高等代数与解析几何第七章
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某个数，定义 V 的变换如下：
k ,
V.
不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的
数乘变换, 可用 K 表示. 显然，当 k = 1 时，我
们便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换.
例 5 在线性空间 P[ x ] 或者 P[ x ]n 中，求微
商是一个线性变换. 这个变换通常用 D 代表，即
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的乘积 A B 为
(A B ) ( ) = A (B ( ) ) ( V ).
2. 性质 性质 1 线性变换的乘积是线性变换. 性质 2 结合律
(A B )C = A (BC ) .
注意：线性变换的乘法一般不满足交换律.
= A -1[A ( A -1( ) ) + A ( A -1 ( ) ) ] -1 = ( A A ) ( A -1( ) + A -1 ( ) ) =A
-1(
)+A
-1
( ) .
A -1( k ) = A -1( k (A A -1) ( ) )
=A =A
-1( -1(
k (A ( A
( B + C ) A =B A + C A .
4) 乘法对加法的左右分配律
三、线性变换的数量乘法
1. 定义
在上一节 中我们看到, 数域 P 中每个数 k 都决定一个数乘变换 K . 利用线性变换的乘法 , 可以定义数域 P 中的数与线性变换的数量乘法：
定义4 数域 P 中的数与线性变换的数量乘法
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知,
线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法
与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间. 对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆
定义为 即 kA =KA ,
( k A ) ( ) = K (A ( ) ) = K A ( ) .
显然，k A 还是线性变换.
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
变换保持向量的加法与数量乘法.
下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性 变换这个概念是有丰富的内容的.
举例： 例
线性空间 V 中的恒等变换或称单位
变换 E ，即
A ( ) =
以及零变换 0 ，即
( V) ,
0 ( ) = 0
都是线性变换.
( V)
例 3 设 V 是数域 P 上的线性空间，k 是 P 中
用矩阵来表示就是
A ( 1 , 2 , … , n ) = ( A 1 , A 2 , … , A n )
= ( 1 , 2 , … , n ) A ，
其中
(5)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A . a a a n2 nn n1
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的 坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 , A 2 , … , A n 之间也必 然有相同的关系：
D ( f (x) ) = f (x ) .
例 6 定义在闭区间 [ a , b ] 上的全体连续函
数组成实数域上一线性空间，以 C( a , b ) 代表. 在 这个空间中，变换
I ( f (x) ) =
是一线性变换.
x
a
f (t )dt
四、性质
线性变换有以下三个简单性质：
性质 1 设 A 是 V 的线性变换，则
的 如果有 V 的变换 B 存在，使
A B =B A =E .
这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A
-1
.
2. 性质
如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变 换 -1 A 也是线性变换.
证明
( )]
因为
A -1( ) = A -1[(A A -1) ( ) + (A A -1)
A i =B i ,
那么
i = 1, 2, … ,
A =B.
n,
结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在 一组基上的作用所决定. 下面我们进一步指出，基 向量的像却完全可以是任意的，也就是说
2. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 对 于任意一组向量 1 , 2 , … , n 一定有一个线性变 换A 使
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性
变 换，定义它们的和 A + B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
2. 性质 性质 1 线性变换的和是线性变换. 性质 2 零变换与所有线性变换 A 的和仍
于A ：
等
A +0 =A .
A = A (x11 + x22 + … + xnn )
= x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + … + xn A (n ) (2)
上式表明，如果我们知道了基 1 , 2 , … , n 的像，
那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，
或者说 1. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 如 果线性变换 A 与 B 在这组基上的作用相同，即
例如，在实数域 R 上的线性空间 R[ x ] 中，线性
变换
D (f(x))=f(x), I ( f ( x)) 0 f (t )dt
的乘积 DI =E ，但一般 I D E . 对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位. 对于 任意线性变换 A 都有
x
A E =E A = A .
二、线性变换的加法
有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换
二、线性变换的矩阵
1. 定义
定义 7 设 1 , 2 , … , n 是数域 P 上 n 维线性
空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换. 基
向量的像可以被基线性表出：
A 1 a11 1 a21 2 an1 n , A a a a , 2 12 1 22 2 n2 n A n a1n 1 a2 n 2 ann n .
线性相关的向量组.
但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换 可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量 组. 例如零变换就是这样.
第二节 线性变换的运算
主要内容
线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
一、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
矩阵 A 称为 A 在基 1 , 2 , … , n 下的矩阵.
例 1 设 1 , 2 , … , m 是 n ( n > m ) 维线性空
间 V 的子空间 W 的一组基，把它扩充为 V 的一组 基 1 , 2 , … , n . 指定线性变换 A 如下：
第三节 线性变换的矩阵
主要内容
线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵
一、线性变换、基与基的像
设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，1 , 2 , … , n 是 V 的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩 阵的关系. 首先来讨论线性变换、基与基的像之间 的关系. 空间 V 中任一向量 可以被基 1 , 2 , … , n 线 性表出，即有
A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
A n = A A ... A
n个
另外，规定 A 0 = E .
线性变换的幂运算规律 A n + m = A n A m , (A n )m = A m n (m , n 0) .
当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为
又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
k 1 1 + k 2 2 + … + k r r = 0 ，
那么它们的像之间也有同样的关系 k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) = 0 .
以上两点，根据定义不难验证，由此即得
性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成
不变. 换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性 组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后，A ( ) 是 A ( 1 ),
A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) .
A i =i ,
(3) 综合以上两点，得
i = 1, 2, … , n .
定理 1 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一
组基， 1 , 2 , … , n 是 V 中任意 n 个向量. 存
在唯一的线性变换 A 使
A i =i ,
与矩阵的联系.
i = 1, 2, … , n .
-1)
( ) ) )
A (k A
-1
-1
( ) ) )
-1
பைடு நூலகம்
=(A 所以 A
-1
A )(k A
( ) .
( ) )
= k A
-1 是线性变换.
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线 性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的, 与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数) 线性变换 A 相乘时，我们就可以用
A
-n=
( A -1 ) n
( n 为正整数 ) .
这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.
注意 线性变换乘积的指数法则不成立，即
一般来说
(A B )n A n B n .
2. 线性变换的多项式 定义6 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是
P[ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变换，则称 f ( A ) = am A
负变换：线性变换 A 的负变换定义为：
( - A ) ( ) = - A ( ) ( V ).
3. 运算规律
1) 交换律
A +B =B + A .
2) 结合律
3)
A + (B + C ) =(A + B ) + C . A +( - A ) = 0 .
A (B + C ) =A B + A C ,
m
+ a m -1 A
m -1
+ … + a0
是线性变换 A 的多项式.
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x ) = f (x) + g (x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p (A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
A ( 0 ) = 0，A ( - ) = - A ( ) . 证明
由线性变换的定义，可得
A (0)=A (0· ) = 0 A ( ) = 0 ， A ( - ) = A ( ( - 1 ) ) = ( -1 ) A ( )
= -A ( ).
性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式
第一节 线性变换的定义
主要内容
引入
定义
举例 性质
二、定义
定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性
变换，如果对于 V 中任意的元素 , 和数域 P 中
任意数 k ，都有
A ( + ) = A ( ) + A ( ) , A ( k ) = k A ( ) .
以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , … 代表 V 的变换， A () 或 A 代表元素 在变换 A 下 的像. 定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性
k ,
V.
不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的
数乘变换, 可用 K 表示. 显然，当 k = 1 时，我
们便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换.
例 5 在线性空间 P[ x ] 或者 P[ x ]n 中，求微
商是一个线性变换. 这个变换通常用 D 代表，即
定义2 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
换，定义它们的乘积 A B 为
(A B ) ( ) = A (B ( ) ) ( V ).
2. 性质 性质 1 线性变换的乘积是线性变换. 性质 2 结合律
(A B )C = A (BC ) .
注意：线性变换的乘法一般不满足交换律.
= A -1[A ( A -1( ) ) + A ( A -1 ( ) ) ] -1 = ( A A ) ( A -1( ) + A -1 ( ) ) =A
-1(
)+A
-1
( ) .
A -1( k ) = A -1( k (A A -1) ( ) )
=A =A
-1( -1(
k (A ( A
( B + C ) A =B A + C A .
4) 乘法对加法的左右分配律
三、线性变换的数量乘法
1. 定义
在上一节 中我们看到, 数域 P 中每个数 k 都决定一个数乘变换 K . 利用线性变换的乘法 , 可以定义数域 P 中的数与线性变换的数量乘法：
定义4 数域 P 中的数与线性变换的数量乘法
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知,
线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法
与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间. 对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆
定义为 即 kA =KA ,
( k A ) ( ) = K (A ( ) ) = K A ( ) .
显然，k A 还是线性变换.
2. 运算规律
1) 2) ( kl ) A = k ( l A ) , (k+l)A=kA+lA,
3)
4)
k (A + B ) = k A + k B ,
1A =A.
变换保持向量的加法与数量乘法.
下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性 变换这个概念是有丰富的内容的.
举例： 例
线性空间 V 中的恒等变换或称单位
变换 E ，即
A ( ) =
以及零变换 0 ，即
( V) ,
0 ( ) = 0
都是线性变换.
( V)
例 3 设 V 是数域 P 上的线性空间，k 是 P 中
用矩阵来表示就是
A ( 1 , 2 , … , n ) = ( A 1 , A 2 , … , A n )
= ( 1 , 2 , … , n ) A ，
其中
(5)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A . a a a n2 nn n1
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
= x11 + x22 + … + xnn
(1)
其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的 坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 , A 2 , … , A n 之间也必 然有相同的关系：
D ( f (x) ) = f (x ) .
例 6 定义在闭区间 [ a , b ] 上的全体连续函
数组成实数域上一线性空间，以 C( a , b ) 代表. 在 这个空间中，变换
I ( f (x) ) =
是一线性变换.
x
a
f (t )dt
四、性质
线性变换有以下三个简单性质：
性质 1 设 A 是 V 的线性变换，则
的 如果有 V 的变换 B 存在，使
A B =B A =E .
这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A
-1
.
2. 性质
如果线性变换 A 是可逆的，那么它的逆变 换 -1 A 也是线性变换.
证明
( )]
因为
A -1( ) = A -1[(A A -1) ( ) + (A A -1)
A i =B i ,
那么
i = 1, 2, … ,
A =B.
n,
结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在 一组基上的作用所决定. 下面我们进一步指出，基 向量的像却完全可以是任意的，也就是说
2. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 对 于任意一组向量 1 , 2 , … , n 一定有一个线性变 换A 使
1. 定义 定义3 设 A , B 是线性空间 V 的两个线性
变 换，定义它们的和 A + B 为 (A + B ) ( ) = A ( ) + B ( ) ( V ) .
2. 性质 性质 1 线性变换的和是线性变换. 性质 2 零变换与所有线性变换 A 的和仍
于A ：
等
A +0 =A .
A = A (x11 + x22 + … + xnn )
= x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + … + xn A (n ) (2)
上式表明，如果我们知道了基 1 , 2 , … , n 的像，
那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，
或者说 1. 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一组基. 如 果线性变换 A 与 B 在这组基上的作用相同，即
例如，在实数域 R 上的线性空间 R[ x ] 中，线性
变换
D (f(x))=f(x), I ( f ( x)) 0 f (t )dt
的乘积 DI =E ，但一般 I D E . 对于乘法，单位变换 E 有特殊的地位. 对于 任意线性变换 A 都有
x
A E =E A = A .
二、线性变换的加法
有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换
二、线性变换的矩阵
1. 定义
定义 7 设 1 , 2 , … , n 是数域 P 上 n 维线性
空间 V 的一组基， A 是 V 中的一个线性变换. 基
向量的像可以被基线性表出：
A 1 a11 1 a21 2 an1 n , A a a a , 2 12 1 22 2 n2 n A n a1n 1 a2 n 2 ann n .
线性相关的向量组.
但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换 可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量 组. 例如零变换就是这样.
第二节 线性变换的运算
主要内容
线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换 线性变换的多项式 举例
一、线性变换的乘积
1. 定义
线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
矩阵 A 称为 A 在基 1 , 2 , … , n 下的矩阵.
例 1 设 1 , 2 , … , m 是 n ( n > m ) 维线性空
间 V 的子空间 W 的一组基，把它扩充为 V 的一组 基 1 , 2 , … , n . 指定线性变换 A 如下：
第三节 线性变换的矩阵
主要内容
线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵
一、线性变换、基与基的像
设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，1 , 2 , … , n 是 V 的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩 阵的关系. 首先来讨论线性变换、基与基的像之间 的关系. 空间 V 中任一向量 可以被基 1 , 2 , … , n 线 性表出，即有
A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
A n = A A ... A
n个
另外，规定 A 0 = E .
线性变换的幂运算规律 A n + m = A n A m , (A n )m = A m n (m , n 0) .
当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为
又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
k 1 1 + k 2 2 + … + k r r = 0 ，
那么它们的像之间也有同样的关系 k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) = 0 .
以上两点，根据定义不难验证，由此即得
性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成
不变. 换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性 组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后，A ( ) 是 A ( 1 ),
A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) .
A i =i ,
(3) 综合以上两点，得
i = 1, 2, … , n .
定理 1 设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一
组基， 1 , 2 , … , n 是 V 中任意 n 个向量. 存
在唯一的线性变换 A 使
A i =i ,
与矩阵的联系.
i = 1, 2, … , n .
-1)
( ) ) )
A (k A
-1
-1
( ) ) )
-1
பைடு நூலகம்
=(A 所以 A
-1
A )(k A
( ) .
( ) )
= k A
-1 是线性变换.
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线 性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的, 与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数) 线性变换 A 相乘时，我们就可以用
A
-n=
( A -1 ) n
( n 为正整数 ) .
这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.
注意 线性变换乘积的指数法则不成立，即
一般来说
(A B )n A n B n .
2. 线性变换的多项式 定义6 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是
P[ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变换，则称 f ( A ) = am A
负变换：线性变换 A 的负变换定义为：
( - A ) ( ) = - A ( ) ( V ).
3. 运算规律
1) 交换律
A +B =B + A .
2) 结合律
3)
A + (B + C ) =(A + B ) + C . A +( - A ) = 0 .
A (B + C ) =A B + A C ,
m
+ a m -1 A
m -1
+ … + a0
是线性变换 A 的多项式.
线性变换的多项式有以下性质： 1) f (A ) 是一线性变换. 2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x ) = f (x) + g (x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(A ) = f (A ) + g(A ) , p (A ) = f (A ) g(A ) . 特别地， f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
A ( 0 ) = 0，A ( - ) = - A ( ) . 证明
由线性变换的定义，可得
A (0)=A (0· ) = 0 A ( ) = 0 ， A ( - ) = A ( ( - 1 ) ) = ( -1 ) A ( )
= -A ( ).
性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式
第一节 线性变换的定义
主要内容
引入
定义
举例 性质
二、定义
定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性
变换，如果对于 V 中任意的元素 , 和数域 P 中
任意数 k ，都有
A ( + ) = A ( ) + A ( ) , A ( k ) = k A ( ) .
以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , … 代表 V 的变换， A () 或 A 代表元素 在变换 A 下 的像. 定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性