可交换矩阵

可交换矩阵

目录

1矩阵可交换的几个充分条件和必要条件定理1

1定理2

1定理3

1定理4

1定理5

1定理6

1可交换矩阵的一些性质性质1

1性质2

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满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：A·B=B·A。高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵.。

编辑本段矩阵可交换的几个充分条件和必要条件

定理1

下面是可交换矩阵的充分条件：(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵,则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与A 可交换; (8) 设AB = E ,则A , B 可交换.

定理2

(1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换.

定理3

(1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A ,

B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 矩阵可交换的几个充要条件

定理4

下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A

+ B) (2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ; (3) ( AB)′= A′B′; (4) ( AB)= AB 定理5

可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：(AB) = A ·B .

定理6

(1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;

(2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.

编辑本段可交换矩阵的一些性质

性质1

设A , B 可交换,则有: (1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数;

(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; (3)

A -

B = ( A - B ) ( A + A B ⋯+B ) = ( A + A B + ⋯+ B) ( A - B) (4) ( A + B )^m =

(矩阵二项式定理)

性质2

设A , B 可交换, (1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵; (2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵; (3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵; (4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.