排列组合公式

推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有 项 x1k1 x2 k2 xn kn的系数为 。
(2x1 3x2 5x3 )
6
项，其中
x xx
3 2 1 2 3
( x1 x2 xr )n

n1 n2 nr n n1 , n2 ,, nr 为非负整数

多重集合
• 通常的“集合”具有无重性。 • 在多重集中，同一个元素可以出现多次。 • {1,2,3}是一个集合，而{1,1,1,2,2,3}不是一个集合 ，而是一个多重集，简记为{3· 1,2· 2,1· 3}。 • 计算多重集的势时，出现多次的元素则需要按出 现的次数计算。上面多重集的势为6。 • 可重组合与可重排列可以看作是多重集的组合与 排列问题。
例题
• 用4个a，4个b，2个c和2个d这12个字母能组成多少个具 有12个字母的字？
• 用字母a，b，c组成5个字母的字，每个字中a至多出现2 次，b至多出现1次，c至多出现3次。这种字的个数是多 少？
例题
• 单词mississippi中字母的排列数为？ • 求多重集{3· a,2· b,4· c}的8排列的个数？
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。 • 求解方法1 • 求解方法2
例题
• 摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多 少？ • 63=216。 • 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数 是多少？ • 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 • F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 • 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ • F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)
2、可重排列
• n个元素的r-可重排列数 • 计算（乘法原理）
例题
• 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中 ，有多少个数含有数码1？又有多少个数不 含数码1？ • 不含1:910 • 含1:1010-910+1
放球问题
• 设n≥r，把r个不同的球放入n个不同的盒子， 这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放 球的方法数为多少？ • 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理 • P(n,r)
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降路径问题 • 组合恒等式
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同的书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种 可能的结果。 • 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 • 选出-组合；安排-排列
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选取若干 个元素的问题 • 组合问题：从某个集合中无序地选取若干 个元素的问题 • 注意：可以重复 不能重复
例题
• 求26个英文字母的全排列中，任意两个元音字母 都不相邻的方案数？
例题
• Banach火柴盒问题：某数学家随身携带A,B两盒火柴，要 用火柴时就随意从其中一盒中取出一根。假定开始两个火 柴盒各放有n根火柴，问在某一次当数学家发现拿出的那 一个火柴盒变空时，另一盒中尚剩p(p<n)根火柴的概率是 多少？
例题
1、从A={a,b,c}中任取两个不同的字母构成的字共有多少个？
2、m元集合的n元子集的个数？ 3、平面上任三点都不共线的25个点，可形成多少条直线？可 形成多少个三角形？
例题
• 用26个英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的 长为8位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数 不限）
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同 的方式？ 13! 5!8! • 如果只用这十三个短划和点中的七个，则 有多少种不同的方式？
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + + + 5!2! 4!3! 3!4! 2!5! 1!6! 0!7!
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 • 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类 ，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
放球问题
• 把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可 以装任意多个球，方法数？ • 放这r个球，等价于从n个盒中选出r个来装 这r个球而允许诸盒重复选取。 • F(n,r)=C(n+r-1,r)
放球问题
• 把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可 以装任意多个球，方法数？ • 另解：把分配这r个球入n个盒子设想为这r 个球和n-1个隔板的一个排列。球是相同的 ，隔板也是相同的。 • C(n+r-1,r)
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？ • 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等 ，乘法原理 • nr • 这里n和r的大小没有限制
例子
• 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方 法？ • 23=8 • 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序
分组与分堆
限距组合：引例
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5 卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有 多少种？
6、限距组合
• 设A={1,2,…,n}，它的任一r-无重组合均可以依自 然顺序排出a1,a2, …,ar，其中a1<a2< …<ar 。设k 是非负整数，用f(k,n,r)表示A的一切满足条件ai+1ai≥k+1(1≤i≤r-1)的r-无重组合数，求f(k,n,r)。 • 求解思想：一一对应 • k=0时
项链问题
例 从1到300间取出3个不同的数，使它们的和被 3整除，有多少种取法？ 提示：将1到300这300个整数按照除以3的余数分 成3组，考虑选出的3个数属于哪些组。
例 下图中有多少个矩形？
映射
• 设映射f：{1,2, …,n} →{1,2, …,m}(n≤m) • (1) 若f是严格递增的，则不同的f有多少个？ • (2) 若f是不减的，则不同的f有多少个？
例题
• 10个人排成一排，其中有2个人不愿彼此挨着， 求所有不同的排列的数目。
• 10！-2×9！或 8！A(9,2)=2903040
• 10个人围一圆桌入座，其中有2个人不愿彼此挨 着就座，求所有不同的圆排列的数目。
• 9!-2×8!或7！A(8,2)=282240
例题
• 安排10个男生和5个女生排成一排，使任意2个女 生都不相邻的排法有多少种？
• A(10,10)A(11,5)
• 安排10个男生和5个女生围成圆圈入座，使任意2 个女生都不相邻的坐法有多少种？
例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一 个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色， 具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色 方案有多少种？
分析： 一种颜色？
n n1 n2 nr n n n x1 x2 xr r 1 2
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
放球问题
• 设n≥r，把r个相同的球放入n个不同的盒子 使得每盒至多装一个球，方法数？ • 选盒子即可 • C(n,r)
3 5
例题
• 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的 内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成 多少条线段？
多边形
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能 交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得 每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得 不同数位上的数字可以相同，有多少个？
1、 无重排列
• • • • • • n个元素的r-无重排列数： 排列的长度r 计算（一般情形）：乘法原理 r=n时,n个元素的全排列 r=0时 r>n时
可重排列与可重组合
• n个元素{a1,a2, …,an}的r-无重组合(排列)可以看做多重集 {1· a1, 1·a2, …, 1·an}的r-组合(排列) 。 • n个元素{a1,a2, …,an}的r-可重组合(排列)可以看做多重集 {∞ · a1, ∞·a2, …, ∞·an}的r-组合(排列) 。 • 有限制的排列问题可以看做多重集{n1· a1, n2·a2, …,nk·ak} 的全排列。
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15
4、可重组合
• • • • n个元素的r-可重组合 例子 计算 一一对应的思想
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少 出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥ 3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
例题
• 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二 角币中，可以有多少种方法选出六枚来？ • F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒 装糕点？ • 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？
放球问题
• 设r ≥ n，把r个相同的球放入n个不同的盒子 中，盒子中可以放入任意多个球，但不允许 空盒，方法数？ • 现在每个盒中放入一个球，再放剩下的r-n 个球 • C((r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1)
百度文库
放球问题
• 设r ≥ n，把r个相同的球放入n个不同的盒子 中，要求每一盒至少包含q个球，方法数？ • 现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn 个球 • C((r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(nnq+r-1,n-1)
例子
• 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多 少种不同的进站方法？ • [6]9=6×7×…×14 • 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ • 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子， 全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆 都得使用，问有多少种安排的方法？
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多 少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同， 选法数是多少？
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5 卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有 多少种？
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数 • 圆排列与线排列的区别 • 计算
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子 的方式有 种。 例2 把20个不同的珍珠串成项链，串项链的方式 有 种。
3、无重组合（Combination）
• • • • • • n个元素的r-无重组合数 无重组合数与无重排列数的关系 计算 r=0时 r=n时 r>n时
组合数的推广
n(n 1) (n r 1) n n! C r r! r!(n r )!
r n
R, r Z
( 1) ( r 1) ,r 0 r! 1, r0 r 0, r0
计算
1 2 3 1 2 3 1 2 0