图像处理第7章 图像投影重建
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《图像处理与分析技术(第2版)》第5章 投影重建技术
扇束投影重建
2023/5/12
20 / 25
5.5 级数展开重建
模型
代数重建技术
2023/5/12
21 / 25
5.5 级数展开重建
2023/5/12
22 / 25
5.5 级数展开重建
2023/5/12
23 / 25
本章要点
5.1节 各种利用投影重建方式工作的系统 5.2节 从投影重建图像的基本原理 5.3节 利用傅里叶变换的重建方法 5.4节 利用卷积逆投影的重建方法 5.5节 利用级数展开进行重建的方法
对f (x, y)的Radon变换Rf(p, q)定义为沿由p和
定义的直线l（点0 / 25
5.2 投影重建原理
Radon变换
2023/5/12
11 / 25
5.2 投影重建原理
Radon变换 投影层定理
对 f (x, y)沿固定角度 = Q 的投影的1-D傅里叶
用的需求
2023/5/12
13 / 25
5.3 傅里叶反变换重建
傅里叶反变换重建公式
傅里叶变换投影定理：
2023/5/12
14 / 25
5.3 傅里叶反变换重建
傅里叶反变换重建公式
2023/5/12
15 / 25
5.3 傅里叶反变换重建
模型重建
例5.3.1 傅里叶反变换重建示例
2023/5/12
16 / 25
5.4 卷积逆投影重建
连续公式推导
2023/5/12
17 / 25
5.4 卷积逆投影重建
离散计算
2023/5/12
18 / 25
5.4 卷积逆投影重建
扇束投影重建
使用一个发射器和一组接受器，这样就可同时 获得多条投影线
2023/5/12
20 / 25
5.5 级数展开重建
模型
代数重建技术
2023/5/12
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5.5 级数展开重建
2023/5/12
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5.5 级数展开重建
2023/5/12
23 / 25
本章要点
5.1节 各种利用投影重建方式工作的系统 5.2节 从投影重建图像的基本原理 5.3节 利用傅里叶变换的重建方法 5.4节 利用卷积逆投影的重建方法 5.5节 利用级数展开进行重建的方法
对f (x, y)的Radon变换Rf(p, q)定义为沿由p和
定义的直线l（点0 / 25
5.2 投影重建原理
Radon变换
2023/5/12
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5.2 投影重建原理
Radon变换 投影层定理
对 f (x, y)沿固定角度 = Q 的投影的1-D傅里叶
用的需求
2023/5/12
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5.3 傅里叶反变换重建
傅里叶反变换重建公式
傅里叶变换投影定理：
2023/5/12
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5.3 傅里叶反变换重建
傅里叶反变换重建公式
2023/5/12
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5.3 傅里叶反变换重建
模型重建
例5.3.1 傅里叶反变换重建示例
2023/5/12
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5.4 卷积逆投影重建
连续公式推导
2023/5/12
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5.4 卷积逆投影重建
离散计算
2023/5/12
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5.4 卷积逆投影重建
扇束投影重建
使用一个发射器和一组接受器，这样就可同时 获得多条投影线
数字图像处理第7章 图像重建
G(r , ) F (r cos , r sin ) F (u, v)
G(r , ) F (r cos , r sin )
F (r cos , r sin ) F (u, v)
f(x,y)在一条与x轴夹角为θ直线s上的投影 的傅立叶变换等于其二维傅立叶变换在 与u轴成θ方向上的切片，这就是投影定 理，也称之为切片定理。
(cos 2 sin 2 ) f ( x, y ) e xp[ j 2 ( xr cos yr sin )]dxdy F ( r cos , r sin ) 1 f ( x, y ) e xp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy f ( x, y ) exp[ j 2 r ( xu yv)]dxdy F (u, v)
二、图像重建分类：
1、从维数上分为： 二维图像重建、三维图像重建 2、从成像方式上分为： 发射断层成像 反射断层成像 透射断层成像
二、图像重建分类：
3、从采用的射线波长分为：
X射线成像 超声成像 微波成像 核磁共振成像(MRI) 激光共焦成像
三、三种基本的图像重建系统
发射断层成像系统 透射断层成像系统 反射断层成像系统
数据获取系统 (DAS)
Pre-Collimator
Post-Collimator
Source Filter
Scattering
Detector
Patient
数据获取系统(DAS)
X-ray Tube Source Filter
Detectors
CT Gantry
第七章 图象重建
x
G 其中： m n 等于在 ( u m / L
, v n / L y ) 点的傅立叶变
换抽样值， s in c ( x )
(s in x )
x
在给出傅立叶变换在极坐标中计算出的投 影点后，我们要确定系数 G m n F ( u i , v j ) 表示成极坐标形式：
ui Ri co s i v j R j s in
0 a
ly lx
ly lx
a
a
这里， a tan , c sec 我们可以得到一系列到数表达式：
M 1 N 1
g ( , )
W
mn
( , ) f ( m lx , n l y )
m0 n0
§4 重建的优化问题
图像重建中的问题也可以通过选择一合理 的准则很数来解决。此函数用来衡量真实图像 于重建图像之间的差别，并且开发一种使此准 则函数最小的方案。 首先引入向量符号来表示重建投影。
g 这里， ( , ) g ( , ) h ( )
§3 代数重建方法
基本投影公式： g ( , )
f ( x, y )ds
S
由 f ( x , y ) a ( r , s ) H ( x , y , r , s ) d rd s 可以用级数来表示函数估值：
fˆ ( x , y )
a
k 0 l0
K 1 L 1
kl
H kl ( x , y )
级数估值应满足投影方程:
g ( , )
i 1, 2 , , I
fˆ ( x , y ) d s
S
f ( x, y )ds
G 其中： m n 等于在 ( u m / L
, v n / L y ) 点的傅立叶变
换抽样值， s in c ( x )
(s in x )
x
在给出傅立叶变换在极坐标中计算出的投 影点后，我们要确定系数 G m n F ( u i , v j ) 表示成极坐标形式：
ui Ri co s i v j R j s in
0 a
ly lx
ly lx
a
a
这里， a tan , c sec 我们可以得到一系列到数表达式：
M 1 N 1
g ( , )
W
mn
( , ) f ( m lx , n l y )
m0 n0
§4 重建的优化问题
图像重建中的问题也可以通过选择一合理 的准则很数来解决。此函数用来衡量真实图像 于重建图像之间的差别，并且开发一种使此准 则函数最小的方案。 首先引入向量符号来表示重建投影。
g 这里， ( , ) g ( , ) h ( )
§3 代数重建方法
基本投影公式： g ( , )
f ( x, y )ds
S
由 f ( x , y ) a ( r , s ) H ( x , y , r , s ) d rd s 可以用级数来表示函数估值：
fˆ ( x , y )
a
k 0 l0
K 1 L 1
kl
H kl ( x , y )
级数估值应满足投影方程:
g ( , )
i 1, 2 , , I
fˆ ( x , y ) d s
S
f ( x, y )ds
图像处理技术中的图像重建方法详解
图像处理技术中的图像重建方法详解在图像处理领域中，图像重建是指通过一系列算法和技术手段，从损坏、模糊或低质量的图像中恢复出清晰、高质量的图像。
图像重建方法是图像处理中的关键步骤之一，对于改进图像质量和提高图像分析的准确性至关重要。
本文将详细介绍几种常见的图像重建方法。
第一种图像重建方法是基于插值的方法。
插值是通过已知的图像像素点之间的关系，推断出缺失像素点的值。
最简单的插值方法是邻近插值，它通过将缺失像素点的值设置为最邻近的已知像素点的值来恢复图像。
邻近插值方法计算速度快，但在图像重建过程中可能会引入块状伪影。
另一种常见的插值方法是双线性插值，它通过在已知像素点之间进行线性插值来估计缺失像素点的值，可以提供更平滑的图像重建效果。
第二种图像重建方法是基于频域的方法。
频域方法将图像转换为频域表示，利用频域信息对图像进行处理和重建。
常见的频域方法包括傅里叶变换和小波变换。
傅里叶变换将图像转换为频域表示，可以通过滤波等操作在频域中对图像进行修复和重建。
小波变换不仅可以提供频域信息，还可以提供时间和空间信息，因此在图像重建中常用于改善图像质量和去除噪声。
第三种图像重建方法是基于模型的方法。
模型方法假设图像具有一定的结构和统计特性，并利用这些特性进行图像重建。
最常见的模型方法是基于稀疏表示的方法。
稀疏表示假设图像能够以较少的基础函数或原子线性组合的方式表示。
通过选择适当的基础函数或原子，可以在重建过程中减少噪声和伪影的引入，从而提高图像质量。
第四种图像重建方法是基于深度学习的方法。
深度学习是一种机器学习的技术，近年来在图像处理中取得了显著的进展。
基于深度学习的图像重建方法可以学习大量的图像样本，并利用这些样本进行图像重建和修复。
通过神经网络的训练和优化，可以实现更精确、更准确的图像重建效果。
除了上述介绍的几种常见的图像重建方法，还有其他一些方法也被广泛应用于图像处理领域，如基于概率统计的方法、基于局部统计的方法等。
精品课件-数字图像处理(王一丁)-第七章 图像重建
G(r, )
f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
7.2.2 图像投影定理 图像沿y方向积分投影及对应的频域情况 图像沿x方向积分投影及对应的频域情况
7.2.2 图像投影定理
y
v
沿 方向
积分投影
x
u
图像沿 θ方向积分投影及对应的频域情况
7.2.2 图像投影定理 v
x12 x11 x1 0 3.444 3.444
x62 x61 x6 0 5.556 5.556
代数重建迭代结果
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
知识就是力量，感谢支持！
一一一一谢谢大家！！
G(r, ) f (s1, t) exp( j2 rs1 )dtds1
f (x, y) exp[ j2 r(x cos y sin )]dxdy
f (x, y)
F (u, v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
令 u r cos
v r sin
u u
J (s,t) r cos r sin r(cos2 sin2 ) r (x, y) v v sin r cos
吸收一部分，余下部分被接收器接收。由于物体各部分对射线的吸收不同， 所以接收器获得的射线强度实际上反映了物体各部分对射线的吸收情况。
7.1.1 图像重建的方法
（2）发射断层重建成像 发射源在物体内部，一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物
体外部检测其放射出的量。 （3）反射断层重建成像 该方法利用雷达成像的原理，常用于雷达系统，关键在于提高分辨率。 （4）磁共振重建成像 核磁共振成像也称磁共振成像，是利用核磁共振原理，通过外加梯度
当入射波通过两个均匀分布的物体时，投影图发生重叠
图像重建原理
F1{g (R)}
（3）卷积反投影法
卷积函数C(R)
卷积反投影函数改写成卷积的形式：
F11[F1{g (R) }] g (R) F11{ }
算法特点：将投影函数gθ(R)直接在空域中 进行修正，即将gθ(R)与一个事先设计好地 卷积函数C(R)进行卷积运算，然后将卷积后
利用积分式展开，可表示如下：
f (x, y)
0
d
[
g
(t)C(R
t)dt]
(x cos
y sin
R)dR
0 d g (t)C(x cos y sin t)dt
0 d g (R)C(x cos y sin R)dR
dd
d
0
G
( )e2jR
d
(x cos
y sin
R)dR
d
0
g '
(R)
(x
c os
y
s in
R)dR
g (R)
g' (R)
f (x, y)
1D FT
1D IFT
空间域 频域
F1{g (R)}
的结果作反投影。
f (x, y) 0 d {g (R) C(R)} (x cos y sin R)dR
卷积函数 C(R) F 1{ }
因 不可积，故对 重新定义如下：
lim e 0
投影重建【转】
投影重建简述部分引言∙最初接触由投影重建图像这块内容的时候是在车牌识别中。
∙上图是在90°的投影下的结果。
∙下面我们开一个简单图像的特定角度下的投影∙当我们收集到各个角度的投影后，并希望通过这些投影的图像重建原图像。
上图的最后一张图片就是直接重建的图像。
可见，其有非常明显的“晕环”现象。
雷登变换∙雷登变换阐述了一幅图像与其在各个角度下投影的具体表示。
∙∙下面我们在matlab上展示一副图像的雷登变换∙∙图像在各个角度下的雷登变换的集合我们称之为正弦图。
∙以第一行的图像为例。
明显的，其像素为白色在90°的投影下是最多的，在0°或180°的投影下是最少的。
对应于右侧的正弦图也能够体现出来。
∙∙试想这样一个问题，如果我们把各个角度下的投影经过一次反投影在求和是否会复原图像呢？答案是肯定的。
∙*上图显示了由正弦图直接得到的反投影图像。
如引言所述，可见其有非常明显的“晕环现象”。
有人可能会想到，如果将每次投影的角度间隔选的小一点是否还会存在这样的问题呢？当然了，增大采样次数是一个消耗资源的方法。
而我们这里还有更好的解决这个问题的办法，这个方法是建立在傅里叶切片定理上的。
傅里叶切片定理∙傅里叶切片定理用一句话表示就是：一个投影的一维傅里叶变换就是得到该投影原图的二维傅里叶变换的一个切片，其切片角度就是投影的角度θ。
∙∙由此定理我们就可以在投影的频域做做文章来消除晕环现象了，这种重建方法称之为滤波反投影法。
∙∙总结由此方法得到反投影的步骤如下：.计算每个投影的一维傅里叶变换.用一个滤波函数|w|乘以每个傅里叶变换，就是加窗。
.得到每个滤波后的一维反傅里叶变换。
.将3得到的求和∙这就是滤波反投影法（家汉明窗）复原的图像。
可见，已经很好的消除了“晕环现象”。
扇形射线束滤波反投影的重建试想，当我们用扇形射线束代替上述的平行射线束自然会有更加不错的效果。
∙扇形射线束是当前CT系统使用的方法，具有高分辨率，高SNR和更快的扫描时间。
数字图像处理学第7章 图像重建
例如：断层摄影图像的获取 基本方法
如图所示，从线性并排着的X线源发射一定强度的
X线，把通过身体的X线用与X线源平行排列的X线 检测器接收。然后把X线源和检测器组以体轴为中 心一点一点的旋转，反复进行同样的操作。利用 这样求得的在各个角度上的投影数据，就可得到 了垂直于体轴的断面 图像。
解联立方程组
一旦这样的物体三维信息被恢复，就可以求出 关于具有任意倾斜度平面的断面，或者可以由三维的 任意方向来看物体，从而使对物体形状的判读变得非 常容易。
从多个断面恢复三维形状的方法有Voxel 法（体 素法）、分块的平面近似法。
7.1 概述
图像处理一个重要研究分支是物体图像的重 建，被广泛应用于检测和观察，而重建方法一般是 根据物体一些横截面部分的投影而进行的。在一些 应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过 这种重建才不会有任何物理上的损伤。例如：医疗 放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、 光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应 用。
7.3 卷积法重建
首先看下极坐标中的傅里叶反变换表达式
笛卡尔坐 标系和极坐 标的关系
x r cosa
y r sin ,
f (r , )
2
0
u R cos R sin v R sin R cos
F ( R, ) R exp[ j 2 Rr sin( )]dRd
如图7—3所示。图中（a）是投影数据，(b)是傅 里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标
F ( R, ) 中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换 F (u , v) 并不困难。
图 7—3 傅里叶变换的几何原理
(数字图像处理)第七章图像重建
带通滤波器
允许一定频率范围内的信号通 过，阻止其他频率的信号通过 ，用于提取图像的特定频率成 分。
陷波滤波器
阻止特定频率的信号通过，其 他频率的信号不受影响，用于 消除图像中的周期性噪声。
傅里叶反变换实现图像恢复过程
01
傅里叶反变换定义
将频率域的信号转换回时间域或空间域的过程，是傅里叶变换的逆操作。
80%
模型评估指标
使用峰值信噪比（PSNR）、结构 相似性（SSIM）等指标，客观评 价重建图像的质量。
实例
1 2
超分辨率技术介绍
利用低分辨率图像重建出高分辨率图像的技术， 广泛应用于图像增强和修复领域。
CNN在超分辨率技术中的应用
通过设计多层的卷积神经网络，实现对低分辨率 图像的特征提取和重建，生成高分辨率图像。
频率混叠现象
当采样频率低于信号最高频率的两倍时，会出现频率混叠现象，即高频信号成 分会折叠到低频区域，导致重建出的图像出现失真和伪影。
离散信号与连续信号转换关系
离散信号到连续信号的转换
在图像重建中，需要将离散的采样点转换为连续的图像信号 。这通常通过插值算法实现，如最近邻插值、线性插值、立 方插值等，以在离散采样点之间生成平滑的过渡。
稀疏表示与字典学习的关系
稀疏表示是字典学习的目标，而字典学习是实现稀疏表示的手段。
实例：基于CS-MRI技术医学图像重建
CS-MRI技术
基于压缩感知理论的磁共振成像技术，通过减少采样数据 量和优化重建算法，实现高质量医学图像的快速重建。
实现步骤
首先，利用MRI系统的部分采样数据构建测量矩阵；然后， 通过稀疏表示和字典学习方法得到图像的稀疏系数；最后， 利用重建算法恢复出原始图像。
数字图像处理 第七讲 图像重建
−∞
∞
该投影对应的傅立叶变换为： 该投影对应的傅立叶变换为：
图
建
GY (u) ∫ gY ( x) exp[− j2πux]dx ＝
∞ −∞
=∫
∞
从而可得： Y ＝ 从而可得： G (u) F(u,0) 即二维图像f(x,y)在X轴上投影的傅立叶变换， 在 轴上投影的傅立叶变换 轴上投影的傅立叶变换， 即二维图像 等于图像二维傅立叶变换在V=0的中心截面。 的中心截面。 等于图像二维傅立叶变换在 的中心截面 如果在Y轴上投影，同理可得： 轴上投影 如果在 轴上投影，同理可得：
图
建
本讲小结： 本讲小结： 投影定理及证明（掌握） 1、投影定理及证明（掌握） 2、图像重建的方法（简单了解） 图像重建的方法（简单了解） 图像重建的应用（简单了解） 3、图像重建的应用（简单了解）
图
建
第七讲 图像重建
7.1 概述 7.2 傅立叶变换投影定理 7.3 图像重建方法 7.4 图像重建的应用
图
建
7.1 概述
图像重建是图像处理中的一个重要分支， 图像重建是图像处理中的一个重要分支，被广 泛应用于检测和观察中。 泛应用于检测和观察中。这种方法一般是根据物体 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 投影重建： 投影重建：指从一个物体的多个投影图重建目 标图像的过程。即输入是一系列投影图， 标图像的过程。即输入是一系列投影图，输出是重 建图。 建图。
s cosθ sinθ x t = − sinθ cosθ y
图
建
图7－1
两坐标系间关系
将图像f( ) 轴投影， 将图像 (x,y)向S轴投影，可得下式，此时是沿 轴投影 可得下式， 积分路径s=xcosθ+ysinθ进行的。 进行的。 积分路径 进行的y)dt (
∞
该投影对应的傅立叶变换为： 该投影对应的傅立叶变换为：
图
建
GY (u) ∫ gY ( x) exp[− j2πux]dx ＝
∞ −∞
=∫
∞
从而可得： Y ＝ 从而可得： G (u) F(u,0) 即二维图像f(x,y)在X轴上投影的傅立叶变换， 在 轴上投影的傅立叶变换 轴上投影的傅立叶变换， 即二维图像 等于图像二维傅立叶变换在V=0的中心截面。 的中心截面。 等于图像二维傅立叶变换在 的中心截面 如果在Y轴上投影，同理可得： 轴上投影 如果在 轴上投影，同理可得：
图
建
本讲小结： 本讲小结： 投影定理及证明（掌握） 1、投影定理及证明（掌握） 2、图像重建的方法（简单了解） 图像重建的方法（简单了解） 图像重建的应用（简单了解） 3、图像重建的应用（简单了解）
图
建
第七讲 图像重建
7.1 概述 7.2 傅立叶变换投影定理 7.3 图像重建方法 7.4 图像重建的应用
图
建
7.1 概述
图像重建是图像处理中的一个重要分支， 图像重建是图像处理中的一个重要分支，被广 泛应用于检测和观察中。 泛应用于检测和观察中。这种方法一般是根据物体 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 的一些横截面部分的投影进行的，称为投影重建。 投影重建： 投影重建：指从一个物体的多个投影图重建目 标图像的过程。即输入是一系列投影图， 标图像的过程。即输入是一系列投影图，输出是重 建图。 建图。
s cosθ sinθ x t = − sinθ cosθ y
图
建
图7－1
两坐标系间关系
将图像f( ) 轴投影， 将图像 (x,y)向S轴投影，可得下式，此时是沿 轴投影 可得下式， 积分路径s=xcosθ+ysinθ进行的。 进行的。 积分路径 进行的y)dt (
图像重建资料
这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等衰减系数的单位h豪斯费尔德hounsfield豪斯费尔德将线性衰减系数分为2000个单位称为ct值一个豪斯费尔德等于水的衰减系数的01标度上选择h水0对于空气h1000衰减最小不衰减骨骼h1000衰减最大1000这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等x射线经过物体时会发生衰减不同的物质衰减是不一样的
为 ? 11, ? 12 , ? 21, ? 22 ，
分别从 X和Z方向投影，
测得的衰减系数为 A，
B，C，D，即：
? 11 ? ? 12 ? A ? 21 ? ? 22 ? B ? 11 ? ? 21 ? C ? 12 ? ? 22 ? D
从而可以解出 ? 11, ? 12 , ? 21, ? 22 的值来。我们
在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数 据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰 减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样， 就产生了断层图像。
设某一物体体素对 X射线的衰减系数为 μ ，
体素厚度为 d
，?
和
0
?
为穿透物体前后的 X射线的
辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：
? ? ? 0e? ?d
用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得 到相应的断层图像。
如果图像的分辨率为 512X512 ，则图像有 262144个独立阵元，需要解 262144 元的方程 组，计算出 μ值，重建出图像。
为 ? 11, ? 12 , ? 21, ? 22 ，
分别从 X和Z方向投影，
测得的衰减系数为 A，
B，C，D，即：
? 11 ? ? 12 ? A ? 21 ? ? 22 ? B ? 11 ? ? 21 ? C ? 12 ? ? 22 ? D
从而可以解出 ? 11, ? 12 , ? 21, ? 22 的值来。我们
在断层扫描时，生成大量的数据，根据该数 据再计算出每个体素的衰减系数，然后把这些衰 减系数按一定的函数关系显示在屏幕上，这样， 就产生了断层图像。
设某一物体体素对 X射线的衰减系数为 μ ，
体素厚度为 d
，?
和
0
?
为穿透物体前后的 X射线的
辐射强度。射线遵循如下的衰减定律：
? ? ? 0e? ?d
用一定的函数关系在屏幕上显示出来就可以得 到相应的断层图像。
如果图像的分辨率为 512X512 ，则图像有 262144个独立阵元，需要解 262144 元的方程 组，计算出 μ值，重建出图像。
图像重建一般方法
单束平移-旋转方式； 窄扇形束扫描平移-旋转方式； 旋转-旋转方式；
静止-旋转方式；
共同点是都需要X射线管和检测器之间进行 同步扫描机械运动。
38
计算机断层扫描技术
第一代CT (Computed Tomography)
单个探测器 平移－旋转并行光光束
39
第一代CT
1. 单束平移-旋转（T/R）方式
43
第二代CT
多个探测器 平移－旋转小扇形光束
(From G. Wang)
44
第三代CT
多个探测器 旋转－旋转大扇形光束
45
第三代CT
旋转-旋转（R/R）方式
这种扫描称为第三代 CT扫描，扫描装置由一个 X射线管和由 250～ 700个检测器（或用检测器阵列）排列成一个可在扫描 架内滑动的紧密圆弧形。 X 射线管发出张角为 30°～ 45°， 能覆盖整个受检体的宽扇形射线束。 由于这种宽扇束扫描一次 即能覆盖整个受检体，故 摄影区域 只需X射线管和检测器作 同步旋转运动。
11
X射线成像原理
当高速带电粒子撞击物质受阻而突然减速时，能够产生 X 射线。医学影像诊断所用的 X 线产生设备是 X 线管（ X-ray tube，球管）。 1．X射线的产生 X射线的产生需要的基本条件是： （1）有高速运动的电子流； （ 2 ）有阻碍带电粒子流运动的障碍物（靶），用来阻止 电子的运动，可以将电子的动能转变为 X 射线光子的能量 。
27
投影重建概述
概念：投影重建一般指利用物体的多个 （轴向）投影图像重建目标图像的过程。 它是一类特殊的图像处理方法，它输入的 是（一序列）投影图，而输出的是重建图。
通过投影重建就可以直接看到原来被投影 物体某种特性的空间分布，比直接观察投 影图要直观的多。
静止-旋转方式；
共同点是都需要X射线管和检测器之间进行 同步扫描机械运动。
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计算机断层扫描技术
第一代CT (Computed Tomography)
单个探测器 平移－旋转并行光光束
39
第一代CT
1. 单束平移-旋转（T/R）方式
43
第二代CT
多个探测器 平移－旋转小扇形光束
(From G. Wang)
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第三代CT
多个探测器 旋转－旋转大扇形光束
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第三代CT
旋转-旋转（R/R）方式
这种扫描称为第三代 CT扫描，扫描装置由一个 X射线管和由 250～ 700个检测器（或用检测器阵列）排列成一个可在扫描 架内滑动的紧密圆弧形。 X 射线管发出张角为 30°～ 45°， 能覆盖整个受检体的宽扇形射线束。 由于这种宽扇束扫描一次 即能覆盖整个受检体，故 摄影区域 只需X射线管和检测器作 同步旋转运动。
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X射线成像原理
当高速带电粒子撞击物质受阻而突然减速时，能够产生 X 射线。医学影像诊断所用的 X 线产生设备是 X 线管（ X-ray tube，球管）。 1．X射线的产生 X射线的产生需要的基本条件是： （1）有高速运动的电子流； （ 2 ）有阻碍带电粒子流运动的障碍物（靶），用来阻止 电子的运动，可以将电子的动能转变为 X 射线光子的能量 。
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投影重建概述
概念：投影重建一般指利用物体的多个 （轴向）投影图像重建目标图像的过程。 它是一类特殊的图像处理方法，它输入的 是（一序列）投影图，而输出的是重建图。
通过投影重建就可以直接看到原来被投影 物体某种特性的空间分布，比直接观察投 影图要直观的多。
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设f(x,y)在以原点为圆心的单位圆Q 外为0，现考虑有一条由发射源到接 收器的直线在平面上与f(x,y)在Q内
相交，这条直线用两个参数来确定： 1，它与原点的距离s；2，它与Y轴 的夹角θ。
7.2.1 投影重建图像示意图
7.2.1 基本模型
沿直线（s, θ ）对 f（x,y)的积分
设Q为单位圆，积分上下限分别为t和-t
7.4 逆投影重建
7.4.1 逆投影重建原理
将从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个 投影方向都进行这样的逆投影并叠加结果，就有可能建立平面上的一 个分布。
（a）分别给出水平投影和逆投影的示意图，发射源发出均匀射线，由 于所穿透物体各处密度不同，各接收器得到的响应不同。
（b）给出垂直投影和逆投影的示意图，与水平方向的效果类似
讨论接收器在一段弧上等角度间隔排列的情况，
用（s, θ）所指定的一条射线可看做是一组用（α，β）指定 的射线中的一条，其中α是该射线与中心射线的离散角，β 是源与原点连线和Y轴夹角，它确定了源的方向。
（7.2.5）
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
(7.2.1)
7.2.2 拉东变换
拉东变换主要用来接方程式（7.2.1）
线积分
P和θ定义的 图中直线l的
线积分
直线l 的方程
借助δ函数
（7.2.4）
7.2.2 拉东变换
中心层定理
可以证明，对f(x, y)的2-D傅里叶变换与对f(x, y)先进行拉东变换后再进 行1-D傅里叶变换得到的结果相等
点数，要通过M × N个测量值g(m△s, n△θ)估计出在K × L个采样点 的f (k△x, l△y)
7.3 傅里叶反变换重建
考虑在s和θ 上都均匀采样的情况 M个间距为 △ s的射线， N个相差△θ 的角度进行投影
保证一系列射线
选取
和
此时g(m△s,n△θ)为平行投影的射线数据。
覆盖单位圆，
每个MRI系统都包括磁场子系统、发射/接收子系统、计算机图像重建 和显示子系统。
磁共振成像根据时变非均匀磁场和射频磁场及其激励而产生的磁共振 信号来重建物体的自旋密度分布函数
7.2 投影重建原理
{各种成象方式在原理不完全相同但有一些共性}
7.2.1 基本模型
将需要投影重建的物质材料限制在一个无限薄的平面上，使得重建图 像在任意点的灰度值正比于射线投影到的那个点所固有的相对线性衰 减系数，（f(x,y)代表某种物理量在2-D平面上的分布）
3. 扇束投影重建
实际应用中需要尽量缩短投影时间，减少由于物体在投影 期间的运动而造成的图像失真以及对患者的伤害。扇束投 影主要有两种集合测量类型，分别对应第二代和第三代 CT 系统，使用1个发射器和1组接收器
要在扇形投影的情况下进行重建， 可通过将中心投影转化为平行投影， 在用平行投影重建技术进行重建。
1972年：公布这台机器（1973年正式使用）
1979 年： 两个发明人豪斯费尔德（ G.H.Hounsfield） 和柯马克（A.M. Cormack）获得了诺贝尔生理和医学 奖，获得CT图象也被认为是第一次通过解决一个属于 逆问题和病态问题（inverse and ill-posedproblems） 的数学问题来获得图象的成功实例
7.3节 介绍重建图像质量较差，但所需要计算量较小的傅里叶反变换重建法
7.4节 介绍几种容易用软件和硬件实现，切效果比较准确清晰的逆投影重建 法
7.5节 介绍代数重建技术，可以通过迭代计算直接得到数值解
7.6节 讨论将变换法和级数展开法相结合的综合方法
图象投影重建的历史
1971年：第1台CT机器建成
雷达运动，目标静止，相对运动增加分辨率 目标A处回波信号的双程超前相位 ：
目标B处回波信 号双程超前相位
R为目标A与雷达间最 近距离，d为B与A间的 位移量，v是雷达沿Y 轴速度，T是有效积累 时间
B处回波响应
7.1.4 电阻抗断层成像(EIT)
（EIT）采用交流电场对物体进行激励。对电导或电抗的 改变比较敏感。
磁共振成像（MRI）
7.（1M.5RI）磁早共期称振核磁成共像振。
质子在磁场中会进动.
当一定强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向 与磁场相交的朝向质子吸收的能量释放并被接收器检测到。根据检测 到的信号就可以确定质子的密度
检测到的信号是MRI信号沿直线的积分。所以检测目标的工作成了由 投影重建的问题
7.1.1 透射断层成像
TCT（简称CT），英文为Transmission Computed Tomography，
CAT（Computer-Aided Tomography，CT）
发射源射出的射线穿透物体到达接收器，射线被物体吸收一部分，余 下部分被接收器接收。
接收器获得的射线强度实际上反映了物体各部分对射线的吸收情况
第七章 图像投影重建
图像投影重建，一般只从一个物体的多个（轴向）投影图重建目标图像 的过程。输入是投影图，输出是重建图。投影重建与计算机层析成像 （CT）关系密切。一个X射线源与接受胶片以相反方向运动。
章节安排：
7.1节 介绍典型的投影重建方式，CT、MRI、电阻抗断层
7.2节 2-D、3-D投影原理分析讨论，给出由拉东变换得到的中心层定理
将低频率的电流注入物体内部并测量在物体外表处的电势 场；
采用图象重建算法重建出物体内部区域的电导和电抗的分 布或变化的图象(基于边界测量值估计场域电导率分布)
EIT图象能反映组织或器官携带的病理和生理信息：不同 的生物组织或器官在不同的生理、病理条件下其电阻抗特 性不同。（图7.1.5）
EIT技术分析
7.1.2 发射断层成像
ECT（emission computed tomography） 发射源在物体内部，接收器在物体外部（通常将放射性离子注入物体
内部，从物体外接收其辐射），了解离子在物体内运动情况和分布， 从而检测到与生理有关的状况/信息 主要有两种： ① PET，正电子发射（positron emission tomography） 正电子与负电子相撞湮灭而产生一对光子 ② SPECT，单光子发射（single photon emission CT） 使用在衰减中能产生γ 射线的放射性离子。
第1代：发射源与接收器一对一，对向移动以覆盖整个拟成像区域 第2代：每个发射源对应若干接收器，对向移动以覆盖整个拟成像区域 第3代：每个发射源指对应一个接收器，发射源不移动，只需转动 第4代：接收器构成完整的圆环，工作中没有运动，只需发射源转动
第3、4代 系统采用 扇束投影 方式，可 尽量缩短 投影时间， 减少危害
7.4.2 卷积逆投影重建
1. 连续公式推导 投影定理
将每个投影得到的数据像图像采集那样扩散回图像，并不需要像傅里 叶方法那样存储复频率空间图，在极坐标系中取傅里叶反变换：
（7.4.1）
只在有限带宽|R|<1/(2△s)的情况下对G(R, θ)进行估计
（7.4.2）
7.4.2卷积逆投影重建
图象投影重建
根据一个物体的投影图重建目标图象的过程
输入投影图 （图象处理）
输出重建图
一类特殊的图象恢复技术
投影：退化过程
（丢失了沿射线方向的分辨能力）
重建：复原过程
（恢复了2-D空间的分辨能力）
7.1 投影重建方式
{如果传感器测量的数据具有物体某种感兴趣物理 特性在空间分布的积分形式，就可以用投影重建 的方法来获取物体内部、反应不同物理特性的图 像}
② SPECT（single photon emission CT）
将放射性物质注入物体内，不同的材料（如组织或器官）吸收后会发 射γ射线，为确定射线方向，要用能阻止射线偏移的准直器来定向采集 光子。
一定方向的γ射线穿过准直器到达晶体，在那里γ射线光子转化为电信 号。这些电信号提供了光子与晶体作用的位置，放射性物质的3-D分 布就转化为2-D投影图像。
I0：射线源
I：穿透物体的
的强度
射线强度
若物体是均匀的，则：
物体线性衰减系数
K(s)沿射线方向物 体点s的线性衰减系 数/因子，L代表辐
射的射线
7.1.1 透射断层成像
图（a）—（d）分别对应第1—4代CT系统的扫描成像结构示意图。
圆代表拟成像的区域，经过发射源（X射线管）的虚线直线箭头表示发射源可沿箭头移 动，从一个发射源到另一个发射源的虚线曲线箭头表示发射源可沿曲线转动
数学角度上，EIT和各类CT有类似之处，都需要处理外部 信息来获得反应内部结构的图像，成像常针对穿过物体的 一个2-D截面进行。
EIT借助电流的扩散来获得电导的分布，与各CT不同；成 像技术安全、简便，分辨率较差，分辨率依赖于电极数量， 可以同时接触到物体的电极数量常受到很多限制。
缺点是由于非线性的病态问题，如果测量又很小的误差就 有可能对电导的计算产生很大影响。
7.3 傅里叶反变换重建
2 傅里叶变换投影定理
G(R，θ)是 g（s, θ）对应第一个变量s的1-D傅里叶变换 F(X,Y)是f(x,y)的2-D傅里叶变换
f (x, y)以θ 角进行投影的傅里叶变换等于f (x, y)的傅里叶变换在傅里叶 空间(R, θ )处的值