函数项级数的基本概念
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
河海大学理学院《高等数学》11-3函数项级数
高等数学（下）
2.收敛点与收敛域:
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称 x0为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域,
n1
所有发散点的全体称为发散域.
高等数学（下）
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 x的函数 s( x),
高等数学（下）
Abel 定理的推广
(1)如果级数 an( x x0 )n 在 x x1( x1 x0 ) 处收敛,则 n0
对一切满足不等式 x x0 x1 x0 的点 x，该级数绝对
收敛;
(2)如果级数 an( x x0 )n 在 x x1 处发散,则对一 n0
切满足不等式 x x0 x1 x0 的点 x，该级数都发
第三节 幂级数
高等数学（下）
河海大学理学院
一、函数项级数的概念
1.定义:
设u1( x), u2( x), ,un( x), 是定义在 I R上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
n1
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
称 s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x)
函数项级数的部分和 sn ( x),
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
lim
n
rn
(
x)
0
( x 在收敛域上)
注意 函数项级数在某点 x 的收敛问题, 实质上是数项级数的收敛问题.
函数项级数知识点总结
函数项级数知识点总结
函数项级数是高等数学中的重要概念，它在微积分、数学分析以及其他数学领域中起着关键作用。
本文将对函数项级数的基本概念、性质以及应用进行总结和介绍。
函数项级数是由一列函数项组成的数列，通常表示为∑₀^∞(an·f_n(x))，其中an是实数或复数，f_n(x)是定义在某个区间上的函数。
在级数中，每一项都是函数项，通过求和操作得到级数的值。
函数项级数的收敛性是其中最重要的性质之一。
对于给定的函数项级数，我们可以通过求部分和序列Sn(x)来讨论其是否收敛。
如果序列Sn(x)收敛于某个函数
S(x)，我们称函数项级数收敛于S(x)。
否则，级数发散。
在函数项级数的收敛性上，我们有一些重要的判别法。
比如，比较判别法可以通过比较级数和已知的收敛级数或发散级数之间的大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项都大于已知的发散级数，那么该级数也发散；如果级数的每一项都小于已知的收敛级数，那么该级数也收敛。
此外，还有比值判别法、积分判别法等常用的判别法。
函数项级数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们常常利用函数项级数来表示波动现象；在工程学中，函数项级数可以用于电路分析、信号处理等领域。
总结起来，函数项级数是高等数学中的重要概念，包括了收敛性判断和应用等多个方面。
对于学习和应用函数项级数的人来说，熟悉其基本概念和性质是非常重要的。
通过掌握相关的判别法和应用技巧，我们可以更好地理解和解决实际问题。
函数项级数收敛性
函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。
1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
函数项级数的应用
函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。
一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。
形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。
函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。
二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。
以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。
1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。
例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。
通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。
2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。
例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。
函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。
3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。
4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。
例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。
通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。
5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。
三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。
1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。
函数项级数、幂级数
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间
.在这个区间内级数收敛，在
这个区间外级数发散.区间 关于此审敛准则问题
称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数 R 为幂级数的收敛半径.
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当 另行讨论。
时，级数的敛散性不能由准则来判定，需
例题：求幂级数 解答：该级数的收敛半径为：
性质 2：幂级数
的和 s(x)在敛区内时连续的.
性质 3：幂级数
的和 s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式：
= 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
性质 4：幂级数
的和 s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：
积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积 分。
它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中 cn(n=0,1,2,…)均为常数. 显然，当上面级数中的变量 x 取定了某一个值 x0 时，它就变为一个常数项级数。 幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把
称为幂级数的部分和。如果这部分和当
n→∞时对区间 I 中的每一点都收敛，那末称级数在区间 I 收敛。此时 sn(x)的极限是定义在区间 I 中的函
数，记作:s(x). 这个函数 s(x)称为级数的和函数，简称和，记作： 对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判
定准则。 幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数
.如果极限
，那末，当
时，幂级数收敛，而且绝对收
敛；当
时，幂级数发散，其中 R 可以是零，也可以是+ x=5 与 x=-5，级数分别为 故级数的收敛区间是[-5,5) 幂级数的性质
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
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32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
函数项数
满足不等式 x x 0 的点 x ，该级数都发散.
证明
(1) an x0 收敛, lim an x0 0,
n
n
n 0
n
高等数学（下）
M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
2 n 1
收敛 .
x ＝－ 2 时 ,
an x
2 n 1
收敛 .
高等数学（下）
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n
R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x n 0 n 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
n
a n x 收敛,即级数 an x 收敛;
n
n
n 0
n 0
高等数学（下）
(2) 假设当x x0时发散,
反设有一点x1 满足 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论， 则级数当 x x 0 时应收敛,
n
n
收敛区间( , ) .
收敛域也是 (,) .
高等数学（下）
1 n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim n a n n 1 n
n
2
n
1 1 1 1 ( , ) 0,1 收敛区间是 2 2 2 2 .
幂级数
n= 0
∑
∞
cn x n ，
cn+1 c n +1 x n +1 = lim | x | = L | x |， lim n n→ ∞ c n n→ ∞ cn x
1 当 L | x |< 1 即 x < 时，由比较判别法可知 (1) 若 0 < L < +∞ ， L ∞ ∞ 1 n n c x c x 绝对收敛； 当 L x > 1 即 > 时， x ∑ n 发散； ∑ n L n= 0 n= 0
n =1
收敛点的全体称为函数 项级数 发散点的全体称为函数 项级数
n =1 ∞
∑ an ( x ) 的
∞
收敛域在收敛域上，函数项级数的和是 x 的函数 S ( x )， 通常称 S ( x ) 为函数项级数
n =1
∑ an ( x ) 的
∞
和函数，
其定义域即为收敛域。 记为
Rn ( x ) = S ( x ) − S n ( x )
∞
称为
n =1
∑ an ( x ) 的 余和．
n→ ∞
∞
并且
lim Rn ( x ) = 0．
二. 幂级数及其收敛性
定义 2 函数项级数
n= 0 ∞
∑ cn ( x − a )n = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a )2 + L
简称为函数项级数。 称为定义在区间 I 上的 函数项无穷级数 ，
对于任一确定的值 x0 ∈ I，则
n =1
∑ a n ( x0 )
∞ n =1 ∞
∞
为常数项级数．
若 若
n =1 ∞ n =1
数列与级数的函数项级数与幂级数
数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。
本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。
一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。
函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。
其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。
函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。
函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。
如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。
函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。
函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。
这在微积分的应用中非常重要。
此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。
二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。
幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。
其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。
幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。
幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。
与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。
在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。
此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。
总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。
函数项级数的一般概念
函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.定义：.1 20 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞=++++=121)()()()(n nn x u x u x u x u {}上的函数列，称是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。
2.收敛点与收敛域：如果I x ∈0,数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛,则称0x 为级数)(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞=的所有收敛点的全体称为收敛域,. )(:1⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑∞=收敛n n x u R x K3.和函数:{}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n nk k n ∑==部分和数列。
).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞→∈函数项级数的和函数：., )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞=解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +⋅+=111)(11∞→+→n x,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛.,11>+⇒x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n nx n+-∑∞=二、典型例题板书,111)2(>+x当,11<+⇒x , 02时即<<-x 原级数发散., 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n nn , 2时当-=x .11发散级数∑∞=n n ).,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当,2 0-==⇒x x 或板书三、小结1. 函数项级数、收敛域与和函数的概念。
2. 由数项级数的收敛判别法来确定函数项级数的收敛域。
函数项级数的一致收敛
rn ( x ) =
对 X 上一切 x 都成立，则称 {S n ( x )} 在 X 上一致 一致 收敛于 收敛 S (x) 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：
∞ ∑ u n ( x) n =1
k = n +1
∑
∞
uk (x) < ε
）
定义2 定义 设 S n − S = sup S n ( x) − S ( x) 如果
但
lim ∫ S n ( x)dx ≠ ∫ S n ( x)dx
n →∞ 0 0
1
1
这就提出了一个问题：设级数 ∑ u ( x) 在 X 上收敛于 S (x)
n =1 n
∞
又设级数的每一项 un (x) 在 X 上连续。对于求导和求积， 也有类似的问题，要回答这些问题，必须引进非常重要 的概念：一致收敛 一致收敛
ε > 0 可得 N ( N 是一个仅与 ε 有关的确定的项数,它与
[a, b] 上的 x 无关),使
1 S N ( x ) − S ( x ) < ( a ≤ x ≤ b) 3 对 [a, b] 上任一点 x0 ,显然也有 S N ( x) − S ( x) < 1 3 再由 S N (x) 在点 x0 连续性,可得 η > 0 ,使 x − a < η 时 1 S N ( x) − S ( x) < 3
n =1
∞ d ∞ d ∑ un ( x ) = ∑ dxun ( x ) dx n=1 n =1
四、一致收敛级数的判别方法 定例7 定例 若对充分大的 n ，恒有实数 an ，使得 un ( x ) ≤ an 对 X 上任意的 x 都成立，并且数项级数 ∑ an收敛，则
函数项级数
+∞
的敛散性, 并求其收敛域. 解 这是等比级数.
1 当 | x | < 1 时 , 级数收敛 , 其和为 S ( x) = . 1− x 当 | x | ≥ 1 时 , 级数发散 .
故该级数的收敛域为: x ∈ (−1 , 1) . 要打开思路!
几个问题
+∞ +∞
x → x0
lim ∑ un ( x) = ∑ lim un ( x)
求收敛半径的定理
设有幂级数 an x n ∑
n =0 +∞
( an ≠ 0 (n = 0, 1, 2,L) ).
| an+1 | 1 若 lim = λ , 则其收敛半径为 R = . n →∞ | a | λ n
其中, λ = 0 时, 取 R = +∞ ; λ = +∞ 时, 取 R = 0.
n =0
+∞
当 | x | = ± R 时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x n 的收敛半径. ∑
n =0 +∞
当幂级数仅在 x = 0 处收敛时, 规定 R = 0.
当幂级数在 (−∞, + ∞) 内收敛时, 规定 R = +∞.
如何求收敛半径？
幂级数的一般形式为
an ( x − x0 ) n ∑
n =0
+∞
= a0 + a1 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 ) n + L
其中, x0 为一定点.
令 X = x − x0 , 则可将它化为前面的标 准形式 an ( x − x0 ) n = ∑ an X n ∑
函数列与函数项级数
§3.2 函数列与函数项级数一、主要知识点和方法1、基本概念函数列 收敛域 极限函数设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列{()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。
所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。
{()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为极限函数，记为()f x 。
于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞=，或记为()()Dn f x f x −−→，称{()}n f x 在D 上收敛于()f x 。
函数列一致收敛性若0ε∀>，N ∃，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<，则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()Dn f x f x −−−→一致。
函数列一致有界性若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()}n f x 在D 上一致有界。
函数项级数 和函数设{()}n u x 是E 上的函数列，称1()n n u x ∞=∑为E 上的函数项级数。
若其部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1()n n u x ∞=∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为1()()n n u x S x ∞==∑。
函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是1()nn u x ∞=∑的部分和函数列，若()()DnS x S x −−−→一致，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。
柯西一致收敛准则{()}n f x 在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，对任意x D ∈都有()()n m f x f x ε-<。
1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛的充分必要条件是：0ε∀>，N ∃，当m n N ≥>时，对任意x D ∈都有()mk k nu x ε=<∑。
第十一章 第3节 幂级数
∑x
n =0
∞
2n
1 = 1− x2
21
例7. 求级数
∑nx
n=1
∞
n
的和函数 S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当 x ∈(−1 , 1) 时
S(x) = ∑n x
n=1 =1 ∞
∞
n= x
n=1 =1
n xn−1 ∑
∞
∞
= x ∑(xn )′= x( ∑xn )′
(x ≠ 0) ,当 x = 1 时 收敛 ,
但当 0 < x ≠ 1时 , lim un (x) = ∞ , 级数发散 ;
n→∞
所以级数的收敛域仅为 x = 1
4
二. 幂级数及其收敛性质 形如
∑a (x − x )
n=0 n 0
∞
n
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) +L+ an (x − x0 ) +L
[ 2(n +1) ] ! 2(n+1) x 2 [ (n +1) ! ] [ 2 n ] ! 2n x 2 [n [ n! ]
16
(−1)n 1 n ( ) 的收敛域. 例 6 求 数∑ 级 n 1+ x n=1 由达朗贝尔判别法 解
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
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它的收敛域为 | x | 1, 发散域为 | x | 1.
n 0
在收敛域内和函数是 1 n x , x ( 1,1). 1 x n 1
1 , 即有 1 x
4
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) 定义域
n 2 x 1 x x 的和函数. 显然 lim rn ( x ) 0 (x在收敛域上) n 0
n
注
函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数 的收敛问题.
5
例 求函数项级数的 ( 1)
n 1
n 1
x 收敛域. n
3n
解 由比值(达朗贝尔)判别法
x un1 n 3 3 n 1 lim lim 3 n lim x x n u n n 1 n x n n (1) 当 x 1时, 原级数 绝对收敛;
n 0
2
2.收敛点与收敛域 定义2 设x0 (a , b), 若数项级数 un (x0 ) 收敛 (或发散) 则称x0为函数项级数 un ( x )
n 1
n 1
的收敛点 (或发散点). 函数项级数 un ( x )的
n 1
所有收敛点 (或发散点) 称为其收敛域 (或发 散域).
函数项级数的基本概念
1
函数列和函数项级数
1.定义 定义1 设u1 ( x ), u2 ( x ), un ( x )为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) n 1
称为定义在(a, b)内的函数项级数. 如 级数 x n 1 x x 2
总之,所讨论的级数的收敛域为区间 ( 1,1].
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛, 哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
7
幂 级 数
作 业
8
3
3.和函数
定义3
设{ sn ( x )} 为函数项级数 un ( x lim s( x ) s( x ), x (a , b) 存在, 则s(x)称为函数项级数 un ( x )的和函数.
n x 1 x x 如, 等比级数
(2) 当 x 1时, 原级数 发散.
6
3 n 3
(3) 当 x 1
即x 1, x 1时，
n 1 n 1
n 1 ( 1 ) n 1
x 3n n
级数为 ( 1) x 1时 ，
1 , 条件收敛 n
1 级数为 , 发散 x 1时 ， n 1 n
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域. 1 时 , 它的定义域是 一般考虑函数 s ( x ), lim sn ( x ) s( x ) 函数项级数的部分和 1 n x n ( ,1) (1,), 但只有在 D ( 1,1)上, 它才是 余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )