立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行垂直的证明方法
立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。
本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。
一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。
要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。
通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。
2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。
这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。
3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。
常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。
通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。
二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。
根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。
2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。
通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。
3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。
两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。
通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。
三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。
通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。
2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.如图⑷ 如图⑸ 如图⑹E B A D C GF F y C B E D A Sz_ M _ D_ A B _ O E P E D C B O A B CD E F N M例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
证明平行的技巧有哪些
证明平行的技巧有哪些该如何证明平行呢?证明平行的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的证明平行的方法内容，希望大家喜欢。
高中证明平行的方法高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。
2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。
3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。
2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
Ⅱ.垂直关系：线线垂直：1.直线所成角为90°。
2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。
2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。
3.面面垂直的性质。
4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。
5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。
2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
2方法1：两组对边分别平行方法2：对角线互相平分方法3：一组对边平行且相等楼上的：试问两组对边相等3证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的.中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法立体几何中的平行证明题常见的模型和方法有很多。
下面我将介绍一些常见的模型和方法，以帮助你更好地理解和应用立体几何的平行证明。
一、常见模型1.平面与平面的平行证明：常见的模型有两条平行线或两个平行四边形，通过证明平面与平面内对应的直线或四边形是平行的，即可得证。
2.直线与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形和交叉角等，通过证明两直线间的对应角相等或同位角互补，即可得证。
3.平面与直线的平行证明：常见的模型有平行四边形的一对对角线、三角形的高、垂足、垂线等，通过证明直线与平面内的直线或线段互相垂直，即可得证。
4.空间中的平面与平面的平行证明：常见的模型有两个平行四边形的高度等、点到平面的垂直距离等，通过证明两个平面内的垂直线的相互平行性，即可得证。
二、常见方法1.剪影法：利用平行关系特殊的剪影形状进行证明。
例如，通过剪影的形状可以直观地判断两根线段平行。
2.联立法：通过建立适当的方程组，将待证的平行条件与已知条件进行联立，最终得到结论。
常见的方法有正投影、平行投影等。
3.直角法：利用直角关系进行证明。
通过找到合适的垂线、垂足等直角线段，可以推导出平行关系。
4.反证法：假设不平行，然后找到与之矛盾的证据，从而推出平行的结论。
5.三角形法：构造适当的三角形，通过三角形的性质和形状关系进行证明。
6.同增减法：通过分析多个角度相应的同增减性质，推导出平行的结论。
7.通道法：利用另一个已经知道的已知命题，构造合适的通道来推导出平行的结论。
以上仅是常见的模型和方法，实际的平行证明题在解题过程中可能会遇到各种不同的情况和策略。
解决此类问题的关键是要有良好的几何直观和分析能力，熟练掌握几何定理和性质，并能够合理运用不同的方法解决问题。
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
高中立体几何证明线面平行的常见方法1.通过“平移”再利用平行四边形的性质题目1：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
证明AF∥平面PCE。
证明：将四棱锥P-ABCD平移，使其底面平移到平面PCE上，得到四棱锥P'-A'B'C'D'，其中A'B'C'D'与ABCD平行，且P'、E'、F'分别为A'B'、C'D'、A'D'的中点。
因为AF∥PD，所以AF'=PD'=C'F'，又因为AD'=C'D'/2=AB'/2=AF'/2，所以AD'∥B'C'。
因此，根据平行四边形的性质，AF'∥B'C'，即AF∥CE。
题目3：四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，证明EB∥平面PAD。
证明：连接PE，因为E为PC的中点，所以PE∥AD。
又因为CD⊥AD，所以CD∥PE。
又因为CD=2AB，所以AB∥PE。
因此，根据平行四边形的性质，EB∥PA，即EB∥平面PAD。
2.利用三角形中位线的性质题目4：四面体ABCD中，E、F、G、M分别是棱AD、CD、BD、BC的中点，证明AM∥平面EFG。
证明：连接EF、EG、FG，因为E、F、G分别为三角形BCD、ACD、ABD的中点，所以EF、EG、FG分别是这三个三角形的中位线。
因此，EF∥AD，EG∥BD，FG∥AC。
又因为M为BC的中点，所以AM∥FG。
因此，AM∥平面EFG。
3.利用平行四边形的性质题目7：正方体ABCD-A' B' C' D'中O为正方形ABCD的中心，M为B'B的中点，求证D'O∥平面A'BC'。
2020年高中数学03 立体几何大题解题模板(原卷版)
专题03 立体几何大题解题模板一、证明平行或垂直的主要方法：1、证明线线平行的方法：(1)利用直线平行的传递性：31//l l ，32//l l ⇒21//l l ；(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：α⊥1l ，α⊥2l ⇒21//l l ；(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；(4)平行四边形法：构造平行四边形；(5)利用线面平行推线线平行：2l =βα ，β⊂1l ，α//1l ⇒21//l l ；(6)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，21l l λ=⇒21//l l 。
2、证明线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：α⊄1l ，α⊂2l ，21//l l ⇒α//1l ；(2)利用面面平行的性质定理：βα//，β⊂1l ⇒α//1l ；(3)利用面面平行的性质：βα//，α⊄1l ，β//1l ⇒α//1l 。
(4)建系：),,(1111z y x l =，平面α的法向量),,(222z y x n =，01=⋅n l ⇒α//1l 。
3、证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：31//l l ，42//l l ，A l l =21 ，B l l =43 ，α⊂21l l 、，β⊂43l l 、⇒βα//；(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：α⊥1l ，β⊥1l ⇒βα//；(3)利用平面平行的传递性：γα//，γβ//⇒βα//。
(4)建系：平面α的法向量),,(1111z y x n =，平面α的法向量),,(2222z y x n =，21n n λ=⇒βα//。
4、证明线线垂直的方法：(1)利用平行直线的性质：31l l ⊥，32//l l ⇒21l l ⊥；(2)利用直面垂直的推理：α⊥1l ，α⊂2l ⇒21l l ⊥；(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；(4)利用勾股定理的逆定理：若222c b a +=，则ABC ∆是直角三角形；(5)建系：),,(1111z y x l =，),,(2222z y x l =，021=⋅l l ⇒21l l ⊥。
立体几何证明平行的方法及专题训练(学生)
立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用对应线段成比例。
（5） 利用面面平行的性质，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；（第1题图）DE B 1A 1C 1CABFM 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形FGGCDEDEF(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， E 、F分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDEFS CD变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1 方法3：面面平行法 （略） 举一反三 1 如图，已知AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．(1)求证EF ∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF 的体积。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法
在 ，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为
例九：如图所示，在棱长为a的正方体
中，M，N分别是，的中点，求DN与面ABCD的夹角正切值。
解：∵DD1 面ABCD，∴ DND1为所求线面角。
tan DND1= =2---------（利用方法1）
四、二面角A-BC-D的求法：
1、先确定两个平面，面ABC及面BCD和其两面的交线BC，根据题意过点A或点D作交 线BC的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC时，或者在直角三角形中作垂线 BAC=900时，应该过点A作BC垂线）；
例三：如图，已知点 是平行四边形 所在平面外的一点， ， 分别是 ， 上的点且 ，求证： 平面 ．
证明：过E做EM//AD交PD
于点M ,连结MF
= =
= PB//MF，
又 AD//BC， EM//BC
BC 面PBC，且EM 面PBC， EM//面PBC，同理MF//面PBC，
FM 面EFM，EM 面EFM，EM MF于点M, 面EMF//面PBC, EF//面PBC
又∵AB、DE 面ABED,AB=DE=2∴AB DE
∴AB FM,即四边形ABFM为平行四边形，∴BF∥AM，又∵BF 面 ，AM 面
∴ ∥平面
(2)连结EG，过点D作DH⊥EG交EG于点H，连结AH
在等腰RT EDG中，EH=HG=DH= ，
又∵在等腰RT ADE,和等腰RT等腰RT ADG中，AE=AG=
-------------(利用2、方法，通过面面平行证线面平行)
立体几何证明方法——证面面平行
立体几何证明方法——证面面平行立体几何中，证明面面平行是一个常见的问题，可以通过多种方法进行证明。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.使用直线面法相交性质证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条相交直线AE和BF，然后分别在这两条直线上选择两个点C和D。
根据直线面法相交性质，直线AE与平面ABCD相交于点E，直线AE与平面CDH相交于点C，同理，直线BF与平面ABCD相交于点F，直线BF与平面CDH相交于点D。
连接线段AD和BC，可以得到四边形ABCD。
然后，考察四边形ABCD，如果四边形ABCD是平行四边形，则线段AD与线段BC互相平行。
由直线平行与面平行的性质可知，平面ABCD与平面EFHG平行。
因此，我们只需要证明四边形ABCD为平行四边形即可。
接下来，通过证明线段AD与线段BC互相平行来证明四边形ABCD为平行四边形。
可采用向量法、等距向量法等方法进行证明，具体方法根据题目要求来选择。
2.使用距离法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，在平面ABCD上选择一点P，在平面EFGH上选择一点Q。
然后，构造线段PQ，并将其延长，过点P和Q分别作平行于平面ABCD和EFGH的直线。
两条直线与平面ABCD和EFGH的交点分别为A、B和E、F。
由于点P、Q到平面ABCD的距离相等，点A、B到平面EFGH的距离相等，利用距离的定义可以推出直线AE与直线BF互相平行。
同理可以证明直线BE与直线AF互相平行。
因此，根据平行四边形的性质可知线段AD与线段BC平行。
由于线段AD与线段BC平行，所以平面ABCD与平面EFGH平行。
3.使用垂线法证明：设空间中有两个平面ABCD和EFGH，要证明这两个平面平行。
首先，选择平面ABCD上的两条垂线，可以是两个相交直线的垂线或两个平行直线的垂线。
然后，在平面EFGH中分别找到与这两条垂线相交的直线段，并将其延长。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.如图⑷ 如图⑸ 如图⑹E B A D C GF F y C B E D A Sz_ M _ D_ A B _ O E P E D C B O A B CD E F N M例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
立体几何中的平行性的证明.
立体几何中的平行性的证明
一、证明两直线平行的方法：
1、定义法：同一平面内无公共点的两条直线（用反证法证明）。
2、判定定理：如果一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的平面与这个平
面相交，直线与交线平行。
3、平行与同一直线的两条直线平行。
4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平
行。
5、向量法：如果两个直线的方向向量共线，则两直线平行。
6、垂直于同一平面的两直线平行。
二、证明直线和平面平行的方法：
1、定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）。
2、判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则直线和平面
平行。
3、面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平
行于另一个平面。
4、如果平面外的一条直线和平面的一条垂线垂直，那么这条直线和这个平面平
行。
5、如果平面外的一条直线和这个平面都垂直于同一个平面，那么这条直线和这
个平面平行。
三、证明平面与平面平行的方法：
1、定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）。
2、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这
两个平面相互平行。
3、推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相
交）平行，那么这两个平面相互平行。
4、垂直于同一直线的两个平面相互平行。
5、如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。
6、。
立体几何中证明线线平行的方法
立体几何中证明线线平行的方法
在立体几何中，证明两条线平行的方法通常有以下几种：
1. 利用平行线的性质：如果可以证明两条线分别与同一条第三条线平行，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用平行线的定理或者平行线的判定条件来证明。
2. 利用等角定理：如果可以证明两条线与另一条线之间形成的对应角度相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过使用等角定理（如同位角、内错角等）来证明。
3. 利用平行四边形的性质：如果可以证明两条线分别是平行四边形的对角线，或者两条线分别平分平行四边形的两个对角线角度，则可以推断这两条线平行。
4.利用向量的性质：如果可以证明两条线的方向向量相等，则可以推断这两条线平行。
这可以通过计算两条线的方向向量并比较它们来证明。
需要注意的是，每种方法都需要根据具体问题的情况选择合适的方法，有时可能需要结合多种方法来证明两条线平行。
在证明过程中，也需要合理运用已知的几何定理和性质，并且注意推理的逻辑性和严密性。
高中数学《立体几何》证明平行的一般方法
例4：正方形ABCD与正方 形ABEF所在的平面相交于 AB，P、Q分别是AE、BD的 的点，且AP=DQ。 求证：PQ∥平面BCE
A FP
MB E
D
Q
NC
第一课时 证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
解：连接AB，设交BD于点Q，连接PQ
A
D
在△BEC中， ∵点P，Q分别是AE，AC的中点 ∴PQ∥EC
F P
Q
又∵ EC⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE ∴ PQ∥平面BCE
B
C
E
第一课时 证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例4：正方形ABCD与正方 形ABEF所在的平面相交于 AB，P、Q分别是AE、BD的 的点，且AP=DQ。 求证：PQ∥平面BCE
A FP
MB E
D
Q
NC
第一课时 证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
F
Q
P
B
C
E
第一课时 证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
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立体几何平行证明题常见模型及方法
证明空间线面平行需注意以下几点：
①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；
类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）
（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体 例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， 点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ；
变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ；
变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。
变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM
_ B
_ C
S
P
A
B
C
D
E
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(2)以柱体为载体
例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D
变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；
方法2：构造平行四边形法
例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F
分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE
变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD
变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB
例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4,
F
E
S
A
B
C
D
E C
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1
D
__________________________________________________
BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1
方法3：面面平行法 （略）
举一反三
1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)求出该几何体的体积；
(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ； (3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.
3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．
(1)求证EF ∥平面ADD1A1； （2）求几何体DD1AA1EF 的体积。
A
B
C
D
E
F。