第五章漩涡理论基础
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
第五章 漩涡理论
第五章 漩涡理论内容1. 基本概念。
2. 漩涡随空间，时间的变化规律。
3. 漩涡对周围流场的影响。
4. 二元漩涡的特性。
5.1.1涡量和平均旋转角速度。
涡量场：Ω =▽V ⨯▽V ⨯=VzVyVxz y x k j i ∂∂∂∂∂∂令 ωx =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Vy yVz 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x Vz zVxy 21ω ω2=Ω∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y Vx xVy z 21ω其中ω称为平均旋转角速度。
ωωωzyx,, 的物理意义。
设M 点的速度Vx,Vy A 点()dx xVx x VV xA∂∂+=()dx xVy y VV yA∂∂+=()()[]()[]11_sin 0,11dtx dtx dtx dt dtx dxy A A MA d V V V VV VV AA y dt x y xAyA⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+-='+==→θ dt xd V y∂∂≈∴θ1 即xV dtd y∂∂=θ1Ω是否为0判断有旋无旋例：1）r V∙=ωθ=ω常sin sin cos 0012xy z xyyxzr yrcso xV V V V VV V yx θθθωθωθωθωωωωω=-=-=-======⎛⎫⎪=-= ⎪⎝⎭∂∂∂∂有旋2）rV πθ2Γ=无旋02100222222=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===∴=+Γ=+Γ-=∴∂∂∂∂yV x V VyxV yxVxyzyx zyxx yωωωππ5.1.2涡线，涡面和涡管涡线：是一条曲线，在同一瞬时曲线上所有点旋转角速度Ω与该线相切。
1. 瞬时性2. 流动速度与旋转速度相垂直。
涡线方程()()()z y x dzz y x dyz y x dxz y x ,,,,,,ΩΩΩ==涡线涡管速度场 涡量场 Ω=⨯∇v 流线：zyxv dz v dy v dx == 涡线：zyxdz dy dx Ω=Ω=Ω流管： 涡管：流量：⎰=sn ds v Q 涡量：⎰⎰⎰==Γ=sn CC s ndsl d v dsJ ωω25.1.3涡通量和涡管强度⎰⎰=∙=ssnds ds n J ωω又称涡管强度流量⎰⎰=∙=ssnds ds n v Q v5.2速度环流和斯托克斯定理1）速度环流：定义：速度在曲线切线上的分量沿该曲线的线积分⎰Γ=BAABl d V定义：某瞬时AB 线上所有质点沿AB 运动的趋势。
流体力学第五章(涡旋动力学基础)
dl
)
l
( dV dt
dl
)
l [V
d (dl dt
)]
环流加速度
加速度环流
8
d dt
d dt
( lV
dl
)
l
( dV dt
dl
)
l [V
d (dl dt
)]
V d (dl ) V dV d (V 2 / 2) 0
l
dt
l
l
d dt
d dt
( lV
dl
)
l
( dV dt
整个流体区域内涡度都为零时，流体运动为无旋的 ；
流体区域内有一点涡度不等于零时，则对应流体运 动为有旋的。
3
一般情况：流体运动可以表示为：
V V V 无旋运动
涡旋运动 ★重点讨论涡旋部分的变化特征及其产生的原因
主要内容
第一节 环流定理 第二节 涡度方程
4
第一节 环流定理
在流场中任取一个封闭的物质
16
以上讨论了特定条件下速度环流的守恒定理或者约 束关系。而实际上，流体运动中必定出现环流的不 守恒（变化）现象，也即环流的产生和起源，这才 是更普遍条件下的环流变化情况。
17
二、速度环流的起源—涡度的产生
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
dV
F
1
p 2V
•V
dt
3
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将其表示为：
应反气旋环流）。
6
根据环流的定义，应用斯托克斯公式 流体涡度
( V ) • n lim / 0
流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于 单位面积速度环流的极限值
流体力学教案第5章流体漩涡运动基础
第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动，0≠ω ，而),,,(t z y x f ＝ω，所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场，或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xwz u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线，在某一瞬时，曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别，根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变，对定常流动，涡线形状不随时间而变。
与流线一样，涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程，或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为：),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管－在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每点的涡线，这些涡线形成一管状表面，称为涡管。
涡束－涡管中充满作旋转运动的流体，称为涡束。
四、涡通量涡通量－通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面：A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于：0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以：0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下：在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V，在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ，V 与sd 的夹角为α。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
流体力学5-漩涡理论说课材料
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
流体力学5-漩涡理论
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
r V
Vs
B
dsr
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
AB
V
r cos(V
,
dsr
x
y
dp 2d ( x2 y2 )
2
p
2 (
x2
2
y2
)
c
1 2
V2
c
p
p0
1 2
V2
VR2
r R, V VR,
p
pR
p0
1 2
VR2
43
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V 2
旋涡内部压力分布：
p
p0
1 2
V2
或 c ÑcVsds 2nd
n
r
漩涡理论
d
C 16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
பைடு நூலகம்
d
vx
2010-第五章旋涡理论 流体力学
∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。 涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到： 涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈； 涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体 壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）： 由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学漩涡理论(课堂PPT)
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt .
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 2) 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远
无旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
.
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
ABABVxdxVydyVzdzABxdxydryzdzA BdBAVFra bibliotekVsB
对于有旋场:
A B V rd s rV x d x V y d y V zd z
A B
A B
A
d sr
.
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Ñ c cVxdx Vydy Vzdz
流管
涡丝vortex filament 元流
截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束
称为涡索（涡丝）。
称为元流
.
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ωndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
r
流量
QdQud
d
第五章漩涡理论基础
p
p0
1 2
v2
v02
1 2
v2
1 2
v02
p
1 2
v2
2v02
当 r 0 p pc ,vc 0
故
pc p
p p0
p0
1 2
v02
1 2
v02
p pc
p0 p0
1
2
v02
B vx+(∂vx/∂x)dx
均值。
o
x
注意：v与L垂直时, 0
d
ABCD
1 2
vx
vx
vx x
dx
dx
1 2
vy
vy x
dx
vy
vx x
dx
vy y
dy
dy
1 2
L 2J 2ndA
A
若：周线上各点速度均与周线垂直，则：
L 0
1）、 无限小矩形面积的斯托克斯定理。
在流场中，xoy坐标平面上，取矩形微元周线 ABCD，边长dx，dy，dA=dxdy，如图。 。
A点的速度分量为vx，vy，则B，C，D各点速 度分量如图示（忽略二阶微量），沿微元周
r v
称为涡量
第一节 涡线，涡管，涡束， 旋涡强度
1. 涡线：
在瞬时，涡量场中所作一条空间曲线，该瞬时，
各点的ω均与该线相切，该曲线称为涡线。
涡线为所有质点的转动轴线。注意：涡线是瞬
旋涡理论(vortextheory)
成熟阶段
旋涡达到稳定状态，其形状和 大小不再发生显著变化。
消散阶段
随着时间的推移，旋涡逐渐消 失或与其他旋涡合并。
影响因子
流体性质
流体的密度、粘度、压缩性等物理性质 对旋涡的形成和演化有重要影响。
边界条件
流体的边界形状、粗糙度、弹性等边 界条件对旋涡的形成和演化具有重要
作用
旋涡在湍流中扮演着重要的角色，通过产生速度 梯度和压力梯度，影响流体的流动特性和能量传 递。
研究意义
深入理解旋涡与湍流的关系，有助于揭示湍流的 本质，并为湍流控制和减阻等应用提供理论支持。
漩涡的分离与再附着
定义
漩涡的分离是指流体的旋涡结构在流动过程中发生断裂和分离的现 象；再附着则是指分离后的旋涡重新连接和合并的过程。
对实际应用的推动作用
提高能源利用效率
通过深入理解旋涡现象，优化流体机械设计，提高能源转换效率， 如风力发电机、水力发电等。
环境保护与治理
研究污染物在流体中的扩散和输运机制，利用旋涡理论优化污染控 制和治理方案。
生物医学应用
探索旋涡理论与生物医学的结合点，如血流动力学中的旋涡现象对 心血管疾病的影响等，为疾病诊断和治疗提供新思路。
生态学
在生态学中，旋涡理论用于研究生态系统中的能量流动和物质循环。生态系统中的生物 群落通过食物链和物质循环相互关联，形成复杂的旋涡结构。
流体动力学与生物运动
在研究鱼类、鸟类等生物的运动机制时，旋涡理论用于解释生物如何通过产生旋涡进行 高效的运动和机动。
地球科学
地质学
地质学中，旋涡理论用于研究地 壳板块的运动和相互作用。板块 之间的相互作用形成旋涡结构， 影响地震、火山活动和构造地貌 的形成。
第五章漩涡理论基础
2、涡管、涡束 、涡管、
在瞬时，过任意封闭曲线（非涡线） 在瞬时，过任意封闭曲线（非涡线）上各点作 涡线形成涡管 充满质点的涡管称涡束。 涡管， 的涡管称涡束 涡线形成涡管，充满质点的涡管称涡束。 特点：随涡束长度变化。但微小涡束， 特点：随涡束长度变化。但微小涡束，即涡线 上，ω相同。注意涡束与流束定义不同。 相同。注意涡束与流束定义不同。 相同
第五章 旋涡理论基础
由第三章速度分解知 ：
1 ∂vz ∂vy 1 ∂vx ∂vz ω x= − − ，ωy = 2 ∂y ∂z 2 ∂z ∂x 1 ∂vy ∂vx ωz = − 2 ∂x ∂y
r 1 r 1 即： ω = ∇× v = rot v 2 2 r r v v 称为涡量 在场论中， 在场论中，Ω= 2ω = ∇× v = rot v 称为涡量 v
∂v y ∂vx = + dxdy = 2ω z dA ∂x ∂y
即：
d Γ ABCD = 2dJ
2）、有限面积单连通域的斯托克斯定理 ） 所谓单连通域和复连通域， 所谓单连通域和复连通域 ， 即 ： 如果周线区 域内所做的任意一条周线， 域内所做的任意一条周线 ， 都可连续收缩至 一点而不越出边界， 单连通域， 否则为复 一点而不越出边界 ， 称 单连通域 ， 否则为 复 连通域。 连通域。 对于周线 所围面积， 周线L所围面积 对于周线 所围面积，用两组互相垂直的直线 将面积划分为无限多个单元矩形， 将面积划分为无限多个单元矩形 ， 对任意矩 形都有： 形都有：
A A
速度环量， 第二节 速度环量，斯托克斯定理
旋涡理论
2
3
涡线方程：
dx dy dz x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t )
1
4
2、涡面、涡管：
2
3
3
2
1
c c
1
3、旋涡强度：
d :
n
dJ n d
J n d
H
v
H
o
x
o
x
叠加法例2：左图是一个直均流绕一个卵形柱体流动的问题， 求速度势。
y
＋
2b
V0
m
m
v
x
V0
o
y
x
x方向均匀流 + 等强度源汇： 源(-b,0）、汇(b,0）。
6.2 绕圆柱体的无环量流动
y
V0
o
r
沿轴正向均匀流与偶极的叠加——模拟圆柱绕流
v0 x v0 y
a
x
若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无 旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度 具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中 会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；
x
M cos M x 2 r 2 x 2 y 2
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直 于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。 位于（0，0）点涡：
vr 0， v 2 r
旋涡理论ppt课件
C 2nd 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为 零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强
度相同转向相反的旋涡）。
推论二
对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的，
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。
旋涡的产生： 与压力差、质量力和粘性力等
因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
4
旋涡运动基本概念
流场
涡场
流速v
涡量 Ω
流量Q
Thomson定理和Lagrange 定理适用条件为： 1. 理想流体
2. 正压流体 ( p)
3. 在有势质量力作用下
旋涡起因： (1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋； (2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）； (4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。 19
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理 abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以 0
由斯托克斯定理上式写成:
nd nd
1
2
20
结论： 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始， 否则ｄσ→０时有ω→∞。
15
旋涡理论ppt课件
d s sin
r2
S
dv
P dH
如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：
v
4
sin ds
s
r2
直涡丝ＭＮ
25
dv
4
ds sin
r2
直涡丝ＭＮ
诱导速度方向指向纸外。 直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：
v
4R
2 sind
1
电流面密度δ H δ v Ω
涡量 Ω
电流强度 i
i H dl δ nds
l
S
速度环量 Γ
v dl Ω nds
24
l
S
Biot-Savart 定理：
电流诱导磁场强度
d
H
i
d
s
sin r2
i ds
Γ
r
旋涡诱导流体速度
dv
29
5-6、二维旋涡的速度和压强分布
如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核 区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
一、速度分布
1）旋涡内部：
涡束内部的速度分布为:
vr 0, v r
(r R)
2）旋涡外部： 在环流区内，速度分布为:
vr 0,
v
2r
R 2
亥姆霍兹（Helmholtz）定理 （1）亥姆霍兹第一定理：
——涡管强度空间守恒
在同一瞬间涡管各截面上 的旋涡强度都相同
由斯托克斯定理 abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以 0
第五章：旋涡理论
5．兰金组合涡
兰金组合涡：半径为 R 的无限长圆柱形涡，在 R 内，流体象刚一样能轴线旋转，角速度为 ωG 。
速度分布： vθ = ωr
vr = 0
vθ
=
Γ 2π r
vr = 0
压力分布：
p
−
p0
=
1 2
ρ vθ 2
−
ρ vR 2
p − p0 = −ρvR2
（ r < R ） 有旋 （r > R ） 无旋
涡线：同流线定义相似，即同一瞬时涡线上每一流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切。 涡线微分方程：
dx = dy = dz ωx ωy ωz
可组成一常微分方程组
用右手法则确定旋转角速度的方向，由涡线定义，说明流体质点在该瞬时绕其旋转
速度轴旋转。
涡管：与流管类似，流管的管壁为流线，涡管的管壁为涡线，这些涡线处处与涡管的
1 (∂vz 2 ∂y
−
∂vy ) ∂z
=0
JK 所以：ω =
c
KK (z j − yk)
y2 + z2
2）由涡线微分方程 dx = dy = dz ， ωx ωy ωz
有 积分得
dy = − dz zy y2 + z2 = c1
R3
R2
Γ
Γ
R1
Γ
x = c2
5．试求图 5-2 所示的马蹄涡对流场中任意一点 处的诱导速度。 解：设流场中任意一点 A，分别距三条涡线的垂
A）定常不可压缩无旋流场
B）静止，不可压缩理想流场
C）不可压缩有旋流场
D）不可压缩非定常流场
JK
v∫ ∫∫ 2．斯托克斯定理 Γ = c vsds = 2 wndσ ，若 Γ =0，而ω 不一定为零，这是因为（ ）。 σ
水中漩涡物理知识点总结
水中漩涡物理知识点总结1. 水中漩涡的形成原理水中漩涡的形成原理涉及到流体力学和动力学方面的知识。
在液体中，当有一些外部或内部的作用力使液体中的部分液体产生相对运动时，就会出现旋转涡流。
最常见的情况是在一个密闭的圆柱形容器内注入了较大的动能的流体，液体流体就会在容器内形成顺时针或逆时针的涡流。
在自然界中，水中漩涡的形成多是由于水流速度的变化而引起的。
例如，当河流中有一处狭窄的地方，水流速度会加快，而在较宽阔的地方则会减慢，这种速度差异往往就是形成漩涡的基础。
此外，在湖泊、海洋中，当两股水流相撞或者水流受到外部的扰动时，也会形成漩涡。
2. 水中漩涡的动力学模型动力学模型是描述物体运动的一种数学模型，它能够准确地预测物体运动的轨迹和速度。
对于水中漩涡的动力学模型，主要涉及到流体的动力学和牛顿定律的应用。
在流体动力学中，流体的运动可以用流体运动方程来描述，其中包括动量方程和连续性方程。
根据这些方程，可以推导出单个涡旋的运动方程，进而研究漩涡的演化和动力学特性。
此外，利用流体动力学的理论，还可以定量地分析漩涡的尺度、旋转速度和稳定性等特征。
另外，牛顿定律也是描述水中漩涡运动的重要模型。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受到作用力成正比，与物体的质量成反比。
因此，对于水中漩涡的动力学模型，可以通过对漩涡受到的各个作用力进行研究，从而推导出漩涡的运动规律。
3. 水中漩涡的流体力学模型在水中漩涡的研究中，流体力学发挥了重要作用。
流体力学是研究流体的运动和静压力分布的学科，它包括对流体的流动规律、流体内部受力情况以及流体与固体之间的相互作用等方面的研究。
在流体力学模型中，漩涡可以被描述为流体中一种特殊的涡旋结构。
涡旋结构是流体中的一种流动形态，它具有旋转的特点，并且可以有效地传递动能和质量。
由于漩涡的形成需要较大的速度差异和流体运动的不稳定性，所以漩涡通常会在流体中形成一种独特的动态平衡状态。
另外，流体力学模型还可以用来研究漩涡与流体的相互作用。
漩涡的形成原理
漩涡的形成原理
漩涡是一种自然界中常见的涡流现象，它具有很多种形成原理。
第一种形成原理是涡旋状流动。
当液体或气体通过一个限制流动的出口时，由于流速的变化和流量的限制，会产生旋转的涡旋状流动，进而形成漩涡。
这种情况常见于水池、水槽或桶中的液体流出时产生的漩涡现象。
第二种形成原理是由不同密度流体之间的相互作用所引起的。
当两种密度不同的流体相遇时，由于密度差异导致的压力差异会引起流体的旋转，形成漩涡。
例如，在海洋中，当冷、热水交汇时，冷水下沉，而热水上浮，形成了旋转的海洋漩涡。
第三种形成原理是由于物体或障碍物对流体流动的阻碍而形成的。
当流体经过物体或障碍物时，由于流体的不同方向速度不一致，会发生剪切力，使流体形成旋转运动，从而形成漩涡。
举个例子，当水流经过一堵岩石或桥墩时，流体会受到阻碍，形成漩涡。
总之，漩涡的形成原理可以归纳为涡旋状流动、不同密度流体相互作用和物体或障碍物阻碍流体流动三种情况。
这些原理都是根据流体力学和物理学的基本原理，通过流体的运动和相互作用解释漩涡的形成过程。
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第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
后者一般规定为：当沿封闭曲线K反时针方向绕行时，取为正号。
二、旋涡强度(strength Of vortex)沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。
如图5—5所示，在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA＝dxdy，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量推导得是沿任何封闭曲线的速度环量 都等于零，则在这区域内的流动一定是无旋流动。
(例5—2) 一个以角速度ω按反时针方向作像刚体一样旋转的流动，如图5—6所示。
试 求在这流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。
上例题正是斯托克斯定理的一个例证。
以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
(例5—3) 一个流体绕O 点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即V ＝rC ，其中C 为常数，如图5—7所示。
试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。
上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。
但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O 点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
第三节 速度势和流函数速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究，特别是无旋流动和不可压流体的平面流动起着相当大的作用。
例如，我们知道流体力学研究中的一个重要问题，就是求出流场中的速度分布，它有三个变量。
对于无旋流动，可以引入一个参数即速度势函数，我们可以把求解三个未知量u ，v ，w 的问题，变为求解一个势函数问题，使问题大大简化。
一、速度势函数(velocitypotential function)1．速度势函数引入在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零，也就是说，在无旋流动中每一个流体微团都要满足式(5—4)的条件，即根据数学分析可知，式(5—4)是udx+vdy+wdz 成为某一函数Ф (x,y,z)的全微分的充分和必要条件。
而函数Ф的全微分可写成函数Ф称为速度势函数或位函数，简称为速度势。
它与电位的概念相类似，电位的梯度是电场的强度，而速度势的梯度则是流场的速度。
在定常流动中速度势与时间无关，仅是坐标的函数。
即Ф＝Ф(x,y,z)当流体作无旋流动时，总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动，或简称为势流或位流。
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动。
只要满足无旋条件，必然有速度势存在。
2．速度势函数的性质(1)不可压流体的有势流动中，势函数Ф满足拉普拉斯方程，势函数Ф是调和函数。
在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
(2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数Ф值之差。
而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零.。
二、流函数(stream functiOn)1．流函数引入对于流体的平面流动，由不可压缩流体平面流动的连续性方程(3—29)得若令dΨ＝0或Ψ=常数，由式(5—17)可知，在每一条流线上函数Ψ都有各自的常数值，所以函数Ψ(x，y)称为流函数。
流函数永远满足连续性方程。
对于不可压缩的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有黏性还是没有黏性，一定存在流函数。
要注意的是，在三维流动中，一般不存在流函数(轴对称流动除外)。
2．流函数的性质(1)对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ永远满足连续性方程。
(2)对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。
因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的Ψ的拉普拉斯方程。
(3)平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。
这就是流函数Ψ的物理意义。
如图5—8所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为由式可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。
三、Ф和Ψ的关系如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(5—11)和式(5—18)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系式(5—22)是等势线簇和流线簇互相正交的条件，在平面上可以将等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网({10wnet)，如图5—9所示。
(例5—4) 有一不可压流体平面流动的速度为u=4x，v=--4y，判断流动是否存在流函数和速度势函数，若存在求出其表达式。
(解) 由不可压缩流体平面流动的连续性方程流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
由流函数的全微分式得：第四节基本的平面有势流动引言：流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成，介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等。
一、均匀直线流动(uniformrectilinearflow)流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，即u＝u。
和v＝v。
由式(5—11)和式(5—18)，得速度势和流函数由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程(3—41)，得点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点。
显然，这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度v r。
现将极坐标的原点作为源点或汇点，则去q v是点源或点汇在每秒内流出或流人的流量，称为点源强度或点汇强度。
对于点源，q v取正号；对于点汇，q v取负号，于是等势线簇是同心圆簇(在图5—11中用虚线表示)与流线簇成正交。
而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
三、点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束以等角速度三绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。
由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。
也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。
由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。
根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即因此涡束外的速度与半径成反比。
若涡束的半径r o →0，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡。
但当r 。
→0时，v θ→∞，所以涡点是一个奇点。
点涡的速度势和流函数分别为当Γ>0时，环流为反时针方向，如图5—13所示；当Γ<0时，环流为顺时针方向。
点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆，而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。
设涡束的半径为r o ，涡束边缘上的速度为002r v πΓ=,压强为p 0; r →∞；时的速度显然为零，而压强为P ∞。
代人伯努里方程，得涡束外区域内的压强分布为在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。
又由式(5—32)式可知，在r→0处，压强P→∞，显然这是不可能的。
所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。
由式(5—33)可得涡核的半径由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。
可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。
涡核内、外的速度分布和压强分布如图5—14所示。
第五节有势流动的叠加一、势流叠加原理只有对一些简单的有势流动，才能求出它们流函数Ψ和势函数Ф，但当流动较复杂时，根据流动直接求解Ф和Ψ往往十分困难。
我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。
前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。
凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。
根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。
现将若干个速度势函数叠加，得显然，叠加后新的速度势函数Ф也满足拉普拉斯方程。
同样，叠加后新的流函数Ψ也满足拉普拉斯方程。
几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。
将新的速度势函数Ф分别对x、y和z取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在X、y和Z轴方向上的分量：由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和。
二、螺旋流螺旋流是点涡和点汇的叠加。
将式(5—30)和式(5—26)相加以及将式(5—31)和式(5—27)相加即得新的有势流动的速度势和流函数显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇(图5—15)，称为螺旋流。