uxx
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
其中 utt = a2 uxx
T
a2
一维波动方程:
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)
3/16
二阶偏导数 utt 物理意义——物体运动加速度
二阶偏导数:
u x ( x x , t ) u x ( x , t ) u xx ( x , t ) lim x 0 x tan 2 tan 1 u xx ( x , t ) lim x 0 x
03-3 梁的横向振动
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★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
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等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
03-1 弦的横向振动解析
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
弦振动的振型演示实验
一、实验目的 1851 年，傅科在巴黎圣母院用 67 米长的单摆进行实验，根据摆的振动平面偏转效应证明地球
自转博得了很大的声誉，被命名为傅科摆。我国北京自然博物馆门口就有一个傅科摆。我们将在实 验室重复这个相似实验。
通过实验，让学生观察实验现象，以及了解非惯性实验平台的组成和实验方法。 二、实验内容 1、 认识非惯性平台的各个组成部分； 2、 通过傅科摆演示，观察和理解地球的自转规律。
信号发生器
率时，获得各阶主振型。系统的前三阶的主振型如图 3 所示。
图2
第一阶主振型 第二阶主振型 第三阶主振型
图3
ω
n1=
πa l
， φ1 ( x)
=
πx l
ω n2
=
2π l
a
，φ（2 x)
=
2π l
x
ω n3
=
3π l
a
，φ（3 x)
=
3π x l
思考题 1．弦振动的固有频率与什么因素有关？ 2．如何从实验观察中判断振型的阶次？ 3．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？
=
iπa l
（i
= 1,2,3L）
主振型： φ i
(x)
=
sin
iπx l
（
i
=
1,2,3L）
系统的受迫振动响应可表示为各阶主振型的线性组合，即
（2)1 （2)2
∑ y( x, t )
=
∞ i =1
H
i
(t
)
sin
iπx l
（3）其中
H i (t) （ i = 1,2,3L）称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。 将式（3）代入式
弦的横振动方程
弦的横振动方程弦的横振动方程物理问题：有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。
取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。
设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。
弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。
我们忽略了法向应力和重力作用。
我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx 相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即这个式子也是切线的斜率，所以所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。
对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有这里用了中值定理与极限。
最终我们导出了弦振动的方程：其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。
进一步的，我们定义有通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。
其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。
当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。
设单位长度受到的外力为f，我们的公式为因此，最终方程为新出现的非齐次项为单位质量所受外力。
弦振动的研究实验原理
弦振动的研究实验原理
弦振动的研究实验原理涉及到物理学中的波动和振动理论。
在这个实验中，我们通常使用一根细长的弦作为研究对象。
以下是一些实验原理的关键要点：
1. 波动理论：弦振动实验基于波动理论，即弦上的振动可以被描述为波的传播。
根据波动理论，弦上的振动可以形成横波或纵波。
2. 弦的特性：弦的振动实验中，我们通常关注弦的一些特性，如长度、质量、张力和材料等。
这些特性会影响弦的振动频率和波速。
3. 波速和频率：弦上的振动会以一定的速度传播，这个速度被称为波速。
波速与弦的特性有关，如张力和质量。
振动的频率则是指单位时间内振动的次数，通常以赫兹（Hz）表示。
4. 波动方程：弦振动实验中，我们可以使用波动方程来描述弦上的振动。
波动方程可以是一维的或二维的，取决于实验的具体情况。
一维波动方程通常用于描述弦上的横波振动。
5. 实验装置：为了研究弦的振动，我们通常需要一些实验装置，如固定支架、振动源和测量仪器等。
这些装置可以帮助我们产生和测量弦上的振动。
通过对弦振动实验原理的研究，我们可以深入了解波动和振动的性质，以及它们
在物理学中的应用。
这些实验也有助于我们理解声音、光和其他波动现象的行为。
轴向运动弦线横向振动的控制_能量方法
i( ∃t- % x )
和
2
分别为张紧器两侧的弦线在
+ Bu e
i( ∃ t+ % x )
u
l1 # x # 1
+
平衡位置 X = L 1 处和张紧器间的夹角。 引入无量纲变量 x = X W ,w= ,t= T L L ie = P 2, c = V L P , l1 = L1 , L
( 11)
4
最佳控制参数选择
为了抑制运动弦线受初始激励扰动而引起的横向 达到控制弦线 ( 12)
I B L L 3, b = L , k = K P , me = Me P L
2
振动, 可通过调整张紧器的旋转角度 振动的目的。 为此, 控制力矩 m e 取为 m e = k f w t( l 1 , t ) b
[9] [ 10] [ 4] [ 8] [ 6]
轴向运动弦线的横向振动控制是多个技术领域的 重要工程目标, 如动力传送带、 空中缆车索道、 高楼升 降机缆绳、 单索架空索等。尽管这些工程系统元件具 有重要应用前景 , 由于轴向运动而引起的横向振动却 限制了它们在一些工程领域中的应用。因此 , 有必要 引进控制手段来抑制轴向运动弦线的振动
[ 12 ]
( 0) = #
其中 ! 为张紧器 与铅垂线 间的夹 角,
为张紧 器在
x = l1 处的位移。 从方程 ( 3) ~ ( 5) 可知 , 弦线动力学 方程 ( 3) 和张紧器的动力学方程( 4) 通过边界条件( 5) 相耦合, 形成一个耦合振动系统。
可
3
波的反射和透射分析
对于一无限长的沿轴向运动的弦线 , 其横向振动
203
图2
轴向运动弦线的纵向振动位移 ( 1) 图 ( a) 、 ( c) 、 ( e) 为末控弦线 ; ( 2) 图 ( b) 、 ( d) 、 ( f) 为已控弦线 Fig. 2 Transverse vibrat ion displacement of the axially moving string ( 1) Fig. ( a) , ( c) , ( e) for un control led st ing; ( 2) Fig. ( b) , ( d) , ( e) for controlled st ing
弦振动的研究
弦振动的研究
弦振动是物理学中一个非常重要的研究课题，它在音乐、工程、科学等领域都有着广泛的应用。
本文将从弦振动的原理、实验方法和应用方面介绍弦振动的研究。
弦振动是指一根细而有弹性的绳子或管道在一端固定的情况下，在受到外力刺激时，以波动的形式沿着其长度方向传播的现象。
弦振动的原理可以通过一维波动方程来描述，即弦的振动可以用波动方程来表示：∂^2y/∂t^2 = v^2∂^2y/∂x^2 ，其中y是弦的位移，t和x分别是时间和空间变量，v是波速。
研究弦振动的实验方法有很多种，常用的是激励法和干涉法。
激励法是通过在弦的一端施加外力来激起弦振动，并用传感器来测量弦的位移和波速。
干涉法是利用光的干涉现象来研究弦振动，将弦置于一束平行光中，使光通过弦时会产生干涉条纹，通过观察这些干涉条纹的变化来研究弦的振动情况。
弦振动的研究在许多领域有着重要的应用。
在音乐领域，弦乐器如钢琴、小提琴等都是利用弦的振动来产生声音的，研究弦振动可以帮助我们了解乐器的共鸣特性和音色的形成机制。
在工程领域，弦振动的研究可以用于设计和优化结构的减振和隔振，避免结构因振动而产生疲劳破坏。
在科学研究中，弦振动的研究有助于理解波动现象的基本原理，如光波、电磁波等。
总之，弦振动作为物理学中重要的研究课题，其原理、实验方法和应用都具有广泛的应用价值。
通过对弦振动的研究，我们不仅可以深入了解弦振动的本质和特性，还可以应用于音乐、
工程和科学等领域，为人类的生活和科学研究带来更多的便利和进步。
希望未来能有更多的研究对弦振动进行深入的探索。
弦振动实验原理
弦振动实验原理弦振动是物理学中一个重要的研究内容，它不仅在乐器制作和音乐演奏中起着重要作用，还在工程和科学领域有着广泛的应用。
弦振动实验是物理实验中常见的一个实验项目，通过实验可以直观地观察和研究弦的振动规律，了解弦振动的基本原理和特性。
本文将介绍弦振动实验的原理，希望能为相关领域的研究和实践提供一定的参考。
首先，我们来看一下弦振动的基本原理。
当一根弦被拉紧并以一定方式激发时，它会产生振动。
这种振动是由弦的横向位移引起的，当弦上的某一点发生横向位移时，会引起周围介质的位移，从而形成波动。
根据弦的材料、长度、张力和激发方式的不同，弦的振动形式也各不相同，可以是基本频率的纵波、横波或者驻波等形式。
在弦振动实验中，我们通常会通过一些简单的实验装置来观察和研究弦的振动规律。
比如，可以利用弦振动装置将一根弦固定在两端，并施加一定的张力，然后以不同的方式激发弦的振动，比如用手指拨动或者用力拨动弦等。
通过实验装置上的传感器或者摄像设备，可以记录下弦的振动过程，并通过数据分析和图像处理来研究弦振动的特性。
弦振动实验的原理还涉及到一些基本的物理理论，比如波动理论、振动理论和力学原理等。
在实验中，我们可以利用这些理论知识来解释和分析实验现象，比如通过波动方程来描述弦振动的传播规律，通过叠加原理来分析不同频率振动的叠加效应等。
同时，我们也可以通过实验数据来验证这些理论，从而加深对弦振动原理的理解。
除了基本原理和物理理论，弦振动实验还涉及到一些实验技术和数据处理方法。
比如，在实验中我们需要合理地设计实验方案，选择合适的实验装置和测量仪器，以确保实验能够准确地进行。
同时，我们还需要对实验数据进行有效的采集和处理，比如利用计算机软件对振动信号进行频谱分析、波形分析和数据拟合等，从而得出准确的实验结果。
总之，弦振动实验原理涉及到多个方面的知识和技术，需要我们综合运用物理理论、实验技术和数据处理方法来进行研究。
通过对弦振动实验原理的深入理解和掌握，我们可以更好地认识和应用弦振动的规律，为相关领域的研究和实践提供有力的支持。
常见紧固件横向振动试验方法
第34卷第$期机电产品开发与创新Vol.34,No.1 2021年1月Development&Innovation of M achinery&E lectrical P roducts Jan.,2021文章编号：1002-6673(2021)01-084-03常见紧固件横向振动试验方法周思琪，张建军(中机生产力促进中心，北京100044)摘要：横向载荷更容易引起螺纹连接松动$本文介绍了螺纹连接横向振动试验原理及部分相关国內外紧固件横向振动试验方法标准，并对相关标准中试验设备、试验条件和试验结果进行对比$关键词：螺纹连接'横向振动试验方法中图分类号：TG95文献标识码：A doi:10.3969/j.iss/.1002-6673.2021.01.027Introduction of Transverse Vibration Test Method for Common FastenersZHOUSi-Qi,ZHANG Jian-Jun"China Productivity Center for Machinery,Beijing100044,China)Abstract:Transverse load is more likely to cause screw connection loosening.This paper introduces the origin of the transverse vibration test of threaded connection and some relevant domestic and foreign standards for the transverse vibration test of fasteners,and compares the test equipment,test conditions and test results in the relevant standards.Keywords:Threaded connection；Transverse vibration test method0引言螺纹连接在工作状态下可能会经受所有类别的变动载荷，包括极为激烈的振动和冲击载荷。
振动力学(梁的横向振动)
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。 则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
即
利用材料力学中的关系 得到梁的弯曲振动方程
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 固定端：挠度和转角为0，即
振动力学
------弹性体的振动
汇报人姓名
汇报日期
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
01
单击此处添加小标题
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
02
用Fj左乘上式两端，并积分
上两式相减得
则
i＝j时
梁在激励力作用下的响应
1.标准坐标（正则坐标）
对振型函数按下式条件正则化 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
2.对初始激励的响应
以及
解：边界条件为挠度和弯矩为0。 【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 代入特征方程的解
得到
以及
则
则
以及频率方程
由此解得
所以固有频率
振型为 第i阶振型有i－1个节点。节点坐标 即
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
01
以及
02
解：边界条件为挠度和转角为0，即 代入特征方程的解得到
两端固定的弦作自由横振动
两端固定的弦作自由横振动华南师范大学物理学3班池晓欢20082301168摘要：分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用、最基本的方法。
分离变量法的物理背景是波动现象，这给我们一个启示：波动方程的解是否有变量分离形式的解。
为了求证这一想法，下面对一个波动问题进行深入的分离变量，并且找到了方程的解。
关键字：分离变量法，波动方程，弦的横振动考虑长为l,两端固定的弦作横振动。
其初始位移为U︱t=0=ϕ（x）,初始速度为U t︱t=0=ϕ(x)，试求解此弦作自由横振动的位移。
解：列出定解问题U tt=a2U xx, 0＜x＜l, t＞0U(0,t)=U(l,t)=0， t≥0X(x,0)=ϕ(x)=X, U t(x,0)=ϕ(x)=2X; 0≤X≤l先求解U tt=a2U XX,运用分离变量法令U（x,t）=X(x)·T(t),所以X(x)T〞(t)=a2X〞（x）,即T〞(t)/a2T(t)= X〞(x)/X(x)=-λ故得到两个常微方程：d2/dx2X(x)+λX（x）=0X(0)=X(l)=0. (边界条件)经讨论，当λ＜0或λ=0时其通解不符合题意，当λ=0时，其通解为X(x)=Acosλx+Bsinλx代入边界条件求得λn=(nπ/l)2，故X n(x)=B n sin(nπx/l)(n=1,2,…)现把λn=(nπ/l)2代入T（t）的常微分方程：则d2/dt2 T n(t)+a2n2π2/l2*T n(t)=0这是一个简谐振动的波动方程所以T n(t)=A n′cos(nπa/l)t+B n′sin(nπa/l)t因为U n(x,t)=T n(t)·X n(x)所以U n(x,t)的通解为U n(x,t)= (A n′cos(nπa/l)t+B n′sin(nπa/l)t)B n sin(nπ/l)x=(C n cos(nπa/l)t+D n sin(nπa/l)t)sin(nπ/l)x(其中C n= A n′B n,D n= B n′B n)故U n(x,t)= ∑∞=1t)n(x, Un =∑∞=+1)/sin())/sin()/cos((nnnxlnt lanDt lanCπππ下面我们求系数C n和D n根据边界条件U(x,0)=ϕ（x）,U t(x,0)= ϕ（x）∴U(x,0)=∑∞=1)/ sin(nnxlnCπ= ϕ（x）U t(x,0)= =∑∞=1)/sin()/D n n x l n l a n ππ（ϕ（x ）所以C n =⎰l xdx l n l 0(x)sin 2πϕ=-πn l 2,(n=1,2,…) D n =xdx ln l n l x ⎰0)(sin 2πϕπ=-a n l 2224π,(n=1,2,…) 所以U t(x,0)= ∑∞=--1222)/sin())/sin(4)/cos(2(n x l n t l a n a n l t l a n n l πππππ参考文献：数学物理方程与特殊函数 李元杰 编 高等教育出版社 数学物理方程 陈才生 编 东南大学出版社。
第2章-1弦的振动
某方向的行波+纯驻波
正x方向行波 两列反向行波 ——振幅相同
η p = ( A − B )cos[k (ct − x) + ϕ A ]
ηs = B {cos[k (ct + x) + ϕ B ] + cos[k (ct − x) + ϕ A ]} t t
∞
∞
动能： 动能
元段dx
2
整根弦
1 ⎛ ∂η ⎞ dE k = δdx⎜ ⎟ 2 ⎝ ∂t ⎠
总能量： 总能量
1 l ⎛ ∂η ⎞ E k = ∫ dE k = δ ∫ ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠
2 l 2
2
T ⎛ ∂η ⎞ ⎛ ∂η ⎞ E = Ek + Ep = ∫ ⎜ ⎟ dx + ∫0 ⎜ ⎟ dx 0 2 ⎝ ∂t ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠
问题: 弦的某一位置，随时间的变化； 问题 弦的某 位置 随时间的变化 在某一时刻，弦随位置的变化。
η (t , x)
假设：小振动。 η (t , x) 很小，张力 T [N]为常数。
2.1
分析
y
η (t , x)
“牛二”
dFx
dm
x
y
线密度 = 密度 * 横截面积
Fx + dx
B
η x + dx
∂η =T ∂x
dE p =
T ⎛ ∂η ⎞ ⎜ ⎟ dx 2 ⎝ ∂x ⎠
元段dx 段 整根弦
T
T l ⎛ ∂η ⎞ E p = ∫ dE p = ∫ ⎜ ⎟ dx 0 ∂x 2 ⎝ ∂x ⎠
振动弦的分类
振动弦可以根据其振动方式和特点进行分类。
以下是一些常见的分类方式：
根据振动方向分类：
横向振动：当弦被横向拉动时，产生的振动方向垂直于弦的长度方向。
这种振动方式在乐器如二胡、吉他等中常见。
纵向振动：当弦被纵向拉动时，产生的振动方向沿着弦的长度方向。
这种振动方式在实际应用中较少见。
扭转振动：当弦被扭转时，产生的振动方式类似于弦的扭转。
这种振动方式在某些特殊情况下可能出现。
根据振动模式分类：
自由振动：弦在没有外部力作用下的自然振动，其振动频率和振幅由弦本身的物理性质决定。
受迫振动：弦在外部周期性力作用下的振动，其振动频率与外部力的频率相同或接近。
例如，当用弓在张紧的弦上拉动时，弦就会产生受迫振动。
根据振动状态分类：
稳态振动：弦的振动状态在长时间内保持不变，即振幅和频率保持不变。
非稳态振动：弦的振动状态随时间发生变化，即振幅和频率随时间变化。
例如，当弦受到突然的冲击时，其振动状态可能为非稳态振动。
需要注意的是，以上分类方式并不是绝对的，振动弦的实际振动状态可能同时包含多种振
动方式和特点。
此外，弦的振动还受到许多因素的影响，如弦的长度、直径、材料、张力等。
因此，在研究弦的振动时，需要综合考虑各种因素，以获得更准确的结果。
亥姆霍兹弦运动
亥姆霍兹弦运动亥姆霍兹弦运动，又称为振动弦或弦的横向波动，在物理学中起到了重要作用。
这个概念是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在19世纪提出的，他的研究对音乐理论和声学领域有着深远的影响。
亥姆霍兹弦运动研究的是弦的横向共振波动，这种波动包括弦的自由振动和外界施加的力所导致的强制振动。
亥姆霍兹通过实验观察到，在弦的两端固定情况下，当弦处于某个特定的频率时，弦会发生横向共振波动。
这些特定频率被称为亥姆霍兹频率。
在亥姆霍兹弦运动中，弦的振动模式可以用简谐振动来描述。
简谐振动是指一个物体在频率恒定的驱动力作用下，以简单周期性的方式振动。
弦的振动模式与弦的长度、张力和质量有关。
亥姆霍兹弦运动的数学描述可以通过弦的波动方程来实现。
在弦的横向波动中，沿着弦的任意一点的横向位移可以用弦的波函数来描述。
弦的波函数是一个数学函数，它描述了弦在不同位置和时间上的横向位移。
弦的波函数可以用二维波动方程来表示，该方程可以通过偏微分方程形式写出。
对于长度为L的弦，波函数的一般解形式为：y(x,t) = A sin(kx) cos(ωt + φ)其中，y是位移，x和t分别是弦上的位置和时间，A是振幅，k是波数，ω是角频率，φ是初相位。
在亥姆霍兹弦运动中，波数和角频率之间有以下关系：ω = (2π/T) = (2πf)其中，T是周期，f是频率。
亥姆霍兹弦运动的重要性体现在它对音乐的理解和声学的研究上。
通过亥姆霍兹弦运动的理论，人们可以解释和理解乐器的声音产生原理，如弦乐器、钢琴等。
此外，亥姆霍兹弦运动也被广泛应用于声学研究中，在音箱、扬声器等声学设备的设计中起到了重要作用。
总结起来，亥姆霍兹弦运动是物理学中研究弦的横向波动的重要分支。
它的数学描述可以通过弦的波动方程实现，通过仔细研究弦的振动模式，可以解释和理解音乐和声学等领域的现象。
对于深入了解弦乐器和声学相关的研究，亥姆霍兹弦运动是必不可少的知识。
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●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动 的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变， 但一般形状的幅度是随时间而改变的； ●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平 衡位置； ●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数 y(x,t) 在 时间和空间上是分离的。
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 2 a 2 2 F t dt Y x dx
由该式得到如下 两个方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
关于时间变量t的常微分方程。 关于空间变量 x 的常 微分方程。
d 2Y x 2 Y x 0 0 x L 2 dx 将偏微分方程转化为两个二阶常 微分方程！——分离变量法。 a
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 a 2 F t dt Y x dx 2
左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都 成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得
r
r 1, 2,
r 1, 2,
E=0
Yr x Dsinr x Ecosr x
因为振型只确定系统中各点振 r Y x sin x r 动幅度的相对值，其表达式无 L 需带常数因子D，取D=1。
r 1, 2,
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弦的横向振动偏微分方程
2 y y 2 T f x, t (0 x L) t x x 式中： =(x)，T=T(x,t)，y=y(x,t)。
★弦横向振动的边界条件：两端处位移为零，即
y0, t yL, t 0
★弦横向振动的数学模型 2 y y 2 T f x, t x x t y 0, t y L, t 0 ★上式为偏微分方程的边界值问题。
连续系统具有无限多个自由度。
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◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由度
数目相等的二阶常微分方程组；
◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动状
态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
式中： A ， B( 或 C ， ) 为积分常数。由两个初始条件 y(x,0) 和 y x,0 来确定。
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关于空间变量x的常微分方程 上式通解为 Y x Dsinx Ecosx
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关于时间变量t的常微分方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
方程的通解为
F t A sin t B cos t C sin t
y sin tan 在微振动条件下，有 x 2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
式中，不计 dx 的二次项， 两边同时除 以 dx ，整理 得
2 y 2 y T y 2 f x ,t T 2 t x x x
式中
2 y T y y T 2 T x x x x x
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◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成 了离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。 离散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具 有无限多的自由度。
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◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理 论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似： (1)建立系统运动微分方程 离散系统:常微分方程组; 连续系统:偏微分方程组。 (2)求固有频率、振型、正则振型 离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性 确定正则振型向量。 连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性 确定正则振型函数。 (3)求正则坐标下的响应 离散系统:正则坐标数为系统自由度数。 连续系统:正则坐标数为无限个。 (4)求原广义坐标下的响应
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取 微 段 弦 线 单 元 体 dx 。 假设弦作微小横向振动， 则由牛顿定律得
2 y dx 2 f x, t dx t T T dx sin dx T sin x x
d 2Y x 2 Y x 0, 2 dx
a
0 x L
称为振型函数
式中： D ， E 为积分常数。由边界条件 y(0 ， t) 和 y(L ， t) 来确定。 Y 0 Y L 0 y x, t Y x F t
y 2 y a 2 2 t x
2 2
a T
Y(x)表示弦的振动位形，只 取决于变量x；
●
★上述边界值问题的解 可以写成下面的形式
y x, t Y x F t
F(t)表示弦的振动规律，只 取决于时间t。
●
2 y 2 2 y a 2 ★将上式代入自由振动的波动方程 2 t x 2 d2 F t 1 d 2 F t 1 d 2Y x 2 d Y x 2 Y x a F t a 2 2 2 dt dx F t dt Y x dx 2
由特征方程，可求得无 r a r T r r 1, 2, 限多阶固有频率： L L ★第1阶固 频率1称为基频，或基谐波； ★高阶固有频率r (r=2，3，…)称为高次谐波。 ★高次谐波是基谐波的整数倍。 ★对应于无限多阶固有频率，有无限多阶固有振型函数
r r a L
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
对应于第r阶固有频率，弦的固有振动为
r yr x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L
弦的自由振动可以表示为各阶固有振动的叠加，即有
r y x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L r 1 r 1
★离散系统的固有振型是以各质点之间的振幅比来表示 的； ★当离散系统的质点数趋向于无穷时，各质点振幅就成 为x的连续函数，即为连续系统中的振型函数Y(x)；
★ 离散系统所描绘的固有振型只是连续系统振型函数 Y(x)所表达的真实振型的近似解。
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E 0,
D sin L 0
显然，D=0不是振动解。
D 0 sin L 0
y 0, t =0，y L, t =0
弦振动的特征方程
sin
a
L0
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