高观点下的中学几何研究
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、本文概述《“高观点”下的中学数学的实践与认识》是一篇旨在探讨如何在中学数学教育中融入高观点教学理念的文章。
文章首先介绍了“高观点”教学理念的定义和内涵，指出这种教学理念对于提升学生数学素养、培养学生的创新能力和解决问题的能力具有重要意义。
接着，文章分析了当前中学数学教育面临的挑战，如教学内容单教学方法陈旧、学生缺乏实践机会等问题，并提出了在“高观点”下解决这些问题的策略和方法。
文章强调，中学数学教育的目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。
因此，文章提倡将高观点教学理念引入到中学数学教学中，通过引导学生从更高的层次和更广阔的视角去理解和应用数学知识，提升学生的数学素养和创新能力。
文章还指出，实现这一目标需要教师不断更新教育观念，改进教学方法，为学生提供更多的实践机会和探究空间。
在文章的结构上，本文先对“高观点”教学理念进行阐述，然后分析当前中学数学教育的问题和挑战，接着提出在“高观点”下解决这些问题的策略和方法，最后对实施这些策略和方法可能遇到的困难和挑战进行讨论和展望。
通过这篇文章，我们希望能够引起广大中学数学教师和教育管理者的关注，共同推动中学数学教育的发展和进步。
二、“高观点”下的中学数学教学实践“高观点”下的中学数学教学，不仅要求教师对数学知识有深入的理解和掌握，还需要他们具备从更高层次、更宽广的视角去看待和教授数学知识的能力。
这种教学方法的实践，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
将高等数学的知识和思维方法引入中学数学教学。
高等数学的知识和思维方法往往具有更高的抽象性和普适性，能够帮助学生更好地理解和掌握中学数学知识。
例如，在中学数学中引入微积分、线性代数等高等数学的知识，可以帮助学生更好地理解函数的性质、变量的变化等概念。
注重数学知识的应用和问题解决。
数学是一门应用广泛的学科，将数学知识应用到实际问题中，能够帮助学生更好地理解数学的应用价值，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施
刍议“高观点”视角下的初中数学教学措施发表时间：2020-11-02T15:58:29.723Z 来源：《中国教师》2020年第19期作者：王桂梅[导读] 早在19世纪末20世纪初，“高观点”这一意识形态逐渐被人们所熟知。
王桂梅山东省滨州市阳信县翟王镇中学山东滨州 251800摘要：早在19世纪末20世纪初，“高观点”这一意识形态逐渐被人们所熟知。
“高观点”视角下的初中数学教学，并不意味着将高等数学迁移至初中数学教学过程当中，而是指运用高等数学的知识和方法来处理初中数学的问题。
只有从高等数学的角度解决初中数学教学过程中的难题，初中数学教学才能更加通俗易懂、易于学生解决。
本文在分析“高观点”视角的基础上，提出一系列“高观点”视角下的初中数学教学措施，以期能够有效简化初中数学难题，提高教学质量。
关键词：高观点；初中数学；教学措施在“高观点”视角下的初中数学教学中，要求教师站在高等数学的角度审视、处理初中数学问题，只有这样才能使初中数学问题变得简单、明了。
作为一位初中数学教师，应当充分掌握数学的各种概念和方法。
同时，还应当了解数学教育发展的全过程。
在初中数学教学过程中，教师应当具备极强的语言表达能力，运用通俗易懂的语言向学生传授一些高等数学的解题思路和方法，从而有效加快学生的学习效率，提高教学质量。
一、运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念“高观点”这一概念是由19世纪末20世纪初世界上最具有影响力的哥廷根学派的创始人克莱因提出的。
“高观点”视角下初中数学教学工作中，教师应当运用“高观点”的思想，转变初中数学教学理念，加深学生对数学知识的理解。
在初中数学中的化归思想，顾名思义就是将教学过程中遇到的不易解决的问题转化为易于解决的问题。
例如，教师在教学初中数学中的《二次函数》一课时，对于抛物线的图像，教师首先可以将这一数学知识概念分为三个较为简单的二次函数，如、、.其次，教师可以告诉学生运用数形结合、类比的方法将这四个二次函数互相转化，如“对于，我们可以先将这个函数的图像画出来，然后将这个图像通过上下平移或左右平移得到”，从而进一步引出本节课的教学重点.在这一教学过程中，教师结合旧知识引进新知识，将晦涩难懂的问题转化为简单易懂的问题，可以使学生轻松接受新概念。
高观点下的中学代数试题解题方法初探
高观点下的中学代数试题解题方法初探1 研究背景“高观点”是指使用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、方法以及思想来解决和分析初等数学中的问题。
共包含3个方面的内容：现代数学的思想和方法在中学数学中的渗透;高等数学对中学数学的具体指导;中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析。
新课程标准指出，为了在大学中学习数学打下基础，高中阶段的学生应该具备更高的数学素养。
新课程改革之后，中学的数学教学内容和高考题中均增加了高等数学的内容和问题，主要包括分析、几何等内容。
通过相关文献的查阅发现，有160余篇文章研究高等数学与中等数学的关系。
这些文章可分为三类：高等数学对于中等数学教学的启示;高等数学对于高考题的编制与解答的应用;中等数学教学中高等数学的应用现状。
如：2021年周玛莉、张劲松在《高观点的数学思想对数学教学的启示》一文中，对某市的中小学教师进行了相关问卷调查，而后统计中发现，93.06%的老师对现代数学几乎没有了解，很少关注高观点下初等数学的老师占总共的80. 56%。
2021年闫李铮、李三平的《中学数学教学中高等数学的应用现状及原因浅析》一文[]，对深圳多所学校进行了相关的问卷调查，通过回收问卷中的数据发现，对高等数学内容遗忘较多占61%，并且大部分教师在课堂中不会使用高等数学的知识和思想，偶尔会在课堂中运用高等数学的教师不足10%。
这表明了很多老师对于高等数学的遗忘较多，了解太少，在教学中很少涉及高等数学的内容，所以对于高观点下的初等数学的研究很有必要。
已有的高观点解题的研究，大都是较为宽泛。
为了提高中学生的数学素养，需要对高观点下的解题进行详细的研究。
本研究选择中学代数的典型试题，对初等数学和高等数学的解题方法进行比较，以此分析高观点给初等数学解题带来的简洁性和一般性，从而更好的认识数学问题的实质。
2 研究实例2.1 数学分析對中学数学试题的作用例题1：求实数x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值分析：对于中学生，解决此题有两个方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展开所有项数，那么项数过多，难度太大;如果使用均值不等式，那么从何人手？在哪里使用均值不等式又是难点。
“高观点”下柯西不等式的应用探究
“高观点”下柯西不等式的应用探究**基金资助：湖南人文科技学院校级教改课题RKJGY1819.湖南省娄底市湖南人文科技学院(417000) 莫元健龙承星摘要本文总结了柯西不等式在中学数学和高等数学中的应用，并分析了如何利用高等数学中柯西不等式中的思想 和方法来指导中学数学.关键词 高观点; 柯西不等式; 解题应用柯西不等式作为高中数学新课程中的新增内容,其形式简洁，应用广泛，极具解题魅力.近年来，无论是高考试卷还 是数学不同学科的题目中都越来越多地岀现了与柯西不等式相关的题目.用高等数学中柯西不等式的思想渗透到中学 数学中，对解决中学数学中某些不等式的证明或灵活并巧妙地在不同数学学科中应用柯西不等式，将得到岀奇制胜、事半功倍的效果.1柯西不等式1.1柯西不等式的定义在中学中我们熟知柯西不等式的左边是平方和的乘积， 右边是乘积和的平方.但在高等数学中，柯西不等式这一定义表达形式将得到延伸，它不仅形式多变，其应用范围也从中学中二维形式、三维形式演变成高等数学的向量、积分等 形式.柯西不等式不同形式的推广，是求解常见不等式问题的 过渡桥梁,柯西不等式在中学数学和高等数学中都有着明确定义，如表1所示：1.2柯西不等式的应用范围柯西不等式被广泛应用于初等数学、高等代数、微积分、线性代数、概率论等领域，其在不同领域有不同形式闵柯西不等式有很多种证明方法，不同方法优劣不一，我们在认真 了解不同方法证明的条件和特点的同时可推岀柯西不等式 的各种推广公式.表1柯西不等式的形式比较中学数学中常见形式高等数学中常见形式1、 二维形式(a 2 十 b 2) (c 2 十 d 2) 2 (ac 十 bd )2,其中(a,b,c,d e R ),当且仅当ad = bc 时,等号才成立2、 三维形式(a i b i + a 2b 2 + a 3b 3)2 <(a 2 十 a 2 十 a 23) (b 2 十 b 2 十 b 23)3、 一般形式(a i b i + a 2b 2 + ... + a ”b ”)2 W(a f 十a ^十…十a”)(b f 十b 2十…十b ”)1、 向量形式|a • b| W |a| • |b|,a = (a i , a 2), b= (b i , b 2)2、 积分形式(x ) g (x )dx ) W瓷严(x ) dx •瓷 g 2(x ) dx3、一般形式⑴” ” ” 2£ a i £ E 2 ( £ a i b i )i =i i = i \i= i/中学数学中二维形式的柯西不等式是二维形式柯西不等式的推广，是到一般形式柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背景到空间几何背景的拓展形式上：灵活巧妙地运用柯西不等式能解决不等式证明、三角形求解、最值求解、方程求解等问题.更精彩的是可以利用柯西不等式得岀的推广公式以简捷和严谨的方式来 解决其它公式不容易解决的实质性问题.结构上：呈对称性,柯西不等式在代数学、几何学中都得到广泛的应用.数学工作者对有关柯西不等式的钻研与适用的范围不断拓展,方法层岀不穷，使柯西不等式得到了丰富与发展冋一下这两种组合是否还存在矛盾.经验证，两种组合都是 可解三角形.如果选择①，①,①求A ABC 的面积，只需用余弦定理求岀c,就可以直接利用面积公式求解了.如果选 择②,①,①求A ABC 的面积，需要用余弦定理求岀c,再根据同角三角函数的平方关系得到sinB,计算量稍大.答题策略解三角形是高考必考内容之一，需要同学们 分析已知与未知之间的关系，选择合适的定理或公式解决问题,特别是题目中隐含的条件需要深入挖掘.两边之和大于第三边，大边对大角，三角形内角和为n 等都是可解三角形 需要满足的基本条件.因此，根据题干中的条件进行仔细甄别，才能排除矛盾的条件，选岀正确的条件.另外，灵活运用 相关定理进行求解也是解答本题的关键，因为条件选择的不同,解决的办法就有差别，作答的速度也就有快慢•所以，同 学们只要熟练掌握有关三角形的边角关系及相关公式，这类需要排除条件的问题就不困难.参考文献[1] 任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报,2019(2) : 1-2.[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版社,2018.1.3几何图形视角中的柯西不等式2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”引入了几何图形〔4〕,该几何图形中隐含不等关系：a2+b222ab,以图1为例，我们设由拼接所构成的平行四边形它的一个内角为e,则图1赵爽弦图S平行四边形= 7a2+b2•c2+d2-sin0①从另一方面可得到：S平行四边形=2S红色RtA十2S蓝色RtA十2S中间矩形①=ab+cd+(d—a)(b—c)=ac+bd由①②可得：Va2+b2-Vc2+d22Va2+b2-Vc2+d2-sin0=ac+bd.两边平方即可得到当且仅当sin0=1,即0=90°时取到等号，此时两个直角三角形相似，可得到等号成立的条件是ad=be.2柯西不等式在中学数学教学中的应用柯西不等式为不等式选讲的第三讲内容,在中学教材中承前启后,应用柯西不等式能处理中学中一些典型的数学问题.特别是在不等式的证明中，如果适时巧妙地引入柯西不等式,不仅简化解题过程,而且对解题有很大的帮助.2.1柯西不等式在不等式证明中的应用利用柯西不等式证明不等式的关键是恰当构造变形，化为符合它的形式，当一个式子与柯西不等式的左边或者右边具有一般形式时，就可以使用柯西不等式进行证明同例1(2017-高考江苏卷)已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd<8.证由柯西不等式可得：(a2+b2)(c2+d2)2 (ac+bd)2(a,b,c,d e R),因为(a2+b2)=4,(c2+d2)= 16,所以(ac+bd)2<64,所以ac+bd<8.小结很多重要不等式都可由柯西不等式证明，而且利用柯西不等式很容易将一些简单不等式推广.在应用柯西不等式时，要注意右边为常数且应留意等号成立得条件.2.2柯西不等式在数列求解问题中的应用在高考中柯西不等式和数列构造法结合常常贯穿于求解数列题目中，旨在展现柯西不等式在解决数列问题中的广泛运用，如下简要分析的等比数列题目运用等比数列构造法和柯西不等式背景下解题的典型例子.例2(2008-陕西省高考卷)已知数列｛a n｝的首项为: a i=,a n+i=(n=1,2,..•),证明a i十a2十...十52a n+1n2a n>n+r•证先求岀通项公式a n,再借助柯西不等式进行放缩.由已知得丄=3-丄+2,于是二一-1=3丄-",3a n3a n+i3\a n/所以数列?丄-1｝是等比数列，公比为1,首项为a n3i,故a na n+i a n+i丄-1=2,于是丄-1=3xa n3a n32n1记b n=莎，则丈bi= 1 —<L1:T，1+-----3n3ni=i由柯西不等式得a i22n nn+a2+...+a n=i=in2>n+111+b in n(1+b i)n +b ii=i i=i小结柯西不等式和数列构造法联合求解是一种打破数学一贯的解题思路，通过观察、联结、构造岀满足解题条件的数学对象，能将复杂问题简单化的一种解题方法.掌握构造法对提升学生思维的创新性、灵活性都有十分重要的意义问.2.3柯西不等式在三角问题中的应用在解答三角问题时,很多同学往往只会就题论题，快速的写岀答案了事，忽略了数学问题应该善于发挥，扩展思路,一题多证.就题论题会使学生头脑中的知识散乱，形不成系统,致使学生的空间思维缩小.柯西不等式在解决三角问题的方法中也频频涉及.例3设P是A ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c 的距离,R是A ABC外接圆的半径，证明V+小+V< Va2+b2+c2.V®+Vy+VZ=Vax a+yby1+VcZ1ax+by+cz+w+—.abc记S为A ABC的面积，则ax+by+cz=2S=2警=磐.4R2Rabc ab+bc+ca伍十倆十/<2R1——Vab+bc+ca<1Va2+b2+c2.故不等式成立.小结三角问题通常包含三角不等式，三角方程,三角极值等，在一些三角问题中，为了应用柯西不等式我们创造必要条件，从而引进一些待定参数，其值得确定也由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，由此三角极值问题我们可以反复应用柯西不等式进行解决⑺2.4柯西不等式在方程问题解决中的应用柯西不等式也常常应用在解决方程问题中，使得计算更为简便快捷.例4 (2017年全国高中数学联赛陕西省预赛)若实数a, b, c 满足 a 十 2b 十 3c = 6， a 2 十 4b 2 十 9c 2 = 12， 则 abc 的值是:______.(a 十 2b 十 3c )2 W36， 当且仅当 a = 2b =43解 由 题设和柯西不等式得 36(12 十 12 十 12) (a 2 十 4b 2 十 9c 2) 623c =3,即a = 2, b = 1, c =3时等号成立，所以abc例 5 解方程组x 十y 十z = 9x 十 w = 6x 4 十 x 2 (y 2 十 z 2 十 w 2)十 w 2 (y 2 十 w 2) = 486{x 十y 十z = 9x 十 w = 6(x 2 十 y 2 十 z 2) (x 2 十w 2) =486( ) 92 ( )运用柯西不等式得(x 2十y 2十z 2) 2晋=27, (x 2十w 2) 262 ( ) ( )1 = 18 两式相乘，得(x2 十 y 2 十 z 2) • (x 2 十 w 2) 2 486,当且仅当x = y = z = w 时取等号.故原方程的解为x = y = z = w = 3.小结 巧用柯西不等式求解无理方程，是先把方程(含有无理式) 应用柯西不等式化为不等式， 而后联合原方程把不等式又化成等式,在判定为等式之后再利用柯西不等式取等号的共性,求得与原方程同解且比原方程简单的无理方程, 进而得到简单的整式方程,从而求得原方程的解罔3柯西不等式在高等数学中的应用教师教学与学生学习的目的是通过学习理论知识转化成自己的思想，在实践中能够学以致用，从而达到锻炼自己的思维能力.我们在实践教学中通常通过利用柯西不等式求参数的取值范围、证明等式的成立、解决极值问题来推广柯西不等式在高等数学中的具体应用⑼学生通过不同题型的训练自己具备分析的能力.3.1柯西不等式在线性代数中的应用一般线性代数或高等代数教材中往往涉及柯西不等式f 2 (x ) dx •g 2 (x ) dx的内容.定理1设a(a, a ) . (0, 0).aa 2b,0 = b 2 ,则(a,0)2a ”b ”证 若a 为零向量，结论显然成立；设a 为非零向量，对任意的t e R,有(ta 十0, ta 十0) 2 0,即(a, 0) t 2 十 2 (a, 0) t 十(0, 0) 2 0,因为(a, a ) > 0,所以△=4(a, 0)2 — 4 (a, a ). (0, 0) W 0,故(a, 0)2 W (a, a ) . (0, 0).小结 一般线性代数或高等代数教材通常是利用向量a,0的线性组合a 十t0来构造内积，而由内积(ta 十0,ta 十0)的非负性，证得柯西不等式.3.2柯西不等式在空间解析几何中的应用柯西不等式不仅形式优美， 而且应用非常广泛， 不但可以解决代数中重要不等式问题,而且还能解决解析几何中的有关问题,本文例析空间解析几何中的柯西不等式问题的应 用如下.定理2［10］设a , b 为两个向量，则|a • b | W |a | • |b |.证 设a, b 的夹角为0,则a • b = |a | • |b | cos 0,因为|cos0| W 1,所以 |a • b | W |a | • |b |.例 6 求 2 sin 0 十 /3 cos 0 sin 0 — cos 0 cos 0 的最大值与最小值.解 令向量 a = (2 sin 0, /3 cos 0, — cos 0),b = (1, sin 0, cos 0),由柯西不等式12 sin 0 十 a /3cos 0 sin 0 — cos 0 cos 0W\/ 4sin 20 + 3cos 20 + cos 201 十 sin 20 十 cos 20W\J 4 (sin 20 + cos 20) (1 + sin 20 + cos 20) = 2^/2.所求最大值为2/2,最小值为-2Q .小结 柯西不等式在结构上对称，无论是在代数学中，还是在几何学中都得到广泛的应用，柯西不等式能有效解决解 析几何中问题.3.3柯西不等式在定积分中的应用柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学领域中都有着极其广泛的应用. 它在定积分中也广泛应用着.定理3设f (x ) ,g (x )在［a,b ］上连续，则有证 若f (x )三0时，结论显然成立;设f (x )不恒为零, 则 J f 2 (x ) dx > 0.对任意的 t e R,由［tf (x )十 g (x )］2 2 0得 f 2 (x ) t 2 十 f (x ) g (x ) t 十 g 2 (x ) 2 0,两边在［a,b ］上关于x 积分得f (x )g (x ) dj歼/g 2 (x ) dx 2因为f f 2 (x ) dx> 0,所以△ = 4(/ f (x ) g (x ) dx) — 4[ f 2 (x ) dx ••bg 2 (x ) dx W 0例9证明n 个实数平方的平均数不小于n 个数的算术平均数的平方，即若a i ,：2，…，a ” e R,则有a 十 a 2 十 . . . 十 a ”a 2十a 2十...十a "b/bf 2 (x ) dx •g 2 (x ) dxn 证 有柯西不等式变形得f (x )g (x ) dx 例7设f (x ) ,g (x )在区间[a,b ]上均连续,证明：(1)(j a f (x ) g (x ) dx 『w f 2 (x ) dx • g 2(x )必(柯西-施瓦兹不等式)(a 十 a 2 十 . . . 十 a ” )=(a X 1 十 a 2 X 1 十 . . . 十 a ” X 1)1 1(2)[f (x )十 g (x )]2dx )2Wf 2 (x ) dx )2 十1(J ： g 2 (x ) dx) 2 (闵可夫斯基不等式)证 ⑴对任意实数入有J b [f (x )十Ag (x )]2dx 2 0,即 J f 2 (x ) dx 十 2 J ? f (x ) g (x ) dx 十 A 2 J ? g 2 (x ) dx 2 0,左边是一个关于A 的二次多项式，它非负条件是其判别式非正，即△ = 4(J a f (x )g (x )dx )2—4 严(x )dx •/：g 2 (x )dxW 0,从而本题得证.严⑵ / [f (x )十 g (x )]2dxJ a严=[f 2 (x )十 2f (x ) g (x )十 g 2 (x ) dxaW @2十a 2十...十a ”)(12十12十 (12)= a 2 十 a 22 十 . . . 十 a ”2 .n所以(ai 十a2十…十a ”W a i 2十a 22十…十a ”2,即得:7十a2十…十：”,当n = 2,上式na 十 a 2 十 . . . 十 a ”n V屯(a 十b 、2 a 2十胪小结 这是我们初等数学中，常用得不等式，而此题将初等数学中得“算平均”，“几何平均”问题扩展到了“二次幕平均问题”，即ga ...a ” W a i 十a 2十...十:"WJ f 2dx\ :7十a2十…十：”,这不仅拓宽了中学生得知识面，而且n为许多不等式开辟了一条新路.5结语柯西不等式在整个数学体系中占有非常重要的地位.实践教学中要引导学生深入了解柯西不等式的定义，理解柯西 不等式的证明.学生在学习过程中要注重锻炼自己的逻辑思维能力与发散思维能力，并能够运用多学知识解答试卷试题, 甚至能够启发自己得思维在实践生活中予以应用.小结柯西不等式不同的形式和内容对应于不同的数学参考文献故nn n领域，其能启发人得到灵活多样的证明思维,但其本质是不 变的，所以这些都充分体现了数学各领域间的内通行、渗透 性和统一性•在定积分中亦如此⑴〕.4高等数学中柯西不等式的思想和方法对中学数学解题的指导柯西不等式是高等数学中重要的不等式,并且在初等数学中也有着广泛的应用，对初等数学的解题有很大帮助.例 8 设 x, y, z e R ， 2x — y — 2z = 6， 试求 x 2 十 y 2 十 z 2的最小值.解 考虑以下两组向量u = (2, —1, —2), v = (x, y, z ),根据柯西不等式(u • v )2 W |u |2 • | v |2,有[2x 十(一1) y 十(一2) z ]2W [22 十(一1)2 十(—2)2] (x 2 十 y 2 十 z 2)即(2x — y — 2z )2 W 9 (x 2 十 y 2 十 z 2),将 2x — y — 2z = 6 代入其中，得36 W 9 (x 2十y 2十z 2),而有x 2十y 2十z 2 2 4,所以 x 2 十 y 2 十 z 2 最小值为 4.[1] 高召.利用柯西不等式解题[J].河北理科教学研究,2013(02) : 3-7.[2] 王莹.实践教学中柯西不等式应用研究[J].课程教育研究,2017.21.[3] 詹志明.浅谈柯西不等式的证明、推广及应用https:///view/3414197cf424ccbff121dd36a32d7375a417c6b7? pcf=2&fromShare=l.[4] 俞昕•柯西不等式教学现状及策略分析[J].数学通报,2014, 53(06):36-38+43.[5] 李天荣.中学数学不等式证明方法[J].临川师范高等专科学校学报，2013.[6] 李红春.构造巧解三角函数题[J].高中数学教与学.2009.4.[7] 互联网资源.高中数学教学柯西不等式在解题中的几点应用.http:///slave/2020062511/3952228456217/mobile/37.html .[8] 互联网资源.归纳柯西不等式的典型应用.https:///p-201924332.html[9] 刘友军•例析柯西不等式在高中数学中的应用[J].数学学习与研究，2017(07) : 134.[10] 咸伟志.从三个角度考察柯西不等式[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2015,32(09): 33-38.[11] 蔡洪新•柯西不等式的推广与应用[J].保山学院学报,2013, 32(05):26-30.。
高观点下的的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯L(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩L 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a ===L 121,21n n n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n n n a a a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用i A 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1Λ=），则nn A A A D I ΛI I 21==∑∑∑-+++-n n j i i A A A A A A S I ΛI I ΛI 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn n n nC n C n C n -++-+--Λ=)!1)1(!31!2111(!n n n -++-+-Λ解2 （递推公式）设n a a a Λ,,21为n Λ,2,1的一个错排，显然i a a i≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D 种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D 其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D n n n D n n n 令!n D E nn=，则2111--+-=n n nE nE n n E !1)1()(1211n E E n E E n n n n n -==--=----Λ,又01=E!1)1(!31!21n E n n -++-=Λ，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D n n -++-+-=Λ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y x P 的任何直线．而0)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x 非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C(也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C .一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用i A 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kk n A A A S k ⋅⋅⋅=⋅I I 21!=n k k k n k n k n k k C k C k C k )()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a a n n =-+型与)(1n f a a n n •=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa a n n +=+1型.◆例：,1,1211=+=+a a a n n 求?=na解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，n n b 2= 12-=n n a（3）)(1n f pa a n n +=+◆例：,1,3211=+=+a a a n n n 求n a解：)3(2311n n n n a a -=-++ 令}{,3n n n n b a b -=是等比数列，n n b 2-= 所以n n n a 23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a 解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a 型解:特征方程:02=--q px x ,若有两个不相等实根βα,,则n n n a βλαλ21+=, 若有两个相等实根βα=,则n n n a αλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ,求 n a解:特征方程: 251,012±==--x x x , nn n a )251()251(21-++=λλ 21,λλ 由21,a a 确定. (注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx bax x f =++=+构造数列}{n a 当x x f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则k a a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得k x a x a n n +-=-+00111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a a nnn 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x xx =-+11无实根,则数列{n a }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.以上只是我对这两部分的一些简单认识,其余章节也有一些类似的问题.。
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
浅谈《高等几何》对中学几何教学的指导意义
南 宁 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报
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浅 谈 《 等 几 何 》 对 中学 几 何 教 学 高 的 指 导意 义
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摘
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（ 玉林 师范学院 数 学与计算机科学， 广西 玉林 ５ ７ ０） ３ ００
要 ：本文论 述高等几何与 中学几何的关系，揭示高等几何对 中学几何 的指导 意义
文 献 标 识 码 ； Ａ 文章 编 号 ： １ Ｒ ９ Ｘ （ ０６） ４ ｆ２ － ３ … 一６６ ２０ ０ 一） ７ ０ ｌ
解 法
一
“ 多” 。 留的几何性 质就 较少 ，所 以高等几何处理的问 保
题 就有 较 大 的普 遍 性 及 概 括性 ．殴 氏群 包 含 的变 换 较 “ ” ，保 留的几何性 质就 较多 ．因而殴 氏几何几何 的内 少 容就 更具体更 丰富 。中学几何 基本上是属于殴 氏几何 的范
些中学几何问题运用初等几何方法解决时。有时会
数学系统内给出严格的论述。例如立体几何中的直观图及
截面图 的画法 ；三点定一 圆问题 ；一点在二次曲线的内部
还是外部的问题 ；二次 曲线 的切线 的尺规作图问题 ；以及
著名 的 “ 九树十行 ”问题 等 ，都能在高等几何中得到彻底
解决。
１ ． 高等几 何方法可 给 出一些 中学 几何问题 的简捷 ３用
畴。 由高等几何在 几何 学中的地位可知 ，高等几何 的观点 是高层次的观点 ，从高等几何的高度看 中学几何 ，能深化
收稿 日期 ：２Ｊ －１Ｉ ｆ） 【 ｒ 【 ６ 一１ １
《高观点下的中学数学》学习指南(修正版)_3
样的对应关系称为从集合
到集合
的函数。 A
B
定义 3（高中或大学）从集合 A 到集合 B 的映射 f : A B ，称为从集 合 A 到集合 B 的函数，简称为函数 f 。 （ ） 从集合 A 到集合 B 的函数 f 是满足以下条件的从A 到 B 定义4 大学 的一个关系： 1） D( f )
实际的情况又是如何呢？据调查，大多在中学数学教学岗位工作的
师范院校毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的 高等数学知识几乎没有发挥过作用；还有的甚至说：在中学任教多年， 将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人 体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其 原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研 究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们 的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。这无疑是高 等师范院校数学教育的“悲哀”。
不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导
中学数学的真实体验。
第三、高师院校的教学也存在着一些不足。张奠宙教授曾指出：我 们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下。在大学课程中， 只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲， 举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈 谈测度与面积、体积之间的内在联系。对于中学教师来说，也许后者是 至关重要的。对此，我们也有同感。
A；
2）如果( x, y ) f , ( x, z ) f ，那么 y
z。
例3 古代几何三大问题（尺规作图问题）： 1） 三等分任意角； 2） 化圆为方；
3） 立方倍积；
在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内 接正七边形是尺规作图不能的。 我们的问题是：这里的尺和规有什么限制？为什么有那 样的限制？这样的尺和规有什么功能？
北京四中周长生：用高观点教数学
用高观点教数学作者：周长生（北京四中）选自《为不教而教》一书概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。
中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。
这句话虽然家喻户晓。
但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。
任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。
严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。
因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。
课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。
高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。
可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。
没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。
可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。
就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。
第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。
以下，将分别加以叙述。
一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。
方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。
渔和鱼，无论如何不能混为一谈。
试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。
比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。
又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。
在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。
事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。
高观点引领探寻周长本质——吴正宪老师执教的《认识周长》案例分析
50小学教学斫究高观点引领播寻周长甫质吴正宪老师执教的《认识周长》案例分析北京市大兴区教师进修学校董翠娟【摘要】在平面图形中“周”和“面”相比，从视觉效果上看，“面”是强势的，“周”是弱势的，所以学生不容易发现和理解“周”。
为了使学生真正理解“周长”的含义，吴正宪老师执教《认识周长》一课时,通过对比的方法，引导学生感悟研究对象的特点“周是一条线，面是一大片”；通过围、剥等方式，引导学生理解“周是周，长是长,周长是周长”，进而明晰了周长的本质是长度单位的累加;通过研究三角形的周长，适时融入尺规作图，引导学生体会尺规作图的优势，为初中的数学学习奠基。
课堂充分诠释了站在儿童的视度进行数学教学的重要性。
【关键词】测量周长尺规作图《认识周长》是一节概念课，为了使学生更好地理解周长的含义，一线的教师非常注重引导学生进行操作体验,通过描一描、指一指、围一围等活动建立周长的概念。
但到学习面积时，依然有学生把“周长”和“面积”混淆。
那到底什么是周长？学生心目中的周长,是不是周长的本质呢？最近，笔者有幸观摩吴正宪老师执教这节课，对周长的教学有了更加深刻的认识与理解。
一、凸显研究对象——"周”是一条线，"面”是—大片教材中，“周长”的教学安排在“面积”之前，但是学生直观看到的、更为关注的是物体或图形的“面”，而“周”是不易发现的。
为了凸显本节课的研究对象，吴老师敢于直面学生的认知基础，引导学生充分感知了“周”与“面”的区别。
师：我在黑板上贴了几张纸片，你一眼看到了什么？生1：长方形、三角形、正方形。
生2：每个图形都有角和边。
生3：看到了图形的颜色。
师：那颜色又长在哪儿？生：长在图形的面上。
师：对，你们一眼看到的是图形的面。
有人还一眼看到了图形的边。
长方形有几条边？生：4条。
师：假如从这里开始（左上顶点），你能顺着指一指每一条边吗？（学生按顺序用手指描了每一条边，又回到起点）师：这位同学正好指了这个长方形的一圈。
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。
它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。
这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。
在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。
同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。
通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。
这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。
“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。
如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。
同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。
1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。
“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。
所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。
这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。
“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。
通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。
这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。
从“高观点下的初等数学”看中学数学教师的角色
不难看出 ，实践与综合应 用” “ 领域的提出， 目的在 比如 ， 英国强调构建 真实 生活 情景 中的一 次 函数 （ 匀 于以应用来促进知识的理解 ， 也就是说 ， 是基 于知识 速运 动的物 体 的路 程——时 间 图） 并绘 制相应 的 图 它 ， 本位的． 同时， 这一领域在课程 中的实施是 以具体 的某 像 ； 中国则 比较 关 注一次 函数 及其 图像 本 身的性 质． 些课题学 习开展的． 在这两方面 ， 正好与英 国形成鲜 明 在“ 领 域 ， 国《 准》 重 于 证 明， 留了较 丰 图” 中 标 侧 保
内容上与关键学段 ３差异甚微 ， 因此不再单独列出 ） 为 有平均数 、 中位数 、 数 ， 单 事件 的概率 ， 众 简 差异在 于 例， 考察发现 ： 整体看 ， 国在 总 的数 学 内容的选取 英国《 从 两 标准 （００ 》 包 含 的 比上 述 各项 更丰 富 ， ２０ ） 所 例
的发展 ， 今 才重 新 被人 们揭 开 神秘 的面纱． 我 迄 在
通过简要介绍并适 当补充与 中学 数学的密
切联系的现代数学 内容 ， 用较 高的 观点研 究初 等数 学， 分析研究初 等数 学 的重要 概 念、 思想 和方法 ， 研 究现代数学与初等 数学 的联 系 ， 而使 中学数 学教 从
１ 对“ 高观点 ” 的认识
们解决问题 的能力 ， 深 对 “ 与代数 ” “ 间与 图 容领域的划分有关． 加 数 、空 形” “ 、 统计 与概 率 ” 内容 的理解 ， 体会 各部 分 内容 之
间的联系．
从局部看 ， “ ” 在 数 领域 ， 国《 英 标准 （ ００ 》 ２０ ） 明确 强调心算 内容 ， “ 在 函数 ” 内容的 处理 中也略有 不 同．
高观点指导下的中学数学教学
2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。
核心素养视域下的高中立体几何教学研究
核心素养视域下的高中立体几何教学研究摘要：从数学学科特点来看，学生的核心素养主要体现在数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个维度。
立体几何是高中阶段学生数学学习的重点，同时也是学习的难点。
在传统教学模式中，教师基于应试压力，将学生的学习过程束缚在做题中，片面强调学生的解题能力，忽视学生的核心素养发展。
针对此，在新一轮教学改革的指导下，教师应结合高中数学立体几何相关内容，对学生的核心素养发展提出要求，并从不同的维度探究、设计教学实践策略。
关键词：核心素养；高中数学；立体几何引言目前，随着新课程改革的不断发展，在核心素养视角下教师必须要对学生的几何教学进行探究，在让学生掌握立体几何知识的基础上充分发挥自身的空间想象力、逻辑思维能力。
教师还要不断调整自己的教学活动，帮助更多的学生深入理解和掌握立体几何知识，让学生具备真实的知识体验。
因此，现阶段在核心素养视角下对高中立体几何教学现状进行分析和探究，具有至关重要的现实意义。
1核心素养视角下高中立体几何教学的现状分析现阶段，大多数的高中生在学习立体几何过程中要考虑到立体几何内容的本质，主要是将图形语言转化为我们通常熟悉的数学语言、符号语言，才能引导学生对图形进行全方位的观察和分析，让更多的学生掌握立体图形的空间特征。
大多数的高中生由于受到思维能力的影响，在高中阶段他们的思维并不成熟，在立体几何学习过程中会感到很吃力，不可能通过现象看到立体图形的本质。
例如，题目中给出的条件设某个立体图形两边平行，这时在学生观察平面图形时发现，它并不是平行的，这就要求学生具备较高的想象力，更好地判断和理解图形。
然而这种想象力和思维能力正是学生所缺少的，学生在真实的生活中可以感受到丰富多彩的图形世界。
无论是五彩缤纷现实世界的建筑，还是太空天体，从居家的各种生活用品，再到微观世界的分子结构，都能看到各种各样的图形，这就使得在高中数学，立体几何教学过程中，应该让学生在讨论过程中全面理解复杂的几何形状，让学生感受到立体几何和人们的生活密切相关。
高观点下的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩ 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a === 121,21nn n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n nn aa a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用iA 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1 =），则nn A A A D 21==∑∑∑-+++-nnj i iA A A A A A S 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn nn nC n C n Cn -++-+--=)!1)1(!31!2111(!n n n-++-+-解2 （递推公式）设na a a ,,21为n ,2,1的一个错排，显然ia ai ≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D nn n D n n n令!n D En n=，则2111--+-=n n nE n E nn E!1)1()(1211n E E nE E nn n n n -==--=---- ,又01=E!1)1(!31!21n E nn -++-=，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D nn -++-+-= ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y xP 的任何直线．而)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？ 方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C (也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C.一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用iA 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kkn A A A S k ⋅⋅⋅=⋅ 21!=nkk knk nk nk k C k C k C k)()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a an n =-+型与)(1n f a a n n ∙=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa an n +=+1型. ◆例：,1,1211=+=+a a an n 求?=n a解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，nn b 2=12-=nn a（3）)(1n f pa an n +=+ ◆例：,1,3211=+=+a a ann n 求n a解：)3(2311nn n n a a -=-++ 令}{,3n nn n b a b -=是等比数列，nn b 2-= 所以nn na23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a型解:特征方程:02=--q px x,若有两个不相等实根βα,,则nnna βλαλ21+=,若有两个相等实根βα=,则nnn aαλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a an n n ,求 na解:特征方程: 251,012±==--x x x ,nnna)251()251(21-++=λλ 21,λλ由21,a a 确定.(注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx b ax x f =++=+构造数列}{na当xx f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则ka a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得kx a x a n n +-=-+0111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a ann n 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x x x =-+11无实根,则数列{na }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.。
基于理论七、八年级学生几何思维水平的调查研究
基于理论七、八年级学生几何思维水平的调查研究一、内容综述几何思维是数学的基本思维方式之一，对于中学阶段的学生的逻辑推理和空间想象力培养具有重要意义。
随着教育改革的深入，几何教学也面临着新的要求和挑战。
为了更好地了解当前八年级学生几何思维水平的发展状况，为教育工作者提供有针对性的建议，本文将对相关研究进行综述。
几何思维是指在解决几何问题过程中所运用的思考方式和解决问题的方法。
它包括了空间想象、逻辑推理、模型思想等多个方面。
在中学阶段，培养学生的几何思维能力有助于提高他们的数学素养和后续学习能力。
许多学者对几何思维进行了深入的研究，并提出了不同的理论框架。
康奈尔大学的Fermat教授提出了一种基于问题解决的教学方法，强调将几何问题与实际生活相结合，以提高学生的应用能力和创新思维；另一位学者David Hillman则从心理学角度出发，探讨了几何思维与学生认知发展水平的关系，认为几何思维的发展与学生的年龄、性别等因素密切相关。
国内外关于几何思维的研究逐渐增多，涉及教学实践、学生学习心理、评价体系等多个方面。
学生在几何思维的发展过程中存在差异性，不同年龄段、性别、学段的学生在几何思维水平上存在不同程度的优势与不足。
教育工作者需要关注这些差异性，并采取相应的教学策略来促进学生几何思维的全面发展。
虽然现有研究取得了一定的成果，但仍存在一些不足之处：多数研究集中于理论探讨，缺乏实证分析；对于如何将理论应用于实践，提高学生几何思维水平的策略研究不够充分。
针对这些问题，本文将从实证研究的角度出发，通过问卷调查、访谈等方法，深入了解八年级学生的几何思维现状及需求。
本文通过对相关文献的综述，总结了当前中学数学教学中几何思维培养的重要性和研究现状。
已有研究仍存在不足之处和本文研究的创新点。
未来研究应注重理论与实践相结合，进一步深化对中学生几何思维发展规律的认识，为教育实践提供更为具体和可行的建议。
1. 背景介绍随着教育改革的深化，培养学生的几何思维能力已成为教育工作者共同关注的问题。
关于高观点下初等数学教育的探讨
福建师范大学学报(自然科学版)J OURNAL OF FUJI AN TEACHERS UNI VERSI TY15(3):116～119(NATURAL SCI ENCE)1999关于高观点下初等数学教育的探讨a裘晓岚(福建师范大学数学系,福州 350007)摘 要 从高师数学教育专业的培养目标出发,就如何运用数学思想、数学方法以及现代数学工具来指导初等数学类课程的教学提出几点看法.关键词 数学思想,数学方法,数学教育高等师范院校数学系数学教育专业以培养未来的中等学校数学教师为目标.学生毕业后从事的大都是中学数学教学工作.在学期间,他们所学的绝大部分课程是高等数学,与中学数学教育直接相关的课程较少.因此常常可以听到学生们问:“学那么多的高等数学知识对中学教学有什么用?”一些毕业生也反映在高校期间学的数学知识到中学任教后基本用不上,使他们“没有用武之地”.这种看法是不正确的.因为4年高师课程的学习,对学生来说是走向社会,为国效力的能量储备阶段.这种储备既是知识的储备.更是能力的储备.学生在学习高等数学的同时,吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法.正是这些数学思想和数学方法在培养人们思维的条理性、连贯性,行为的准确性等方面发挥着重要作用,强化了他们的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.但是从知识储备方面看,学生之所以感到困惑,是因为他们看不到高等数学对中等数学有何具体的指导意义.这也从某一个侧面反映出高师数学系在课程设置方面及各门数学课程在教学中师范性体现得不够,造成高等数学和初等数学之间出现脱节.如何加强高等数学与初等数学的衔接,如何运用数学思想和数学方法在高等数学与初等数学之间架起桥梁,真正发挥高等数学对初等数学的指导作用?这些都决定了高师毕业生能否尽快地适应中学数学教学和积极参与中学数学教育改革,也是高师数学教育区别于其它非师范类高校数学教育的基本特点.关于高师院校数学系要设置什么样的课程,迄今为止,争议很大,在此不作讨论.但是无论怎样设置课程,其立足点都应该是朝着培养合格的中学数学教师的方向努力.笔者认为,高等数学教育对深入了解初等数学有着决定性的作用.以下就如何引导学生学会用高等数学的知识、观点和方法去联系和研究初等数学问题作一些探讨.1 用数学思想剖析初等数学基于初等数学的基本概念和基本内容,以数学思想为主线,结合历史的发展,运用现代数学观点去研究、解剖初等数学.数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的认识,是数学的精华,它是贯穿于a收稿日期:1999-04-29.数学学科的不同分支、不同层次的数学知识之中的.在中小学数学教材中,蕴含着丰富的数学思想,如集合思想,化归思想,符号与变元思想,对应思想,数形结合思想,公理化与结构思想,函数与方程思想,抽样统计思想,极限思想等.在这些思想中,符号与变元思想,集合思想,对应和结构思想是基础数学中最重要和最基本的数学思想.因此在初等数学类的课程教学中,应抓住数学思想这条主线,把中小学数学的内容加以整理与分类.首先,对于每一块的内容,着重引导学生分析其贯穿于中小学数学教学过程中的数学思想.研究中小学生数学思想的形成和发展与数学思想史以及中小学数学教学内容安排的层次三者之间的关系,形成一个纵向网;其次,研究块与块之间、不同分支之间的教学衔接以及内在本质之间的联系,形成一个横向网,使学生能透过古典、近代到现代数学思想史的发展以及中小学教学中数学思想的形成和发展,对初等数学的总体结构、初等数学的各个分支以及每个分支中各个块的数学知识的关系做重新的理解与认识.这样就可在更加广阔的背景里去体会中小学数学教学内容、层次的安排,从而对“居高”该如何“临下”有着具体的认识.例如数系,它贯穿于小学、中学12年的数学教育之中,和初等数学的任何一个分支,任何一块的内容都有联系,蕴含有集合思想、公理化思想、结构思想、极限思想等许多重要的数学思想.历史发展中数系形成的过程是:自然数集添加正分数正有理数集 添零 算术数集添负有理数有理数集添无理数实数集添虚数复数集.在中小学,关于数的教学过程是:自然数集 添零 扩大自然数集添加正分数算术数集添负有理数有理数集添无理数实数集添虚数复数集.而以近代结构观点和比较严格的公理体系加以整理建立起来的数系理论,它的过程是:自然数集整数集有理数集实数集复数集.可见,第一条线是着眼于历史上数的形成过程,它与中小学生认识数的思维过程有相吻合之处;第二条线建立数的概念的顺序,主要从中小学教学的角度,更多地依据人们的认识规律;第三条线是从数学代数结构理论的角度出发,主要考虑数的理论逻辑要求,形成代数系统.应正确引导学生从不同角度了解其形成的合理性,重点是对建立数系的理论和方法进行分析、研究,用近世代数的群、环、域这些重要代数体系的观点来对数系再认识,使学生对数的发展、内部结构、性质有一个系统、完整的认识,充分认识到数系是数学中的一类典型的模型,又是一切数学的基础.如数系中关于加、乘运算的基本运算定律,指数律等,不仅是数运算的基本性质,也是代数式、方程变换、几何计算、三角变换等的基础知识,代数学的进一步发展,也是围绕着这些简单朴素的基本定律进行的,进而加深了学生对初等数学的基本概念和基本内容的理解,从而在更高的层次看待初等数学.2 从高等数学的角度看初等数学中的问题站在高等数学的高度,运用高等数学的知识、思想和方法,从不同的角度重新去审视、分析和解决初等数学中的问题.高师数学教育专业的学生与其它综合性大学数学专业学生的最大不同是,他们不仅要掌握高等数学的知识,而且更重要的是要善于应用高等数学的知识、思想和方法去指导中学的教学工作.如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题,很多问题是无法看清的.正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样,只有在完全不是初等数学117 第3期 裘晓岚:关于高观点下初等数学教育的探讨的理论体系中,才能深刻地理解初等数学.如对数的存在唯一性、数学归纳法的可靠性、多项式因式分解概念等,仅用初等数学眼光来看都是模糊的.这是初等数学的局限性.另一方面,初等数学是高等数学的基础,许多初等数学的内容都是高等数学中的模型.如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等,都是数学模型,在高等数学中进一步抽象为集合与映射空间、群等现代数学概念.数学的本质,数学的作用,也就是抽象与概括.从大量不同的对象之间,找出其相同之处,从而得到它们之间的逻辑联系和数量关系,组成一个统一的结构体.高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的.高等数学与初等数学之间有着必然的联系,许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决.因此在高师数学专业教学中有必要阐明高等数学与初等数学之间的联系,突出高等数学对初等数学的指导作用,帮助学生学会用高等数学的思想、方法为工具,从不同的角度去研究初等数学的问题.这些问题可以是与中学教学内容密切相关但又未能完全解决,而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题,也可以是初等数学中已经解决,而运用高等数学的知识,从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景,还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决)等等.总之应用高等数学的方法、思想、工具使学生对初等数学的本质,以及与高等数学之间的内在联系,有了更深刻的认识.要做到这一点,学生在各类高等数学课程学习中,应努力寻找高等数学与初等数学的结合点,站在本学科的角度,运用本学科的思想、方法、知识,从各个不同的侧面,重新考察与之相关的初等数学问题.如用变换群的观点来考察平面解析几何,就可以在理论上解释平面解析几何的一个特性,即在平面解析几何中,研究几何问题时,为什么可以适当地选取坐标系,也就是说平面上几何问题的代数表达式,与其坐标的选择无关问题.从变换群的观点来看,坐标系的平移和旋转变换与点的平移和旋转变换,只不过是同一个代数变换式的不同的几何解释而已.由此可以得出凡是用来表示图形的几何量和几何关系的代数表达式,它们的值在坐标变换下都是不变的,它们都是坐标变换下的不变量.还可以通过观察微分方程与代数方程都是方程的特性,从基本概念、解的存在性与个数,求解方法及增、失根等方面进行比较它们的内在联系,以加深对代数方程的特性了解.同样也可以用微分方程的几何性质来研究二次曲线,深刻揭示二次曲线的性质、实际背景和现实意义等.在数学分析中,也可用导数的工具,来讨论函数的性质以及图像…….总之,着重从高等数学的知识、数学思想方法上阐明初等数学的性质,了解两者之间的异同及内在联系.要在各门课程教学时,加强学生数学素质、数学能力、数学整体意识的培养,紧扣师范生的特点,依据高等数学的知识,以不同的方式研究初等数学.3 加强数学教研能力的培养结合教学内容,介绍与初等数学相关的新成果和课题,以及研究初等数学的基本方法,让学生了解或适当参与中学数学教学改革,培养他们对数学教育研究的能力.在初等数学类课程教学或专题讲座中,可适当地介绍一些与教学内容相关的研究成果,当前教改的热点课题,以及常用的研究方法,推荐一些优秀的期刊、书籍,引导学生运用高等数学的思想、方法、知识,对初等数学进行探讨.这样既培养了学生的科研能力,又激发了学生的学习兴趣,使他们感受到一种做为21世纪合格教师的紧迫感,迫使他们努力学习,关注中学正在进行的教学改革.就此,可配合当前中学数学的素质教118 福建师范大学学报(自然科学版) 1999年9月 育,开设关于数学素质教育的热点问题专题讲座,介绍中学数学素质教育开展的情况,存在的问题,正在研究的课题以及我国与世界发达国家中学数学教育的差距等.也可以结合初等数学的教学内容在例题、习题中根据需要引入一些应用性试题,开放性试题,引导学生应用数学的思想、方法、手段探索编制应用性试题,开放性试题.还可以结合中学数学教学内容,编写一些与社会实际紧密结合的,又能反映数学概念、数学定理、公式的应用性试题,开放性试题.使学生通过研究、编制试题,加深对初等数学内容的理解,熟练数学方法的使用.4 结论从高师数学系数学教育专业培养的目标来看,无论它开设什么样的课程,其目的都是要使学生通过对这些课程的学习,具备中学数学教师的基本素质.使其走上工作岗位后,能尽快地适应中学的数学教学工作.因此,高等数学类、初等数学类、教育类的课程的学习,都是为了更好地指导中学数学的教学.初等数学类的课程,由于其内容比较接近中学数学的内容,所以可用现代数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题,揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法,了解它们形成、发展的规律以及与数学历史发展的内在联系,帮助学生去分析、体会教材.对于高等数学类的课程,由于其内容与中学数学的内容差异较大,因此要根据本学科的特点,寻找高等数学与初等数学的结合点,引导学生用本学科的思想、方法、知识,从不同角度去审视初等数学,解决初等数学中一些与其相关的内容.总之一切为了提高未来中学数学教师的数学素质和业务能力,使他们能尽快地适应数学教学工作,成为合格的数学教师.参 考 文 献1 克莱因・M 著.北京大学数学系数学史翻译组译.古今数学思想.上海:上海科学技术出版社,1980.2 张奠宙.高师数学系改革的若干设想.数学教育学报,1999(1):1～23 胡炯涛.数学教学论.南宁:广西教育出版社,1997.Inquiry about Elementary MathematicsEducation fr om High ViewpointsQiu Xiaolan(Dep ar tment of Ma thema tics ,F ujian Teacher s University ,F uzhou 350007)Abstr act Starting off with the training target of mathematics education of teachers college ,puts forward some viewpoints on how to using mathematics thought ,mathemat-ics method and modern tools of mathematics in the elementary mathematics.Keywords mathematics thought ,mathematics method ,mathematics education(责任编辑 林 敏)119 第3期 裘晓岚:关于高观点下初等数学教育的探讨。
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高观点下的中学几何研究
姓名：赵志书学号：222009314011286 开设中学几何研究这门课程，一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的几何基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等几何知识，指导其中学几何的教学和研究工作，也即使他能“居高等几何之高”去临“中学几何之下”。
大多大学毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。
数学教育的核心，时呈现数学的教育形态，高效率的让学生理解数学的本质，开展中学几何研究，必须用高观点来考查中学几何内容，并适当的加以补充。
用高等几何的理论和方法，去解决中学几何问题，为中学几何提供新的解题思路，从以下几个方面可以体现高观点下的中学几何研究，究竟意义何在?
仿射变换提供的解题途径：①利用平行射影证明几何题，平行射影是最简单的仿射变换，利用条直线之间的平行射影，将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段，可以使一些命题得证明得到简化。
②利用图形的特殊仿射现象证明几何题：特殊图形，包括有正三角形，圆，菱形，等腰梯形，经过仿射变换得到任意三角形，椭圆，平行四边形，梯形。
反之，存在仿射变换将这些一般图形对应的变成特殊图形，因此证明一般图形时可以利用仿射变换将特殊图形的性质应用到证明或计算一般图形的某些问题。
射影变换提供的解题途径：①利用透视变换保持交比进行计算和证明，交比时射影几何的基本不变量，利用透视变换保持交比不变，常常可以证明初等几何中涉及线段比例的题；②利用调和比证明线段的相等和角的相等，常用两个命题，一个是若A,B,C的第四调和点是无穷远点，则线段AB被C点平分，另一个是
若调和线束中的第三第四两条直线相互垂直，则它们必是第一第二两条直线所成角的内外平分线。
关于点线结合的命题的证明，具体有以下一些：①利用中心射影将一条直线投射到无穷远进行证明②利用完全四点形的调和性质证明③用配极变换证明④选择合适的仿射坐标系或射影坐标系，用解析法证明
关于中学几何作图问题的解决途径，利用射影几何的方法处理中学几何的作图问题，有两个特点：一是工具简单，二是可以解决初等几何中很困难的一些问题①用完全四点形的调和性质作图②有关不可到达点和直线的作图，可用笛沙格定理巴布什定理，完全四点形的调和性质来完成③关于二次曲线的切线作图，可利用巴布什定理或极点极限理论来完成
中学几何研究主要针对平面解析几何和立体几何来开展，几何学研究的是空间图形。
其次就是研究几何的方法，研究方法大的来说主要有综合几何的方法和代数的方法两类。
综合几何的方法主要就是立体几何即欧式几何的研究范畴的公理体系，主要是关系的判定和证明。
代数的方法就是解析几何的研究范围，主要是用代数的方法研究几何问题，用到了解析几何里的一些代数方法以及向量的方法。
在立体几何初步里面，主要是任务是培养学生对空间图形的把握能力，所以新课标适当削弱了综合几何证明问题，而是提倡使用向量的方法，向量方法不但是简单，是一个通性通法，也是作用非常大的一个方法，而综合几何虽然配逻辑思维能力有一定的作用，但是在后面的发展是有限的，能够对这个东西有一个比较整体的认识，就知道我们立体几何里面不要把证明放在非常高的地位，而把认识图形放在主要的问题的地位来看。
在某种意义上没有解析几何就没有微积分，也就没有现代数学。
感谢笛卡尔，发明了坐标系，从此几何图形有了全新的研究工具，从而解析几何成为了一个重要的数学分支。
解析几何这个学科主要是研究圆锥曲线和圆锥曲面为研究对象的，当然包括用代数方法去处理圆锥曲线和圆锥曲面的学科。
但是解析几何的思想是用代数的办法，依托于坐标系处理几何问题的一个东西，比如现在我们所谓代数几何，都是我们通常所说的解析几何思想去解决的一个问题。
解析几何的基本思想，就是把几何问题，把一个曲线、曲面如何代数化，
如何用一个代数的方程来描述。
然后我们转过头来处理代数方程、处理代数问题。
得到代数的结果或者得到代数方程我们还要看这个结果、或者这个方程的几何含义。
比如这个方程的系数在几何上什么表示、方程的意义。
回过头来再来解决几何问题，就这样一个思想过程，从几何到代数再从代数回到几何这样一个完整的过程是解析几何思想最主要的步骤。
虽然可以处理不同的几何对象，但是这个思想都是一样的。
几何是一个很直观视觉的艺术，也是一个培养逻辑思维的载体。
几何学在中学数学中的地位是非常重要的，可以说它占据了数学的半壁江山！几何学培养学生空间想象的能力，认识图形，把握图形的能力，逻辑思维能力。
但是几何学主要是培养学生把握图形，认识图形的能力，而这种能力不仅是学习几何的一个基本能力，也是学习数学的基本能力。
这里我们要特别强调数形结合的方法和能力。
而直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。
例如：三垂线定理。
（这个定理对今后学习线面垂直以及二面角的平面角的作法非常重要）定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。
但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。
掌握好定理有以下三点好处：（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。
（2）培养空间想象力。
（3）得出一些解题方面的启示。
在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，（我要求学生用手里的书本当平面，笔作直线）这样亲自实践可以帮助提高空间想象力
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。
有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。
有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。
建立空间观念要做到：重视看图能力的培养：对于一个几何体，可从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，以开拓空间视
野，培养空间感。
加强画图能力的培养：掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还要体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另方向上可能一目了然。
加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。
能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。