量子力学导论习题答案(曾谨言)

第三章一维定态问题

3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，

⎩⎨

⎧∞<<<<=其余区域

,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？

解：能量的本征值和本征函数为

m

E y

x n n 222π =

)(2

22

2b n a n y

x +

,2,1, ,sin

sin

2==

y x y x n n n n b

y

n a

x

n ab

y

x

ππψ

若b a =，则 )(2222

22y x n n n n ma

E y

x +=π a

y n a x n a y x n

n y

x

ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11'

'

==y x n n ）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

⎩

⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为

)(2222

222

22c

n b n a

n m n n n E z

y

x

z

y x +

+=π ,

,3,2,1,, ,

sin sin sin 8

==

z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z

y x πππψ

当c b a ==时，

)(2222222z y x n n n ma

n n n E z y x ++=π a

y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin

sin sin 22

3

⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；

z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)

9,6,3()10,5,1(20

86161210)

11,3,1()9,7,1(10438652

22222

2

22222

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，

⎩⎨

⎧><∞<<=a

x 0, ,0 ,0),(x a x y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子

)61(12)x -(x ,22222π

n a a x -==

讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n 个本征态，其本征函数

x a

n a x n πψsin 2)(=

. 2

sin 2022

0a xdx a n x a dx x x a a

n

分部⎰⎰==πψ （1）

4

)(2

2

2

2

2

2

a dx x x x x x n

a

-=-=-⎰ψ

4

)2cos 1(212202a dx a x n x a a --⋅=⎰π

)61(12222π

n a -= （2） 在经典情况下，在()a ,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x x dx →+范围的几率为a

dx ，故

2

a

a dx x x a

=⋅

=⎰ ， （3） 3

20

2

2

a a dx x x a

=⋅=⎰

，

4

3)(2

22

2

2

a a x x x x -=-=- （4）

当∞→n 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，

⎩⎨

⎧<∞<=2

,2

,0),(a x a x y x V 处于基态)1(=n ，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 a

x

a πψcos 21=

, （参P57，（12））

2cos

22cos 12cos 112121121

)(2

11

cos 221)(2

2223

22222

2)()(2

222pa

p a q pa p a pa p a a e e p a i e e p a i a dx e e a dx e e e

a dx a

x a e p a p a i a p a i a p a i a p a i a

a

p a i p a i a x

i a x i a

a ipx

a

a ipx

-=

⎪⎪⎭⎪⎪⎬

⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+

+-=⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=+⋅=

⋅

=

∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-------⎰⎰

⎰ππππππππππππφππππππππ

动量的几率分布()

2cos 4)()(2

2

2222

3

2

pa p a a p p -=

=π

πϕρ 3.5）设粒子处于半壁高的势场中

⎪⎩

⎪

⎨⎧><<-<∞=a

x a x V x V ,00,

x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .:

a

x ,0)()(a x 0 ,0)()(22

"2

12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2）

其中 ()'2

202

2

22, k E

k V E μ

μ=

+=

（3）

方程的解为

kx

kx

x ik x ik De

Ce x Be Ae x --+=+=)()(21'

'

ψψ （4）

根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则

0=C