复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

yn
n1
n1
推论：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
级 数 收敛。
zn
n 1
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性质：
1、
zn收敛
n1
2、
zn收敛
n 1
得n>N时，
zk 0 {zk}有界； > 0，存在N，使
| zn1 zn2 zn p |
3、 (zn wn ) zn wn
6/16/2020 n1
yn
n1
n1
证明：“ ”假设 | xn |， | yn | 收
n1
n1
敛，则 (| xn | | yn |) 收敛，由于
n 1
|zn|≤|xn|+|yn|，可知 | zn | 收敛。
n1
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定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
复数项级数和序列
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1
复数序列
复数列即有序的复数集
{zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
记作
lim | zn z0 | 0
n
lim zn z0
n
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2
复数列的极限归结为实数列的极限
lim zn z0 lim | zn z0 | 0
n
zn n ， 为复数。
（1）| |<1，此时
| zn || |n 0
可知 lim zn 0 n
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。 （2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
在单位圆上运动。
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
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定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
yn
n1
n1
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定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n 1
n 1
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例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
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例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的 极限为0
|
zn
k 1
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6
收敛性：若 lim Sn S ，则称级数 n
zn 收
n 1
敛，记作 S zn
n 1
若{Sn}发散，则称级数 zn 发散。
n 1
若 | zn | 收敛，称级数 zn 绝对收敛。
n 1
n1
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7
对应的实数项级数
xn x1 x2
n 1
yn y1 y2
n
lnim
|
xn
x0
|
0
lnim | yn y0 | 0
lnim lnim
xn yn
x0 y0
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性质1 线性性质
， C，lim zn z0，lim wn w0
n
n
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
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4
性质1 线性性质
，
C，lim n
zn
z0，lnim wn
zn n ， 为复数。
（2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein 。
当
=2k
，即
=1时，显然有
lim
n
zn
1。
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
（2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得 当m，
n>N时，| zm
zn |
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复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
|| 百度文库 i )n 2
|
1 2n
0
可知
lim
n
zn
0
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例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（2）由余弦函数的定义
zn
cos in
1 2
(en
en )
(n 0)
可知数列 zn cosin 发散。
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n 1
xn yn
部分和
n
X n xk x1 x2 xn
k 1
n
Yn yk y1 y2 yn
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k 1
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定理：复数项级数 zn 收敛于S
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
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定理：复数项级数 zn 收敛于S
| zn || |n
可知极限不存在。
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
yn
n1
n1
证明：“ ”假设 | zn | 收敛，由于
n 1
|xn|≤|zn|，|yn|≤|zn|，可知
| xn | ，| yn | 收敛。
n 1
n 1
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定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein 。
当
=2k
，即
=1时，显然有
lim
n
zn
1。
当 ≠2k，| zn zn1 || ein ei(n1) | |1 |
6由/16/2C02a0 uchy收敛准则知极限不存在。
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
（3）| |>1，此时有
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
分析与解： 类似于实数列情形，应该以1为临界
点分为三种情况： （1）| |<1，（2）| |=1，（3）| |>1
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例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中