立体几何平行证明题常见模型及方法

__________________________________________________

立体几何平行证明题常见模型及方法

证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体 例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， 点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ；

变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ；

变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。

变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM

_ B

_ C

S

P

A

B

C

D

E

__________________________________________________

(2)以柱体为载体

例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D

变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F

分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE

变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD

变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB

例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4,

F

E

S

A

B

C

D

E C

E 1 A 1

B 1

C 1

D 1

D

__________________________________________________

BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1

方法3：面面平行法 （略）

举一反三

1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，

2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.

(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ； (3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.

3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．

(1)求证EF ∥平面ADD1A1； （2）求几何体DD1AA1EF 的体积。

A

B

C

D

E

F