第9章 相似性原理与量纲分析
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由雷诺数模型律，有
2020年3月22日星期日
流体力学
设
pn nvn2
pm mvm2
无量纲数
p Eu v 2
Tianjin Institute of
欧拉数表征压Ur力ba（n C差on）struction 和惯性力之比
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
向相同）
vn vm
un um
v
λv——速度比尺
时间比尺
t
tn tm
ln lm
vn vm
பைடு நூலகம்
l v
加速度比尺
a
v t
v2 l
运动相似是实验的目的
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of
（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一U比r例ba）n Construction
(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何 将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。
本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及 工程传热学等有关学科。
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
【教学重点】
力学相似的内涵； 各相似准则的定义与物理意义； 相似模型律的应用* π定理及其应用 *
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
（a）原型
(b)模型
图1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动
2020年3月22日星期日
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2020年3月22日星期日
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力 与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的 试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小， 也可利用放大的模型进行实验。 而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定， 介质的选取。
水力学
给
第一节 力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction
力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间互相平行，并且互成一定的比例。
（1）几何相似（流动空间几何相似）
ln lm
dn dm
l
λl——长度比尺
n m
2020年3月22日星期日
流体力学
设
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
Tianjin Institute of Urban Construction
2020年3月22日星期日
流体力学
设
（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
2020年3月22日星期日
流体力学
设
第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
Fn FIn Fm FIm
改成
FIn FIm Fn Fm
怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？
设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究 两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可 压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条 件，应有
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
v2 gl
Tianjin Institute of
弗诺德数表U征rb惯an性Co力nstruction 与重力的相对比值。
Frn Frm 重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。
（3）欧拉准则——压力是主要的力
FPn FIn FPm FIm
改成
FPn FPm FIn FIm
FP pl2 FI l2v2
2020年3月22日星期日
流体力学
设
F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
Re n Re m 粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。
2020年3月22日星期日
流体力学
设
（2）弗诺德准则——重力是主要的力
Tianjin Institute of Urban Construction
FGn FIn FGm FIm
改成
FIn FIm FGn FGm
FGm g g3l
FI l2v2
v
2 n
v
2 m
gnln gmlm
2020年3月22日星期日
流体力学
设
无量纲数 F r
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流体力学
设
pn nvn2
pm mvm2
无量纲数
p Eu v 2
Tianjin Institute of
欧拉数表征压Ur力ba（n C差on）struction 和惯性力之比
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
向相同）
vn vm
un um
v
λv——速度比尺
时间比尺
t
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ln lm
vn vm
பைடு நூலகம்
l v
加速度比尺
a
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运动相似是实验的目的
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of
（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一U比r例ba）n Construction
(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何 将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。
本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及 工程传热学等有关学科。
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
【教学重点】
力学相似的内涵； 各相似准则的定义与物理意义； 相似模型律的应用* π定理及其应用 *
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
（a）原型
(b)模型
图1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动
2020年3月22日星期日
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2020年3月22日星期日
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力 与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的 试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小， 也可利用放大的模型进行实验。 而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定， 介质的选取。
水力学
给
第一节 力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction
力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间互相平行，并且互成一定的比例。
（1）几何相似（流动空间几何相似）
ln lm
dn dm
l
λl——长度比尺
n m
2020年3月22日星期日
流体力学
设
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
Tianjin Institute of Urban Construction
2020年3月22日星期日
流体力学
设
（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
2020年3月22日星期日
流体力学
设
第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
Fn FIn Fm FIm
改成
FIn FIm Fn Fm
怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？
设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究 两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可 压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条 件，应有
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
v2 gl
Tianjin Institute of
弗诺德数表U征rb惯an性Co力nstruction 与重力的相对比值。
Frn Frm 重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。
（3）欧拉准则——压力是主要的力
FPn FIn FPm FIm
改成
FPn FPm FIn FIm
FP pl2 FI l2v2
2020年3月22日星期日
流体力学
设
F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
Re n Re m 粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。
2020年3月22日星期日
流体力学
设
（2）弗诺德准则——重力是主要的力
Tianjin Institute of Urban Construction
FGn FIn FGm FIm
改成
FIn FIm FGn FGm
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v
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2020年3月22日星期日
流体力学
设
无量纲数 F r