03-1 弦的横向振动

2 y 2 2 y a 2 2 t x
a T
★ a表示弹性波沿弦向的传播速度。 上式通常称为波动方程。
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●连续系统的自由振动问题同离散系统的自由振动 问题在处理上可以用相同的方法；
式中，不计 dx 的二次项， 两边同时除 以 dx ，整理 得
2 y 2 y T y 2 f x ,t T 2 t x x x
式中
2 y T y y T 2 T x x x x x
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 2 a 2 2 F t dt Y x dx
由该式得到如下 两个方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
关于时间变量t的常微分方程。 关于空间变量 x 的常 微分方程。
d 2Y x 2 Y x 0 0 x L 2 dx 将偏微分方程转化为两个二阶常 微分方程！——分离变量法。 a
(0 x L)
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★假设：弦单位长度质量(x)==常数；弦内张力T可视 为常量；横向位移y(x,t)为小量。 2 y y 2 T f x, t ★弦横向振动数学模型简化为 t x x y 0, t y L, t 0 2 y 2 y 2 T 2 f x, t (0 x L) x t y 0, t y L, t 0 ★如果f(x,t)=0，则弦的 自由振动微分方程为
E 0,
D sin L 0
显然，D=0不是振动解。
D 0 sin L 0
y 0, t =0，y L, t =0
弦振动的特征方程
sin

a
L0
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◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和 各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理， 这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊 情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等 的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系 统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计 算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实 用有效方法之一。
弦的横向振动偏微分方程
2 y y 2 T f x, t (0 x L) t x x 式中： =(x)，T=T(x,t)，y=y(x,t)。
★弦横向振动的边界条件：两端处位移为零，即
y0, t yL, t 0
★弦横向振动的数学模型 2 y y 2 T f x, t x x t y 0, t y L, t 0 ★上式为偏微分方程的边界值问题。
★离散系统的固有振型是以各质点之间的振幅比来表示 的； ★当离散系统的质点数趋向于无穷时，各质点振幅就成 为x的连续函数，即为连续系统中的振型函数Y(x)；
★ 离散系统所描绘的固有振型只是连续系统振型函数 Y(x)所表达的真实振型的近似解。
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连续系统具有无限多个自由度。
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◆在数学上，离散系统的运动方程为方程数目与自由度
数目相等的二阶常微分方程组；
◆连续系统需要用时间和坐标的函数来描述它的运动状
态，因此连续系统运动方程是偏微分方程。
r
r 1, 2,
r 1, 2,
E=0
Yr x Dsinr x Ecosr x
因为振型只确定系统中各点振 r Y x sin x r 动幅度的相对值，其表达式无 L 需带常数因子D，取D=1。
r 1, 2,
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取 微 段 弦 线 单 元 体 dx 。 假设弦作微小横向振动， 则由牛顿定律得
2 y dx 2 f x, t dx t T T dx sin dx T sin x x
d 2Y x 2 Y x 0, 2 dx


a
0 x L
称为振型函数
式中： D ， E 为积分常数。由边界条件 y(0 ， t) 和 y(L ， t) 来确定。 Y 0 Y L 0 y x, t Y x F t
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◆若把一个连续系统离散为一个有限单元的集合，便成 了离散系统。反之，离散系统的极限情况就是连续系统。 离散系统是连续系统的近似描述，这也说明连续系统具 有无限多的自由度。
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◆离散系统和连续系统具有相同的动力特性。连续系统的振动理 论在概念方面严格地与离散系统相似；分析计算的过程也相似： (1)建立系统运动微分方程 离散系统:常微分方程组; 连续系统:偏微分方程组。 (2)求固有频率、振型、正则振型 离散系统:根据特征方程求固有频率、确定振型向量；根据正交性 确定正则振型向量。 连续系统:根据边界条件求固有频率、确定振型函数；根据正交性 确定正则振型函数。 (3)求正则坐标下的响应 离散系统:正则坐标数为系统自由度数。 连续系统:正则坐标数为无限个。 (4)求原广义坐标下的响应
y 2 y a 2 2 t x
2 2
a T
Y(x)表示弦的振动位形，只 取决于变量x；
●
★上述边界值问题的解 可以写成下面的形式
y x, t Y x F t
F(t)表示弦的振动规律，只 取决于时间t。
●
2 y 2 2 y a 2 ★将上式代入自由振动的波动方程 2 t x 2 d2 F t 1 d 2 F t 1 d 2Y x 2 d Y x 2 Y x a F t a 2 2 2 dt dx F t dt Y x dx 2
第3 章
连续系统的振动
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◆离散系统是由分离的质量、弹簧和阻尼元件所构成
◆实际振动系统一般具有分布的质量、弹性和阻尼等物
理参数，因而称为连续系统(或分布参数系统)。
◆离散系统具有有限个自由度；
对应于第r阶固有频率，弦的固有振动为
r yr x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L
弦的自由振动可以表示为各阶固有振动的叠加，即有
r y x, t Yr x Fr t Ar sin r t Br cos r t sin x L r 1 r 1
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简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
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设 有一 根细弦 张紧 于两固定点之间，弦长 为 L 。两固定点连线方 向取为 x 轴，与 x 轴垂直 的 方 向取 为 y 轴 ， 如 图 所示。 弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作 横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移 函数为y=y(x,t)。
●观察弦的自由振动同样可以发现存在着同步运动 的特征，即在运动中弦线位移的一般形状不随时间改变， 但一般形状的幅度是随时间而改变的； ●运动中弦的各点同时到达最大幅值，又同时通过平 衡位置； ●用数学的语言讲，描述弦振动的位移函数 y(x,t) 在 时间和空间上是分离的。
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2 1 d 2 F t 1 d Y x 2 a 2 F t dt Y x dx 2
左端只依赖于t，右端只依赖于x，要使其对任意的t和x都 成立，必然等于同一常数。用-2表示这个常数，得
y sin tan 在微振动条件下，有 x 2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
式中： A ， B( 或 C ， ) 为积分常数。由两个初始条件 y(x,0) 和 y x,0 来确定。
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关于空间变量x的常微分方程 上式通解为 Y x Dsinx Ecosx
由特征方程，可求得无 r a r T r r 1, 2, 限多阶固有频率： L L ★第1阶固 频率1称为基频，或基谐波； ★高阶固有频率r (r=2，3，…)称为高次谐波。 ★高次谐波是基谐波的整数倍。 ★对应于无限多阶固有频率，有无限多阶固有振型函数
r r a L
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2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
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关于时间变量t的常微分方程
d 2 F t 2 F t 0 2 dt
方程的通解为
F t A sin t B cos t C sin t