图像处理第7章 图像投影重建

7.1.2 发射断层成像
① PET（positron emission tomography） 相对放置的两个接收器可以确定一条射线 衰减时释放正电子的放射性粒子，放出的 正电子很快与负电子相撞湮灭产生一对光 子并以相反方向射出，所以相对放置的两 个接收器可以确定一条射线
P是投影 数据
7.1.2 发射断层成像
7.1.2 发射断层成像
ECT（emission computed tomography） 发射源在物体内部，接收器在物体外部（通常将放射性离子注入物体
内部，从物体外接收其辐射），了解离子在物体内运动情况和分布， 从而检测到与生理有关的状况/信息 主要有两种： ① PET，正电子发射（positron emission tomography） 正电子与负电子相撞湮灭而产生一对光子 ② SPECT，单光子发射（single photon emission CT） 使用在衰减中能产生γ 射线的放射性离子。
7.4 逆投影重建
7.4.1 逆投影重建原理
将从各个方向得到的投影逆向返回到该方向的各个位置，如果对多个 投影方向都进行这样的逆投影并叠加结果，就有可能建立平面上的一 个分布。
（a）分别给出水平投影和逆投影的示意图，发射源发出均匀射线，由 于所穿透物体各处密度不同，各接收器得到的响应不同。
（b）给出垂直投影和逆投影的示意图，与水平方向的效果类似
将低频率的电流注入物体内部并测量在物体外表处的电势 场；
采用图象重建算法重建出物体内部区域的电导和电抗的分 布或变化的图象(基于边界测量值估计场域电导率分布)
EIT图象能反映组织或器官携带的病理和生理信息：不同 的生物组织或器官在不同的生理、病理条件下其电阻抗特 性不同。（图7.1.5）
EIT技术分析
7.3 傅里叶反变换重建
3.模型重建
为检验重建公式的正确性和把握重建算法中各个参数对重建效果的影 响，利用幻影模型进行试验
7.3 傅里叶反变换重建
图7.3.2给出的一幅改进的Sheep-Logan头部模型图(尺寸115×115,256 级灰度)。
10个圆/椭圆(见表7.3.1数据)
原Sheep-Logan的对比度小，图中 小的椭圆看不清楚，改进图调整了 各个椭圆的密度，使得各个椭圆的 对比度有所增强，视觉效果更好一 些。
7.1.3 反射断层成像
利用投影重建的原理工作。 雷达系统获取的雷达图是由物体反射的回波所产生的 雷达接收器在特定角度所接收到的回波强度是地面反射量在一个扫描
段的积分（对比CT） 投影重建就是要从这个积分获得地面（反射强度）的图象
7.1.3 反射断层成像(RCT)
非聚焦合成孔径雷达(SAR)
I0：射线源
I：穿透物体的
的强度
射线强度
若物体是均匀的，则：
物体线性衰减系数
K(s)沿射线方向物 体点s的线性衰减系 数/因子，L代表辐
射的射线
7.1.1 透射断层成像
图（a）—（d）分别对应第1—4代CT系统的扫描成像结构示意图。
圆代表拟成像的区域，经过发射源（X射线管）的虚线直线箭头表示发射源可沿箭头移 动，从一个发射源到另一个发射源的虚线曲线箭头表示发射源可沿曲线转动
讨论接收器在一段弧上等角度间隔排列的情况，
用（s, θ）所指定的一条射线可看做是一组用（α，β）指定 的射线中的一条，其中α是该射线与中心射线的离散角，β 是源与原点连线和Y轴夹角，它确定了源的方向。
将式(7.4.2)带入(7.4.1)并交换对s和R的积分次序
g'(s',θ)是f(x,y)在θ角方向的投影与h(s)的卷积，可称为 在θ方向上卷积了的投影；h(s)称为卷积函数。
因为g'(·)中的参数是一条以θ角通过(x,y)点
的射线的参数，所以fw(x,y)是所有与过(x,y) 的射线所对应的卷积后投影的积分。
（7.4.3） （7.4.5）
7.4.2卷积逆投影重建
2. 离散计算
对（7.4.5）代表的逆投影过程近似
(7.4.6)
对每个θn需要对K×L个s'计算g'(s',θn').由于K和L一般都很大，直接计算
工作量很大，所以卷积过程的近似（分两步以减少计算量）
离散卷积
一次插值
7.4.2 卷积逆投影重建
7.3 傅里叶反变换重建
2 傅里叶变换投影定理
G(R，θ)是 g（s, θ）对应第一个变量s的1-D傅里叶变换 F(X,Y)是f(x,y)的2-D傅里叶变换
f (x, y)以θ 角进行投影的傅里叶变换等于f (x, y)的傅里叶变换在傅里叶 空间(R, θ )处的值
f (x, y)在与X轴成θ 角的直线上投影的傅里叶变换是f (x, y)的傅里叶变 换在朝向角θ上的1个截面。
3. 扇束投影重建
实际应用中需要尽量缩短投影时间，减少由于物体在投影 期间的运动而造成的图像失真以及对患者的伤害。扇束投 影主要有两种集合测量类型，分别对应第二代和第三代 CT 系统，使用1个发射器和1组接收器
要在扇形投影的情况下进行重建， 可通过将中心投影转化为平行投影， 在用平行投影重建技术进行重建。
磁共振成像（MRI）
7.（1M.5RI）磁早共期称振核磁成共像振。
质子在磁场中会进动.
当一定强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向 与磁场相交的朝向质子吸收的能量释放并被接收器检测到。根据检测 到的信号就可以确定质子的密度
检测到的信号是MRI信号沿直线的积分。所以检测目标的工作成了由 投影重建的问题
（7.2.5）
7.2.2 拉东变换
对f(x, y)沿一个固定角度投影结果的1-D傅里叶变换对 应f(x, y)的2-D傅里叶变换中沿相同角度的一个剖面/层， 如图7.2.3.
7.3 傅里叶反变换重建
基于变换的重建方法，它是首先在投影中得到应用的方法
1. 基本步骤和定义
(1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法： 设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向上的点数，L为Y方向上的
设f(x,y)在以原点为圆心的单位圆Q 外为0，现考虑有一条由发射源到接 收器的直线在平面上与f(x,y)在Q内
相交，这条直线用两个参数来确定： 1，它与原点的距离s；2，它与Y轴 的夹角θ。
7.2.1 投影重建图像示意图
7.2.1 基本模型
沿直线（s, θ ）对 f（x,y)的积分
设Q为单位圆，积分上下限分别为t和-t
图象投影重建
根据一个物体的投影图重建目标图象的过程
输入投影图 （图象处理）
输出重建图
一类特殊的图象恢复技术
投影：退化过程
（丢失了沿射线方向的分辨能力）
重建：复原过程
（恢复了2-D空间的分辨能力）
7.1 投影重建方式
{如果传感器测量的数据具有物体某种感兴趣物理 特性在空间分布的积分形式，就可以用投影重建 的方法来获取物体内部、反应不同物理特性的图 像}
7.4.2 卷积逆投影重建
1. 连续公式推导 投影定理
将每个投影得到的数据像图像采集那样扩散回图像，并不需要像傅里 叶方法那样存储复频率空间图，在极坐标系中取傅里叶反变换：
（7.4.1）
只在有限带宽|R|<1/(2△s)的情况下对G(R, θ)进行估计
（7.4.2）
7.4.2卷积逆投影重建
7.3节 介绍重建图像质量较差，但所需要计算量较小的傅里叶反变换重建法
7.4节 介绍几种容易用软件和硬件实现，切效果比较准确清晰的逆投影重建 法
7.5节 介绍代数重建技术，可以通过迭代计算直接得到数值解
7.6节 讨论将变换法和级数展开法相结合的综合方法
图象投影重建的历史
1971年：第1台CT机器建成
雷达运动，目标静止，相对运动增加分辨率 目标A处回波信号的双程超前相位 ：
目标B处回波信 号双程超前相位
R为目标A与雷达间最 近距离，d为B与A间的 位移量，v是雷达沿Y 轴速度，T是有效积累 时间
B处回波响应
7.1.4 电阻抗断层成像(EIT)
（EIT）采用交流电场对物体进行激励。对电导或电抗的 改变比较敏感。
第1代：发射源与接收器一对一，对向移动以覆盖整个拟成像区域 第2代：每个发射源对应若干接收器，对向移动以覆盖整个拟成像区域 第3代：每个发射源指对应一个接收器，发射源不移动，只需转动 第4代：接收器构成完整的圆环，工作中没有运动，只需发射源转动
第3、4代 系统采用 扇束投影 方式，可 尽量缩短 投影时间， 减少危害
第七章 图像投影重建
图像投影重建，一般只从一个物体的多个（轴向）投影图重建目标图像 的过程。输入是投影图，输出是重建图。投影重建与计算机层析成像 （CT）关系密切。一个X射线源与接受胶片以相反方向运动。
章节安排：
7.1节 介绍典型的投影重建方式，CT、MRI、电阻抗断层
7.2节 2-D、3-D投影原理分析讨论，给出由拉东变换得到的中心层定理
② SPECT（single photon emission CT）
将放射性物质注入物体内Βιβλιοθήκη Baidu不同的材料（如组织或器官）吸收后会发 射γ射线，为确定射线方向，要用能阻止射线偏移的准直器来定向采集 光子。
一定方向的γ射线穿过准直器到达晶体，在那里γ射线光子转化为电信 号。这些电信号提供了光子与晶体作用的位置，放射性物质的3-D分 布就转化为2-D投影图像。
数学角度上，EIT和各类CT有类似之处，都需要处理外部 信息来获得反应内部结构的图像，成像常针对穿过物体的 一个2-D截面进行。
EIT借助电流的扩散来获得电导的分布，与各CT不同；成 像技术安全、简便，分辨率较差，分辨率依赖于电极数量， 可以同时接触到物体的电极数量常受到很多限制。
缺点是由于非线性的病态问题，如果测量又很小的误差就 有可能对电导的计算产生很大影响。
1972年：公布这台机器（1973年正式使用）
1979 年： 两个发明人豪斯费尔德（ G.H.Hounsfield） 和柯马克（A.M. Cormack）获得了诺贝尔生理和医学 奖，获得CT图象也被认为是第一次通过解决一个属于 逆问题和病态问题（inverse and ill-posedproblems） 的数学问题来获得图象的成功实例
7.1.1 透射断层成像
TCT（简称CT），英文为Transmission Computed Tomography，
CAT（Computer-Aided Tomography，CT）
发射源射出的射线穿透物体到达接收器，射线被物体吸收一部分，余 下部分被接收器接收。
接收器获得的射线强度实际上反映了物体各部分对射线的吸收情况
每个MRI系统都包括磁场子系统、发射/接收子系统、计算机图像重建 和显示子系统。
磁共振成像根据时变非均匀磁场和射频磁场及其激励而产生的磁共振 信号来重建物体的自旋密度分布函数
7.2 投影重建原理
{各种成象方式在原理不完全相同但有一些共性}
7.2.1 基本模型
将需要投影重建的物质材料限制在一个无限薄的平面上，使得重建图 像在任意点的灰度值正比于射线投影到的那个点所固有的相对线性衰 减系数，（f(x,y)代表某种物理量在2-D平面上的分布）
点数，要通过M × N个测量值g(m△s, n△θ)估计出在K × L个采样点 的f (k△x, l△y)
7.3 傅里叶反变换重建
考虑在s和θ 上都均匀采样的情况 M个间距为 △ s的射线， N个相差△θ 的角度进行投影
保证一系列射线
选取
和
此时g(m△s,n△θ)为平行投影的射线数据。
覆盖单位圆，
(7.2.1)
7.2.2 拉东变换
拉东变换主要用来接方程式（7.2.1）
线积分
P和θ定义的 图中直线l的
线积分
直线l 的方程
借助δ函数
（7.2.4）
7.2.2 拉东变换
中心层定理
可以证明，对f(x, y)的2-D傅里叶变换与对f(x, y)先进行拉东变换后再进 行1-D傅里叶变换得到的结果相等
7.4.1 逆投影重建原理
利用逆投影可以重建原始空间密度分布
不同方向逆投影结果叠加
逆投影重建的效果
（a）表示物体密度分布；（b）、（c）分别表示水平和垂直逆投影结 果；（d）表示将水平和垂直逆投影结果叠加的效果；(e)图表示将更 多逆投影结果叠加的效果，随着逆投影结果不断叠加，将越来越反映 原始物体的密度分布。