1.1.7柱锥台球的体积公开课

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数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积 Word版含解析

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题型一题型二题型三题型四题型五
【变式训练1】如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC-
A1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱
ABC-A1B1C1的体积为
.
解析：由三视图可知:在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在底面
-3-
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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123
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【做一做1】已知一斜棱柱的底面积为S,上、下两底面间的距
离为h,则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为
.
答案：Sh
-4-
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
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典例透析随堂练习Fra bibliotek123
2.柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
2
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-12-
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1
2
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在(2)中,如图③,从割补的过程中,我们不难发现在割补前后斜棱
柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧面积没有变化,体积也没有发生变化. 名师点拨在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积公式中都有个 .三13 棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的,根据这一思想还可以求一些简单的距离问题.

人教B版数学必修二课件：第1章 1.1 1.1.7 柱、锥、台和球的体积

C [圆锥的高 h＝ 52－32＝4，故 V＝13π×32×4＝12π.]
3．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝43πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作探究提素养
求柱体的体积【例 1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm，高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13，在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)．故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称棱柱
柱体圆柱
锥体
棱锥圆锥
台体
棱台圆台
球
体积(V)
_S_h__
πr2h 1 3Sh 13πr2h
13h(S＋ SS′＋S′) 13πh(r2＋rr′＋r′2)
则 O1B1＝ 2 cm， OB＝2 2 cm，过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M，那么 B1M 为正四棱台的高，在 Rt△BMB1 中， BB1＝2 cm，MB＝(2 2－ 2)＝ 2 (cm)．
根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2 ＝ 22－ 22＝ 2(cm)． S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)， ∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝238 2 (cm3)．

1.1.7柱锥台球的体积--公开课PPT课件

3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和.
.
18
作业
P32：练习A组1、2；练习B组2；习题1-1A组10；习题11B组4、5、6
.
19
.
20
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。
V V A1
解:
下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．7 5 c m
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
（429年～500年）
.
6
问题：两个底面积相等、高也相等的柱体或锥体的体积如何？
.
7
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
.
8
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1.1.7柱、锥、台和球的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关
的实际问题.（难点）
.
2
一、问题： ⑴若长方形的长和宽分别为a和b，你能表示它
的面积吗？ S长方形＝ab
⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的体积如何计算呢？

课件5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

[跟踪训练] 1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，母线长为 2，则这个圆台的体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，
则 S 上＝πr2＝π，S 下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，∵l＝2，
∴h＝
3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
3＝7
所以体积为13×(
2)2×
3＝2
3 3，所以该几何体的体积为
2π＋2
3
3 .
[答案] C
【规律方法】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解． (2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
(×)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积
( ×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
2. 如图所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，
则三棱锥 D1-ACD 的体积是
()
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
答案：A
3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是________．解析：由已知圆锥的高 h＝4，所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π 4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝122＝6(cm)，故其体积为 V＝43πR3＝43×π×63＝288 π(cm3)．答案：288π
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面

课件3：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

典型例题由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13，在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5， OE＝12AB＝10，
典型例题
∴O1O＝ E1E2－(OE－O1E1)2＝12， V 正四棱台＝31×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
典型例题 ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝ 23R＝ 3 (cm)，∴R＝2 cm， ∴V 球＝43πR3＝332π(cm3)，S 球＝4πR2＝16π(cm2). 即球的体积为332π cm3，表面积为 16π cm2.
方法归纳
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
∴AE＝ 23×6＝3 3.∴AH＝32AE＝2 3.
课堂检测在△ABC 中， S△ABC＝12BC·AE＝21×6×3 3＝9 3. 在 Rt△SHA 中，SA＝ 15，AH＝2 3， ∴SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×9 3× 3＝9.
方法归纳
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.
跟踪训练
3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.”
跟踪训练解：如图，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，
知识梳理
教材整理2 柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′ 和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.

1.1.7柱、锥、台和球的体积第二课时

A'
B'
D
C
解：正方体 ABCD A' B'C' D'中，三棱柱 A' ABD
A
B 的底面积为 a2 ,高为A' A a
2
VA' ABD

1. 3
a2 2
.a

1 6
a3
变式1.正方体ABCD-A'B'C'D'中，用截面截下一个三棱锥A'-ABD，求棱锥A'-ABD的体积与剩余部分的体D' 积之比？ C'
解：正方体ABCD A' B'C' D'中，VABCDA'B'C'D' a3
A'
B'
三棱柱A'
ABD的体积VA' ABD

1 3
.
a2 2
.a

1 6
a3
V剩余
VABCD A'B'C 'D'
VA' ABD

a3

1 6
a3

5 6
a3
D
VCA' ABD：V剩余 1: 5
A
思维导图
知识：锥体的体积台体的体积
思想：化归类比
3.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥和圆柱
２．将圆锥倒立放入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等

课件2：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

1.1.7 柱、锥、台和球的体积
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
B'
A
C'
C
B
B
C' B'
C
四. 棱台和圆台的体积
1.
V台体=
1 3
(S
SS ' S ')h；其中S、S’分别为台体上、
下底面面积，h为台体的高.
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其中r、R分别为圆台的上、下底面
的半径，高为h.
P
A'
S'
D' O'
B'
C'
h
A
D
OS
B
C
x s' xh s
3
谢谢！
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.
二. 棱柱和圆柱的体积柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 即
x h s' s s'
S'
x
S
h
V台
1 3
S（h
x)
1 3
S'x

课件8：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2，
O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x.
又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
解得
x＝7 4
2.则
O1A＝O1B＝O1C＝9
4
2 .
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理得(R2)2＋(9
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1．长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为V长方体＝ abc . (2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积 V长方体＝ Sh .
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
4
2)2＝R2.解得
R＝3
2
6 .
故 S 球＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[通一类]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球
的体积是其余两个球的体积之和的
()
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为 x,2x,3x，则最大球的半径为 3x，其体积为43π×(3x)3，其余两个球的体积之和为34πx3＋43π×(2x)3， ∴43π×(3x)3÷[43πx3＋43π×(2x)3]＝3.
[通一类] 2．一个边长为2的正三角形，绕它的对称轴旋转一周，如图，求所得几何体的体积．
解：正三角形 SAB 绕对称轴 SO 旋转一周，得到

原创1：1.1.7 柱、锥、台和球的体积（讲授式）

2
所以V圆锥∶V球∶V圆柱＝( πr h)∶( πr3)∶(πr2h)

3
＝( πr )∶( πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.

典例精析
球的表面积与体积的求法
例4 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求
这个球的表面积．
解：要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面(过直径的球的平面)．
课堂小结
总结本节课的学习内容
课时小结：（师生互动，共同归纳）
本节课我们学习了哪些知识内容？
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、
台体的体积
1
台体 V 3 ( S S S S )h
S ' 0
1
锥体V Sh
3

球的体积V= π ，表面积S=4π .

第
一
章
：
空
间
几
何
体
2．过程与方法
(1)让学生通过几何体侧面展开图的形状，感知几何体的结构；
(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体、三者间的体积的关系.
学习目标
三维目标及重难点分析
3．情感、态度与价值观
通过和谐对称的图形，给予学生以数学美的享受，同时培养学生
求知、求实、勇于探索的情感与态度．
4.重点与难点
重点：了解柱体、锥体、台体、球的体积与球的计算公式及其应用．
球的表面积．
解：如图，设O′为截面圆圆心，则OO′⊥O′A，
O′A为截面圆半径，OA为球半径．
∵48π＝π·AO′2,∴AO′2＝48.

课件9：1.1.7 柱、锥、台和球的体积

∴2R＝ 3a，R＝ 23a. ∴V＝43πR3＝43π 23a3＝ 23πa几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．
跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台
的侧面积之比为 3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 ( )
3．直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1
上的点，而且满足 AP＝C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( B )
1 A.2V
1 B.3V
1 C.4V
2 D.3V
【课堂小结】
1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补” 前后几何体体积之间的数量关系．
由已知 S 球∶S 圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，
(Vr1球＋∶rV2)2圆＝台＝13613Rπ2.r21＋43r1πrR2＋3 r22·2R ＝r1＋r22R22－r1r2＝136R22R－2 R2＝163，故选 A.
【答案】A
【当堂检测】
1．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为 ( B )
答体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
小结祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
探究点二棱柱、圆柱和球的体积问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？答应用祖暅原理可以说明它们的体积相等．问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答如果设 S 为底面面积，h 为高，一般柱体的体积公式为 V 柱＝Sh. 问题 3 底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示？答 V 圆柱＝Sh＝πr2h.

人教B版高中数学必修二1.1.7 柱、锥台和球的体积教学课件

高为 3 ，求这个正四棱锥的体积.
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8，将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x

高中数学人教新课标B版必修2《1.1.7柱、锥、台和球的体积》课件

锥体的体积
E
G
A
C
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
GALeabharlann CCB锥体的体积
EE
G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
E
E
锥体的体积 G
A
C
C
B
锥体的体积
S为底面积,h为高.
h
s
h
s
3、棱台和圆台的体积台体的体积可以用两个锥体的体积的差来计算。
若台体的上下底面积分别是s/,s,高是h，则
x
s/
s/
h
s
s
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系呢？
V柱体=sh
s/
S=S’ s
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
s/
S/=0
s
V锥体=
s
4、球的体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
祖暅是我国古代南北朝时期（5世纪）的数学家，他在总结前人研究的基础上，总结出这个原理，在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实。

人教高中数学B版必修二1.1.7柱锥台球体积课件(共34张PPT)

23a3
3a3
2
练习1、已知直三棱柱底面的一边长为
2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为
4cm，求它的体积。
82
练习2、已知正四棱锥的都侧是面等边三角形，它的斜高 3，为求这个正四
棱锥的体积。 4 2
3
练习3、圆台的上下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，求圆台的体积。
224
练习4、(1)如果圆柱的底面半径不变，要使它的体积扩大到原来的5倍，那么需要把它的高扩大到原来的多少倍？
S
1 2
a
h
h
a
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
取一摞纸张放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
1、两个等高的几何体 2、若在所有等高处的水平截面的面积相等则这两个几何体的体积相等。
等体积法
等高、等截面面积（不受截面形状影响）体积相等
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，
母线长10，则圆台的体积为（ B ）（A）672π （B）224π
（C）100π （D） 5 4 4 3
思考:已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
(方法1)
D1
求：棱锥C1-BA1D的体积？ C1
A1
B1
D
O
A
C B
练习3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1C.1
V柱=sh
V锥=？
3V锥体V柱体
V锥体 13V柱体 13Sh
V圆锥
1r2
3
h
三、台体的体积
S（下底面 S（积上）底、面 h（积高

高二数学(人教B版)必修2课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)

书少成天勤什怀劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
普通高中课程标准数学2(必修)
第一章立体几何初步
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普
通柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
高
中
课
上底扩大
上底缩小
程
标
准
VSh S' S V1(S' S'SS)hS ' 0 V 1 S h
3
3
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三、概念形成
普概念4.球的体积通高中课程标准
S
33
3 23
SD SB 2B D 2a2 3 3a 23 6a
A D
M
S A B C 1 2A C B M 1 2 a 2 3 a 4 3 a 2
B
C V S A B C 1 3 S A B C • S D 1 3 4 3 a 2 3 6 a 1 2 2 a 3
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高中
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
课解：过点S作 S D ，平面 A B C 于D．连接BD并延长交AC于
程标准
依据正棱锥的性质，则D为底面正三M角。形的中心，M为AC 中点。
Q B C a , B D 2 B M 2 B C 2 C M 2 2 a 2 ( a ) 2 3 a