洛必达法则word版

第十七讲

Ⅰ 授课题目：

§3.2 洛必塔法则 Ⅱ 教学目的与要求：

1.掌握用罗必塔法则求极限；

2.明了使用罗必塔法则的条件；

3.了解将罗必塔法则与极限运算性质结合使用常能简化运算。 Ⅲ 教学重点与难点：

重点：各种类型的未定式转化为

00或∞

∞

型的未定式 难点：罗必塔法则与极限运算性质的结合使用 Ⅳ 讲授内容：

§3.2 洛必塔法则

如果当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x F 都趋于零或都趋于无穷大，那末极限)()

(lim

)

(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并

分别简记为

00或∞∞.在第一章第六节中讨论过的极限x x x sin lim 0→就是未定式0

0的一个

例子．对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这—法则．

下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法． 我们着重讨论a x →时的未定式

的情形，关于这情形有以下定理： 定理1 设 (1)当a x →时，函数)(x f 及)(x F 都趋于零；

(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x F '都存在且0)(≠'x F ； （3）)

()

(lim

x F x f a

x ''→存在（或为无穷大）， 那么 )

()

(lim )()(lim

x F x f x F x f a x a

x ''=→→. 这就是说，当)()(lim x F x f a

x ''→存在时,)()(lim x F x f a x →也存在且等于)()(lim x F x f a x ''→；当)

()

(lim x F x f a x ''→为

无穷大时，

)

()

(lim

x F x f a

x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必塔（L ’Hospital ）法则 证明 因为求

)

()

(x F x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a F 无关，所以可以假定0)()(==a F a f ，于是由条件(1)、(2)知道，)(x f 及)(x F 在点a 的某一邻

域内是连续的．设x 是这邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有

)

()

()()()()()()(ξξF f a F x F a f x f x F x f ''=--= （ξ在x 与a 之间）． 令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件(3)便得

说明: 1.如果)()

(lim

x F x f a x ''→仍属于0

0型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使

用洛必达法则, 即 =''''=''=→→→)

()

(lim )()(lim )()(lim

x F x f x F x f x F x f a x a x a x ;

2.当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→;

3.对a x →（或∞→x ）时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则;

4. 洛必达法则是充分条件，反之不成立；

5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用

洛必达法则，从而求出数列极限.（因为数列不连续，不能求导） 例1 求下列极限

（1）x x

x tan lim 0→, (00型) （2）123lim 2331+--+-→x x x x x x , (0

0型) 解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim 20=→x x 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 2

3

注 上式中的2

66lim

1-→x x

x 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误

结果．以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则．

（3）x

x x 1arctan 2

lim -+∞

→π

, (0

0型) 原式=22

111

lim

x

x x -+-

+∞

→=221lim x x x ++∞→=1 （4）bx ax x sin ln sin ln lim

0→, (∞

∞型). 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim

0⋅⋅→= ax bx x cos cos lim 0→=1

（5）x

x x 3tan tan lim 2

π→, (∞∞型) 原式=x x x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 22

2cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312

--→π

= x x x 2sin 6sin lim 2

π→

= 32cos 26cos 6lim 2

=→x x

x π

注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更

好.

例2 求下列极限

（1）x x x

x x tan tan lim 20-→ 原式30tan lim x x x x

→-== 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31 （2）0ln lim ln(1)x x x e +→- 原式0001

111lim lim lim 11

x x x x x x x x e x x e x e x e

e +++

→→→-==⋅=⋅=- （3）1ln cos(1)lim 1sin 2

x x x

π

→-- 原式2111sin(1)2

sin(1)4cos(1)cos(1)lim lim lim cos cos sin 2222x x x x x x x x x x ππππππ→→→--

---===--

24

π

=-

练习：（1）30arcsin lim sin x x x

x

→- （2）20ln(1)lim sec cos x x x x →+- 二．0

,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞

型未定式的求法