结构动力学第三章多自由度解读
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型，进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。
在振型叠加法中，由于利用了振型的正交性，使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除，将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程，分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。
振型叠加法只适用于线性体系的动力分析，若体系为非线性，则可采用逐步积分法进行反应分析。
结构动力学3-4
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e
Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71
0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开 始 到 +∞ 。 初 始 条 件 (t=-∞) 的 影 响 到 t=0 时 已 完全消 失，仅需计算稳态解，即特解。 对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
(t )e it dt iU ( ) u
(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉 冲 引 起 的 反 应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉 冲 引 起 的 反 应以前所有脉冲作用下反应 的和：
du t τ时 刻 脉 冲 引 起 的 反 应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )
结构动力学-多自由度系统的振动
sin(1t sin(1t
1) 1)
A2Y1(2) A2Y2(2)
sin(2t sin17
m1 y1 m2 y2
(k1 k2
y1
k2 ) y1 (k2
k2 y2 k3 ) y2
0 0
方程的全解:
y1(t) y2 (t)
A1Y1(1) A1Y2(1)
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，
即质量和弹簧刚度。
2021/6/24
13
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率， 1 表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或 基本圆频率（fundamental frequency）； 2 称为第二圆频率。
y1 (t) y2 (t)
YY12ssiinn((tt))
1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频
率 和相同的相位角 。
2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上 随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：
y1(t) Y1 常数 y2 (t) Y2
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10
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称
设方程的解为：
y1(t) Y1 sin(t ) y2 (t) Y2 sin(t )
2k m 2
k
2k
k
m
2
YY12
0
结构动力学3-1
临界阻尼记为ccr：
ccr = 2mω n = 2 km
3.2 有阻尼自由振动
u(t)
& u (t ) = [u(0)(1 + ω n t ) + u(0)t ]e
u(0)>-ωn u(0) u(0)
−ω nt
u(0)
u(0) -ω u(0) n t u(0) -ωn u(0)
ui u (t i ) 2πζ ) = = exp(ζω nTD ) = exp( ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ 2
u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
u(t)
ti
——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2πζ = = exp(ζω nTD ) = exp( ) 2 ui +1 u (t i + TD ) 1−ζ
3.2 有阻尼自由振动
（1）当 ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系； （2）当 ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped）； （3）当 ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： ζ = 0.01 左右
自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动 的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。
3.1 无阻尼自由振动
&& & mu(t ) + cu(t ) + ku (t ) = p(t )
无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件：
结构动力学哈工大版课后习题解答
.. .
..
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
系统的机械能为
图 1-36
c
）
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构动力学3
2)当m1=nm2 , k1=nk2
[(n1)k
2
2
nm2
](k2
2m2
)k
2 2
0
k11=（1+n）k2，k12=－k2
求频率：
2 1 2
1 2
2
1 n
+
4 n
1 n2
k2 m2
求振型：Y2 k11 2m1 (n 1)k2 2nm2
k m
2 2
3 2
5
k m
2.61803 k m
2 1.61803
k m
求振型： ω1→第一主振型：
Y11 k12
Y21 k11 12m1
k
1
2k 0.38197k 1.618
ω2→第二主振型：
Y12 k12
Y22 k11 22m1
k
1
2k 2.61803k 0.618
质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
m2
k21
1
k2 1 k11
m1
k1
k22 k12
解：求刚度系数：
k2
k1
k11=k1+k2 , k21=－k2 ,
k21
k2
k22
k11
k22=k2 ,
k12=－k2
k12
k
k1 k2
k2
k2
k2
例题：12,2质量m12集2 中kmk1112在楼km2层22 上+m1、12m2km，111层1间km2侧22 k移k12121刚度k1为1k2km211、mkk2122k121k12k22
高等结构动力学 多自由度系统的振动
(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
第三章多自由度机构的动力学分析
M3
M6
Q1 M 1 , Q2 M 3 , Q3 M 6
广义力用虚功 原理求解
动能均为角速度 (广义速度)的函数，
H1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H2
注：轮系中，一般类角速度是 定值。所以有惯性系数为定值。
M 1 (驱)
M3
M6
1 J12 q 2 J13q 3 Q1 J11q 1 J 22 q 2 J 23q 3 Q2 J 21q J q 2 J 33 q 3 Q3 31 1 J 32 q
N
J q
j 1 N
kj j
Jkj 1 J jj 2 1 Jkk 2 j k ( )q q 2 qk 2 qk j 1 q j
Jkk jq k q j 1 q j
j k
N 1 N
j k N
M 1 LM 1 M k Lk
( q
JkM
L
JkL JML M q L )q qM qk
J ij 的下标的含义：与i、j广义坐标同时有关的构件 的等效质量或惯量。
如
J 23 (mi (ui 2 x ui 3 x ui 2 y ui 3 y ) J is ii 2 ii 3 )
空间任一运动的刚体
三、系统势能
势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因 此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉 格朗日方程中用“U”表示。 常见势能有
四、广义力
哪些？
广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势 力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系 统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力
例1：如图，已知各转动惯量、力矩 H z1 z 2 z 4 z5 20 z3 z6 60
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
结构动力学多自由度体系的自由振动
几点说明： 1.按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。
1 (t ) Y111 cos(1t 1 ) Y11 y 2 (t ) Y211 cos(1t 1 ) Y21 y
2.发生按振型的自由振动是有条件的.
2 2
I 2 m
若为自由振动则有
Fp (t ) 0 ,于是:
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) 0 m2 y
或记作
k y 0 m y
k11 k12 m1 0 k 22 [ ] m22 [ ] k 21 k 22 0 m2 1 y 0 y1 21 [ ] y y 21 [ ] 021 [ ] 2 y2 0 y
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
1 (0) Y11 y 2 (0) Y21 y
y1 (t ) Y11 sin( 1t 1 ) Y11 y2 (t ) Y21 sin( 1t 1 ) Y21
3.振型与频率是体系本身固有的属性, 与外界因素无关.
定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。
(k11 m1 )
2
k12 (k22 m2 )
2
2
k21
0 ---频率方程
展开上式可得到一个关于 的二次方程
(k11 m1 2 ) k21
展开 整理后有：
k12 (k22 m2 )
2
0
---频率方程
2
(k11 m1 )(k22 m2 ) k12 k21 0
结构动力学第三章
x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)
k
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
y(t) = δ ⋅ (−m&y&)
其中柔度系数δ的物理意义如左下图所示，可分解为右边两图中柔度的
叠加， 1
1
1
δ
k
δ 1
由结构力学的图乘法或材料力学的结论
0.5
δ1
A EI = ∞ B
3m m ⋅lα&&
m
α (t)
k
A
m
B
3m
YA
将刚性杆连同两个质量取出，受力如上图右所示，
k ⋅ 2lα 3m ⋅3lα&&
∑ M A = 0 3m ⋅3lα&&×3l + m ⋅lα&&×l + k ⋅ 2lα × 2l = 0
28ml 2α&& + 4kl 2α = 0
7mα&& + kα = 0
学习结构动力学多自由度系统总结
学习结构动力学多自由度系统总结
多自由度系统是研究物体在动力学状态下位置和速度轨迹问题的重要研究内容。
按照受力方式不同，可以将多自由度系统分为加速度控制和力控制两类。
加速度控制的多自由度系统的特点是可以设计速度律和位置律，对物体的加速度进行控制。
而力控制的多自由度系统可以控制物体受到的力，使物体加速度，位置和速度达到指定估计值。
除了控制方式不同，多自由度系统还有另外一些特点：首先，多自由度系统可
以采用闭环控制，即先对系统的输出进行采样，再将抽样的输出与预定的跟踪值进行比较，从而调整输入；其次，多自由度系统也可以实现双向控制，即向被控对象和来自被控对象的双向信号控制；此外，多自由度系统可以实现混合控制，即通过混合不同的控制策略，进行加速度、力和角速度控制，以完成对多自由度机械系统位置及其状态控制。
此外，学习多自由度系统还要掌握建模方法，包括几何建模和动力模型建模等
两类方法。
几何建模主要包括多体约束模型，常用的约束模型包括Coulomb约束模型、Davenport约束模型和Hooke约束模型等等；动力模型建模包括拉格朗日模型
和Lagrange余量模型等等。
总的来说，学习多自由度系统的结构动力学重点在于掌握其加速度控制、力控
制以及闭环、双向控制和混合控制等控制方法，并能熟练操作几何建模和动力模型建模，进而分析预测多自由度系统的运动轨迹。
结构动力学多自由度
求解系数：由质量矩阵和刚度矩阵的正交性，阻尼矩阵的一般形式为：
不耦合的运动方程—有阻尼
同理：
故：
不耦合的运动方程—有阻尼
另一种方法：
不耦合的运动方程—有阻尼
体系的对角广义质量矩阵：
不耦合的运动方程—有阻尼
在上式中，每一振型对阻尼矩阵起的作用与振型的阻尼比成比例。因此，任何无阻尼的振型对阻尼矩阵不起作用。
对每一项乘一个未知的时间函数li(t)，并且将这个乘积在时间间隔t1到t2积分：
由于变分为零：
令：
Lagrange运动方程可改写为：
规格化的主振型矩阵：
无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：
第i 阶振型的特解：
这样的特解有n个！
振型的物理意义
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
以上矩阵为结构的振型矩阵，为一N*N方阵。
各项前乘 ，可得：
即：
注意：即使质量矩阵和柔度矩阵都是对称的，它们的乘机也是不对称的！
几何约束条件：
Hamilton原理：
动能可以用广义坐标和它们的一次导数表示，位能可以单独用广义坐标表示。非保守力在广义坐标的一组任意变分所引起的虚位移上所做的虚功，可以表示为这些变分的线性函数。
代入Hamilton原理公式：
由分部积分公式：
由：
故：
Lagrange运动方程：
由算例：
此时：
Lagrange运动方程写为：
假定弯矩—位移关系：
上式中，第一项由保守力产生，第二项由非保守力产生。
非保守力所做的虚功：
假定非保守力仅限于横向分布荷载p(x,t)，这些力的虚功为：
非保守力所做的总虚功为：
其中：
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例2 跨度为 4 l ， 每跨之间均为 l ， 抗弯刚度为 EI 的梁，
m 可用材料力学的知识得到各响应系数，即在 j 上
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
22
16 l 3 12 EI
3
9 l3 11 33 12 EI
11 l 3 23 32 12 21 12 EI
rk rk 1 m i q j mk q qi q j i 1 j 1 2 k 1 n n 1 1 T i q j q Mq mij q 2 i 1 j 1 2
n n
在完整约束系统中，势能只是定义坐标的函数
U U q1, q2 ,..., qn
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
U U U0 i 1 qi
0
n
1 n n 2U 0 qi 0 2 i 1 j 1 qi q j
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程（动力学方程，运 动控制方程）的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可， 常用的牛顿第二定律、 达朗贝尔原理， Lagrange 第二类方程。 例 1：
对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
k Rk k r
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n n 1 dq j r dq r 1 k i k k r k k k r dt j 1 q j dt k 1 2 k 1 2 i 1 qi
m1 M 0 0 k1 k2 c k2 0
0 m2 0
0 0 m3 ห้องสมุดไป่ตู้
c1 c2 c c2 0
c2 c2 c3 c3
0 c3 c3 c4
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3 k 4
结 构 动 力 学
第三章 多自由度系统振动
主讲教师：于开平
2011年春季学期
哈尔滨工业大学航天学院
3.1 多自由度系统的数学模型 3.1.1 多自由度系统的基本概念 用多于一个的有限独立坐标描述的振动系统， 称为多自由度系统。 实际工程结构经过适当的离散或简化， 可以简 化成由有限个无弹性的质量（惯性元件） ，质点到 刚体，有限个无质量的弹簧（弹性元件）和阻尼器 （阻尼元件）组成。由无惯性的弹性元件和阻尼元 件连接的质点系或质点刚体系，也称集中参数系 统，反之称分布参数系统。
2U kij qi q j
0
kij k ji
则有
1 n n 1 T U kij qi q j q Kq 2 i 1 j 1 2
U 是关于广义坐标 的二次型， U 0 ，等于零对应 无有势力作用下的运动，关于广义坐标的正半定二
q
次型。所以，矩阵 K 是对称半正定的。
Y ( F M Y ) M Y 1Y F
M Y kY F
..
..
..
通常当质点较多， 约束比较复杂时， 适 合用能量分析方法，例如 Lagrange 第 2 类方程。m 个质点，r 个约束，n 个广义坐标 qi (i 1, 2,..., n) 。
n 3m r
m
cij c ji 是对称的， 0
rk rk 1 n n m i q j k q 2 i 1 j 1 qi q j k 1 1 n n 1 T i q j q Cq cij q 2 i 1 j 1 2
rk rk q1, q2 ,..., qn
（质点 k 的矢径）
稳定约束。所以有
n n drk rk dqi r i Vk k q dt dt i 1 qi i 1 qi
系统动能等于各质点动能之和
显然 mij m ji 是对称的。 则T是关于广义速度的二次型， 由于T>0，是正定二次型，则M正定对称的。
.. .. .. y3 F1 m1 y1 31 F2 m2 y 2 32 F3 m3 y3 33
.. .. F1 m1 y1 y1 y 1 .. .. y2 F2 m2 y 2 ( F M y 2 ) y .. .. 3 F3 m3 y 3 y3
qi 0 q j 0 ......
0
静平衡位置为势能零点。 U0 0
U qi
广义坐标的零点取在静平衡位置上，势能函数是关于 0 广义坐标的二阶以上函数，代入零广义坐标一定为零。 0 由于是微振动，第四项为高阶微量，省略．
1 n n 2U U 0 qi q j 2 i 1 j 1 qi q j ， 令
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23