解直角三角形 单元测试卷 新人教版九年级下数学(样卷)
2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集
2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集考试总分：53 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 如图，在塔前的平地上选择一点，测出塔顶的仰角为，从点向塔底走到达点，测出塔顶的仰角为，则塔的高为（ ）A.B.C.D. 2.已知，，观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是( )A.B.C.D.AB C 30∘C B 100m D 45∘AB 50m3–√100m3–√50(−1)m3–√50(+1)m3–√Rt △ABC ∠BAC =90∘∠C =∠BADAB ×AC =BC ×AD△ABD ∽△CADA =BD ×CDB 2BC =6AB 1:3–√3. 河堤横断面如图所示，坝高米，迎水坡的坡长比为，则的长为（ ）A.米B.米C.米D.米4. 为了有效地利用土地，安徽省各大中城市兴建高楼，如图，小明在某高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）A.米B.米C.米D.米5. 如图所示，在两建筑物之间有一旗杆，高米，从点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角为，又从点测得点的俯角为，若旗杆底点为的中点，则矮建筑物的高为( )A.B.C.D.6. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直（，，在同一条直线上），若，则拉线的长度可以表示为( )BC =6AB 1:3–√AB 53–√43–√1263–√D 30∘60C 45∘82163527012A C α60∘A D β45∘G BC CD 2024−83–√24−43–√83–√CD =m AC BC A D B ∠CBA =αACA.B.C.D.7. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A.千米B.千米C.千米D.千米8. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ，，作直线 ，分别交 ，于点 ，，连接，则的周长为（ ）A.msin αm cos αmcos αm tan αA P αmB P βm cot α−cot βm cot β−cot αm tan α−tan βm tan β−tan α△ABC AC =BC =18∠B =75∘A C AC 12M N MN AC BC D E AE △AEC 18+63–√18+12–√B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9. 如图，无人机在空中处测得地面，两点的俯角分别为，如果无人机距地面高度为米，，，在同一水平直线上，则，两点间的距离是__________米．（结果保留根号）10. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则＝________．11. 小明沿坡比为的山坡向上走了米．那么他升高了________米．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 10 分 ，共计20分 ）12. 如图，在中，已知点，是以为直径的上的弧，交于点，是 上一点（包括端点，点的坐标为．（1）若．①求的长；②求的最小值；18+122–√18+123–√18+62–√C A B ,60∘45∘CD 1003–√A D B A B 3⊙A O B(0,2)C y ⊙A tan ∠OCB 1:3–√100Rt △AOB O (0,0)，A (2,0)B (0,n),n >，32OD OA ⊙C AB D P OD O,D)E (0,)32n =2BD PB n =23–√∠POA =60∘（2）若，，求的长；（3）连接，若与相切的情况只存在一种，写出的取值范围，并说明理由．13. 如图，一幢居民楼临近山坡，山坡的坡度为，小亮在距山坡坡脚处测得楼顶的仰角为，当从处沿坡面行走米到达处时，测得楼顶的仰角刚好为，点，，在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，）n =23–√∠POA =60∘PB EP EP ODn OC AP AP i =1:3–√A C 60∘A 10P C 45∘O A B ≈1.733–√参考答案与试题解析2023~2024学年新人教版九年级下《28.2 解直角三角形及其应用》高频题集一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题锐角三角函数的定义【解析】本题根据等腰直角三角形，特殊的锐角三角函数值及锐角三角函数的定义，解直角三角形得到答案.【解答】解：在中，，，在中，，，，，，.故选．2.【答案】D【考点】作图—基本作图相似三角形的判定三角形的面积勾股定理Rt △ABD ∠ADB =45∘∴BD =AB Rt △ACB ∠C =30∘∴=tan AB BC 30∘∴BC ==AB AB tan 30∘3–√∵CD =100∴BC −BD =AB −AB =CD =1003–√∴AB =50(+1)(m)3–√D根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：由尺规作图可得：，故正确；，，，即，， 即，故正确；，，，故正确；是直角三角形，，故错误．故选．3.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是，，∴，∴．故选．4.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】由于是和的公共直角边，可在中，根据的正切值，用表示出的长；同理可在中，根据的度数，用表示出的长；根据，即可求得的长．∠C =∠BAD A ∵∠BAC =90∘∴∠BAC =∠BAD +∠CAD =∠C +∠CAD =90∘∴∠ADC =90∘AD ⊥BC ∴=×AB ×AC =×BC ×AD S △ABC 1212AB ×AC =BC ×AD B ∵∠BAD =∠C ∠ADB =∠ADC =90∘∴△ABD ∽△CAD C ∵△ABD ∴A =B +A B 2D 2D 2D D AC AB AB 1:3–√BC =6m AC =6m 3–√AB ==12m A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√C AB Rt △ABD Rt △ABC Rt △ABC ∠ACB AB BC Rt △ABD ∠D AB BD CD =BD −BC AB解：设楼高为．则，在中有：.解得．故选．5.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据点是中点，可判断是的中位线，求出，在和在中，利用特殊角的三角函数值分别求出、，继而可求出的长度．【解答】解：过点作于点，点是中点，，是的中位线，（米）.在中，，（米）．在中，（米），（米），米.故选.6.【答案】B【考点】AB x AB =CB =x Rt △ADB =DB AB 60+x x =tan60°=3–√x ≈82m A G BC EG △ABC AB Rt △ABC Rt △AFD BC DF CD D DF ⊥AF F ∵G BC EG//AB ∴EG △ABC ∴AB =2EG =24Rt △ABC ∵∠CAB =30∘∴BC =AB tan ∠BAC =24×=83–√33–√Rt △AFD ∵AF =BC =83–√∴FD =AF tan β=8×1=83–√3–√∴CD =AB −FD =(24−8)3–√B解直角三角形的应用锐角三角函数的定义【解析】根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度．【解答】解：∵，，∴，在中，∵，.故选．7.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．【解答】作交于点，如右图所示，，，∵＝，∴，∴，8.【答案】C【考点】作线段的垂直平分线∠ACD =∠CBD cos ∠ACD =CD AC AC ∠ACD +∠BCD =90∘∠CBD +∠BCD =90∘∠ACD =∠CBD Rt △ACD cos ∠ACD =CD AC ∴AC ==CD cos ∠ACD m cos αB PC ⊥AB AB C AC =PC tan αBC =PC tan βm AC −BC m =−PC tan αPC tan βPC ==m −1tan α1tan βm cot α−cot β等腰三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质解直角三角形的应用【解析】根据题意得出垂直平分，然后根据垂直平分线的性质、等腰三角形的的性质及解直角三角形的知识来解答即可.【解答】解：由题意可得，垂直平分，∴，.在中，，,∴.在中，，，∴的周长为.故选.二、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）9.【答案】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：∵无人机在空中处测得地面、两点的俯角分别为、，∴，，在中，∵，∴，在中，，∴．答：、两点间的距离为米．故答案为：．10.MN AC MN AC AD =CD =AC =912CE =AE △ABC AC =BC =18∠B =75∘∠C =−2∠B =180∘30∘Rt △CDE ∠CDE =90∘CE ==6CD cos 30∘3–√△AEC AC +CE +AE =18+6+6=18+123–√3–√3–√C 100(1+)3–√C A B 60∘45∘∠A =60∘∠B =45∘Rt △ACD tan A =CD AD AD ==1001003–√tan 60∘Rt △BCD BD =CD =1003–√AB =AD +BD =100+100=100(1+)3–√3–√A B 100(1+)3–√100(1+)3–√【考点】坐标与图形性质解直角三角形圆周角定理【解析】作直径，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到＝，等量代换即可．【解答】作直径，在中，＝，＝，则，，由圆周角定理得，＝，则，11.【答案】【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】设＝米，根据坡度的概念得到米，根据勾股定理计算即可．【解答】∵坡比为，∴设＝米，则米，由勾股定理得，＝，即＝，解得，＝，＝（舍去），∴＝米，三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 10 分 ，共计20分 ）12.2–√4BD OD tan ∠BDO ∠OCB ∠BDO BD Rt △OBD BD 6OB 2OD ==4B −0D 2B 2−−−−−−−−−√2–√tan ∠BDO ==OB OD 2–√4∠OCB ∠BDO tan ∠OCB =2–√450BC x AC =x 3–√1:3–√BC x AC =x 3–√B +A C 2C 2AB 2+(x x 23–√)21002x 150x 2−50BC 50解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO ODO P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3，即当时，点与点 重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为 ．【考点】切线的判定与性质解直角三角形【解析】略略略【解答】解：(1)连接，如图，①∵，是的直径，，，；②连接，当点，，在同一条直线上时，最小，此时，，的最小值为；(2)作于点，如图，，，是等边三角形，，∴OB =3n =3P D EP ODP n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3OD A (2,0)，B (0,n)，n =2，∴B (0,2)∵OA ⊙C ∴OD ⊥AB ∵OA =OB =2∴AB =22–√∴BD =AB =122–√BC B P C PB BC ==+1222−−−−−−√5–√∴PB −15–√PH ⊥OB H ∵n =2，3–√∴OB =2，3–√∵∠POA =60∘CO =CP ∴△COP ∠POH =，∴OP =OC =130∘H =OP =,OH =–√∴，∴，；(3)，理由：如解图③，连接，，由题意知，与相切于点；当点在右侧时，，若与相切，，，，，即当时，点与点 重合，切于；当时，变长，，必存在点，使，此时，与相切；当时，变短，，而，∴不存在点，使，综上所述，则的取值范围为 ．13.【答案】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，PH =OP =,OH =12123–√2BH =OB −OH =2−=3–√3–√233–√2∴PB ==B +P H 2H 2−−−−−−−−−−√7–√1.5<n <3CD ED EO OD O P EC ∠1≤∠CPE<180∘ED OD ∴∠1=，ED =EO =，∠2+∠390∘32=，∠A +∠OBA =90∘90∘∴∠2=∠OBA ∴EB =ED =32∴OB =3n =3P D EP OD P n >3OD ∴∠1<90∘P ∠CPE=90∘EP OD n <3OD ∴∠1>90∘∠CPE ≥∠1P ∠CPE =90∘n 1.5<n <3P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√m +5即，解得，∴（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】过点作于点，于点，解，求出，．解，得出．设米，则米，米．在中，由，求出，进而得到．【解答】解：如图，过点作于点，于点，∵山坡的坡度为，，∴可设，则．在中，，解得或（舍去），∴，则．∵，∴．设米，则米，米．在中，，即，解得，∴（米）．=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√P PE ⊥OB E PF ⊥CO F Rt △AEP PE =5AE =53–√Rt △CPF CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ===60∘OC OA m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC P PE ⊥OB E PF ⊥CO F AP i =1:3–√AP =10PE =x AE =x 3–√Rt △AEP +(x =x 23–√)2102x =5x =−5PE =5AE =53–√∠CPF =∠PCF =45∘CF =PF CF =PF =m OC =(m +5)OA =(m −5)3–√Rt △AOC tan ==60∘OC OA m +5m −53–√=m +5m −53–√3–√m =10(+1)3–√OC =10(+1)+5≈323–√。
九年级数学-解直角三角形 单元检测试卷(含答案)
解直角三角形 单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA 的值是（ ） A. 34 B. 35 C. 45 D. 432.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）A. 15B. 16C. 18D. 19 3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m 4.等腰三角形的周长为20cm ，腰长为x cm ，底边长为y cm ，则底边长与腰长之间的函数关系式为（ ）A. y=20﹣x （0＜x ＜10）B. y=20﹣x （10＜x ＜20）C. y=20﹣2x （10＜x ＜20）D. y=20﹣2x （5＜x ＜10）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡度为i=1：√3 ， 坝高BC=6m ，则坡面AB 的长度（ ）A. 12mB. 18mC. 6√3D. 12√3 6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30°，B 村的俯角为60°（如图）则A ，B 两个村庄间的距离是（ ）米．A. 300B. 900C. 300 √2D. 300 √37.如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米，他继续往前走3米到达点E 处（即CE=3米），测得自己影子EF 的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米 8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 16 9.如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，AC=3 √5 米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（ ）A. 5米B. 6米C. 8米D. （3+ √5 ）米 10.如图，在□ABCD 中，AB ∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于（ ）A. 3−√66B. √3+3√26C. 3+√66D. √3+2√26二、填空题（共10题；共33分）11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________． 13.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的,则x=________,cosα=________.正切值是4315.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=2，那么AB=________316.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.17.tan________ °=0.7667．18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= √3+1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= 12若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．三、解答题（共8题；共57分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 √3米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：√3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= 45, cos53 °= 35, tan53°= 43，√3≈1.732，结果精确到0.1米）24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（√3=1.7）．25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈ 35，tan37°≈ 34，sin21°≈ 925，tan21°≈ 38）27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB= √32+42=5．∴sinA= 35，故答案为：B．【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。
人教版九年级数学下册解直角三角形-下测试卷
人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学第二十八章锐角三角函数28.2.1解直角三角形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A=55，AB=2，则AC长是A．455B．255C．55D．2【答案】A【解析】∵∠C=90°，sin A=55，AB=2，∴BC=AB×sin A=2×525，由勾股定理得：AC2245AB BC-=．故选A．2．等腰三角形的顶角120A=，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是A．23cm B．3cmC3cm D．6cm【答案】B【解析】如图，∵△ABC 是等腰三角形，∠A =120°，∴∠B =∠C =30°，AD ⊥BC ，∵BC =12，∴BD =6，设AD 为x ，则AB =2x ，根据勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，即（2x ）2=62+x 2，解得：x =23 ，∴2x =43，∴它的腰长是43．故选：B ．【名师点睛】考查了解直角三角形，关键是根据题意画出图形，根据在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半得出AB 与AD 的关系．3．如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=，D 是BC 边上一点，5AD =，CAD ABC α∠=∠=，且1tan 2α=，则BD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，当△ABC 沿折痕BE 翻折时，点C 恰好落在AB 的中点D 上，若BE =6，则AC 的长是A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】∵∠BDE ＝∠C ＝90°， ∴ED ⊥AB ， ∵AD ＝DB ，学-科网 ∴EA ＝EB ＝6，∴∠EAB ＝∠EBA ＝∠EBC ， ∵∠C ＝90°，∴∠EAB ＝∠EBA ＝∠EBC ＝30°， ∴EC ＝12EB ＝3， ∴AC ＝AE ＋EC ＝6＋3＝9， 故选：C ．【名师点睛】本题考查翻折变换、解直角三角形、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =58°，BC =3，则AB 的长为 A ．3sin58B ．3cos58C ．3sin58°D ．3cos58°【答案】B【解析】∵cos B =BCAB， ∴AB =cos BC B =3cos58，故选B ．6．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，6AC BC ==，D 是AC 上一点，若2tan 3DBC ∠=，则AD 的长为A ．2B ．4C ．2D ．32【答案】A7．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，30B ∠=，60C ∠=，4AD =，33AB =，则BC 的长是A ．8B ．(4+33 )C ．10D ．63【答案】C【解析】作DE ∥AB 交BC 于点E ，∵AD ∥BC ，∴BE =AD =4，ED =AB 3DEC =30°， ∵∠C =60°， ∴∠EDC =90°， ∵sin60°=DEEC， ∴EC 3sin60°=6， BC =EC +BE =10，故选：C ．8．如图，Rt ABC △中，90C ∠=，30B ∠=，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若9BC =，3CD =，则ADB △的面积是A ．27B ．18C ．183D ．93【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =4,sin A =35，则斜边AB 边上的高CD 的长为________. 【答案】4825【解析】如图，∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，sin A =35BC AB =， ∴BC =125， ∴AC 221216455⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵CD 是AB 边上的高， ∴CD =AC ·sin A =16348=5525⨯. 故答案为：4825.10．在ABC △中，16AB =，10AC =，30ABC ∠=，则BC =________．【答案】836+或836- 【解析】分两种情况考虑，(i)当△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC ，如图1所示，∵在Rt △ABD 中,AB =16,∠ABC =30， ∴182AD AB ==，利用勾股定理得：2283BD AB AD -=，在Rt △ADC 中，AD =8，AC =10， 根据勾股定理得：226DC AC AD =-=，则836BC BD DC =+=；(ii)当△ABC 为钝角三角形，过A 作AD ⊥BC ，如图2所示， ∵在Rt △ABD 中,AB =16,∠ABC =30， ∴182AD AB ==，利用勾股定理得：2283BD AB AD -=， 在Rt △ADC 中，AD =8，AC =10， 根据勾股定理得：226DC AC AD =-=，则836BC BD DC =-=， 综上,BC 的长为836或836.故答案为：836+或836-.11．在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10，cos B =35，AC =__________． 【答案】8【解析】∵在Rt △ABC 中，∠A =90°，BC =10，cos B =35，cos B =AB BC， ∴AB =6．∴AC =22BC AB -=22106-=8． 故答案为：8．12．如图，已知AD 是等腰三角形ABC 底边上的高，且tan B ＝43，AC 上有一点E ，满足AE ∶CE ＝2∶3，则tan ∠ADE 的值是__________．【答案】12【解析】作EF ⊥AD 于F ，如图， ∵△ABC 为等腰三角形，AD 为高， ∴∠B =∠C ， ∴tan C =43=AD DC， 设AD =4t ，DC =3t ， ∴AC 22AD CD +=5t ，而AE :CE =2:3， ∴AE =2t ， ∵EF ∥CD ， ∴△AEF ∽△ACD ，∴EFCD=AFAD=AEAC,即3EFt=4AFt=25tt，∴AF=85t，EF=65t，∴FD=AD−AF=125t，在Rt△DEF中,tan∠FDE=EFFD=12，∴tan∠ADE=1 2 .故答案为1 2 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，AD是△ABC的角平分线，且AD=16315，∠C=90°，AC=85，求BC及AB．14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD 的长.【解析】∵CD ⊥AB ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ， ∴根据勾股定理得：AD =6，∴sin A =CD AC =45 ，cos A =AD AC =35， ∴在Rt △ABC 中，AB =cos AC A =503，BD =AB -AD =323.15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB,CD =3，BD =23,求AB 及∠B ．【答案】30°【解析】过D 点作DE ⊥AB 于E 点，设AC =x ，则AE =x .在Rt △BED 中，得到BE =3,又由AB 2=AC 2+BC 2，得（3+x ）2=x 2+27,解得x =3,AB =6, sin B =12,∴∠B =30°.附赠材料：以学生为第一要务 目标我们教育工作的最终目标只有一个:学生。
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形达标题 新人教版(2021年整理)
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28.2.1解直角三角形一、选择题1、在△ABC 中,已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ）A.SinA ＝45B.cosA ＝53C.tanA ＝43 D 。
cosA ＝54 2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2,则6cos B 等于( ）A 。
3B 。
2C 。
33 D. 323、为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处,测得楼顶B 的仰角为α，则楼房BC 的高为（ ）。
A ．30tan α米B ．30tan α米 C ．30sin α米 D ．30sin α米 4、从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为（ ） A.23 B 。
32 C.2 D 。
22 二、填空题5、求值：1sin 60452︒+2sin30°－tan60°＋tan45°=__________。
: 6、若∠A 是锐角,cos A ＝23,则∠A ＝ 。
7、在△ABC 中，∠C ＝90°,若tan A ＝21，则sin A ＝ .8、如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、A B C αE D CB A第10题图D CBAB 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。
人教版九年级数学下册《解直角三角形及其应用》同步检测带答案【优选】
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形及其应用》同步检测2附答案1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为 [ ]2.如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(精确到米)A.1461B.1462C.1463D.14643. 如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,则塔高CD(精确到0.1m)是[ ]m A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.34. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30和60°,那么塔高是 [ ]米5. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A 处,测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[ ]米.二、填空题1. 如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°,竖直下降10米至D,测得A点俯角45°,那么峭壁的高是_____________米(精确到0.1米)三、解答题1. 从山顶D测得同一方向的A、B两点，俯角分别为30°,60°,已知AB=140米,求山高(A、B 与山底在同一水平面上).(答案可带根号)2. 从与塔底在同一水平线的测量仪上,测得塔顶的仰角为45°,向塔前进10米,(两次测量在塔的同侧)又测得塔顶的仰角为60°,测量仪高是1.5米,求塔高(精确到0.1米).3. 两山脚B、C相距1500米,在距山脚B500米处A点,测得山BD、CE的山顶D、E仰角分别为45°,30°.求两山的高(精确到1米).4. 如图：山顶上有高为h的塔BC,从塔顶B测得地面上一点A的俯角是a,从塔底C测得A的俯角为b,求山高H.参考答案一、选择题1. C2. D3. C4. B5. C二、填空题23.7三、解答题70米1．32. 25.2米3. 500米,577米4. 解：∵DA=(h+H)ctga, DA=Hctgb则Hctgb=hctga+Hctga即H(ctgb-ctga)=hctga。
2019-2020学年九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形测试卷 (新版)新人教版.doc
2019-2020学年九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形测试卷 （新版）新人教版一、选择题(每题5分,共40分)1. 在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =（ ）A ．3sin 40︒B ．3sin 50︒C ．3tan 40︒D ．3tan 50︒【答案】D ．【解析】试题分析：如图所示：∵40A ∠=︒，∴50B ∠=︒，根据三角函数的定义可知tan AC B BC =，tan503AC ︒=，所以AC=3tan 50︒．故选D ．考点：三角函数的定义．2. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长是10m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度是如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长是10m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度是 （ ）A B ．5 C ． D ．10 【答案】B【解析】试题分析：由于150ABC ∠=︒，所以：30BCE ∠=︒，在直角三角形BCE 中，CE=BC•sin30°=10×12=5m ． 故选B ．考点：解直角三角形3. 矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，cos α=35，AB =4，则AD 长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165【答案】B ．【解析】试题分析：由已知可知：AB=CD=4，∠ADE=∠ECD=α．在Rt △DEC 中，cos ∠ECD=cos α=35CE DC =，即345CE =，故选B ．考点：解直角三角形4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长是10m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度是 （ ）AB ．5 C． D ．10 【答案】B【解析】试题分析：由于150ABC ∠=︒，所以：30BCE ∠=︒，在直角三角形BCE 中，CE=BC•sin30°=10×12 =5m ．故选B ．考点：解直角三角形5 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】B【解析】试题分析：连接BD ．∵E、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD 是直角三角形． ∴tanC=BDCD = 43故选B ．考点：三角形的中位线定义、勾股定理的逆定理、三角函数6. 如图，ABC ∆中，AC ﹦5，22cos =B ，53sin =C ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．221 B ．12 C ． 14 D ．21 【答案】A ．【解析】试题分析：作AD ⊥BC ，如图∵sinC=35，AC=5， ∴AD=4，∴4=，∵cosB=2， ∴∠B=45°，∴BD=AD=3，∴S △ABC =12BC•AD=12（3+4）×3=212． 故选A ．考点：解直角三角形．7. 在△ABC 中，AB=12，A C=13，cos ∠B=，则BC 边长为（ ）．A ．7B ．8C ．8或17D ．7或17【答案】D ．【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值：cos45°所以∠B=45°，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，如图：①当△ABC 为钝角三角形时，如图1，作AD ⊥BC 交BC 的延长线于D ，由∠B=45°可知△ABD 是等腰直角三角形，=12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD ﹣C D=12﹣5=7；②当△ABC 为锐角三角形时，如图2，作AD ⊥BC 交BC 于D,由∠B=45°可知△ABD 是等腰直角三角形，∴=12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD+CD=12+5=17；故BC 的值有两个7或17，选D ．考点：解直角三角形．8. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，cosA=56，D 为AB 上一点，且AD ：BD=1：2，若，求CD 的长．【解析】试题分析：过D 作DE ⊥AC 于E ，则DE ∥BC ．先在Rt △ABC 中，由cosA=56AC AB =，可设AC=5k ，则AB=6k ，利用勾股定理得出AB 2﹣AC 2=BC 2，求出k=±3（负值舍去），那么AC=15，AB=18．再由DE ∥BC ，得出13DE AE AD BC AC AB ===，求出DE=13BC=，AE=13AC=5，CE=AC ﹣AE=10，然后利用勾股定理得出试题解析：过D 作DE ⊥AC 于E ，则DE ∥BC ．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴cosA=56AC AB =， ∴设AC=5k ，则AB=6k ，∵AB 2﹣AC 2=BC 2，∴36k 2﹣25k 2=99，∴k=±3（负值舍去），∴AC=15，AB=18．∵DE ∥BC ，∴13DE AE AD BC AC AB ===， ∴DE=13，AE=13AC=5， ∴CE=AC ﹣AE=10，∴=考点：解直角三角形．二、填空题(每题6分,共30分)9. 一直角三角形中，斜边与一直角边的比是13：12，最小角为α，则sin α= ，cos α= ，tan α= ． 【答案】513 ，1213 ，512． 【解析】试题分析：本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．先根据斜边与一直角边的比是13：12设出斜边与直角边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长．运用三角函数的定义求解．设斜边为13x ，则一直角边的边长为12x ，另一直角边的边长=x=5x ． ∴sin α=5，cos α=12 ，tan α=5 ．【解析】 试题分析：由勾股定理求出BC ，再由三角函数即可求出答案.试题解析：在Rt △ABC 中，AB == ∴tan ∠ABC=1AB AC BC == 考点：1.勾股定理；2.解直角三角形.11. 如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为 .【解析】 试题分析：根据题意可得考点：解直角三角形.12. 如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC =135°，BC的长约是，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 ____ m ．【答案】6．【解析】试题分析：过点C 作CM ⊥AB 交AB 的延长线于点M, 由∠ABC =135°可得∠CBM=45°，在Rt △BMC 中，由锐角三角函数即可求得CM=6．考点：解直角三角形．13. 如图，过矩形ABCD 的顶点B 作BE ∥AC ，垂足为E ，延长BE 交AD 于F ，若点F 是边AD 的中点，则sin ∠ACD 的值是 ．【答案】3【解析】试题分析：由矩形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，∠D=90°，证出△AEF ∽△CEB ，得出对应边成比例AE AF CE BC ==12，设AF=DF=a ，AE=x ，则CE=2x ，AC=3x ，再证明△AEF ∽△ADC ，得出AF AE AC AD =，得出x=3，，再由三角函数的定义求得sin ∠考点：矩形的性质；解直角三角形．三、解答题(每题15分,共30分)14. 如图，205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌CD ．习老师目高MA 为1.60米，他站立在离大楼45米的A 处测得大楼顶端点D 的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B 处，测得广告牌顶端点C 的仰角为45°．（计算结果保留根号）（1）求这幢大楼的高DH ；（2）求这块广告牌CD 的高度．【答案】（1）153+1.6（2）31﹣153【解析】试题分析：根据题意构造直角三角形Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME-NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．试题解析：（1）在Rt△DME 中，ME=AH=45米；由tan 30DE ME =，得DE=45×又因为EH=MA=1.6米，因而大楼DH=DE+EH=（153+1.6）米；（2）又在Rt△CNE 中，NE=45﹣14=31米， 由tan 45CE NE =，得CE=NE=31米； 因而广告牌CD=CE ﹣DE=（31﹣153）米；答：楼高DH 为（153+1.6）米，广告牌CD 的高度为（31﹣153）米．考点：解直角三角形15. 已知如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠C=105°，AB 的长．【答案】【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠B的度数，过C作CD⊥AB于D，根据等角对等边求出CD=BD，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，根据勾股定理求出AD，最后根据AB=AD+BD，即可得出答案．试题解析：在△ABC中，∵∠A=30°，∠C=105°，∴∠B=45°，过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，∴∴由勾股定理得：，∴考点：解直角三角形．。
新人教版九年级下数学《解直角三角形》单元测试卷
新人教版九年级下数学《解直角三角形》单元测试卷九年级数学《解直角三角形》单元测试卷班别 姓名 成绩一、选择题： （28分，每小题4分）1．已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°2. 在△ABC 中，90C ∠=︒，如果tanB=（ ）A 、AB AC B 、AC BC C 、BC ACD 、ABBC 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c=sin a A B ．c=cos a A C ．c=a ·tanA D ．以上都不是 4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=5，AB=12，则sinA 等于（ ）A 、135B 、 125C 、1312D 、513 5．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．．10或．无法确定6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形7．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高二、填空题： （24分，每小题4分）8．某坡面的坡度为1_______度．9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。
10．在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。
11．在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
九年级数学(下册)-解直角三角形-单元测试题(含答案)
解直角三角形单元测试题一、选择题：1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( )A. B. C. D.2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（）A.0°≤A≤60°B.60°≤A ＜90°C.0°＜A ≤30°D.30°≤A≤90°3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A． B． C． D．5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A．45° B．1 C． D．无法确定6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A． B． C． D．7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：98、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( )A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里10、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米 D． 24米12、如图，在高度是90米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD是（）（结果可以保留根号）A．30（3+）米 B．45（2+）米 C．30（1+3）米 D．45（1+）米二、填空题:13、求值：sin60°•tan30°= ．14、如图，∠1的正切值等于．15、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.16、如图，一人乘雪橇沿坡比1:的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米.17、如图，小岛在港口的南偏东45°方向、距离港口81海里处.甲船从出发，沿方向以9海里/h的速度驶向港口;乙船从港口出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口.现两船同时出发，当甲船在乙船的正向时，行驶的时间为h.(结果保留根号)18、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．三、计算题:19、.20、计算：四、解答题:21、已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；(3)点P在x轴正半轴上位于点D的右侧，如果∠APB=45°，求点P的坐标．22、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l 分别交边AB、AC于点D、E；（1）求△ABC的面积；（2）求sin∠CBE的值．23、如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．24、先化简，再求代数式的值÷（﹣），其中a=2cos30°﹣tan45°，b=2sin30°．25、如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）26、南沙群岛是我国的固有领土，现在我南海渔民要在南沙群岛某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1＋）海里的C处，为防止某国的巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．27、如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）参考答案1、C2、C3、A4、A5、C6、B7、B8、D9、D10、A11、B12、A13、答案为：．14、答案为：．15、答案为：216、答案为：3617、答案为：18、答案为：2，19、.20、=1+2-（+1）-+2=221、解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点C（1，0），∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（1，0）代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,∴B（0,3）∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A（2，﹣1），D（3，0），∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∴（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD•AD=3=6，∴PD=，∴OP=3+，∴点P（3+，0）．22、解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=，∴=，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，即BC2+4BC2=25，解得BC=，所以，AC=2，△ABC的面积=AC•BC=××2=5；（2）设CE=x，则AE=AC﹣CE=2﹣x，∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，∴BE=AE=2﹣x，在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即2+x2=（2﹣x）2，解得x=，所以，CE=，BE=2﹣x=2﹣=，所以，sin∠CBE===．23、(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝，∴∠C＝45°.∴在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1.∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.∴sin∠ADC＝.24、解：原式=÷=×=，当a=2cos30°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，b=2sin30°=2×=1时，原式===．25、解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．26、解：作AD⊥BC于D，设AD＝x，依题意可知∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ADC中，CD＝AD＝x，在Rt△ADB中∵＝tan30°，∴BD＝AD＝x，∵BC＝CD＋BD＝x＋x＝20（1＋），即x＋x＝20（1＋），解之得x＝20，∴AC＝AD＝20．∴A、C之间的距离为20海里．27、解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．答：二楼的层高BC约为5.8米．。
【新】人教版九年级数学下册《解直角三角形及其应用》同步检测附答案
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形及其应用》同步检测1附答案1．=︒-2)30tan 31( _________ [ ]A ．31--B ．3+1C ．3－1 D ．1－3 2． 直角三角形两锐角的正切函数的积为 __________． [ ]A ．2B ．1C ．42D ． 353． 在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,那么cosB= __________． [ ]A ．52B ． 53C ．54D ． 554．在△ABC 中,CD ⊥AB 于 D ．则sin ∠ACD=_______cot ∠BCD=_________5． 在△ABC 中,∠C=90°,设AC=b ．若b 等于斜边中线的34,则△ABC 的最小角的正弦=________,较大锐角的余切=______．6． 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根,求sinA,tanA ．7、等腰三角形一腰上的高为1，且这条高与底边的夹角的正弦值为23，求该直角三角形的面积。
8、（1）求边长为8，一内角为120°的菱形的面积。
（2）在△ABC 中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，求AC 的长。
答案1．C 2．B 3．C 4．DB CDACAD ⋅ 5．552,32 6． 解：∵sinA 是方程52x -14x+8=0的一个根 则5A 2sin -14sinA+8=0∴sinA=54，sinA=2（舍去） tanA=347、338、 （1）323 （2）23。
九年级数学下册解直角三角形单元测试题(含答案)
解直角三角形 单元测试题A. 45° B . 1 6、如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ ABC 绕着点A 逆时针旋转得到厶AC' B ',则tanB '的值为（）A .—B. 1C ._1D.-3447、如图， 已知在△ ABC 中, 1 cosA= , BE CF 分别是 AC AB 边上的高，联结 EF ,那么△ AEF 和厶ABC 的周长比为（)Fi-AcA . 1: 2B.1 : 3C1 : 4 D .1: 9BC CA AB 满足 BC:CA:AB=5:12:13，贝U si nA 的值是( A.B.C.125sinA W J.,则()132、已知/ A 为锐角，且2A.0 ° < A W 60°B.60 ° < A V 90 °C.0 ° V A W 30°D.30 ° < A W 90°3、在 Rt △ ABC 中， / C=90°,Z B=60°,那么 sinA+cosB 的值为()A.1B.C.1+V3D.4224、已知在 Rt △ ABC 中，/ C=90°3 ,sinA= —，贝U tanB5的值为（)fl 4453 A .BC35 • 445、如图，点A 、B 、 O 是正方形网格上的三个格点，OO 的半径为 OA 点P 是优弧曲己cos / APB 的D .无法确定、选择1、在厶ABC 中，若三边 值是（58、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30° ,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60° .已知小敏同学身高（AB）为1.6 m,则这棵树的高度约为（结果精确到0.1 m, 1.73）（）A . 3.5 mB . 3.6 mC . 4.3 mD . 5.1 m9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A, B之间的距离是（）13、求值: sin60 ° ?tan30 ° =A . 10 海里 C . 10海里 D . (10 匸—10）海里10、如图，在△ ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 点D为边AC的中点, DEL BC于点E,连接BD,则tan / DBC的值.2-上；12米，斜面坡度为D.2,2,则斜坡AB的长为（A.4 C.12 二米 D . 24 米12、如图，在高度是90米的小山A处测得建筑物建筑物的高度。
新人教版九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形同步测试(含答案)
解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝236＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由元素求元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：三边关系：.两锐角关系：.边角关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝，∠B ＝，AC＝.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.知识点2已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB＝（）A.4B.6C.8D.105.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝12，AC＝8，则△ABC的面积为（）A.12B.16C.32D.486.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）中档提分训练7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（）A.3√2B.3√5C.6√2D.3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为（）A.512B.513C.125D.12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为.10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD .＝35（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝3，求sin A ，sin 2A 的值.图3参考答案1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由 已知 元素求 未知 元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：三边关系：a2＋b2＝c2.两锐角关系：∠A＋∠B＝90°.边角关系：sin A＝ac ，sin B＝bc；cos A＝bc ，cos B＝ac；tan A＝ab ，tan B＝ba.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（D）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝45°，∠B＝45°，AC＝√3.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，c ＝8 根据勾股定理，得b ＝√c 2－a 2＝√82－42＝4√3. ∴sin A ＝ac＝48＝12∴∠A ＝30°∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ D ） A .4B .6C .8D .105.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，AC ＝8，则△ABC 的面积为 （ B ） A .12B .16C .32D .486.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，b ＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝25°∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－25°＝65°. ∵b ＝10，sin 25°＝bc，tan 25°＝ba∴c ＝bsin25°≈100.42≈23.8a ＝btan25°≈100.47≈21.3.中档提分训练7.如图，AD 是△ABC 的高.若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为（ C ）A .3√2B .3√5C .6√2D .3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC 是周长为36的等腰三角形，AB ＝AC ，BC ＝10，则tan B 的值为（ C ）A .512B .513C .125D .12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝2√7，则BC 的长为 2√3或6√3 .10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，CD 是AB 边上的中线，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，若CD ＝5，sin ∠BCD ＝35.（1）求BC 的长；解：（1）∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90° 在Rt △ECD 中，sin ∠DCE ＝sin ∠BCD ＝35，CD ＝5∴DE ＝CD ·sin ∠BCD ＝5×35＝3∴CE ＝√CD 2－DE 2＝√52－32＝4. ∵∠B ＝45°，∠DEB ＝90° ∴BE ＝DE ＝3∴BC ＝BE ＋CE ＝3＋4＝7. （2）求∠ACB 的正切值.（2）如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F . ∵DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ∴△DEB ∽△AFB ，∴DEAF ＝BD BA＝BE BF.∵CD 是AB 边上的中线，即点D 为AB 的中点 ∴BA ＝2BD ，∴AF ＝2DE ＝6，BF ＝2BE ＝6. ∴CF ＝BC －BF ＝7－6＝1∴tan ∠ACB ＝tan ∠ACF ＝AFCF＝61＝6.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC 中，已知∠A （∠A ＜45°），∠C ＝90°，AB ＝1，请用sin A ，cos A 表示sin 2A .解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1 图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A 的值.图3解：如图3，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D.sin A＝13，sin 2A＝4√29.。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或172. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.453. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30√2海里B.30√3海里C.60海里D.30√6海里4. 如图，在高为2m，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在离电视塔am的A处，测得塔顶仰角为β，若测角仪高度为bm，则电视塔高为（）A.(a tanβ+b)mB.(a cotβ+b)mC.(a sinβ+b)mD.(a cosβ+b)m6. 如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在AC上取一点B，使∠ABD=145∘，BD=500 m，∠D=55∘，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离为（）mA.500⋅sin55∘ mB.500⋅cos55∘ mC.500⋅tan55∘ mD.50cos55∘，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A.50B.1:50C.3:125D.11:2509. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60∘方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30∘方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30∘方向，则A，C两地的距离为()A.10√33km B.5√33km C.5√2km D.5√3km10. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，那么∠B=________度．12. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．13.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，若sin C=15，则BC的长度为________．14. 如图，C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，且BC为5海里，AC为12海里，则sin∠CAB=________．15. 在△ABC中，AB=AC=6cm，BD为AC边上的高，∠DAB=60∘，则线段CD的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为________m．17. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，等于________（用α、β的三角函数表示）则PDPE19. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC 的高度为________m（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口A出发以80km∕ℎ的速度向正东方向航行，30min后到港口B，又从港口B以同样的速度15min后航行到港口C，此时在C处测得港口A位于港口C的南偏西63.4∘方向上，求该艘轮船以80km∕ℎ的速度返回到港口A所需的时间．（精确到0.01ℎ，参考数据：cos63.4∘≈0.45，sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45∘，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23. 如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1:√3，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60∘，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45∘，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，√3≈1.73）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度1:√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，tan53∘≈4，3 cos53∘≈0.60）25. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12∘−24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB 可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24∘，求此时支撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12∘，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据:sin24∘=0.40, cos24∘=0.91, tan24∘=0.46, sin12∘=0.20]参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ cos∠B=√22，∵ ∠B=45∘，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵ AB=12√2，∠B=45∘，∵ AD=BD=12，∵ AC=13，∵ 由勾股定理得CD=5，∵ BC=BD−CD=12−5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．3.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵ PA=60海里，∠PAC=30∘，AP=30海里．∵ CP=12在Rt△PBC中，∵ PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45∘，∵ PB=√2PC=30√2海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30√2海里．故选：A．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∵ tan A=BC，AC∵ AC=BC÷tan30∘=2√3．∵ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△BCD中，∠CBD=β，BD=AE=am，则tanβ=CD，即CD=BD tanβ=a tanβ(m)，BD又因为DE=AB=bm，则CE=CD+DE=(a tanβ+b)m．故选A．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，∠DBC=180∘−∠ABD=180∘−145∘=35∘，BD=500m，∵ 要使A，C，E成一直线，则∠DEB=180∘−∠DBE−∠D=90∘，∵ DE=BD⋅cos50∘=500⋅cos55∘，故选B．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 2=√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 =3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】B【解答】解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为2.2−1.250=1:50．故选B．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30∘，∠EAB=60∘，∠3=30∘．∵ EF // PQ，∵ ∠1=∠EAB=60∘又∵ ∠2=30∘，∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2=180∘−60∘−30∘=90∘．∵ △ABC是直角三角形．又∵ MN // PQ，∵ ∠4=∠2=30∘．∵ ∠ACB=∠4+∠3=30∘+30∘=60∘．∵ AC=ABsin∠ACB =√32=10√33(km)．故选A．10.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】60【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，AB，∵ BC=12∵ ∠A=30∘，∵ ∠B=60∘（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：60∘．12.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.13.【答案】10【解答】解：∵ ∠A=90∘，∵ sin C=ABBC =15，∵ AB=2，∵ BC=10；故答案为：10．14.【答案】513【解答】解：过C点作CD // AE，∵ C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，AC // CD，CD // BC，∵ ∠EAC=∠ACD=50∘，∠FBC=∠DCB=40∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ sin∠CAB=BCAB，∵ BC为5海里，AC为12海里，∵ AB=13海里，∵ sin∠CAB=BCAB =513．故答案为：513．15.【答案】3cm或9cm【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵ AB=AC，∠DAB=60∘，∵ △ABC是等边三角形，∵ CD=12AC=12×6=3cm，②ABC是钝角三角形时，∵ ∠DAB=60∘，∵ ∠ABD=90∘−60∘=30∘，∵ AB=6cm，∵ AD=12AB=12×6=3cm，∵ CD=AD+AC=3+6=9cm，综上所述，线段CD的长为3或9cm．故答案为：3cm或9cm．16.【答案】4√5【解答】解：∵ AB=10米，tan A=BCAC =12．∵ 设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2√5，∵ AC=4√5，BC=2√5米．故答案为4√5．17.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∵ 这样就构成了一对同旁内角，∵ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∵ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.18.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．19.【答案】10√3【解答】∵ 在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，∵ ∠B=30∘，∵ BC=30m，∵ AC=√33BC=30×√33=10√3m，20.【答案】5.4米【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，∵ ∠AFB=90∘，∠BAF=180∘−60∘−90∘=30∘，∵ BF=12AB=10，AF=√3BF=10√3，∵ BG=AF+AE=10√3+30．在Rt△BGC中，∵ ∠BGC=90∘，∠CBG=45∘，∵ CG =BG =10√3+30．Rt △ADE 中，∵ ∠AED =90∘，∠DAE =60∘，AE =30， ∵ DE =√3AE =30√3，∵ CD =CG +GE −DE =10√3+30+10−30√3≈5.4． 答：宣传牌CD 高约5.4米．故答案为5.4米．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ． 根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．【解答】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ．根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．22.【答案】河宽为68.30米．【解答】过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45∘，AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中：∠CBE ＝30∘，BE =√3CE =√3x ， ∵ √3x ＝x +50解之得：x ＝25√3+25≈68.30． 23.【答案】解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，即m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，=√3，解得m=10(√3+1)，即m−53∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．24【答案】宣传牌CD高约6.7米．【解答】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，由（1）得：BH＝5，AH＝5√3，∵ BG＝AH+AE＝5√3+21，Rt△BGC中，∠CBG＝45∘，∵ CG＝BG＝5√3+21．Rt△ADE中，∠DAE＝53∘，AE＝21，AE＝28．∵ DE=43∵ CD＝CG+GE−DE＝26+5√3−28≈6.7m．答：宣传牌CD高约6.7米．25.【答案】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（ ）A.BC =AC sin αB.CD =AD ⋅tan αC.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（ ）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=15，sin A=1，则BC=()3A.5B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上D.∠ACB=50∘C.cos∠BAC=√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AC＝________．11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=AC，BC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，，在Rt△ADC中，tanα=CDAD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，cosα=BD，AB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.故选D.3.【答案】D解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，∴ cos∠BAC=√32，故C正确；∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，BC=9（米）．∴ AC=32故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=√AC2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x=5(√3+1)．∴ 解得：x=√3−1即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或172. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.453. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30√2海里B.30√3海里C.60海里D.30√6海里4. 如图，在高为2m，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在离电视塔am的A处，测得塔顶仰角为β，若测角仪高度为bm，则电视塔高为（）A.(a tanβ+b)mB.(a cotβ+b)mC.(a sinβ+b)mD.(a cosβ+b)m6. 如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在AC 上取一点B，使∠ABD=145∘，BD=500 m，∠D=55∘，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离为（）mA.500⋅sin55∘ mB.500⋅cos55∘ mC.500⋅tan55∘ mD.50cos55∘，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A.50B.1:50C.3:125D.11:2509. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60∘方向走了5km到达B 地，然后再沿北偏西30∘方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30∘方向，则A，C两地的距离为()A.10√33km B.5√33km C.5√2km D.5√3km10. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，那么∠B=________度．12. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．13.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，若sin C=15，则BC的长度为________．14. 如图，C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，且BC为5海里，AC为12海里，则sin∠CAB=________．15. 在△ABC中，AB=AC=6cm，BD为AC边上的高，∠DAB=60∘，则线段CD的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为________m．17. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD等于________（用α、β的三角函数表示）PE19. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为________m（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口A出发以80km∕ℎ的速度向正东方向航行，30min后到港口B，又从港口B以同样的速度15min后航行到港口C，此时在C处测得港口A位于港口C的南偏西63.4∘方向上，求该艘轮船以80km∕ℎ的速度返回到港口A所需的时间．（精确到0.01ℎ，参考数据：cos63.4∘≈0.45，sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45∘，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23. 如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1:√3，小亮在距山坡坡脚A 处测得楼顶C的仰角为60∘，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45∘，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，√3≈1.73）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度1:√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，，cos53∘≈0.60）tan53∘≈4325. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12∘−24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24∘，求此时支撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12∘，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据:sin24∘=0.40, cos24∘=0.91, tan24∘=0.46, sin12∘=0.20]参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ cos∠B=√22，∵ ∠B=45∘，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵ AB=12√2，∠B=45∘，∵ AD=BD=12，∵ AC=13，∵ 由勾股定理得CD=5，∵ BC=BD−CD=12−5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．3.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵ PA=60海里，∠PAC=30∘，AP=30海里．∵ CP=12在Rt△PBC中，∵ PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45∘，∵ PB=√2PC=30√2海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30√2海里．故选：A．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．，∵ tan A=BCAC∵ AC=BC÷tan30∘=2√3．∵ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△BCD中，∠CBD=β，BD=AE=am，则tanβ=CDBD，即CD=BD tanβ=a tanβ(m)，又因为DE=AB=bm，则CE=CD+DE=(a tanβ+b)m．故选A．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，∠DBC=180∘−∠ABD=180∘−145∘=35∘，BD=500m，∵ 要使A，C，E成一直线，则∠DEB=180∘−∠DBE−∠D=90∘，∵ DE=BD⋅cos50∘=500⋅cos55∘，故选B．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 2=√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 2=3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】B【解答】解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为2.2−1.250=1:50．故选B．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30∘，∠EAB=60∘，∠3=30∘．∵ EF // PQ，∵ ∠1=∠EAB=60∘又∵ ∠2=30∘，∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2=180∘−60∘−30∘=90∘．∵ △ABC是直角三角形．又∵ MN // PQ，∵ ∠4=∠2=30∘．∵ ∠ACB=∠4+∠3=30∘+30∘=60∘．∵ AC=ABsin∠ACB =√32=10√33(km)．故选A．10.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】60【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，∵ BC=12AB，∵ ∠A=30∘，∵ ∠B=60∘（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：60∘．12.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.13.【答案】10【解答】解：∵ ∠A=90∘，∵ sin C=ABBC =15，∵ AB=2，∵ BC=10；故答案为：10．14.【答案】513【解答】解：过C点作CD // AE，∵ C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，AC // CD，CD // BC，∵ ∠EAC=∠ACD=50∘，∠FBC=∠DCB=40∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ sin∠CAB=BCAB，∵ BC为5海里，AC为12海里，∵ AB=13海里，∵ sin∠CAB=BCAB =513．故答案为：513．15.【答案】3cm或9cm【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵ AB=AC，∠DAB=60∘，∵ △ABC是等边三角形，∵ CD=12AC=12×6=3cm，②ABC是钝角三角形时，∵ ∠DAB=60∘，∵ ∠ABD=90∘−60∘=30∘，∵ AB=6cm，∵ AD=12AB=12×6=3cm，∵ CD=AD+AC=3+6=9cm，综上所述，线段CD的长为3或9cm．故答案为：3cm或9cm．16.【答案】4√5【解答】解：∵ AB=10米，tan A=BCAC =12．∵ 设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2√5，∵ AC=4√5，BC=2√5米．故答案为4√5．17.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∵ 这样就构成了一对同旁内角，∵ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∵ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.18.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．19.【答案】10√3【解答】∵ 在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，∵ ∠B=30∘，∵ BC=30m，∵ AC=√33BC=30×√33=10√3m，20.【答案】5.4米【解答】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt △ABF 中，∵ ∠AFB =90∘，∠BAF =180∘−60∘−90∘=30∘， ∵ BF =12AB =10，AF =√3BF =10√3，∵ BG =AF +AE =10√3+30．在Rt △BGC 中，∵ ∠BGC =90∘，∠CBG =45∘，∵ CG =BG =10√3+30．Rt △ADE 中，∵ ∠AED =90∘，∠DAE =60∘，AE =30，∵ DE =√3AE =30√3，∵ CD =CG +GE −DE =10√3+30+10−30√3≈5.4．答：宣传牌CD 高约5.4米． 故答案为5.4米．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ． 根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ，设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘，所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组：{(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2， ∵ {x ≈24y ≈26.832． 以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．【解答】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ．根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ，设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘，所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组：{(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．22.【答案】河宽为68.30米．【解答】过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45∘，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30∘，BE=√3CE=√3x，∵ √3x＝x+50解之得：x＝25√3+25≈68.30．23.【答案】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m−5√3，即m+5m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m−5√3，即m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．24【答案】宣传牌CD高约6.7米．【解答】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，由（1）得：BH＝5，AH＝5√3，∵ BG＝AH+AE＝5√3+21，Rt△BGC中，∠CBG＝45∘，∵ CG＝BG＝5√3+21．Rt△ADE中，∠DAE＝53∘，AE＝21，∵ DE=43AE＝28．∵ CD＝CG+GE−DE＝26+5√3−28≈6.7m．答：宣传牌CD高约6.7米．25.【答案】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=2−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．21/ 21。
新人教版数学九年级下人教新课标第二十八章解直角三角形测试(A卷)
第六章复习 解直角三角形测试(A 卷)一、填空题(每小题3分，共24分)1．在△ABC 中，除∠C =90°外，其他五个元素(即两个锐角A 、B ，三边a 、b 、c )之间有以下关系(这是解直角三角形的依据):①三边关系:_____________；②两锐角关系:______________；③边角关系:______________．2．在△ABC 中，∠C =90°，已知a ，∠A ，则∠B =______，b =______，c =______．3．在△ABC 中，∠C =90°，∠B =60°，a =7，则∠A =______，b =______，c =______．4．菱形的两条对角线的长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角为________．5．两棵树植在倾斜角为30°的斜坡上，它们间的坡面距离是6米，则它们的水平距离是________．6．在由cos B =ca ，可得a =________，c =________． 7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．若3a =3b ，则sin A =______．8．等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为________．二、选择题(每小题3分，共24分)9．在△ABC 中，∠C =90°，已知∠A 、b ，解直角三角形就是求出A ．cB ．aC ．∠B 、a 、cD ．∠B 、a 、c 、S △10．在△ABC 中，∠C =90°，则在边角关系中，正确的是A ．a =c ·sin AB ．b =a ·tan AC ．a =b ·tan BD ．c =a ·cos B11．在△ABC 中，∠C =90°，a =5，c =13，则在sin A =135，cos A =125，tan A =1312，cot A =512中，正确的是 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 12．在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，若AB =1，斜边上的高为A ．41B ．21C ．43D ．23 13．△ABC 中，∠A :∠B :∠C =1:2:3，则a :b :c 等于A ．1:2:3B ．1:3:2C ．1:3:4D ．1:3:414．如果坡角的余弦值为10103，那么坡度为 A ．1:10 B ．3:10 C ．1:3 D ．3:115．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =5，cos A =1312，则AC 为 A ．13 B ．12 C ．5 D ．21316．等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°三、解答题(共52分)17．根据下列条件，不用查表和计算器，解直角三角形(∠C =90°)(每小题5分，共20分)(1)c =2，A =30°；(2)a =b =2；(3)a =4，c =8；(4)a =46，b =122．18．在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，b =2，求a 、c ．(10分)19．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为31003 cm 2，求它的各角．(10分)20．(每小题6分，共12分)(1)在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，a =6，解这个三角形．(2)在△ABC 中，∠C =90°，b +c =30，∠A －∠B =30°，解这个三角形．参考答案一、1．①a 2+b 2=c 2；②∠A +∠B =90°； ③sin A =c a ，cos A =c b ，tan A =b a ，cot A =a b ，sin B =cb ，cos B =c a ，tan B =a b ，cot B =b a 2．90°－∠A A a A a sin tan ； 3．30° 73 14 4．60°，120° 5．33米 6．cosB ·c B a cos 7．21 8．41 二、9．C 10．A 11．B 12．C 13．B 14．C 15．B 16．B 三、17．解:(1)∠B =90°－∠A =90°－30°=60°，∵sin A =ca ∴a =sin A ·c =sin30°×2=21×2=1 ∴b =312222=-=-a c(2)∵a =b ，∴∠A =∠B =45°，c =2222)2()2(+=+b a =2(3)∵∠C =90°∴b =34482222=-=-a c ， ∵sin A =84=c a =21 ∴∠A ＝30° ∴∠B =90°－∠A =90°－30°=60°；(4)∵∠C =90°∴c =22b a +=68)212()64(22=+∵tanA=b a =3321264= ∴∠A =30°，∴∠B =90°－∠A =90°－30°=60° 18．解:∵sin A =54，设a =4k ，c =5k ∴b =2222)4()5(k k a c -=-=3k ∴3k =2即k =32，∴a =310,38=c ． 19．解:作AD ⊥BC 于点D ，∵AB =AC∴BD =DC =2202=BC =10(cm) ∴S △ABC =2202AD CD BC ⋅=⋅∴AD =33101033100= ∵tan B =33103310BD AD == ∴∠B =∠C =30°∴∠BAC =180°－2×30°=120°20．解:(1)∠B =90°－∠A =90°－30°=60° ∵sin A =c a ∴c =216sin =A a =12 ∵∠C =90°，∴b =2222612-=-a c =63；(2)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=∠-∠=∠+∠ 3090B A B A 解得 ∠A =60°，∠B =30°，∵b +c =30，∴c =30－b∵sin B =c b = 21 ∴b b -30=21 ∴b =10，∴c =20，a =103。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），AC=6，则AB的长度为（）1. 在△ABC中，∠C=90∘，cos A=35A.8B.10C.12D.142. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（）A.100tanαB.100cotαC.100sinαD.100cosα，BC=8.4 3. 如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.2米，若tan A=34米，则楼高CD是（）A.6.3米B.7.5米C.8米D.6.5米4. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.40√2海里B.40√3海里C.80海里D.40√6海里5. 在直角△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，tan A=1，下列判断正确的是（）2A.∠A＝30∘B.AC=1C.AB＝2D.AC＝226. 如图，AC=BC=10cm，∠B=15∘，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm7. 如图，为了测量小河AE的宽度，小明从河边的点A处出发沿着斜坡AB行走260米至坡顶B处，斜坡AB的坡度为i＝1:2.4，在点B处测得小河对岸建筑物DE顶端点D的俯角∠CBD ＝11∘，已知建筑物DE的高度为37.5米，则小河AE的宽度约为（精确到1米，参考数据：sin11∘＝0.19，cos11∘＝0.98，tan11∘＝0.20）（）A.89米B.73米C.53米D.43米8. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.59. 在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A.a sin2αB.a cos2αC.a sinαcosαD.a sinαtanα10. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60∘方向上，在A 处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30∘方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=()米．A.250B.500C.250√3D.500√3二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．12. 在△ABC中，∠A=120∘，AB=2，AC=4，则sin B的值是________．13. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若tan B=2，a=1，则b=________．14. 一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含45∘角的三角板和一只含30∘角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则S△ODC:S△OAB的值为________．15. 如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=3．AC上有一点E，满足AE:CE=42:3．那么tan∠ADE的值是________．16. 某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要________元．17. 如图，水平面上有一个坡度i=1:2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为________m．（结果保留根号）18. 如图，测量河宽AB（河的两岸平行），在C点测得∠ACB=32∘，BC=60m，则河宽AB约为________m．（用科学计算器计算，结果精确到0.1）19. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD等于________（用α、β的三角函数表示）PE20. 如图，某飞机于空中A处探测得地面目标C，此时飞行高度AC=ℎ米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，那么飞机A到控制点B的距离是________米．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，求证：AD=3BD．22. 一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位角是北偏东75∘，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位角是北偏东60∘，若小岛周围3.8海里内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁的危险？23. 某航班在某日凌晨0:40从甲地（记为A）起飞，沿北偏东35∘方向出发，以870km/ℎ的速度直线飞往乙地，但飞机在当日凌晨1:20左右在B处突然改变航向，沿北偏西71∘方向飞到C处消失，如果此航班在C处发出求救信号，又测得C在A的北偏西25∘方向，求A与求救点C的距离（结果保留整数，参考数据：sin74∘≈2425，sin46∘≈1825）．24. 如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB=5米，且sin∠DCB=4．5（1）求钢缆CD的长度；（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120∘，则灯的顶端E距离地面多少米？，BC=1+√3，CD=2 25. 已知：在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，∠C=60，AB=√32（1）求tan∠ABD的值；（2）求AD的长．26. 某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1:√3，在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为38∘，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：sin38∘≈0.62，cos38∘≈0.79，tan38∘≈0.78，√3≈1.73．）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C=90∘，、∵ cos A=ACAB =35，∵ AB=53×6=10．故选B．2.【答案】B【解答】∵ ∠BAC＝α，BC＝100m，∵ AB＝BC⋅cotα＝100cotαm．3.【答案】B【解答】解：如图，∵ 在△AEB中，∠ABE=90∘，BE=1.2米，tan A=34，∵ AB=EBtan A =1.234=1.6（米）．又∵ BC=8.4米，∵ AC=AB+BC=10米．又∵ 在直角△ACD中，∠C=90∘，tan A=34，∵ CD=AC⋅tan A=10×34=7.5（米）故选：B．4.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30∘，∠B=45∘，AP=80(海里)，故CP=12AP=40（海里），则PB=40sin45=40√2（海里）．故选A.5.【答案】D【解答】∵ 在直角△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，tan A=12，tan A=BCAC，∵ AC=BCtan A =112=2，∵ AB=√AC2+BC2=√22+12=√5，∵ tan A=12，tan30∘=√33，∵ ∠A≠30∘，6.【答案】C【解答】解：∵ AC=BC，∵ ∠B=∠BAC=15∘，∵ ∠ACD=∠B+∠BAC=15∘+15∘=30∘，∵ AD⊥BC，∵ AD=12AC=12×10=5cm．故选C．7.【答案】B【解答】作BH⊥EA交EA的延长线于H，作DG⊥BH于G，则四边形DEHG为矩形，∵ DG＝EH，GH＝DE＝37.5，设BH＝x米，∵ 斜坡AB的坡度为i＝1:2.4，∵ AH＝2.4x米，由勾股定理得，(2.4x)2+x2＝2602，解得，x＝100，∵ BH＝100米，AH＝240米，∵ BG＝BH−GH＝100−37.5＝62.5，在Rt△BDG中，tan∠BDG=BGDG，则DG=BGtan∠BDG ≈62.50.2=312.5，∵ AE＝312.5−240＝72.5≈73（米），8.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．9.【答案】C【解答】解：AD=AB⋅sinα=BC⋅cosα⋅sinα=a sinαcosα．故选C．10.【答案】C【解答】解：∵ ∠PAB=90∘−60∘=30∘，∠PBC=90∘−30∘=60∘．又∵ ∠PBC=∠PAB+∠APB，∵ ∠PAB=∠APB=30∘．∵ PB=AB．=250√3．在直角△PBC中，PC=PB⋅sin60∘=500×√32故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.12.【答案】√217【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，∵ ∠A=120∘，∵ ∠CAD=60∘，在Rt△CAD中，AC=4，∵ sin∠CAD=sin60∘=CD，AC=2√3，∵ CD=4×√32∵ cos∠CAD=cos60∘=AD，AC×4=2，∵ AD=12∵ BD=AB+AD=2+2=4，在Rt△BDC中，BC=√CD2+BD2=√(2√3)2+42=2√7，∵ sin B =CD BC =√32√7=√217． 故答案为√217．13. 【答案】2【解答】解：在Rt △ABC 中，∵ ∠C =90∘，∵ AB 为斜边．∵ b =AC ⋅tan B=a ⋅tan B=2．14.【答案】3+√33【解答】解：作OH ⊥BC 于H ，如图，设OH =x ，在Rt △OBH 中，∵ ∠OBH =30∘，∵ BH =√3OH =√3x ，在Rt △OCH 中，∵ ∠OCH =45∘，∵ CH =OH =x ，∵ BC =(√3+1)x ，在Rt △BCD 中，CD =√33BC =√33(√3+1)x ， 在Rt △ABC 中，AB =√22BC =√22(√3+1)x ， ∵ S △OCD =S △BCD −S △OBC =12•(√3+1)x ⋅√33(√3+1)x −12•(√3+1)x ⋅x =3+√36x 2， S △OAB =S △ABC −S △OBC =12⋅√22(√3+1)x ⋅√22(√3+1)x −12•(√3+1)x ⋅x =12x 2，∵ S△ODC:S△OAB=3+√36x2:12x2=3+√33．故答案为3+√33．15.【答案】89【解答】解：作EF⊥AD于F，如图，∵ △ABC为等腰三角形，AD为高，∵ ∠B=∠C，∵ tan C=34=ADDC设AD=3t，DC=4t，∵ AC=√AD2+CD2=5t，而AE:CE=2:3，∵ AE=2t，∵ EF // CD，∵ △AEF∽△ACD，∵ EFCD =AFAD=AEAC，即EF4t=AF3t=2t5t，∵ AF=65t，EF=85t，∵ FD=AD−AF=95t，在Rt△DEF中，tan∠FDE=EFFD =85t95t=89∵ tan∠ADE=89．故答案为89．16.【答案】150a【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵ ∠BAC=150∘，∵ ∠DAC=30∘，∵ CD⊥BD，AC=30m，∵ CD=15m，∵ AB=20m，∵ S△ABC=12AB×CD=12×20×15=150m2，∵ 每平方米售价a元，∵ 购买这种草皮的价格为150a元．故答案为：150a．17.【答案】2√5【解答】解：作DH⊥BC，垂足为H，且与AB相交于S．∵ ∠DGS=∠BHS，∠DSG=∠BSH，∵ ∠GDS=∠SBH，∵ GSGD =12，∵ DG=EF=2m，∵ GS=1m，∵ DS=√12+22=√5m，BS=BF+FS=3.5+(2.5−1)=5m，设HS=xm，则BH=2xm，∵ x2+(2x)2=52，∵ x=√5m，∵ DH=√5+√5=2√5m．故答案是：2√5．18.【答案】37.5【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠B=90∘BC=60m，∠C=32∘，∵ AB=BC⋅tan32∘≈60×0.625≈37.5m故答案为37.5．19.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．20.【答案】ℎsinα【解答】解：在直角△ABC中，∠B=α，sin B=ACAB，∵ AB=ACsinα=ℎsinα．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】证明：∵ CD⊥AB，∠A=30∘，∵ ∠DCB=30∘，∵ BC=2BD，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ AB=2BC，∵ AB=4BD，∵ AB=AD+BD，∵ AD=3BD．【解答】证明：∵ CD⊥AB，∠A=30∘，∵ ∠DCB=30∘，∵ BC=2BD，∵ ∠A=30∘，∠ACB=90∘，∵ AB=2BC，∵ AB=4BD，∵ AB=AD+BD，∵ AD=3BD．22.【答案】解：如图所示：由题意可得：∠1=75∘，∠2=60∘，则∠PAB=15∘，∠PBC=30∘，故∠APB=15∘，则AB=PB=7（海里），可得：PC=12PB=3.5海里<3.8海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=75∘，∠2=60∘，则∠PAB=15∘，∠PBC=30∘，故∠APB=15∘，则AB=PB=7（海里），可得：PC=12PB=3.5海里<3.8海里．则该船一直向东航行有触礁的危险．23.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得：AB=870×4060=580(km)，∠BAC=35∘+25∘=60∘，则BD=AB⋅sin60∘=580×√32=290√3(km)，AD=12AB=290km，∵ ∠CBA=180∘−71∘−35∘=74∘，∵ ∠C=180∘−60∘−74∘=46∘，∵ sin46∘≈1825，∵ BDBC =290√3BC=1825∵ BC=3625√39km，则CD=√BC2−BD2=15√157267≈484．CA=CD+AD=774km．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意可得：AB=870×4060=580(km)，∠BAC=35∘+25∘=60∘，则BD=AB⋅sin60∘=580×√32=290√3(km)，AD=12AB=290km，∵ ∠CBA=180∘−71∘−35∘=74∘，∵ ∠C=180∘−60∘−74∘=46∘，∵ sin46∘≈1825，∵ BDBC =290√3BC=1825∵ BC=3625√39km，则CD=√BC2−BD2=15√157267≈484．CA=CD+AD=774km．24.【答案】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB=DBDC =45，∵ 设DB=4x，DC=5x，∵ (4x)2+25=(5x)2，解得x=±53，∵ CD=253米，DB=203米．（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．∵ ∠EAB=120∘，∵ ∠EAF=60∘，∵ AF=AE⋅cos∠EAF=1.6×12=0.8（米），∵ FB=AF+AD+DB=0.8+2+203=14215（米）．∵ 灯的顶端E距离地面14215米．【解答】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB=DBDC =45，∵ 设DB=4x，DC=5x，∵ (4x)2+25=(5x)2，解得x=±53，∵ CD=253米，DB=203米．（2）如图，过点E作EF⊥AB于点F．∵ ∠EAB=120∘，∵ ∠EAF=60∘，∵ AF=AE⋅cos∠EAF=1.6×12=0.8（米），∵ FB=AF+AD+DB=0.8+2+203=14215（米）．∵ 灯的顶端E距离地面14215米．25.【答案】解：（1）如图，作DE⊥BC于点E．∵ 在Rt△CDE中，∠C=60∘，CD=2，∵ CE=1，DE=√3，∵ BC=1+√3，∵ BE=√3．∵ BE=DE∵ ∠DEB=90∘，∵ ∠EDB=∠EBD=45∘．∵ AB⊥BC，∠ABC=90∘，∵ ∠ABD=∠ABC−∠EBD=45∘．∵ tan∠ABD=1．（2）如图，作AF⊥BD于点F．，在Rt△ABF中，∠ABF=45∘，AB=√32．∵ BF=AF=√64∵ 在Rt△BDE中，BE=DE=√3，∵ BD=√6．∵ DF=3√6．4．∵ 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD=√152【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于点E．∵ 在Rt△CDE中，∠C=60∘，CD=2，∵ CE=1，DE=√3，∵ BC=1+√3，∵ BE=√3．∵ BE=DE∵ ∠DEB=90∘，∵ ∠EDB=∠EBD=45∘．∵ AB⊥BC，∠ABC=90∘，∵ ∠ABD=∠ABC−∠EBD=45∘．∵ tan∠ABD=1．（2）如图，作AF⊥BD于点F．，在Rt△ABF中，∠ABF=45∘，AB=√32∵ BF=AF=√6．4∵ 在Rt△BDE中，BE=DE=√3，∵ BD=√6．∵ DF=3√6．4．∵ 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD=√15226.【答案】大楼AB的高度约为34.80米．【解答】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．=i＝1:√3，∵ 在Rt△BCF中，BFCF∵ 设BF＝k，则CF=√3，BC＝2k．又∵ BC＝12，∵ k＝6，∵ BF＝6，CF＝6√3．∵ DF＝DC+CF，∵ DF＝40+6√3．，∵ 在Rt△AEH中，tan∠AEH=AHEH∵ AH＝tan38∘×(40+6√3)≈39.30（米），∵ BH＝BF−FH，∵ BH＝6−1.5＝4.5．∵ AB＝AH−HB，∵ AB＝39.30−4.5＝34.80．21。
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九年级数学《解直角三角形》单元测试卷
班别 姓名 学号 成绩
一、选择题: (28分，每小题4分)
1．已知∠A 是锐角，且A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 2. 在△ABC 中，90C ∠=︒，如果tanB=( ) A 、
AB AC B 、AC BC C 、BC AC D 、AB BC
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是( ) A ．c=
sin a A B ．c=cos a
A
C ．c=a ·tanA
D ．以上都不是 4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=5，AB=12，则sinA 等于( )
A 、
135 B 、 125 C 、1312 D 、5
13 5．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为( )
A ．10
B ．
C ．10或
D ．无法确定
6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=
2
2
，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形
7．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，2021m ；
线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝( )
A.甲的最高
B.乙的最低
C.丙的最低
D.乙的最高 二、填空题: (24分，每小题4分)
8．某坡面的坡度为_______度．
9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。
10．在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=
2
2
，则sinB= 。
11．在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
12．菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。
13.△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=3
1
，则S △ABC =______。
三、解答题: (48分)
14．计算(8分): 6tan 2
30°－3sin 60°－2sin 45°
15．由下列条件解题:在Rt △ABC 中，∠C=90°:(9分) (1)已知a=4，b=8，求c ．
(2)已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．
(3)已知c=2021A=60°，求a ，b ．
16. 同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
(10分，每小题5分)
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围。
请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？
17.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆AB的B点12米远的地方E处，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高CE为1.6米，则旗杆AB的高度约为多少米？(精确到0.1)(10分)
_
_E
_C
_B
18.水坝的横断面为梯形ABCD,迎水坡BC 的坡角B 为30°,背水坡AD 坡度为1:1.5,坝宽DC=2米,坝高 CF=4米,求(1)坝底AB 的长;(2)迎水坡BC 的坡度.(结果保留根号)(14分)
附加题: 某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.(10分)
_ C
_
_ D。