精选中考数学总复习核心母题三最值问题深度练习
中考数学三轮冲刺-真题集训：知识点47 几何最值(pdf版,含答案)
一、选择题1．（2019·长沙）如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +5的最小值是【 】A．．．D ．10【答案】B二、填空题1．（2019·黄冈）如图，AC ，BD 在AB 的同侧，AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点.若∠CMD ＝120°，则CD 的最大值是（）【解析】将△CAM 沿CM 翻折到△CA ′M ，将△DBM 沿DM 翻折至△DB ′M ， 则A ′M ＝B ′M ，∠AMC ＝∠A ′MC ，∠DMB ＝∠DMB ′， ∵∠CMD ＝120°，∴∠AMC +∠DMB ＝∠A ′MC +∠DMB ′＝60°，∴∠A ′MB ′＝180°-（∠AMC +∠DMB +∠A ′MC +∠DMB ′）＝60°， ∴△A ′MB ′是等边三角形，又∵AC ＝2，BD ＝8，AB ＝8.点M 为AB 的中点，知识点47——几何最值∴A ′B ′＝A ′M ＝B ′M ＝AM ＝12AB ＝4，CA ′＝AC ＝2，DB ′＝DB ＝8，又CD ≤CA ′+A ′B ′+DB ′＝2+4+8＝14.三、解答题1．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止，设△BEF 的面积为ycm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值．【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM .， ∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD， ∴0≤x ≤.由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x .由（1）知：△AEM≌△EFN，∴ME＝FN，∵AB＝MN＝10，∴ME＝FN＝10x，如图（1），当0≤x∴BF＝FN－BN＝10x x＝10－x. ∴y＝12BF·EN＝1(102−＝－2x2＋（0≤x；如图（2）x≤∴BF＝BN－FN x－（10x）＝x－10，∴y＝12BF·EN＝12−＝2x2－x≤.∴222(02x xyx x−+≤≤=−<≤（1）（2）（3）y＝－2x2＋5x＝－2（x2＋254，∵－2＜0，∴当x y有最大值是；即△BEF面积的最大值是；x≤y＝2x2－＝22(x－254，此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x＝y 最大值＝50.∴当x＝BEF 面积的最大值是50.25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC ，求证：BD ＝AD ＋CD . 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.图①图②B图③B图④B（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴ND，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝abAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝abAD ＋c b CD【解析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝答案图①答案图②B∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2ADCD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=°，∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BPCD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝2AD（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a b AD ＋c bCD 如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝cb CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a b AD ＋c bCD 2．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系x O y 中，矩形ABCD 的边AB =4，BC =6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠O AD =30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接O M 、MC ，当四边形 O MCD 的面积为221时，求O A 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时c os ∠O AD 的值.答案图③B答案图④B第2题图 第2题备用图第2题答图1 第2题答图2【解析】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E .∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴∠CDE +∠AD O=90°，又∵∠O AD +∠AD O=90°，∴∠CDE =∠O AD =30°.在R t △CED 中，CE =21CD =2，∴DE =32242222=−=−CE CD ; 在R t △O AD 中，∠O AD =30°，∴O D =21AD =3.∴点C 的坐标为(2，323+).(2)∵M 为AD 的中点，∴DM =3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形，∴29=ODM S △，∴9=OAD S △.设O A =x ，O D =y ，则 ==+9213622xy y x ，∴xy y x 222=+，即0)(2=−y x ，∴x =y .将x =y 代入3622=+y x 得182=x ，解得23=x (23−不合题意，舍去)，∴O A 的长为23.（3）O C 的最大值为8.理由如下：如图2，∵M 为AD 的中点，∴O M =3，522=+=DMCD CM .∴O C ≤O M +CM =8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，O C 有最大值8. 连接O C ，则此时O C 与AD 的交点为M ，过点O 作O N ⊥AD ，垂足为N . ∵∠CDM =∠O NM =90°，∠CMD =∠O MN ，∴△CMD ∽△O MN ，∴OMCMMN DM ON CD ==，即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ，∴56=−=MN AM AN . 在R t △O AN 中，∵55622=+=AN ON OA ，∴55cos ==∠OA OAD AN .3．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．【解析】：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∵BP ⊥PQ ，∴2BP ＝BQ 即2（6－t ）＝6＋t ，解得t ＝2．∴当t 为2时，△BPQ 为直角三角形；（2）存在．作射线BF ，∵PE ⊥AC ，∴AE ＝0.5t ．∵四边形CQFE 是平行四边形，∴FQ ＝EC ＝6－0.5t ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBQ ＋∠BQF ＝90°．∵BQ ＝2FQ ，BQ ＝6＋t ，∴6＋t ＝2（6－0.5t ），解得t ＝3．（3）过点P 作PG ∥CQ 交AC 于点G ，则△APG 是等边三角形．∵BP ⊥PQ ，∴EG ＝12AG ．∵PG ∥CQ ，∴∠PGD ＝∠QCD ，∵∠PDG ＝∠QDC ，PG ＝PA ＝CG ＝t ，∴△PGD ≌△QCD ．∴GD ＝12GC ．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则c os30°＝AHAB′,，解得t＝9－．∴t为9－时，AB′的值最小，最小值为－3．4.（2019·重庆A卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交与点A，B（点A 在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF＋FP＋13PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF＋FP＋13PC取得小值时，把点P单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ′′，其中边A Q′′交坐标轴于点G，在旋转过程中，是否存在一点G，使得OGQQ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)，直线BD：y＝2x－6．如答图1，连接DN、BN，则S△BDN＝12BD•MN，而BD为定值，故当MN最大时，S△BDN取最大值．此Q时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a x 轴上取点K (，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－x －3中，当y ＝－2，x ，于是FT ＝2．在R t △FTR 中，由FR FT =，得FR FT (2)＝13，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋13．（2）(，(，，．5.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线242y ++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HK 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】（1）∵2y x ++与x 轴交于A ，B 两点，∴当y =0时，即20+，∴122,4x x =−=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，），B （4，0），∴40b k b =+=，∴b k = = ，∴直线BC的解析式为y +设点2(,4),P m m ++<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m +<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ， 设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，），∴BC=24l =+，∴21)(04),l m +<< ∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，）， ∵A （－2，0），C （0，），∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， 备用图图1图2∵BG∥AC，∴.∠BGD=30°，∠OBG=60°，∴G（0，−，直线B G解析式为y=−PM解析式为y=，过点G作GN⊥BG，过点P作PM⊥GN于点M，如图1，此时，点H为PM与对称轴的交点，K为PM与y轴的交点，点K与点O重合，则KM=OMKG，PH+HKKG的最小值为线段PM的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P作PQ∥x轴交对称轴于点T，过点M作MQ⊥y轴交PT于点Q，过点G作GJ⊥MQ交MQ于点J.设点Q（n，），∴J（n，−，∴PQ=2－n，M2－n），∵GJ=－n，∴MJ=，∴MQ+MJ=CG=(−−，2－n）+()=，∴n=-3，∴Q（－3，），∴PQ=5，∴PM=2PQ=10，∴PH+HKKG的最小值为10，∵∠OGM=60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT=1，∴HTH（1.图1 N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y x −如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，）， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMPR（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠AC O=30°，∠O AC =60°,图2NN又∵221)y x x ++−+D （1，∵抛物线按射线AC 的方向平移，设平移后顶点'(D a ++，平移后的抛物线解析式为21)y x a =−−++该抛物线经过原点，则201)a =−−+∴2280a a −−=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CD ==CN =，'ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况：①当'CD CN =，可得1N ,2N ；②当''CD D N =3N ,4N ,③当'CN D N =可得5N ,∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N 有：1N ,2N ，3N ,4N ,5N .6.（2019·天津）已知抛物线y =x 2-bx +c (b ,c 为常数，b >0)经过点A （-1,0），点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D (b ,y D )在抛物线上，当AM =AD ,m =5时，求b 的值；（3）点Q(1,2b +y Q)2QM +b 的值. 【解析】(1)∵抛物线y =x 2-bx +c 经过点A （-1,0），∴1+b +c =0，∴c =-1-b 当b =2时，c =-3，∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c =-1-b ，∵点D (b ,y D )在抛物线上，∴y D =-b -1， ∵b >0,∴b 02b >>，-b -1<0,∴D (b ,-b -1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE =b +1=DE ,所以AD 1)b +，∵m =5，∴AM =5-（-1）=6，∴1)b +，∴b =（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上，∴y Q=2113)()12224b b b b b +−+−−=−−（， ∴点Q （1b ,2+3-24b −）在第四象限，且在直线x =b 的右侧，2QM +，A (-1，0)，∴取点N (0，1)，如图， 过点Q 作Q H ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠G AM =45°，∴G M AM ， ∵M （m ,0),∴AM =m +1,MH =1b 2m +−,Q H =324b +,∵MH =Q H ,∴1b 2m +−=324b +，∴m =1-24b ，∴AM =13-12424b b +=+，Q M 3)24b +（2QM +33)))24244（b ++b +b =4.7.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得�aa−2+cc=04aa+4+cc=3解得，�aa=−1cc=3∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MH∥y轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，�−kk+bb=02kk+bb=3解得，�kk=1bb=1.∴直线AB的解析式为y=x+1.设M为（m，-m2+2m+3）,则H（m，m+1）∴MH=y M-Y H=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.∴S△ABM=S△AMH+S△BMH=12·MH·（x B-x A）=12·(-m2+m+2)·(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278. ∵四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM≌△BAN.∴S四边形MANB=2 S△ABM=-3(m-12)2+274，∵a=-3＜0且开口向下，∴当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，∵抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1,4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.∵P到F的距离等于到直线y=174的距离，∴4-t=14，即t=154.∴F为（1，154）设P点为（a，-a2+2a+3）,由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又∵PT2=[174-(-a2+2a+3)]2= a4-4a3+132a2-5a+2516.∴PF2=PT2，即PF=PT.∴当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离. 8．（2019·淮安）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP= ；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.【解析】（1）①由题意得，PE =PB ，∠BPE =80°，∴∠BEP =°=°−°50280180； ②如图所示，∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∠BAC =100°，∴∠ABC =°=°−°402100180，∵∠BEP =50°，∴∠BCE =∠CBE =40°，∴∠ABC =∠BCE ，∴CE ∥AB . 答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BF A =∠CF A =40°，总有△BPE ∽△BFC . 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE =∠BFP =40°，∴∠BCE =∠ABC =40°，∴CE ∥AB .当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB =PE =PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC =3.9.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题知 ==++=+−30390c c b a c b a ，解得==−=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则=+=+−20n m n m ，解得==11n m ，∴AP :y =x +1.①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由++−=+=3232x x y x y 解得 ==3011y x ，==4122y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由 ++−=−=3212x x y x y 解得−−=−=2171217111y x （舍），+−=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+−）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+−）. 10．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝cm ．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M 的运动速度为cm /s ，BC 的长度为cm；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm /s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围； ②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③ 第27题答图 【解析】（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm /s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v527.53=（cm /s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+=6（cm /s ），∴动点N 运动速度v （cm /s ）的取值范围为23cm /s ＜v ≤6cm /s ； AB ，交CD EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC∴5AF =解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF 4，∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=×4×212+（4+2x ﹣5）×312−×5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=×2×612+（6+15﹣2x ）×312−×5×（15﹣2x ）＝2x ，∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154−）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．11.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B ,C 两点的直线为y ＝x +n .①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M ,过抛物线上一动点N (不与点B ,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.分析:①由点A 和直线y ＝x +n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于N Q,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验.【解析】①因为点B ,C 在y ＝x +n 上,所以B (－n ,0),C (0,n ),因为点A (1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ì+-=ïï--=íï=-ïî,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5.②由题意得:PB ＝4－t ,，BE ＝2t ，由①可知:∠O BC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BP s in 45(4－t),所以S △PBE ＝12BE h 鬃＝)22t --+当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B (5,0), 因为A (1,0),所以AB ＝4,在R t △ABM 中,∠ABM ＝45°,AM AB ＝M (3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H , 设N (m ,－m 2+6m －5),则H (m ,0),P (m ,m －5),易证△P Q N 为等腰直角三角形,即N Q ＝P Q ＝所以PN ＝4.当NH +HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4,解之得,m 1＝1,m 2＝4. 当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH +HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4,解得,m 1,m 2因为m >5,所以m当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4,解得,m 1,m 2因为m <0,所以m综上所述,要使点A ,M ,N ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:412.（2019·淄博）顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．【解析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线表达式,得933030a ba b++=−+=,解得12ab=−=.∴y＝－x2＋2x＋3.(2)假设存在点P，使△P AM是直角三角形.当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，∴∠CMP＋∠AMD＝90，∴∠CMP＝∠MAD，又∵∠DM＝∠PCM，∴△CPM∽△DMA,∴CMAD＝PCMD，∴14＝2PC，∴PC＝12，∴P1(0,72);当点A为直角顶点，过A作CD⊥x轴，过M作MD⊥y轴交AD于D，过P作PC⊥y轴交CD于C，同上△CP A∽△DAM，∴PCAD＝ACMD，∴34＝2AC，∴AC＝32，∴P2(0,－32);当点P为直角顶点，过M作CM⊥y轴于C，∴△CPM∽△OAP，∴PCAO＝CMPO，∴3PC＝14-PC，∴PC＝1或3，∴P3(0,3)，P4(0,1).综上所述，使△P AM是直角三角形的点P的是P1(0,72)，P2(0,－32)，P3(0,3)，P4(0,1).（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =−+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +−−−==2y x−② ∴()()2223CI x r r =++−③由①②③得222312CI x y =−+−+2CI在312x y =−−最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI 在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I 、T三点一线时，min 3=2CI .13.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形DIGxy O1241234PB O C 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PB O C 面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴为:x ＝332224b a a a−=−=−＝3,∴a ＝14−,∴抛物线的解析式为:y ＝14−x 2+32x +4,令y ＝0,得14−x 2+32x +4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A (－2,0),B (8,0);(2)连接BC ,在抛物线y ＝14−x 2+32x +4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C (0,4),∴O C ＝4,O B ＝8,∴S △O BC ＝16,∵B (8,0),C (0,4),设l BC ：y ＝kx +b ，得0＝8k +b ，4＝b ，∴k ＝12−,b ＝4,l BC ：y ＝12−x +4,∴过点P 作PD ∥y轴交BC 于点D ,过点C 作CE 垂直PD 于点E ,过点B 作BF ⊥PD 于点F ,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD×CE +12PD ×BF ＝12PD ×(CE +BF )＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD ,∵点P 在抛物线上,设点P (x ,14−x 2+32x +4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D (x ,12−x +4),∵点P 在B ,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P－y D ＝14−x 2+32x +4－(12−x +4)＝14−x 2+2x ,S △PBC ＝4PD ＝4(14−x 2+2x )＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，当x ＝4时，S △PBC 最大16，∴S 四边形O BPC ＝S △O BC +S △PBC ＝32;∵MN ∥y 轴,∴设M ,N 的横坐标为m ,∵点M 在抛物线上,设点M (m ,n ),其中n ＝14−m 2+32m +4,点N 在直线BC 上,∴N (m ,12−m +4),∵点M 是抛物线上任意一点,∴点M 和点N 的上下位置关系不确定,∴MN ＝|14−m 2+32m +4－(12−m +4)|＝|14−x 2+2x |,∵MN ＝3,∴|14−x 2+2x |＝3,即14−x 2+2x ＝3或14−x 2+2x ＝－3,解这两个方程,得m 1＝2, m 2＝6, m 3＝4+m 4＝4－∴n 1＝6, n 2＝4, n 31, n 41,∴M 1(2,6), M 2(6,4), M 3(4+1), M 4(4－－1).14.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (－2,0),点B (4,0),与y 轴交于点C (0,8),连接BC ,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ,沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点),且分别交抛物线,线段BC 以及x 轴于点P ,D ,E .(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC ,AP ,当直线l 运动时,求使得△PEA 和△A O C 相似的点P 的坐标;(3)作PF ⊥BC ,垂足为F ,当直线l 运动时,求R t △PFD 面积的最大值.解：(1)由已知,将C (0,8)代入y ＝ax 2+bx +c ,∴c ＝8,将点A (－2,0)和B (4,0)代人y ＝ax 2+bx +8,得428016480a b a b −+= ++= ,解得12a b =−= ,∴抛物线的表达式为y ＝－x 2+2x +8; (2)∵A (－2,0),C (0,8),∴O A ＝2,O C ＝8,∵l ⊥x 轴,∠PEA ＝∠A O C ＝90°,∵∠P AE ≠∠CA O,只有当∠P AE ＝∠AC O 时,△PEA ∽△A O C .此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE .设点P 的纵坐标为k ,则PE ＝k ,AE ＝4k ,∴O E ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k ),将P (4k －2,k )代入y ＝－x 2+2x +8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k ,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在R t △PFD 中,∠PFD ＝∠C O B ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠O CB ,∴R t △PFD ∽R t △B O C ,∴2PFD=S PDS BC△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⋅△BOC ,由B (4,0)知O B ＝4,又∵O C ＝8,∴BC ＝又S △B O C ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B (4,0),C (0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x +8,设P (m ,－m 2+2m +8),则D (m ,－2m +8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.15.（2019·滨州）如图①，抛物线y ＝－x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数解析式；（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为时，求s in ∠P AD 的值．解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝－x 2+x +4，解得x 1＝－4，x 2＝8， 则点B 的坐标为（－4，0），点C 的坐标为（8，0）， ∴OA ＝OB ＝4，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°得到直线AD ，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，）即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴s in∠P1AD＝＝当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴s in∠P2AD＝＝；由上可得，s in∠P AD的值是或。
中考数学复习专题3---- 最值问题
最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法： ① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
2. 应用几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
④数轴表示两点间距离。
1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.使224(8)16x x ++-+取最小值的实数x 的值为_________。
3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）． （1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________; （2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．12-1-2-1-2123xyO5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。
（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。
中考数学最值问题总结(含强化训练)
中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。
二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。
y ac b a max =-442。
2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
2021年核心母题三 隐形圆模型的最值问题-八下数学期末统考模拟试题含解析
2021年核心母题三 隐形圆模型的最值问题-八下数学期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( )A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C2．已知y 与（x ﹣1）成正比例，当x ＝1时，y ＝﹣1．则当x ＝3时，y 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣33．在中山市举行“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学捐款金额统计如下： 金额（元） 20 3035 50 100 学生数（人） 2010 5 10 5 则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( )A ．20元，30元B ．20元，35元C ．100元，35元D ．100元，30元 4．在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =+-的图象如图所示，点()11,A x y ，()22,B x y 是该二次函数图象上的两点，其中1230x x -≤<≤，则下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．函数y 的最小值是3-D ．函数y 的最小值是4-5．函数y＝ax﹣a 的大致图象是（）A．B．C．D．6．已知一次函数y＝（k﹣2）x+k+1的图象不过第三象限，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．﹣1≤k≤2D．﹣1≤k＜27．下列关系不是函数关系的是（）A．汽车在匀速行驶过程中，油箱的余油量y（升）是行驶时间t（小时）的函数B．改变正实数x，它的平方根y随之改变，y是x的函数C．电压一定时，通过某电阻的电流强度I（单位：安）是电阻R（单位：欧姆）的函数D．垂直向上抛一个小球，小球离地的高度h（单位：米）是时间t（单位：秒）的函数8．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点。
河南省中考数学总复习核心母题三最值问题深练习
深度练习1．如图，已知直线a∥b，且 a 与 b 之间的距离为4，点 A 到直线 a 的距离为2，点 B 到直线 b 的距离为3，AB＝ 2 30. 试在直线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，知足 MN⊥a且 AM＋ MN＋ NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝ ( )第1题图A．6B．8 C ．10D．122．如图，在边长为2 的等边△ ABC中，D为 BC的中点，E 是 AC边上一点，则 BE＋ DE的最小值为 _________．第2题图3．菱形 OBCD在平面直角坐标系中的地点如下图，极点B(2 ， 0) ，∠ DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点， E(0 ，－ 1) ，当 EP＋BP 最短时，点P 的坐标为 ______________________ ．第3题图4．如图，在⊙O中，直径AB＝ 6，BC是弦，∠ ABC＝30°，点 P 在 BC上，点 Q在⊙O 上，且 OP⊥PQ.当点P 在 BC上挪动时，求PQ的最大值．第4题图5．如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－ 1，0) ，C(0，5) 两点，与 x 轴另一交点为 B. 已知 M(0，1) ，E(a ， 0) ， F(a ＋ 1， 0) ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的分析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形 MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；(3) 若△ PCM是以点 P 为极点的等腰三角形，求 a 为什么值时，四边形PMEF周长最小？请说明原因．第5题图参照答案1． B 2. 7 3.(2 3－ 3， 2－3)第 4题解图4．解：如解图，连结OQ.在 Rt△OPQ中， PQ＝2 2 2OQ－ OP＝9－ OP，1 33 2 3 3∴PQ的最大值为9－（2）＝2 .5．解： (1) 设抛物线的分析式为y＝ ax2＋bx＋ c，第 5 题解图①ba＝－ 1，－2a＝ 2，解得 b＝4，由题意得a－ b＋c＝0，c＝5，c＝ 5，2(2) 当 a＝ 1 时， E(1， 0) ， F(2 ， 0) ， OE＝ 1， OF＝ 2.设 P(x ，－ x2＋ 4x＋ 5) ．如解图①，过点P 作 PN⊥y轴于点 N，则 PN＝ x，ON＝－ x2＋ 4x＋ 5，∴MN＝ ON－OM＝－ x2＋4x＋ 4.S 四边形MEFP＝S 梯形OFPN－ S△PMN－ S△OME1 1 1＝2(OF＋PN)·ON－2MN·NP－2OE·OM1 2 1 2＋4) 1 9 2 153＝ (x ＋ 2)( － x ＋ 4x＋5) － x·( － x ＋ 4x －×1×1＝－ (x － ) ＋，2 2 2 4 169 153∴当 x＝4时， S 四边形MEFP最大，最大为16.9 2 143当 x＝4时， y ＝－ x ＋4x＋ 5＝16，9143此时点 P坐标为 (4，16 )．4第 5 题解图②(3) ∵M(0， 1) ， C(0， 5) ，△ PCM 是以点 P 为极点的等腰三角形，∴点 P 的纵坐标为 3.令 y ＝－ x 2＋4x ＋ 5＝ 3，解得 x ＝2±6.∵点 P 在第一象限，∴点 P(2＋6，3)．∵在四边形 PMEF 中， PM ， EF 长度是固定的，∴ ME ＋ PF 最小时，四边形 PMEF 的周长最小．如解图② ，将点 M 向右平移 1 个单位长度 (EF 的长度 ) ，得 M 1(1 ，1) ，作点 M 1 对于 x 轴的对称点 M 2，则 M 2(1 ，－ 1) ，连结 PM 2，与 x 轴交于 F 点，此时 ME ＋ PF ＝ PM 2最小．设直线 PM 2 的分析式为 y ＝ mx ＋ n ，（ 2＋ 6） m ＋ n ＝3， 将 P(2 ＋ 6， 3) ，M 2(1 ，－ 1) 代入得m ＋n ＝－ 1，4 6－ 4m ＝ 5 ，解得4 6＋ 1n ＝－ 5 ，4 6－ 44 6＋ 1∴y ＝x － 5 .5当 y ＝ 0 时，解得 x ＝6＋ 5 6＋ 5 ，∴ F(，0)．44∵a ＋ 1＝6＋ 5，∴ a ＝ 6＋1，446＋ 1 ∴当 a ＝时，四边形PMEF 的周长最小．4。
中考数学专题复习-如何解答最值问题(含答案)
中考数学复习如何解答最值问题最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。
下面绍如何利一次函数，二次函数的性质和对称性求最值。
◆一次函数的最值问题一、典型例题：1、（2010陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。
经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3。
（1）求y与x之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。
解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x）·（5500-1200）=-6800x+860000，（2）由题意得200-4x≤80 解之得x≥30∵-6800x+860000 -6800＜0∴y的值随x的值增大而减小当x=30时，y最大值=-6800+860000=656000元2、（广东清远2009）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元） ◆二次函数的最值问题 一、典型例题：1、（2010武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
中考数学总复习核心母题三最值问题课件
变化2：坐标系中的最值
变化3：特殊图形的最值
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
2019/5/26
最新中小学教学课件
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2019/5/26
最新中小学教学课件
(3)如图③，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是 OB上一动点，求PA＋PC的最小值是_____．
【重要考点】 两点之间，线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、三角形相关知识、基 本作图等．
【母题剖析】 (1)关键是作点A关于直线l的对称点A′. (2)由题意得PB＋PE＝PD＋PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求解即可； (3)作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于点P，A′C的长即是PA＋PC的最小 值．
核心母题三 最值问题
【核心母题】 (1)如图①，点A，B在直线l的同侧，确定直线上一点P，使PA＋PB的值最小； (2)如图②，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD， 由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于点P，则PB＋PE 的最小值是________；
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
中考 最值问题复习题(带答案)
【最值问题复习】一、 将军饮马1. 如图，在矩形ABCD 中，AD=3，点E 为边AB 上一点，AE=1，平面内动点P 满足1=3PAB ABCD S S △矩形，则DP EP -的最大值为_____________.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为 ．类型二：点到直线距离垂线段最短3.在平面直角坐标系中，原点O 到直线24y kx k =-+的最大距离为____________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.55. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是（ ）A ．B ．1C ．D ．6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为．7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN 的最小值是．9.如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为．类型三、平行线间的距离为最值10.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为．11. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是．类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值为___________.13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）15.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．16.在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m）、D（n，0），且m2+n2＝4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为．17.如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．18.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点O，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值为___________.类型六、面积、周长最值问题19. 如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．4D ．820. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝4，点P 是菱形ABCD 内或边上的一点，且∠DAP +∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为 ．21. 如图，sin ∠C ＝，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，且BC ＝5，则△BDE 周长的最小值为 ．类型七、函数最值问题22.已知22(3)9(1)4y x x =-+--+，则y 的最大值为_____________.23.已知6213309,3b ___________.a b c b c a c =+=-+，且≥，≤则的最大值为24.如图，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AB=8，若P 为AB 反向延长线上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作半圆的切线，切点为C ，过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，则AC+BD 的最大值为_______________.25. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接P A．设P A＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是．26.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN ⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为．27. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．类型八、胡不归与阿氏圆问题28. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值_________.29.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为10，点B在圆C上运动，则55OB AB+的最小值为_______________.31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0，22），点C是线段OB上的动点，则3AC BC+的最小值为_________,此时点C的坐标为_______________.【参考答案】1.【解答】 DP EP -≤1DE =22. 【解答】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △P AB ＝S 矩形ABCD ，∴AB •h ＝AB •AD ，∴h ＝AD ＝2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt △ABE 中，∵AB ＝5，AE ＝2+2＝4，∴BE ＝＝＝， 即P A +PB 的最小值为． 故答案为：．3.【解答】直线24y kx k =-+=24y k x =-+（）过定点（2,4）,OH ≤OA ，当OA 垂直于该直线时，距离最大，为254.【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．5.【解答】解：如图所示：当PE∥AB．由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即＝，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D．6.【解答】解：作点D关于x轴对称点D′，过点D′作DC⊥AB于点C，与OA交于点P，则此时PC+PD值最小．当x＝0时，y＝x+4＝4，∴OB＝4；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣4，∴OA＝4．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°．∵D′C⊥AB，∴△BCD′为等腰直角三角形，∴∠BD′C＝45°．在△OPD′中，∠POD′＝90°，∠OD′P＝45°，∴∠OPD′＝45°，∴OP＝OD′＝OD．又∵点D为线段OB的中点，∴OD＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．7.【解答】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．8.【解答】解：取MN的中点D连接PD，∵∠MPN＝90°，∴MN＝2PD，∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴△APD∽△ABC，∴，即，∴PD＝，∴MN＝2PD＝2．故答案为：2．9.【解答】解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，∵△AMP和△NPB都是等边三角形，∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，若半径OP最短，则OP⊥AB．又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，∴OA＝OB，∴AP＝BP＝3，∴在直角△AOP中，OP＝AP•tan∠OAP＝3×tan30°＝，故答案为：．10.【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，当PM⊥AB，PN⊥AD时，PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为AE，•AB•PM+•AD•PN＝AD•AE，PM+PN＝AE，∵菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝EC＝2，∴AE＝＝2．故答案为：2．11.【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC 的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN 的最小值（垂线段最短）．∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高＝×4＝2，∴PM+MN的最小值为2，故答案为2．12.【解答】线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，则AB＝2OC；当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4；13.【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝10，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝2．∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．∴最大值为7，故答案为：7．14.【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．15.【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．16.【解答】解：由题意CD＝＝2，∵E为CD中点，∴OE＝CD＝1，∴点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y＝2的对称点A′，连接OA′交直线y＝2于B，交⊙O于E．此时BA+BE＝BA′+BE的值最小．在Rt△OAA′中，OA′＝＝5，∴EA′＝5﹣1＝4，∴BA+BE的最小值为4，故答案为：4．17.【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOF＝60°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝1，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，∵＝＝，∠F AO＝∠GAE，∴△AGE∽△AFO，∴＝，∴GE＝．∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（，0），∴DE＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．18.【解答】连接OE、OD、OA，∠DAE+∠DOE=180°，所以A、E、O、D四点共圆，所以∠EAO=∠ODE=30°，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,所以CO的最小值为CH，最小值为2.19.【解答】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．故选：C．20.【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAP+∠CBP＝90°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥PB，∴当△DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大，∴当Rt△ABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大，∵∠CBA＝45°，∴点P在BC边上，且AP⊥BC，过C作CF⊥AB于F，PE⊥AB于E，∴CF＝BC＝4，PE＝AB＝2，∴P到CD的距离＝4﹣2，∴△DCP面积的最小值为：4×（4﹣2）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．21.【解答】解：如图作BK∥CF，使得BK＝DE＝2，作K关于直线CF的对称点G，连接BG交CF于D′，此时△BD′E′的周长最小．在Rt△BGK中，易知BK＝2，GK＝6，∴BG＝＝2，∴△BDE周长的最小值为BE′+D′E′+BD′＝KD′+D′E′+BD′＝D′E′+BD′+GD′＝D′E′+BG＝2+2．故答案为：2+2．22.【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2）222222(3)9(1)4(3)(03)(1)(02)y x x x x=-+--+=-+---+-表示AC-BC的值，且AC-BC≤AB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即5.23.【解答】13 6213309,c29,302a b c b c a b a=+===-，且≥，≤得≤≥，解得13962a ≤≤，所以393b 62a c a -+=-+的 取值范围是15133b 22a c -+-≤≤. 24. 【解答】连接BC ，易证△ABC ∽△CBD ，可得2BC AB BD =⋅，设AC=x ，在△ABC 中，22=64BC x -，所以2648x BD -=，所以288x AC BD x +=-++，所以当4x =时，取最大值4.25【解答】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CP A ＝90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP ＝∠APB ，∴△APC ∽△PBA ，∴，∵P A ＝x ，PB ＝y ，半径为4，∴＝，∴y ＝x 2，∴x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．26.【解答】过点H作BH⊥MC，易证△BHC∽△CNM，设CM=x，MN=y，由△BHC∽△CNM可得BC CHMC MN,代入可得y＝x2，所以CM-MN= x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2.27.【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．28. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可证得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线EF 上运动，当OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝OF ＝则OP 的最小值为．29. 【解答】考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =． M A BCD D C B A M问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，则AD +BD=DM+BD ≥BM=1030. 【解答】连接AC ，在AC 取一点M 使得2(2÷CM r BC =)，易证得 △CBM ∽CAB 5=AB BM ，所以5=OB AB BM OB OM +≥，当O 、B 、M 三点共线时取最小值，由于点M 坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.31. 【解答】13=3)3AC BC AC BC ++（,构造1sin =3α，故1tan =22α，取点D （1,0），连接BD ，作CH ⊥BD ，故1=3BC CH ，所以13=3)AC CH 3AC BC AC BC ++=+（≥AH ，当AH 垂直于BD 时，取最小值，由等积法可求得垂直时，AH 的最小值为423，所以3AC BC +的最小值为42，由相似可得此时点C 的坐标为2(0,)4.。
【精品】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题33 最值问题(学生版)
专题33 最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。
y ac b amin =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。
y ac b amax =-442。
2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为 ．【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋21QC 是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题典型训练题1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ）A.最大值为32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为23 2.（2018四川绵阳）不等边三角形∆ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
2024年中考数学复习(全国版)压轴题03 几何背景下的线段最值问题(解析版)
压轴题解题模板03几何背景下的线段最值问题目录题型一垂线段最短问题题型二将军饮马问题题型三旋转最值问题题型解读：线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的考查热度.题型一垂线段最短问题解题模板：技巧精讲：垂线段最短模型【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D 分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3D．4【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是AB 上任意一点．若CD ＝5，则DE 的最小值等于（）A ．2.5B ．4C ．5D ．10【分析】根据角平分线的性质即可得到即可，【解答】解：当DE ⊥AB 时，DE 的值最小，∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，CD ＝5，∴DE 的最小值＝CD ＝5，故选：C ．【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中．【变式1-2】如图,在AABC 中,CACB=90°,AC=BC=4,点D 是BC 边的中点,点P 是AC 边上一个动点,连接PD,以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ 的最小值是(）A.32B.1C.2D.32如图，CD 的上方,作等边ACDM,连接PM,过点M 作MHLCB 于H.∵△DPQ,△DCM 都是等边三角形∴∠CDM=∠PDQ=60°∴DP=DQ,DM=DC,∴△DPM≌△DQC(SAS),∴PM=CQ.∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值=CH=1CD=12∴CQ的最小值为1故选:B.题型二将军饮马问题解题模板：技巧精讲：1、“将军饮马”模型2、线段差最大值问题模型：【例2】（德州中考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A．B．C．D．【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，∵A、C关于BD对称，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．【变式2-1】（菏泽中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C ．A ．78【答案】D 【详解】如图，连接∵△ABC 是等腰三角形，∴点C 关于直线EF ∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=【变式2-3】已知点(1)如图①，点P 关于射线OM ON 、的对称点分别是①若30MON ，则OGH 是什么特殊三角形？为什么？②若90MON ，试判断GH 与OP 的数量关系，并说明理由；(2)如图②，若30MON ，A 、B 分别是射线OM ON 、上的点，AB ON 于点B ，点P 、Q 分别为OA AB 、上的两个定点，且 1.5QB ，2OP AQ ，在OB 上有一动点E ，试求PE QE 的最小值．【答案】(1)①OGH 是等边三角形，理由见解析；②2GH OP ，理由见解析(2)PE QE 的最小值为5．【分析】（1）①由轴对称的性质可得OP OG OH ，POM GOM ，PON HON ．根据“有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形”即可得出OGH 是等边三角形；②当90MON 时，180GOH ，G 、O 、H 在同一直线上，由此可得GH 与OP 的数量关系；（2）过Q 作ON 的对称点Q ，连接PQ ，交ON 于点E ，连接QE ，则PE QE 的最小值为PQ ，由已知条件可得60OAB ，易得5AP ，5AQ ，由此可得APQ △是等边三角形，即可得PQ 的长，即PE QE 的最小值．【详解】（1）解：①OGH 是等边三角形，∵点P 关于OM 对称的点为G ，∴OP OG ，POM GOM ，同理OP OH ，PON HON ，∴OG OH ，∵30MON ，∴60GOH ，∴OGH 是等边三角形．②2GH OP ，当90MON 时，180GOH ，∴G 、O 、H 在同一直线上，OP OG OH ．∵2GH OG OH OC ，∴2GH OP ；（2）解：过Q 作ON 的对称点Q ，连接PQ ，交ON 于点E ，连接QE ，【答案】②③④延长ME交BC于点H,则ABHM为矩形，∴2222BD AB AD6810，∵ME AD，MN BD∴MED MDE MEP EMN【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．题型三旋转最值问题【例3】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60 得到CF．连接AF，EF，DF，则CDF周长的最小值是．作点C 关于AF 的对称点C ，连接在Rt AOC 中，30CAO ，则则当,,D F C 三点共线时，FC FD ∵6CC AC ，ACO C CD ∴ACO C CD≌∴90C DC AOC在C DC 中，22C D CC CD ∴CDF 周长的最小值为CD FC 故答案为：333 ．【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．62【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将长转化到一条直线上．【变式3-2】如图，已知矩形ABCD，AB＝MA＋MD＋ME的最小值为．【答案】4+33【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值；【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM ∴AM＝MM′，【答案】410【分析】延长DC 到H ，使得5BJ BP ，连接得：5HJ PC ，从而得到【详解】解：延长DC 到PBJ CBH ，使得BJPBJ CBH ∵，BP BJ PB BJ BC BH，JBP HBC ∽，90BPJ BCH 22PJ BJ PB PBC JBH ∵，PB BJ PBC JBH ∽，55PC PB JH BJ ，5H J PC25PA PB PC PA PA PJ JH AH ∵，254PA PB PC 25PA PB PC 的值最小，最小值为【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，马点问题，利用相似构造A ．1B ．2【答案】A 【分析】先证明OC OD ，四边形菱形对角线的交点，OF CD 【详解】解：∵ABCD Y ，AC ∴ABCD Y 是矩形，∴OC OD ，∵OC DF ∥，DO CF ∥，∴四边形OCFD 是菱形，∴G 为菱形对角线的交点，OF ∴当GP CF 时，GP 最小，∵ABCD Y 即矩形ABCD 的面积为∴3OC OD ，1124OCD S∴26OCD OCFD S S 菱形，∴13642CGF S ，则点P 到BC 的距离是cm ．【答案】4【分析】利用菱形对角线平分一组对角，得到为4cm.【详解】根据菱形对角线平分一组对角，∴BD 平分∠ABC ，∴P 到BC 的距离=P 到AB 的距离，∵P 到AB 的距离为PE 的长，即为∴P 到BC 的距离为4cm ，故答案为：4.【点睛】本题考查了菱形的性质和角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键4．如图，在ABC 中，90,C AC 则DE 的最小值为．【答案】32【分析】连接CP ，利用勾股定理列式求出DE CP ，再根据垂线段最短可得程求解即可．【详解】解：如图，连接CP ，∵90,6C AC BC ，∴222266AB AC BC ∵PD BC 于点D ，PE AC 于点∴四边形CDPE 是矩形，∴DE CP ，由垂线段最短可得CP AB 时，线段此时，1122ABC S AC BC AB △ 代入数据：11666222创=创∴32CP ，∴DE 的最小值为32，【答案】23【分析】过点P 作PQ AB 于点出30BAF ，然后利用含30 P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P 作PQ AB 由题意知：AF 平分BAC ，∵90ACB ，30ABC ，∴60BAC ，∴1302BAF BAC ，（Ⅰ）使AP BP取最小值的动点P的位置在点（Ⅱ）当AP BP的值最小时，请直接写出【答案】左15 /15度【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．（Ⅰ）作点B关于直线MN对称的点D，连接点P的位置在点C的左侧；（Ⅱ）当AP BP的值最小时，根据轴对称的性质得到，即可得到CAD D，得到15AC DC【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线MN最小值，此时点P的位置在点C的左侧；（Ⅱ）当AP BP的值最小时，∵点B和点D关于直线MN对称，∴60BCN DCN ，BC DC ，CBP D ，∴120BCD BCN DCN ，∵90ACB ，∴360150ACD ACB BCD ，∵AC BC ，BC DC ，∴AC DC ，∴15CAD D ，∴15CBP D ．故答案为：左，15 ．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，点A 的坐标为(2,3) ．点B 的坐标为(3,1) ，点C 的坐标为(1,2) ．(1)作出ABC 关于y 轴对称的A B C ，其中A ，B ，C 分别是A ，B ，C 的对应点；(2)写出C 的坐标；(3)在x 轴上找一点P ，使得PB PA 的值最小．（保留作图痕迹）【答案】(1)见详解(2)(1,2)(3)见详解【分析】（1）先做出A ，B ，C 三点关于y 轴的对称点A ，B ，C ，再顺次连接A ，B ，C 即可；（2）C 点的坐标为(1,2) ；（2）C 点的坐标为(1,2) ；（3）如图，点P 即为所求作．9．如图1：正方形ABCD 的边长为等腰直角三角形ECF ，连接BE ，DF (1)当点E 在线段AD 上运动时，试判断BE 与DF 的数量关系，并说明理由．(2)当2AE ED 时，求DF 的长．(3)如图2，连接BF ，则BE BF 的最小值为______．【答案】(1)BE DF ，理由见解析(2)13DF 或35DF (3)310【分析】（1）根据“边角边”证明BCE DCF △≌△,即可得到（2）分当点E 在线段AD 上和点E 在线段AD 延长线上两种情况分类讨论，根据勾股定理即可求解；（3）作FH AD 于H ，先证明ABE HDF V V ≌得到AB DH如图4，当点E 在线段AD 延长线上时，∵2AE ED ，∴26AE AD ，∴在Rt BAE △中，BE AB ∴35DF BE ．综上所述，13DF 或DF（3）解：如图5，作FH AD ∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABC BAE HDC ∴90BAE DHF∵BCE DCF △≌△,∴EBC FDC ，∴ABC EBC HDC ∴ABE HDF ，又∵BE DF ，∴ABE HDF V V ≌,∴3AB DH ，在DH 延长线上截取HM DH ∴9AM AD DH HM ，∵FH MD ，∴DF MF ，∴BE BF DF BF MF ∴当点B 、F 、M 在同一直线上时，在Rt ABM 中，2BM AB 故答案为：310(1)如图1，若AC BC ，CD 平分ACB 交AB 于点D ，且3AD BD ．证明：(2)如图2，若AC BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60 至CF ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC BC ，P 为平面内一点，将ABP 沿直线AB 翻折至ABQ 最小值时，直接写出BP CQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC AB CG ，理由见解析(3)21333913 【分析】（1）过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE 32DE DF BD ，由3AD BD ，求得1sin 2DE A AD ，可证得30A （2）延长BA ，使得BH BC ，连接EH ，CH ，易证BCH V 为等边三角形，进而可证可得 BF HE ，BFC HEC ，可知AEH CFG ，易证得AEH CFG △≌△BC BH AB AH AB CG 可得结论；（3）由题意可知ABC 是等边三角形，如图，作CM CA ，且32CM CA 可得32CM CN CA CQ ，22132QN CQ CN CQ ，可知ACQ MCN △∽△，可得∵CD 平分ACB ∴DE DF ，又∵=60B ，∴sin 60DE BD 又∵3AD BD ，∴sin DE A AD ∴30A ；（2）BC AB CG 延长BA ，使得BH∵60ABC ，BH BC ，∴BCH V 为等边三角形，∴CB CH ，60BCH =，∵CE 绕点C 逆时针旋转60 至∴CE CF ，60ECF ，则∴ECH FCB ，∴ SAS BCF HCE △≌△，∴ BF HE ，BFC HEC ，则∵BF FG ，∴BF HE FG ，又∵E 为AC 中点，∴ AE CE CF ，∴ SAS AEH CFG △≌△，∴AH CG ，∴BC BH AB AH AB CG （3）∵60ABC ，AC BC ∴ABC 是等边三角形，如图，作CM CA ，且CM 3CM CN则90ACM QCN ，∴ACM ACN QCN ACN ，则ACQ ∴ACQ MCN △∽△，∴32MN CM AQ CA ，即：32MN AQ ，∴3133213222AQ BQ CQ AQ BQ CQ 即：点Q ，N 都在线段BM 上时，32AQ BQ 过点C 作CR BM ，过点M 作MT BC 交BC 延长线于则90BRC BTM ，3sin 13CR CQ CQN CQ，cos QR CQ CQN 又∵CBR MBT ，∴CBR MBT △∽△，∴BR BT CR MT ，∵ABC 是等边三角形，设BC a∴60ACB ，AC BC a ，则32CM a，∵90ACM ，∴30MCT ，则33cos304CT CM a ，MT∴2253BP AP PC =【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ；（2）232【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x 题；②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝22，∠B＝∴AC＝22＝AB BC∵△ADE绕点D逆时针旋转∴∠DCF＝∠DAE＝45°，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF设AE＝CF＝x，EF2＝y，则∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x即y＝2（x−2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为当x＝4时，y最大值＝16∴8≤EF2≤16．由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，。
七年级数学 核心母题三
郑重声明本文档为教师用书配套增值产品，仅供教师个人授课使用，切勿用于商业用途，对私自上传其他网络平台（百度文库、豆丁网、学科网、菁优网等）的行为，本公司将追究其法律责任！核心母题三隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题详解】【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)，来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决．模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在以说明AB为直径的圆上【核心突破】1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△A OB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则说明点D′在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹说明为以A为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．2．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形(∠ACB＝∠DCE＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，连接AD、AE、BD，直线AE与BD 相交于点H.点P、M、N分别是AD、AB、DE的中点．若AC＝4，CD＝2，则在旋转过程中，△PMN的面积的最大值为________．参考答案【核心母题剖析】25－2 【解析】∵将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，∴AD′＝AD，∴点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，连接AC交⊙A于D′，此时CD′取得最小值．∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∴由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝25，∴CD′的最小值为AC－AD＝25－2.【核心归纳突破】模型一、直角模型1．A 【解析】∵DE＝CF，∴AE＝DF，在Rt△ABE和Rt△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝DA，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE＋∠BAH＝90°，∴AH⊥BE，点H的轨迹是以AB为直径的圆P，如解图，连接DP，交⊙P于点H，此时DH的长度最小，∵AB＝AD＝6，∴AP＝3，∴DP＝AD2＋AP2＝62＋32＝35，∴DH＝DP－PH＝35－3.2．2 【解析】∵AP⊥BP，∴点P在以AB为直径的圆上，∵A(－3，0)，B(3，0)，∴AB的中点为O，如解图，连接OM，交⊙O于P，此时MP最小，∵点M的坐标为(3，4)，∴OM＝5，∴MP的最小值为MO－OP＝5－3＝2.模型二、定角模型1.19－2 【解析】如解图，以AB 为边在矩形ABCD 内作等边△ABM，设△ABM 的外接圆圆心为O ，连接AO ，OC ，OM ，延长MO 交AB 于N ，过点O 作OE⊥BC 于E ，则AN ＝BN ＝3，易得∠AON＝60°，∴ON＝1，AO ＝2，∴CE＝BC －BE ＝BC －ON ＝4，在Rt△COE 中，由勾股定理得OC ＝OE 2＋CE 2＝19，∵∠APB＝60°＝∠AMB，∴点P 在⊙O 在矩形内部分的弧上，∴当CO 交⊙O 于P 时，CP 最小，最小值为19－2.2．解：∵AB＝4，点E 是AB 的中点，∴AE＝BE ＝2，如解图，过点E 作EF⊥y 轴于F ，则四边形AEFO 是正方形，以F 为圆心，FE 为半径画圆，在优弧EO 上取点P ，连接OP ，EP ，则∠EPO＝12∠EFO＝45°. 连接CF 交⊙F 于P ，则此时CP 最小．设BC 交y 轴于G ，则CG ＝OD ＝1，FG ＝2，∴由勾股定理得FC ＝5，∴CP 的最小值为CF －FP ＝5－2.模型三、折叠、旋转模型1.1255 【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3，而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF＝125，DH ＝95，∴BH＝245，∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255. 2.92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，∴AC＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB＋∠BCE＝∠BCE＋∠ECD，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD ，∠CAE＝∠CBD，∴∠HBA＋∠HAB＝∠HBC＋∠CBA＋∠HAB＝∠CBA＋∠CAB＝90°，∴BD⊥AE.∵P，M 分别是AD ，AB 的中点，∴PM∥BD，且PM ＝12BD ，同理，PN∥AE，且PN ＝12AE ，∴PM⊥PN，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.。
中考数学二轮复习模拟题 专题03 最值问题(解析版)
专题三最值问题一、填空题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知O 的半径是4，点A ，B 在O 上，且90AOB ∠︒＝，动点C 在O 上运动（不与A ，B 重合），点D 为线段BC 的中点，连接AD ，则线段AD 长度的最值是_____．【答案】2+【分析】取OB 中点E 得DE 是OBC △的中位线，知122DE OC ==，即点D 是在以E 为圆心，2为半径的圆上，从而知求AD 的最大值就是求点A 与E 上的点的距离的最大值，据此求解可得．【详解】解：如图1，连接OC ，取OB 的中点E ，连接DE ．则122OE EB OB ===，又∵点D 为线段BC 的中点，在OBC △中，DE 是OBC △的中位线，∴122DE OC ==，∴EO ED EB ==，即点D 是在以E 为圆心，2为半径的圆上，∴求AD 的最大值就是求点A 与E 上的点的距离的最大值，如图2，当D 在线段AE 延长线上时，AD 取最大值，∵4OA OB ==，90AOB ∠=︒，2OE EB ==，∴2225AE OA OE +=2D E '=，∴AD 取最大值为252AD AE D E ''=+=+，故答案为：252．二、解答题2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，ABC 中，90,6cm,12cm B AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，当P 运动到B 点时P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为s t ．(1)BP =______cm ；BQ =______cm （用含t 的代数式表示）(2)D 是AC 的中点，连接PD QD PQ 、、，t 为何值时，有最值？PDQ 的面积最值为多少？【答案】(1)()6-t ；2t(2)t 为3时，PDQ 的面积有最小值，最小值为9【分析】（1）根据速度乘时间等于路程，列出代数式即可；（2）过点D 分别作,DE BC DF AB ∥∥，分别交,AB BC 于点E ，F ，可得1,1AE AD CF CD BE CD BF AD====，四边形BEDF 是矩形，从而得到6cm,3cm AE BF DF BE ====，再由PDQ 的面积等于ABC APD BPQ CDQ S S S S --- ，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：cm,2cm AP t BQ t ==，∵6cm AB =，∴()6cm BP t =-；故答案为：()6-t ；2t（2）解：∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，如图，过点D 分别作,DE BC DF AB ∥∥，分别交,AB BC 于点E ，F ，∴1,1AE AD CF CD BE CD BF AD====，∵90B DEB DFB ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDF 是矩形，∵6cm,12cm ==AB BC ，∴6cm,3cm AE BF DF BE ====，∵90B Ð=°，∴()()2211266cm 22PBQ S BP BQ t t t t =⨯=⨯-=-△，()()2113122183cm 22DQC S DF CQ t t =⨯=⨯-=-△，21163cm 22APD S AP DE t t =⨯⨯=⨯=△2136cm 2ABC S AB BC =⨯=△，∴()()23661833PQD S t t t t=-----△2618t t =-+()239t =-+，∵06t <<，∴当3t =时，有最值为9答：t 为3时，PDQ 的面积有最小值，最小值为9．3．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）一元二次方程中，根的判别式24Δb ac =-通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数266y x x =-+，当x 为何值时，y 取最小值，最小值是多少？解答：已知函数266y x x =-+，()2660x x y ∴-+-=，（把y 当作参数，将函数转化为关于x 的一元二次方程）240b ac -≥ ，即()36460y --≥，3y ≥-，（当y 为何值时，存在相应的x 与之对应，即方程有根）因此y 的最小值为3-，此时2663x x -+=-，解得123x x ==，符合题意，所以当3x =时，min 3y =-．应用：(1)已知函数2463y x x =-+-，当x =__________时，y 的最大值是___________．(2)已知函数222344x x y x x -+=-+，当x 为何值时，y 取最小值，最小值是多少？【答案】(1)34，34-；(2)即x 为-1时，y 取最小值，最小值是23.【分析】（1）仿照题目所给的解题方法解答即可.（2）先将222344x x y x x -+=-+转化成一元二次方程的形式，其中y 是参数，然后按照题目所给的方法解答即可.【详解】（1）解：已知函数2463y x x =-+-24630x x y ∴-＋＋＝23403616304b ac y y -≥-≥≤-，即（＋）， 因此，y 的最大值为34-，此时-234634x x -+-=-解得2134x x ==，符合题意.∴当34x =时，max 34y =-故答案为：33,44-（2）已知函数222344x x y x x -+=-+224423y x x x x ∴--（＋）=＋得2(1)24)430y x y x y --+-=+(224024)41430b ac y y y -≥----≥，即( （）(）整理得128y ≥23y ≥因此y 的最小值为23，此时22232443x x x x -+=-+得22369288x x x x --＋＝＋2210x x ＋＋＝得121x x ==-，符合题意.∴当=1x -，min 23y =即x 为-1时，y 取最小值，最小值是234．（2022春·江苏淮安·九年级校联考期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =2x −2x −3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点．(1)A 点坐标：；顶点D 的坐标：；(2)如图1，抛物线的对称轴上是否存在点T ，使得线段TA 绕点T 顺时针旋转90°后，点A 的对应点A '恰好也落在此拋物线上?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上第四象限的一个动点，连接AP 、BE 交于点G ，设BGP ABGS w S = 则w 有最大值还是最小值？w 的最值是多少？(4)点Q 是抛物线对称轴上一动点，连接OQ 、AQ ，设AOQ △外接圆圆心为H ，当sin OQA ∠的值最大时，变直接写出点H 的坐标．【答案】(1)（-1，0），（1，-4）(2)点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；(3)w 有最小值，最小值为2425；(4)（-12-12，）【分析】（1）令y =0，解方程可求得A 、B 两点的坐标，利用配方法配成顶点式，即可求得顶点D 的坐标；（2）作出解图的辅助线，利用AAS 证明A TU ' ≌△TAV ，根据全等三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质即可求解；（3）根据已知条件设P （m ，2m -2m -3），其中0＜m ＜3，求得直线AP 的解析式，直线BE 的解析式，联立即可求得点G 的坐标，根据三角形的面积公式求得28383w m m =-++，令z =-32m +8m +3，根据二次函数的性质求得z 的最大值，即可求得w 的最小值；（4）作△AOQ 的外心H ，作HG ⊥x 轴，则AG =12AO =12，进而可得H 在AO 的垂直平分线上运动，根据题意当sin ∠OQA 最大转化为求当AH 取得最小值时，sin ∠OQA 最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得AH =32，运用勾股定理求得HG ，即可求得点H 的坐标，根据对称性求得另一个坐标．（1）解：∵抛物线y =2x -2x -3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，D 为抛物线顶点．∴令x =0，得：y =-3，则C （0，-3），令y =0，得：2x -2x -3=0，解得：1x =-1，2x =3，则A （-1，0），B （3，0），∵y =2x -2x -3=（x -1）2-4，∴D （1，-4）；故答案为：（-1，0），（1，-4）；（2）解：由（1）知对称轴为直线x =1，设对称轴直线与x 轴交于点V ，过点A '作A U '⊥TV 于点U ，如图：∵A TA ∠'=90°，A T TA '=，∴A TU ATV ∠+∠'=90°，∠ATV +∠TAV =90°，∴A TU ∠'=∠TAV ，∴A TU ' ≌△TAV (AAS)，∴A U '=TV ，TU =AV =2，设TV =a ，则A U '=a ，点T 的坐标为(1，a )，∴点A '的坐标为(1-a ，a +2)，由题意得a +2=()21a --2(1a -)-3，整理得2a -a -6=0，解得a =3或-2，∴点T 的坐标为(1，3)或(1，-2)；（3）解：∵点P 在第四象限的抛物线上，AP 、BE 交于点G，如图，设P （m ，2m -2m -3），其中0＜m ＜3，设直线AP 的解析式为y =cx +d ，∵A （-1，0），P （m ，2m -2m -3），∴2023c d mc d m m -+=⎧⎨+=--⎩，解得：33c m d m =-⎧⎨=-⎩，∴直线AP 的解析式为y =（m -3）x +m -3，设直线BE 的解析式为y =ex +f ，∵B （3，0），E （0，-2），∴302e f f +=⎧⎨=-⎩，解得：232e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BE 的解析式为y =23x -2，联立方程组，得：(3)3223y m x m y x =-+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：33311248311m x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴248311G m y m -=-，∵0＜m ＜3，∴24-8m ＞0，3m -11＜0，∴248311m m --＜0，∴1||||211||||||22G ABG G BGP P G P G AB y S y w S y y AB y AB y ∆∆⋅===-⋅-⋅2||824248(23)||311311G P G y m m m m y y m m --==÷-++---28383m m =-++，令224253833()33z m m m =-++=--+，∵-3＜0，∴当m =43时，z 取得最大值253，w 取得最小值为8253=2425，∴w 有最小值，最小值为2425；（4）解：如图，作△AOQ 的外心H ，作HG ⊥x 轴，则AG =GO =12，∵AH =HO ，∴H 在AO 的垂直平分线上运动，依题意，当sin ∠OQA 最大时，即∠OQA 最大时，∵H 是△AOQ 的外心，∴∠AHO =2∠AHG =2∠OQA ，即当sin ∠AHG 最大时，sin ∠OQA 最大，∵AG =12AO =12，∴sin ∠OQA =sin ∠AHG =12AG AH AH=，则当AH 取得最小值时，sin ∠OQA 最大，∵AH =HQ ，即当HQ ⊥直线x =1时，AH 取得最小值，此时HQ =1-（-12）=32，∴AH =32，在Rt △AHG 中，HG∴H （-12，根据对称性，则存在H （-12，，综上所述，H （-12H （-12，）．故答案为：（-12）或（-12，．5．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）若函数G 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y -=，则称函数G 是在m x n ≤≤上的“最值差函数”．(1)函数①1y x=；②1y x =+；③2y x =．其中函数______是在12x ≤≤上的“最值差函数”；（填序号）(2)已知函数()2:430G y ax ax a a =-+>．①当1a =时，函数G 是在1t x t ≤≤+上的“最值差函数”，求t 的值；②函数G 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k ，使得max min y k y =，求a 的取值范围．【答案】(1)②(2)①1t =，2t =；②116a =【分析】（1）根据概念分别将①1y x =；②1y x =+；③2y x =的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案；（2）①分别求出x t =、1x t =+、2x =时的y 值，再分2t >、322t ≤≤、312t ≤<、1t <进行讨论，即可得出t 的值；②由221m x m +≤≤+，可得出1m >，即可知2221m x m <+≤≤+，此时x 在抛物线的对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，即可得出max miny k y =的表达式，再根据k 为整数，求出m 的值，即可求出a 的值．【详解】（1）对于①1y x =，当1x =时，1y =，当2x =时，12y =，∴max min 1y y -≠，不符合题意；对于②1y x =+，当1x =时，2y =，当2x =时，3y =，∴max min 1y y -=，符合题意；对于③2y x =，当1x =时，1y =，当2x =时，4y =，∴max min 1y y -≠，不符合题意；故答案为：②（2）①解：当1a =时，二次函数()2:430G y ax ax a a =-+>为243y x x =-+，对称轴为直线2x =．当x t =时，2143y t t =-+，当1x t =+时，()()22214132y t t t t =+-++=-，当2x =时，31y =-．若2t >，则211y y -=，∴()222431t t t t ---+=解得2t =（舍去）；若322t ≤≤，则231y y -=，∴()2211t t ---=解得0=t （舍去），2t =；若312t ≤<，则131y y -=，∴()24311t t -+--=解得1t =，3t =（舍去）；若1t <，则121y y -=，∴()224321t t t t -+--=解得1t =（舍去）．综上所述，1t =，2t =．②∵221m x m +≤≤+，∴1m >，∴2221m x m <+≤≤+，∵二次函数()2430y ax ax a a =-+>的对称轴为直线2x =∴当2221m x m <+≤≤+时，y 随x 的增大而增大∴当21x m =+时取得最大值，2x m =+时取得最小值，∴()()()()2max 2min 214213444112423a m a m a y m k y m m a m a m a +-++====-+++-++，∴m ，k 为整数，且1m >，∴m 的值为3，又∵max min 1y y -=，∴()()()()226146133243231a a a a a a ⎡⎤+-++-+-++=⎣⎦∴116a =．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y （盒）与销售单价x （元/盒）的关系满足一次函数100=-+y x ，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．(1)若该专卖店某天获利800元，求销售单价x （元/盒）的值；(2)当销售单价x 定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？(3)若该专卖店决定每销售一盒就捐出()15m m ≤元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m 的取值范围为______．【答案】(1)60或80(2)当销售单价x 定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元(3)1015m ≤≤【分析】（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解；（2）设该专卖店每天获利w 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；（3）设该店每天扣除捐出后的利润为y 元，每天销售量为a 盒，则每盒的销售单价为()100a -+元/盒，每盒的利润为()1004060a a -+-=-+元，根据题意列出y 关于a 的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．(1)解：根据题意得：()()10040100800x x x -+--+=，解得：1260,80x x ==，答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；(2)解：设该专卖店每天获利w 元，根据题意得：()()()2210040100140400070900w x x x x x x =-+--+=-+-=--+，∴当销售单价x 定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；(3)解：设该店每天扣除捐出后的利润为w 元，每天销售量为a 盒，则每盒的销售单价为()100a -+元/盒，每盒的利润为()1004060a a -+-=-+元，根据题意得：()()26060w a a ma a m a =-+-=-+-，∵10-<，∴该图象开口向下，对称轴为：602m a -=，根据题意得：当25a ≥时，y 随a 的减小而增大，∴60252m -≤，解得：10m ≥，∵15m ≤，∴m 的取值范围为1015m ≤≤．7．（2022·江苏·九年级专题练习）我们曾经研究过：如图1，点P 在⊙O 外或点P 在⊙O 内，直线PO 分别交⊙O 于点A 、B ，则线段PA 是点P 到⊙O 上各点的距离中最短的线段，线段PB 是点P 到⊙O 上各点的距离中最长的线段．【运用】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E 是AC 的中点．（1）如图2，若F 是BC 边上一动点，将△CEF 沿EF 所在的直线翻折得到△C ′EF ，连接C ′B ，则C ′B 的最小值是（2）如图3，若取AB 的中点D ，连接DE ，得等腰Rt △ADE ，将△ABC 绕点A 旋转，点P 为射线BD ，CE 的交点，点Q 是AE 的中点．①BD 与CE 的位置关系是②连接PQ ，求PQ 的最大值和最小值．【拓展】（3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值【答案】（15；（2）①CE⊥BD；②PQ的最大值为212+，PQ的最小值为212；（3）3．【分析】（1）连接BE，由△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，可得C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，在Rt△ABE中，BE5BC'5；（2）①证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA=∠ECA，而∠ECA+∠AGC=90°，即得∠DBA+∠BGP=90°，∠P=90°，可得CE⊥BD；②由∠DPE=90°，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，而PT=DT=ET=12DE=22，TQ=12AD=12，即得PQ最大值为212，当PQ最小时，Q在线段PT上，可求PQ最小值为PT-TQ=21 2；（3）由BP=BC•sin∠BCP，知当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，在Rt△AEC中，EC3证明△AEC≌△ADB（SAS），可得BD=EC3∠ADB=∠AEC=90°，即知PD=AE=1，故BP3．【详解】解：（1）连接BE，如图：∵△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，∴EC=EC'=12AC=1，∴C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，∴C'在BE上时，BC'最小，此时BC'=BE-C'E，在Rt △ABE 中，BE =∴BC ，；（2）①如图：∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD =AE ，∠DAE =90°，∵∠BAC =90°，∴∠DAB =90°-∠BAE =∠EAC ，而AB =AC ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠DBA =∠ECA ，∵∠ECA +∠AGC =90°，∠AGC =∠BGP ，∴∠DBA +∠BGP =90°，∴∠P =90°，∴CE ⊥BD ，故答案为：CE ⊥BD ；②由①知，CE ⊥BD ，即在△DEP 中，∠DPE =90°，∴P 的轨迹是以DE 为直径的圆，设T 为DE 中点，当PQ 最大时，线段PQ 过T ，如图：∵△ADE 是等腰直角三角形，AE =AD =1，∴DE∴PT =DT =ET =12DE =2，而QT 是△ADE 中位线，∴TQ =12AD =12，∴PQ当PQ 最小时，Q 在线段PT 上，如图：此时PT =2，TQ =12，∴PQ 最小值为PT -TQ =12，故PQ 的最大值为12，PQ 的最小值为12；（2）如图：由（2）可知，CE ⊥BD ，∴∠BPC =90°，∴BP =BC •sin ∠BCP ，而BC ，∴BP ∠BCP ，当∠BCP 最小时，BP 最小，而∠ACB =45°，∴当∠ACE 最大时，∠BCP 最小，此时AE ⊥CP ，在Rt △AEC 中，AE =1，AC =2，∴EC ∵AE =AD ，∠EAC =90°-∠BAE =∠DAB ，AC =AB ，∴△AEC ≌△ADB （SAS ），∴BD =EC ADB =∠AEC =90°，∴四边形ADPE 是正方形，∴PD =AE =1，∴BP =BD -PD ，．8．（2021秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值【迁移拓展】（3）如图2，BC＝D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．【答案】（1）OC=AE，证明见解析；（2）6；（3）AC的最大值为最小值为【分析】（1）结论：OC=AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）当E、O、A共线，AE有最大值，此时OC有最大值，据此求解即可；（3）当点A在线段BD的左侧时，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，所以欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；当点A在线段BD的左侧时，同理可求AC的最小值．【详解】解：【解决问题】（1）由题意，作图如下：OC＝AE，理由如下：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∠+∠=∠+∠∴CBA ABO ABO OBE即：∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．+≥，（2）在△AOE中，OE OA AE∴当E、O、A共线时，AE取得最大值，∵2OE =,4OA =∴AE 的最大值为6，∴OC 的最大值为6．（3）【迁移拓展】如图2中，当点A 在线段BD 的左侧时,以BC 为边作等边三角形△BCM ，∵∠ABD ＝∠CBM ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBM ，且AB ＝DB ，BC ＝BM ，∴△ABC ≌△DBM （SAS ），∴AC ＝DM ，∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可，∵BC ＝BDC ＝90°，∴点D 在以BC 为直径的⊙O 上运动，所以当点D 在BC 上方，DM ⊥BC 时，DM 的值最大，此时，DM DO OM DO =+==∴AC 的最大值为当点A 在线段BD 的右侧时，同理可得AC 的最小值为-综上所述AC 的最大值为9．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）我们曾经研究过：如图1，点P 在O 外或点P 在O 内，直线PO 分别交O 于点A 、B ，则线段PA 是点P 到O 上各点的距离中最短的线段，线段PB 是点P 到O 上各点的距离中最长的线段．【运用】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E 是AC 的中点．（1）如图2，若F 是BC 边上一动点，将CEF △沿EF 所在的直线翻折得到'C EF △，连接C'B ，则C'B 的最小值是__________．（2）如图3，若取AB 的中点D ，连接DE ，得等腰Rt ADE △．将ABC 绕点A 旋转，点P 为射线BD ，CE 的交点，点Q 是AE 的中点．①BD 与CE 的位置关系是__________．②连接PQ ，求PQ 的最大值和最小值．【拓展】（3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的ADE V 绕点A 旋转，而ABC 不动，记点P 为射线BD ，CE 的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB 的长度存在最值，请直接写出PB 的最小值__________．【答案】（151；（2）①垂直；②PQ 的最大值为212+，最小值为212；（331【分析】（1）如图，连接BE ，根据题意可得C '的轨迹是以E 为圆心，1为半径的圆，在Rt ABE 中，由勾股定理得5BE =（2）①可先证明△DAB ≌△EAC ，可得∠DBA =∠ECA ，又由∠ECA +∠AGC =90°，可得∠DBA +∠BGP =90°，即可求解；②由①知，CE ⊥BD ，可得P 的轨迹是以DE 为直径的圆，设T 为DE 中点，然后根据当PQ 最大时，线段PQ 过T ；当PQ 最小时，Q 在线段PT 上，即可求解；（3）由【运用】可知，CE ⊥BD ，可得sin BP BC BCP =⋅∠，又由当∠BCP 最小时，BP 最小，此时AE ⊥CP ，再证明△AEC ≌△ADB ，可得到四边形ADPE 是正方形，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接BE ，∵将CEF △沿EF 所在的直线翻折得到'C EF △，点E 是AC 的中点，∴112EC EC AC '===，∴C '的轨迹是以E 为圆心，1为半径的圆，∴C '在BE 上时，C'B 最小，此时C B BE C E ''=-，在Rt ABE 中，由勾股定理得：BE ===，∴1C B '=；（2）①如图，∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD =AE ，∠DAE =90°，∵∠BAC =90°，∴∠DAB =90°-∠BAE =∠EAC ，而AB =AC ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠DBA =∠ECA ，∵∠ECA +∠AGC =90°，∠AGC =∠BGP ，∴∠DBA +∠BGP =90°，∴∠P =90°，∴CE ⊥BD ；②由①知，CE ⊥BD ，即在△DEP 中，∠DPE =90°，∴P 的轨迹是以DE 为直径的圆，设T 为DE 中点，当PQ 最大时，线段PQ 过T ，如图：∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD =AE ，∠DAE =90°，∵AB 的中点D ，∴112AD AE AB ===，∴DE =，∴122PT DT ET DE ===，∵点Q 是AE 的中点，∴TQ 是△ADE 的中位线，∴12TQ AD =，∴PQ 的最大值为PT TQ +=；当PQ 最小时，Q 在线段PT 上，如图此时，2PT =，12TQ =，∴PQ 的最小值为12PT TQ -=，综上所述，PQ 的最大值为12，最小值为12-；（3）由【运用】可知，CE ⊥BD ，∴∠BPC =90°，∴sin BP BC BCP =⋅∠，∵BC ==，∴sin BP BCP =∠，当∠BCP 最小时，BP 最小，∵45ACB ∠=︒，∴当ACE ∠最大时，∠BCP 最小，此时AE ⊥CP ，在Rt AEC 中，AE =1，AC =2，∴EC ==，∵AE =AD ，∠EAC =90°-∠BAE =∠DAB ，AC =AB ，∴△AEC ≌△ADB （SAS ），∴BD =EC，∠ADB =∠AEC =90°，∴四边形ADPE 是正方形，∴PD =AE =1，∴BP =BD -PD ．10．（2022秋·江苏·九年级专题练习）数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子246a a ++的最小值．解:原式:()2442a a =+++2(2)2a =++∵2(2)0a +≥,∴2(2)22a ++≥,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法．．．．．求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①221x x -+;②2247x x ++;③223x x -++;④221x y -+;⑤2221x y -+;⑥25y y --+．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下3个二次多项式:①2244122a b a b -+-+;②22964125a b ab a b +-+-+;③2224223a b c ab a c ++--+．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为3分､4分､5分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为258-,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到:2(1)x -,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到223(2)472⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭a b ,无法确定最值,②进行研究,配方后得到2(32)1-++a b 即可,③进行研究,配方后得到222131252(2)22448⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a c 即可,选择一个作答即可．【详解】（1）①②③⑥①2221(1)x x x -+=-最小值为0②2222472(21)52(1)5++=+++=++x x x x x ,∵2(1)0x +≥,∴22(1)55++≥x ,即原式最小值5;③22223(21)4(1)4-++=--++=--+x x x x x ,∵2(1)0x -≥,∴2(1)0x --≤,∴2(1)44x --+≤,即原式有最大值为4;④221x y -+,无法确定最值;⑤2221x y -+,无法确定最值;⑥2221211215(4424⎛⎫--+=-+++=-++ ⎪⎝⎭y y y y y ,∵21(y )02+≥,∴21(y 02-+≤,∴212121(y )244-++≤,即原式有最大值为214;（2）①2222344122(2)472a b a b a b ⎛⎫-+-+=+-++ ⎪⎝⎭无最值②222964125(3)4(3)5+-+-+=-+-+a b ab a b a b a b 22(3)4(3)41(32)1=-+-++=-++a b a b a b ∵2)0(32-+≥a b ,∴2(32)11≥-++a b ,即原式有最小值为1③2224223a b c ab a c++--+222213112524(44)2()442168=-++-++++-a ab b a a c c 222131252(2)22448⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a c ,∵20122⎛⎫- ⎪⎝⎭≥b a ,2(2)0a -≥,2014⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥c ,∴222131252522)224488⎛⎫⎛⎫-+-++-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a c ,即原式有最小值为258-．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：()2222223211312x x x x x -+=-+-+=-+．因为()210x -≥，所以()2122x -+≥，所以，当1x =时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a ，b ，若0a b >>，则110a b<<．完成问题：（1）求241x x --的最小值；（2）求22281346x x x x -+-+的最大值；（3）若实数m ，n 满足2261227m n m n --+=的最大值．【答案】（1）-5；（2）52（3）2【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；（2）把原式化成21246x x +-+，求246x x -+最小值即可；（3）根据已知得到22(3)(6)m n -=-，即3m n +=或9n m =-，代入求最值即可．【详解】解：（1）22222414221(2)5x x x x x --=-+--=--，因为()220x -≥，所以()2255x --≥-，所以，当2x =时，原式的最小值为-5．（2）2222228132(46)112464646x x x x x x x x x x -+-++==+-+-+-+，当246x x -+取最小值时，原式最大，由（1）可知2246(2)2x x x -+=-+，最小值为2，此时22281346x x x x -+-+的最大值为15222+=；（3）∵2261227m n m n --+=，∴2269(1236)0m m n n -+--+=，22(3)(6)m n -=-，36m n -=-或36m n -=-+，3m n +=或9n m =-，223n m -=2222327(3)32692()22m m m m m +-=-++=--+，最大值是2722=；或223n m -=22229243(9)3218812()22m m m m m --=--+=-++，最大值是2432=；212．（2021秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使点A 落在边CD 上的点M 处（不与点C 、D 重合），折痕EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，边AB 折叠后交边BC 于点G ．（1）若点M是边CD的中点，求△CMG的周长；（2）若DM＝13CD，求△CMG的周长；（3）若M是边CD上的动点，①你有什么猜想？证明你的猜想；②四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．【答案】（1）8；（2）8；（3）①CMGV周长为定值，见解析；②存在，最大值为10【分析】（1）由勾股定理计算DE的长，由此得EM的长，得△DEM的周长为6，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；（2）由勾股定理计算DE的长，由此得EM的长，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；（3）①设DE=y，DM=b，则CM=4-b，EM=AE=4-y，由勾股定理计算DE的长，由此得EM 的长，证明△EDM∽△MCG，根据相似三角形周长的比等于相似比列式可得结论；②由“AAS”可证△ADM≌△FHE，可得DM=EH，由勾股定理和面积关系可求解．【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，点M为CD边的中点，∴DM=CM=2，设AE=x，则EM=x，DE=4-x，由勾股定理得：DM2+DE2=EM2，∴22+（4-x）2=x2，∴x=5 2，∴DE=3 2，由折叠得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM∽△MCG，∴33224EDM MCG D C E CM C ∆∆===，∴△MCG 的周长=35(2)83224⨯++=；（2）∵正方形ABCD 的边长为4，DM=13CD ，∴DM=43，CM=83，设AE=x ，则EM=x ，DE=4-x ，由勾股定理得：DM 2+DE 2=EM 2，∴（43）2+（4-x ）2=x 2，∴x=209，∴DE=169，由折叠得：∠EMG=∠BAD=90°，∵∠DEM+∠DME=∠DME+∠MGC=90°，∴∠DEM=∠MGC ，∵∠D=∠C=90°，∴△EDM ∽△MCG ，∴23EDM MCG DE C C C M ∆∆==，∴△MCG 的周长=20164()899332⨯++=；（3）①△CMG 的周长恒等于8，理由如下：设DE=y ，DM=b ，则CM=4-b ，EM=AE=4-y ，Rt △DEM 中，DE 2+DM 2=EM 2，y 2+b 2=（4-y ）2，16-b 2=8y ，由（1）得△DEM ∽△CMG ，∴4EDM MCG DE C C y CM b∆∆==-，∴△CMG 的周长=2(4)(4)1688b b b y y y y-+-===．∴△CMG 的周长恒等于8；②如图，连接AM ，过点F 作FH ⊥AD 于H ，∴∠FHA=∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABFH是矩形，∴HF=AB=CD=AD，由折叠的性质可得：EF⊥AM，∴∠EAM+∠AMD=90°=∠EAM+∠AEF，∴∠AEF=∠AMD，又∵∠D=∠EHF=90°，∴△ADM≌△FHE（AAS），∴DM=EH，设DM=a=EH，DE=b，∵EM2=DE2+DM2，∴（4-b）2=a2+b2，∴4b=282a -，∵S=4×（a+b）12-×4a=2a+4b=282a-+2=2(2)1102a--+，∴当a=2时，S有最大值为10．13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．【答案】（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．14．（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考期中）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）请直接写出线段OC的最大值．【迁移拓展】（3）如图2，BC＝2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD 为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．【答案】[解决问题]（1）OC＝AE，（2）OC的最大值为3．[迁移拓展]（3）AC的最大值为26．AC的最小值为6﹣2【分析】（1）结论：OC=AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）当E、O、A共线，AE有最大值，此时OC有最大值，据此求解即可；（3）当点A在线段BD的左侧时，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；当点A在线段BD的左侧时，同理可求AC的最小值.【详解】解：【解决问题】（1）如图1中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE（SAS），∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．【迁移拓展】（3）如图2中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝2＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图像可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝26，∴AC的最大值为2+26当点A在线段BD的右侧时，同理可得AC的最小值为62．综上所述AC的最大值为2+266215．（2018秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学阶段练习）已知：二次函数的图像经过点A(-1,0)、B（3,0）、C（0,3）求:（1）求这个函数的关系式；（2）当x 取何值时，y 有最值；（3）当—3＜x ＜2时，求y 的取值范围？【答案】（1）2y 23=-++x x ；（2）当x=1时，y 最大值=4；（3）-12<y<4【分析】（1）由于已知二次函数图形与x 轴的两交点坐标，则可设交点式y=a （x+1）（x-3），然后把C 点坐标代入求出a 的值，从而得到二次函数解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．（2）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定顶点坐标，从而求得最值.【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x+1）（x-3），把C （0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，所以二次函数的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x 2+2x+3．（2）：（1））∵y=-x 2+2x+3，=-（x-1）2+4，∴顶点（1，4），∵抛物线开口向下，∴当x=1时，y 最大值=4；（3）∵-3＜x ＜2，顶点（1，4）对称轴是直线x=1∴x=1时，y 最大值=4，又∵x=-3时，y=-12当-3＜x ＜2时，-12<y<416．（2016秋·江苏盐城·九年级阶段练习）阅读材料：用配方法求最值．已知x ，y 为非负实数，∵x+y ﹣2≥0∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x ＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y 的最小值为6．（1）尝试：当x ＞0时，求y=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0．4万元，n 年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？【答案】（1）x=1时，y 的最小值为3．（2）n=10时，最少年平均费用为2．5万元．【详解】试题分析：（1）首先根据y=，可得y=x++1，然后应用配方法，求出当x ＞0时，y=的最小值是多少即可．（2）首先根据题意，求出年平均费用=（+0．4n+10）÷n=，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．解：（1）y==x++1+1=3，∴当x=，即x=1时，y 的最小值为3．（2）年平均费用=（+0．4n+10）÷n==2+0．5=2．5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2．5万元．17．（2021秋·江苏扬州·九年级统考期中）阅读理解：如果两个正数a ，b ，即a ＞0，b ＞0，有下面的不等式：2a b +≥a ＝b 时取到等号我们把2a b +叫做正数a ，b 的算a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．初步探究：（1）已知x ＞0，求函数y ＝x+4x的最小值．问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为100m 2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB 经点P （3，4），与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求△AOB 的内切圆的半径．。
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最值问题
深度练习
1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )
第1题图
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为_________．
第2题图
3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为______________________．
第3题图
4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠A BC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．
第4题图
5．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
第5题图
参考答案
1．B2.73.(23－3，2－3)
第4题解图
4．解：如解图，连接OQ.
在Rt△OPQ 中，PQ ＝OQ2－OP2＝9－OP2， 当OP 最小时，PQ 最大，此时OP⊥BC，则OP ＝12OB ＝32，。