第四章 梁的内力——剪力和弯矩

m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
C
M
Fs RA F1
RA
MC 0:
M F1( x a) RA x 0
M RA x F1( x a)
x
Fs
对截面形心C取矩！
m
M
Fs
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
12
例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Fs1 (20 50 10 0.5)kN
25kN
M1 (20 1.5 50 0.5 10 0.5 0.25)kN m 6.25kN m
Fs
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
[例4-3]q 求图示简支梁的内力方程并画内力图。
A
RA
x l
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
q
对称 ∴RA RB ql / 2 ()
M(x) RA x Fs(x)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Fs1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
O M1 x1 Fs1
2-2截面:
Fy 0 :
Fs2 qx2 a ql
mO 0 :
ql
x2
O M2 Fs2
qlx2
M2
1 2
q( x2
ql /2 + Fs
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Fs(x) ql －qx0 x l
2
∑MC
0：M (
x)
ql 2
x
q 2
x 2 0
x
l
M +
ql 2/8
(3)绘制剪力图、弯矩图
在Fs=0处，M取得最大值。
F
解:(1)计算支反力：
A
B
RA
C
x a
b
l
RA Fb / l RB Fa / l ()
XA MA
A
YA
四、梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam) ②悬臂梁 (cantilever beam)
③外伸梁(overhanging beam)
§4-3 弯曲内力—剪力和弯矩
1. 截面法求梁的内力
a
F11
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束反力
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束反力
A
YA
A
A
A
XA
A
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束反力
材料力学
第四章 梁的内力—剪力和弯矩
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5
§4-6
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力—剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系 及其应用 用叠加原理作弯矩图
4.1 平面弯曲的概念
3
梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
1. 内力方程：
剪力方程(equation of shearing force) ： Fs=Fs（x） 弯矩方程(equation of bending moment) ：M=M（x）
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of
bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，Fs图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
A
mC
B
x
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
RB
2.内力的正负规定:
①剪力Fs(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Fs(+)
Fs(+)
Fs(–)
Fs(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
22:
FFss22 (（ 210050101001..55） )kNkN15kN15kN MM22 (（ 20102.50 .55010.5.215011.500.075.5）20k)kNN mm
6.62.52k5Nk mN m（可用（右与段保进留行左验端证求!）得结果一致）
13
§4-4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
RB (2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
CB两段考虑，以A为原点。
M(x) RA x Fs(x)
AC段：
Fs(x)
RA
Fb 0
l
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
M(x)
RA
x
Fb l
x0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
a
Fs(x)
CB段：
Fs(x) RA F
Fa a x l
l
Fs +
-
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
平面弯曲的概念
P
q
对称轴 (symmetrical axis)
m
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
4.2 梁的计算简图
计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。 二、载荷简化
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
3. 直接法求梁的内力
Fs Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧 或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横 截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆 时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩 逆时针为正值，顺时针为负值。