分配问题及匈牙利算法

第4章 整数规划与分配问题
例1
任务
人员
A
B
C
D
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
运筹学
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2. 匈牙利法
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素 第二步：进行试分配，以寻求最优解。如果得到最优解，运算结束，否则转到第三步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素，转到第二步。
4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
√
√
3 4 3 ◎
◎ 1
Ø
5
2 ◎ 4 4
2
6
0
Ø
3 4 3 ◎
◎ 1
Ø
5
2 ◎ 4 4
2
6
◎
Ø
得到4个独立零元素， 所以 最优解矩阵为：
2020/12/13
运筹学
3 4 3 0
0
1
0
5
2 0 4 4
2
6
0
0
0 0 0 1
1
0
0
0
0 1 0 0
第二步，试分配：
0Ø 13
6
0◎
0◎ 5
0Ø
1
7 ◎0
6
9
3 2
0◎ Ø0
运筹学
0 0 0 1
0
1
0
0
1 0 0 0
0
0
1
0
2020/12/13
8
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
任务
人员
A
B
C
D 0 0 0 1
甲 乙
2 10
15 4
13 14
4 15
0
1
0
0
丙
9
14
16
1 0 0 0
例3
运筹学
费 工作
用
A
B
C
D
E
人员
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
6
9
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
第4章 整数规划与分配问题
7 5 9 8 11 5
9 12
7 11
9
7
8 5 4 6 9 4
7
3
6
9
6
3
4 6 7 5 11 4
2020/12/13
运筹学
2 0 4 3 6
2
5
0
1
0
4
2 0 4 3
3
7
1
0
第二步，试指派：
－5
4 5 4 ◎
◎ 1
Ø
4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
找到 3 个独立零元素 但m=3<n=4
2020/12/13
11
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
4 5 4 ◎ √
◎
1
Ø
4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
2020/12/13
17
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 ◎0 4 2 4 √
2
5
Ø0
3
◎0
4 1 ◎0 1 3
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
l =m=4 < n=5
2020/12/13
18
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 ◎0 4 2 4
2
5
Ø0
3
◎0
4 1 ◎0 1 3
英语 6 4 3 5
日语 7 5 1 9
德语 11 9 10 8
俄语 2 8 4 2
第4章 整数规划与分配问题
求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：
运筹学
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
9 10
8 4 4 1
5 9 8 2 2
4 5 9 0
0
1
5
4
2 0 9 3
3
7
6
0
4 5 4 0
0
4
2
4 1 0 2 5
4
0
3
6
3
0 2 3 1 7
-1 -2
16
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 0 4 2 4
2
5
0
3
0
4 1 0 1 3
4
0
3
5
1
0 2 3 0 5
2 ◎0 4 2 4
2
5
Ø0
3
◎0
4 1 ◎0 1 3
4
Ø0
3
5
1
◎0 2 3 0Ø 5
2020/12/13
4
第4章 整数规划与分配问题
例1
任务
人员
A
B
C
D
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
运筹学
第4章 整数规划与分配问题
求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：
2 15 13 4 -2
10
4
14
15
-4
9 14 16 13 -9
7
8 11
9
-7
运筹学
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
分配问题与匈牙利法
2020/12/13
1
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
1. 分配问题
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但 由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费 用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总 效率最高（或所需时间最少），这类问题称为分配问题或指派问题。
3
0
2
4
0
3
Ø0
2
4
◎0
√
0 3 3 0 5 ◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
2020/12/13
20
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
1 ◎0 3 1 3 √
√
√
独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4；
第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后 打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：
2020/12/13
12
第4章 整数规划与分配问题
4 5 4 ◎ √
◎
1
Ø
13
丁
7
8
11
9 0 0 1 0
此分配问题的最优时间：4+4+9+11=28
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
例 2 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分配任务，使总时间最少？
任务 人员
甲 乙 丙 丁
4
Ø0
3
5
1
◎0 2 3 0Ø 5
1 0 3 1 3
2
6
0
3
0
4 2 0 1 3
3
0
2
4
0
0 3 3 0 5
2020/12/13
19
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
1 0 3 1 3 1 ◎0 3 1 3 √
2
6
0
3
0Hale Waihona Puke Baidu
2
6
◎0
3
Ø0
√
4 2 0 1 3 4 2 Ø0 1 3 √
0
0
1
0
13
第4章 整数规划与分配问题
任务 人员
甲 乙 丙 丁
英语 6 4 3 5
日语 7 5 1 9
德语 11 9 10 8
此分配问题的最优时间：2+4+1+8=15
运筹学
俄语 0 0 0 1
2
1
0
0
0
8
0 1 0 0
4 2
0
0
1
0
2020/12/13
14
第4章 整数规划与分配问题
0 13 11 2
6
0
10
11
0 5 7 4
0
1
4
2
2020/12/13
6
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
0 13 11 2
6
0
10
11
0 5 7 4
0
1
4
2
-0 -0 -4 -2
0 13
6
0
0 5
0
1
7 0
6
9
3 2
0
0
2020/12/13
7
第4章 整数规划与分配问题