数值分析(研究生)第七章常微分方程的数值解法二.

利用k+1 个节点上的被积函数值 fi+1 , fi , …, fi-k+1 构造 k 阶 牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列 ~ k + 2 ( k + 2) ~ 隐式公式，并有 Ri = Bk h y (i ) ，其中 Bk 与 fi+1 , fi , …, fi-k+1 的系数亦可查表得到.
y( xi +1 ) - y( xi ) =
xi +1 xi
f ( x, y( x))dx
xi +1
i
只要近似地算出右边的积分 I k f ( x, y( x ))dx ，则可通 x 过 yi +1 = yi + I k 近似y(xi+1) .而选用不同近似式 Ik，可得到不 同的计算公式.
5 12 37 24 -
Misprint on p.106
9 24
5 12
3 8
251 720
…
常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式
y i +1 h = yi + (55 f i - 59 f i -1 + 37 f i - 2 - 9 f i - 3 ) 24
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亚当姆斯隐式公式
0 0
1
1
yi +1 = yi + h N k (xi + t h) dt
0
1
/* 显式计算公式 */ Newton
1
局部截断误差为： Ri = y( xi +1 ) - yi +1 = h Rk ( xi + t h) dt
0
插值余项
例1 k=1 时有 N1 ( xi + t h) = f i + t f i = f i + t ( f i - f i -1 )
kБайду номын сангаас0 1 fi+1 1
1 2 5 12 9 24 1 2 8 12 19 24
fi
f i- 1
f i- 2
…
Bk
1 2
~
小于Bk
1 12 5 24 1 24
-
1 12
2
3
1 24 19 720
…
常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式
y i +1 = y i + h (9 f i +1 + 19 f i - 5 f i -1 + f i - 2 ) 24
y(xi+1). 其通式可写为：
yi +1 = a0 yi + a1 yi -1 + ... + ak yi -k + h(b-1 fi +1 + b0 fi + b1 fi -1 + ... + bk fi -k )
基于数值积分的构造法
将 y = f ( x , y ) 在 [ xi , xi +1 ] 上积分，得到
h yi +1 = yi + h [ f i + t ( f i - f i -1 )] dt = yi + ( 3 f i - f i -1 ) 0 2
1
Ri = h
1
0
d 2 f ( x , y( x )) 1 5 3 t h ( t + 1 ) h dt = h y ( i ) 2 dx 2! 12
251 5 ( 5 ) h y ( i ) 4阶Adams显式公式的截断误差为 720 19 5 ( 5 ) y ( x ) y = h y ( i ) 4阶Adams隐式公式的截断误差为 i +1 i +1 720 y( x ) - y 251 当 h 充分小时，可近似认为i i ，则： y( xi +1 ) - yi +1 - 19 i +1 i +1 y ( x i +1 ) - y i +1 =
…
…
…
…
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较同阶显 式稳定
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亚当姆斯预测-校正系统
Predicted 注意：三步所用公 value pi+1 Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值； 式的精度必须相同。 通常用经典RungeStep 2: 用Adams 显式计算预测值； Kutta 法配合4阶 Adams 公式. Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值.
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亚当姆斯显式公式
利用k+1 个节点上的被积函数值 f i , f i -1 , ... , f i -k 构造 k 阶牛顿 后插多项式 N k ( xi + t h) , t [0, 1], 有

xi +1 xi
f ( x, y( x))dx = N k ( xi + t h) h dt + Rk ( xi + t h) h dt
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例2 给 出 一 个 三 步 显 式 格 式 y n+1 = y n + h(af n-1 + b f n- 2 ), 其 中f n = f ( x n , y n ). 试 用Taylor 展开原理确定 a、b ， 使 该 公 式 具 有 尽可能高的阶 .
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§5 收敛性和稳定性
第七章 常微分方程的数值解法（二）
第四节 第五节 第六节 第七节 线性多步法 单步法的收敛性与稳定性 一阶方程组和高阶方程 边值问题的数值解法
§4 线性多步法
当 b-10 时，为隐式公 式; b-1=0 则为显式公式. 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似 f j = f (xj , yj )
一、收敛性
定义 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h0
( 同时 i ) 时有 yi y( xi )，则称该算法是收敛的. 例3
y = y 就初值问题 y (0) = y0
251 ( y i +1 - y i +1 ) 270 19 y ( x i +1 ) y i +1 ( y i +1 - y i +1 ) 270 y ( x i +1 ) y i +1 +
外推技术 Modified final Corrected Modified /* extrapolation */ value valuey c i+1 value m i+1 i+1
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注：一般有 Ri = Bk hk +2 y( k +2) (i ) ，其中Bk 与yi+1 计算公式
中 fi , …, fi-k 各项的系数均可查表得到 .
k 0 fi 1
3 2 1 2
f i- 1
f i- 2
f i- 3
…
Bk
1 2
1
2 3
23 12 55 24
-
16 12 59 24