二次函数的应用题

第五讲二次函数的应用题

解题步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的表达式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）

一．面积问题

例1.如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？

最大面积是多少？

例2.已知某直角三角形的两直角边的和为2，则该直角三角形的面积可能达到的最大值是__________；斜边长的平方可能达到的最小值是__________。

基础练习

矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求△PBQ的面积的最大值.

二．利润问题

例.某商店将进货每个10元的商品，按每个18元售出时，每天可卖60个，商店经理到市场上做一番调查后发现，若将这种商品的售价每提高1元，则日销售量就减少5个，为获得每日最大利润，则商品售价应定为每个多少元？

基础练习

某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

综合提升

1.如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚

线折起，折成一个长方形形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）。已知E、F在AB边

上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).

（1）若折成的包装盒恰好是个正方形，试求这个包装盒的体积V；

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

2.班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

第四讲课后作业

1.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?

2.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速

度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么

(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；

(2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上？并说明理由．

3.为迎接中国世博会，某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数，下表提供了部分采购数量．

(1)设A 11 (2)经商家与厂家协商，采购A 产品的数量不少于B 产品数量的11

9，且A 产品采购单价不低于1200元，求该商

家共有几种进货方案；

(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A ，B 两种产品，且全部售完，在(2)的条件下，求采购A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．

三．综合提高

1.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D.

4.已知：如图m 、n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=-x 2

+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．

(1)求这个抛物线的解析式．

(2)设(1)中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积.

6.如图，已知二次函数y=x 2

+bx+c 的图象经过两点C （-2，5）与D （2，-3），且与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点为M ．

（1）求点M 的坐标； （2）求△ABM 的面积；

（3）在二次函数图象上是否存在点P ，使S △PAB =4/5S △MAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+m （m ＜1）与此图象有两个公共点时，m 的取值范围是什么？

)0(2

<=a ax y a 3

2-

3

2

-

2-21

-