课时跟踪检测 (四十五) 函数y=Asin(ωx+φ)

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2025版高考数学一轮复习课时规范练20函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版

课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.(2024湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2024河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像全部点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为() A. B.C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2024河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 ()A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为6.(2024河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()A.3B.2C. D.7.(2024河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()A. B. C. D.8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin9.(2024北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对随意的实数x都成立,则ω的最小值为.10.已知函数y=3sin.(1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的改变得到的.综合提升组11.(2024河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.812.(2024山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A. B. C. D.13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.14.(2024湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sin cos sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.创新应用组15.(2024湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则()A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=16.(2024河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()A. B.C. D.参考答案课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用1.A y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位,得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满意2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.A将y=sin的图像向右平移个单位,得到y=sin-=sin的图像,再将所得的图像全部点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),所得的图像对应的解析式为y=sin,令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为,,故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,∴g(x)=2sin.易推断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,∴选项B对C错,故选C.6.C由题意知,g(x)=2sin=2sin ωx,由对称性,得-≤×,即ω≤,则ω的最大值为.7.A由题意得f(x)=sin ωx-2cos2+1=sin ωx-cos ωx=2sin,则g(x)=2sinω(x-φ)-=2sinωx-ωφ-,由题图知T=2-=π,∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-,则g=2sin--2φ=2sin=2,由0<φ<,得-2φ=,解得φ的值为,故选A.8.A由题图知,A=2,周期T=2-=π,所以ω==2,y=2sin(2x+φ).方法一:因为函数图像过点,所以2=2sin.所以+φ=2kπ+(k∈Z).令k=0,得φ=-,所以y=2sin,故选A.方法二:因为函数图像过点,所以-2=2sin,所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.令k=0,得φ=-,所以y=2sin.故选A.9. ∵对随意x∈R都有f(x)≤f,∴f=1,即cos=1.∴-=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即=,ω=.故ω的最小值为.10.解 (1)列表:xx-0 ππ2π3sin0 3 0 -3 0描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图像上全部点向右平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把y=sin的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像,最终将y=sin的图像上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上全部的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像,最终将y=sin的图像上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.11.C f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2+=sin ωx-cosωx=2sinωx-,f(x)的图像向左平移个单位,得y=2sinωx+-的图像, ∴函数y=g(x)=2sin ωx.又y=g(x)在上是增加的,∴≥,即≥,解得ω≤6,所以ω的最大值为6.12.A由题意得g(x)=2sin2x++-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,由g(x1)g(x2)=9,得由g(x)=2sin-1=-3得2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-,-,,.故当x1=,x2=-时,2x1-x2最大,即2x1-x2=,故选A.13.∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos,k∈Z.∵f(x)的图像平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).14.解 (1)f(x)=sin+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,所以f(x)的最小正周期是π.(2)因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,所以≤2x+≤,当x=时,f(x)max=2;当x=时,f(x)min=-1.15.A由题意可知=+=,∴T=π,ω==2.又sin=0,0<φ<,∴φ=,故选A.16.B(特别值法)画出f(x)=sin的图像如图所示.结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sin=;当x1=-时,f(x1)=sin=-,满意f(x1)+f(x2)=0.由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>=.故选B.。

2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(十一)函数y=Asin(ωxφ)的图像北师大版必修4

课时跟踪检测（十一）函数y=A sin (ωx+φ)的图像一、基本能力达标1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别为( ) A ．－x ＋π6，π6B ．x ＋5π6，5π6C ．x －π6，－π6D ．x ＋5π6，π6解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，故相位为x ＋5π6，初相为5π6.2．将函数y ＝2sin x 2的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的12，则得到的这个新函数的解析式是( )A ．y ＝sin x4B ．y ＝4sin xC ．y ＝sin xD ．y ＝2sin x2解析：选C 用2x 代替原函数中的x ，用2y 代替原函数中的y ，得2y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＝2sin x ，即y ＝sin x .3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图像的简图是( )解析：选A 采用排除法，当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.当x ＝－π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－32，排除C ，故选A.4.知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图像如图，则函数的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4 解析：选B ∵周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π2＝4π，∴2πω＝4π，∴ω＝12. 又A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋3π4，k ∈Z.又∵φ∈(－π，π)，∴当k ＝0时，φ＝3π4.故选B.5．把函数y ＝cos x 的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图像沿x 轴负方向平移π4个单位长度，得到的图像对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4解析：选B y ＝cos x 的图像上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x的图像；再把y ＝cos 2x 的图像沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图像．6．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g (x )，则g (x )的最小正周期是________．解析：由题意知g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴T ＝π. 答案：π7.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π36＝________.解析：由32T ＝5π4－π4，得T ＝2π3，∴ω＝3.又ω×π4＋φ＝0，∴φ＝－3π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫25π36＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π12－3π4＝－ 3.答案：－ 38．要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像，且使平移的距离最短，则需将y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度即可．解析：y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，向左平移π8个单位长度得到y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．答案：左π89．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的最小正周期为2π3，最小值为－2，图像过⎝⎛⎭⎪⎫5π9，0，求该函数的解析式．解：因为函数的最小正周期为2π3，所以T ＝2πω＝2π3，即ω＝3.又因为函数的最小值为－2，所以A ＝2，所以函数解析式可写为y ＝2sin(3x ＋φ)，又因为函数图像过点⎝⎛⎭⎪⎫5π9，0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π9＋φ＝0，解得φ＝k π－5π3.因为|φ|＜π，所以φ＝π3或－2π3，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －2π3.10．已知函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R.(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用五点法作出它的简图；(3)该函数的图像可由y ＝sin x (x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：(1)函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的振幅为12，周期为π，初相为π6. (2)列表：2x ＋π60 π2 π 3π2 2π x －π12 π6 5π12 2π3 11π12 y12－12描点、连线得到函数的简图如图所示．(3)变换过程如下：先将函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．二、综合能力提升1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析：选 D 将原函数图像向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4的图像． 3．若曲线y ＝A sin ωx ＋a (A ＞0，ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2πω上截直线y ＝2与y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对a 和A 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A ＞32B ．a ＝1，A ＞1C ．a ＝12，A ≤32D ．a ＝1，A ≤1解析：选A ∵y ＝A sin ωx ＋a 的图像截y ＝2与y ＝－1的弦相等，∴a ＝12，A ＞32.4．将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图像．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0＜φ＜π2，故φ＝π6.5．将函数y ＝cos x 的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，则φ＝_______________________________________________________________.解析：由题易得φ＝2k π－π6，因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6.答案：11π66.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一段图像如图所示，则函数解析式为______________．解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得 ⎩⎪⎨⎪⎧ω·2π9＋φ＝π，ω·5π9＋φ＝2π，解得ω＝3，φ＝π3.又∵A ＝2，∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π37．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：ωx ＋φ 0π2 π3π2 2π xπ3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式．(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π12个单位长度，求y ＝g (x )的表达式．解：(1)根据表中已知数据，得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 13π12 A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×π12－π6＝5sin 2x . ∴g (x )＝5sin 2x .8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像上相邻最近的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－3，求该函数的一个解析式．解：由题意，得A ＝3－(－3)2＝3.设该函数的最小正周期为T ，则T 2＝11π12－5π12＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴该函数的解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)．又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，3在该函数图像上，∴3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，∴5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－π3(k ∈Z)．令k ＝0，得φ＝－π3.故该函数的一个解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.。

高中数学 3.4正弦型函数y=Asin(ωx+φ)课时提能训练理新人教B版

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 3.4正弦型函数y=Asin(ωx+φ)课时提能训练理新人教B 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.函数y ＝2sin(2x ＋π4)的最小正周期为( )(A)π2(B)π(C)3π2(D)2π2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R)(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)3.(预测题)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象4.(2012·济南模拟)已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) (A)T ＝6，φ＝π6(B)T ＝6，φ＝π3(C)T ＝6π，φ＝π6(D)T ＝6π，φ＝π35.将函数y ＝cosx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )(A)π6 (B)2π3 (C)4π3 (D)11π66.若函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋m(A ＞0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( ) (A)y ＝4sin(4x ＋π6)(B)y ＝2sin(2x ＋π3)＋2(C)y ＝2sin(4x ＋π3)＋2(D)y ＝2sin(4x ＋π6)＋2二、填空题(每小题6分，共18分)7.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx )，其中“同形”函数有 .(填序号)8.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 . 9.给出下列命题：①函数f(x)＝4cos(2x ＋π3)的一个对称中心为(－5π12，0)②已知函数f(x)＝min{sinx ，cosx}，则f(x)的值域为[－1，22] ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则si nα＞sinβ 其中所有真命题的序号是 . 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 11.(易错题)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)，将函数y ＝f(x)图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12倍，把所得图象再向左平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在x∈[0，π8]上的最小值. 【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的图象的一部分如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值.答案解析1.【解析】选B.由解析式得周期T ＝2π2＝π.2.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)3.【解题指南】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式. 【解析】选D.f(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.4.【解析】选A.最小正周期为T ＝2ππ3＝6；由2sin φ＝1，得sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.5.【解析】选C.∵sin(x －π6)＝cos[π2－(x －π6)] ＝cos(x －2π3)，将y ＝cosx 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos(x －2π3)的图象，故要得到y ＝sin(x －π6)的图象应将y ＝cosx 的图象向左平移φ＝2π－2π3＝4π3个单位.6.【解题指南】先根据已知条件构造A 、m 的方程组，求得A 、m ，再求得ω、φ，得到解析式.【解析】选D.∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2m ＝2.∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝4.∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.∵直线x ＝π3是其对称轴，∴sin(4×π3＋φ)＝±1，∴4π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，∴φ＝k π－5π6(k ∈Z). 当k ＝1时，φ＝π6，故选D.7.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋c osx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()241f x y 2sinx y 2sinx 2π∴−−−−−−→=−−−−−−→=向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数. 答案：①③8.【解题指南】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标.【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π29.【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件. 【解析】对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f(－512π)＝0，因此(－512π，0)为f(x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为[－1，22]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝12＜sin60°＝32，故③为假命题，故真命题为①②. 答案：①②10.【解题指南】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π8 3π8 π2 y 2 1 1－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是11.【解题指南】注意图象变换与A 、ω、φ的关系. 【解析】y ＝f(x)1262sin(2x )6y 2sin(4x )6ππ=+−−−−−−−→π=+−−−−−−→纵坐标不变横坐标缩短到原来的倍向左平移个单位的图象的图象y ＝2sin(4x ＋5π6)的图象，即g(x)＝2sin(4x ＋5π6)，当x ∈[0，π8]时，4x ＋5π6∈[5π6，4π3]，∴当x ＝π8时，g(x)取得最小值，g(π8)＝2sin(π2＋5π6)＝－ 3. 【探究创新】【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值.【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)， ∴2sin(－π4＋φ)＝0.∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin(π4x ＋π4).(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x.∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－2 2.【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图象求y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的难点在于ω，φ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式；②图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确定ω.(2)由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.。

【高中数学】课时跟踪检测(四十五) 函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用

课时跟踪检测（四十五）函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用A 级——学考合格性考试达标练1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选D 因为f (x )＝－cos x ，故根据余弦函数的图象可知D 是错误的．故选D. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称．3．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3图象的一条对称轴方程为x ＝π3，一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1解析：选A 由题意知π3－π12≥T 4，故T ＝2πω≤π，ω≥2.4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω·⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω·π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，值域为[－1，3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1 C ．f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1 D ．f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 解析：选A 因为－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3，所以A ＝2，B ＝1，因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1. 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的对称轴方程是________．解析：对于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，x ＝k π2＋π3(k ∈Z ).答案：x ＝k π2＋π3(k ∈Z )7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3.∴ω＝2πT ＝32. 答案：328．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数的图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________．解析：由f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为T 2＝π2，知T＝2πω＝π，得ω＝2，又图象关于点(x 0，0)成中心对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝0，2x 0＋π6＝kπ(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝5π12.答案：5π129．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在x ∈[－1，2]的值域．解：(1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. 因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)因－1≤x ≤2，则0≤π4x ＋π4≤34π， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤1.∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤2.∴函数f (x )的值域为[0，2]．10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象的一条对称轴是直线x ＝π4. (1)求φ值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间和对称中心．解：(1)∵x ＝π4是函数f (x )的图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵0＜φ＜π2，∴φ＝3π8. (2)由(1)知φ＝3π8，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π8. 由题意得2k π－π2≤12x ＋38π≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－7π4≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－7π4，4k π＋π4(k ∈Z )．由12x ＋3π8＝k π(k ∈Z)得x ＝2k π－3π4(k ∈Z )，故该函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－3π4，0(k ∈Z )． B 级——面向全国卷高考高分练1．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则有f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 知，x ＝π6是函数的对称轴，解得f ⎝⎛⎭⎫π6＝－3或3.故选D.2．如图所示的为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，π2≤φ≤π的部分图象，其中A ，B两点之间的距离为5，那么f (1)＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．1D ．－1解析：选D 由|AB |＝5得 ⎝⎛⎭⎫T 22＋42＝5，解得T ＝6.由T ＝2π|ω|，ω＞0得ω＝π3.又当x ＝0时，f (x )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫π3×0＋φ＝1，∴sin φ＝12，又∵π2≤φ≤π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6，因此，f (1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋5π6＝2sin 7π6＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1.故选D. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于( )A. 2B.2＋2 2C.2＋2D.2－2解析：选C 由图可知A ＝2，φ＝2k π，k ∈Z ，T ＝8， ∴2πω＝8，即ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x . ∵周期为8，且f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2sin π4＋2sin π2＝2＋2.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．又∵A 的值不能确定，∴A 、B 、D 不一定正确． 5.如图所示的曲线是函数y ＝ A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，则这个函数的解析式是____________．解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43×⎝⎛⎭⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，∴ω＝2.又⎝⎛⎭⎫5π6，0是五点作图法中的第五个点，即2×5π6＋φ＝2π，∴φ＝π3.∴所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 6．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6，则实数ω的值为________．解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝kωπ＋π4ω， k ∈Z .根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32.答案：327.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，求y ＝|f (x )|的最小值及相应x 的值．解：(1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，即2πω＝π，∴ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，函数y ＝|f (x )|取最大值1，当2x ＋π3＝0，即x ＝－π6时，函数y ＝|f (x )|取最小值0.8.已知定义在(－∞，＋∞)的函数f (x )，对任意x ∈R ，恒有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )成立．(1)求证：函数f (x )是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，求出f (x )的解析式，并写出它的对称轴方程．解：(1)证明：因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π2＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )的最小正周期为π，ω＞0，所以2πω＝π，所以ω＝2.由题中图象知A ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，所以它的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )． C 级——拓展探索性题目应用练将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2<φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值范围．解：(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．(2)因为x ∈[0，3π]，所以12x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∈[－1，1]，因为当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m有唯一实数根，所以函数f (x )的图象和直线y ＝m 只有一个交点，如图所示．故方程f (x )＝m 有唯一实数根m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，12∪{1，－1}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用-高考数学复习

图所示，则ω＝
2
π
0,|｜＜
2
的部f （ x ）的最小正周期为 T ，根据题图可知，＝，所以 T
2
2
＝π，故ω＝2.
目录
高中总复习·数学
1. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ k 图象平移的规律：“左加右减，上加
下减”.
2. 在函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0）中，若其最大值、
（1）由 T 可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升
（或下降）的“零点”横坐标 x 0，则令ω x 0＋φ＝0（或ω x 0＋φ
＝π），即可求出φ；
（2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高
点、最低点代入解析式，再结合图象解出ω和φ，若对 A ，ω
的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其
2
3
4
考点分类突破
微专题 7
课时跟踪检测
知识逐点夯实
PART
1
知识逐点夯实
课前自修
必备知识系统梳理基础重落实
目录
高中总复习·数学
1. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的有关概念
y ＝ A sin
振幅
周期
频率
相位
初相
（ω x ＋φ）
（ A ＞0，
A
ω x ＋φ
φ
⁠
⁠
ω＞0）
目录
π
3＋
5
π
的图象上所有的点向右平移
15
个单位长度，故选D.
目录
高中总复习·数学
2. （2024·黄冈一模）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似

2019-2020学年高中数学课时跟踪训练13 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时) 4

课时跟踪训练(十三）(时间45分钟)题型对点练(时间20分钟）题组一函数y＝A sin(ωx＋φ)中参数的物理意义1．函数f(x)＝2sin错误!（x∈（0，＋∞)）的周期、振幅、初相分别是( ）A.错误!，2，错误!B．4π，2，错误!C．4π，2,－错误!D．2π,2，－错误![解析］周期T＝错误!＝4π,振幅为2，初相为－错误!.［答案］C2．函数y＝－2sin错误!的周期、振幅依次是( ）A．2π,－2 B．2π,2C．π，2 D．π，－2［解析] 周期T＝错误!＝π，振幅为2，故选C.[答案］C3．最大值为错误!，周期为错误!，初相为错误!的函数表达式可表示为（）A．y＝错误!sin错误! B．y＝错误!sin错误!C．y＝错误!sin错误!D．y＝错误!sin错误!［解析］A＝错误!，错误!＝错误!⇒ω＝6，φ＝错误!，C项正确．[答案] C题组二由图象确定函数解析式4．下列函数中,图象的一部分如图所示的是( ）A．y＝sin错误!B．y＝sin错误!C．y＝cos错误!D．y＝cos错误!［解析] 由图知T＝4×错误!＝π，∴ω＝2πT＝2.又x＝错误!时，y＝1,经验证，可得D项解析式符合题目要求．［答案] D5．已知函数f（x)＝2sin(ωx＋φ）的图象如图所示，则f错误!等于( )A.错误!B．0C．2 D．－2[解析］解法一:由图可知，错误!T＝错误!－错误!＝π，即T＝错误!,∴ω＝错误!＝3。

∴y＝2sin(3x＋φ),将错误!代入上式得，sin错误!＝0，又错误!是图象上升的趋势的点，∴错误!＋φ＝2kπ，k∈Z,则φ＝2kπ－错误!.∴f错误!＝2sin错误!＝0.解法二：由图可知，错误!T＝错误!－错误!＝π,即T＝错误!。

又由正弦图象性质可知，若f(x0）＝0,则f错误!＝0.∴f错误!＝f错误!＝0.[答案］B6．函数f（x)＝2sin(ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,则ω，φ的值分别是( )A．2,－错误! B．2，－错误!C．4,－错误!D．4，错误![解析] 错误!T＝错误!－错误!，T＝π,∴ω＝2，∴2×错误!＋φ＝错误!，∴φ＝－错误!,故选A.[答案］A题组三三角函数图象的对称性7．函数y＝错误!sin错误!的图象的一条对称轴是( )A．x＝－错误!B．x＝错误!C．x＝－错误!D．x＝错误!［解析］∵x－错误!＝kπ＋错误!，k∈Z，∴x＝kπ＋错误!，k∈Z,令k＝－1，得x＝－错误!。

高中数学课时跟踪检测四十六函数y=Asinωx φ新人教A版必修第一册

函数y =A sin （ωx +φ）层级(一) “四基”落实练1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选B y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 2．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( )A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z)B ．x ＝k π－π3(k ∈Z)C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z) D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z)解析：选C 由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z. 3．(多选)要得到函数y ＝sin 4x 的图象，只需将函数y ＝cos 4x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度B ．向左平移3π8个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向右平移3π8个单位长度解析：选BC 要得到函数y ＝sin 4x 的图象，只需将函数y ＝cos 4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝sin 4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象，向右平移π8个单位长度即可，或向左平移3π8个单位长度．4．(多选)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )＝f (π＋x )B ．f (x )＝－f (π＋x )C ．f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－xD ．f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－x解析：选AD 由图象知34T ＝34×2πω＝5π6－π12，ω＝2，由五点对应法得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴k ＝0时φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝π，A 正确，B 错误；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin π＝0≠±1，即x ＝π3不是函数的对称轴，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是函数的一个对称中心，即C 错误，D 正确．故选A 、D.5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (2 020)的值为________．解析：由图知，34T ＝9，T ＝12，所以f (2 020)＝f (12×168＋4)＝f (4)，由图知函数f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (4)＝f (0)＝2，所以f (2 020)＝ 2. 答案： 26．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间[－π，π]的图象如图所示，则f (x )的最小正周期为________；f (π)＝________.解析：由f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的部分图象知，ω·－4π9＋π6＝－π2，解得ω＝32，所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π32＝4π3；所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6，所以f (π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋π6＝sin π6＝12.答案：4π3 127．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋2(A >0，ω>0)的最大值为4，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象向右平移π12个长度单位，再向下平移2个长度单位长度，再将图象上所有点横坐标变为原来的一半，得到g (x )的图象，用“五点法”作出g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的大致图象．解：(1)由题意可知A ＋2＝4，即A ＝2，T 2＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2. (2)将f (x )的图象向右平移π12个长度单位，可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2的图象，再向下平移2个长度单位，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，再将图象上所有点横坐标变为原来的一半，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象．列表：描点，连线得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的大致图象如图所示．层级(二) 能力提升练1．(多选)若将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减C ．x ＝π12不是函数g (x )图象的对称轴D ．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6上的最小值为－12 解析：选ACD 将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，显然，最小正周期为2π2＝π，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上先递减后递增，故B 错误；令x ＝π12，求得g (x )＝0，故x ＝π12不是函数g (x )图象的对称轴，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12，故D 正确．2．将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移φ0<φ<π2个单位长度得到函数g (x )的图象，若x 1，x 2使得f (x 1)g (x 2)＝－1，且|x 1－x 2|的最小值为π6，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D 将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π3，若x 1，x 2使得f (x 1)g (x 2)＝－1，则f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1，不妨设f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1，则2x 1－π3＝2k 1π，2x 2＋2φ－π3＝2k 2π＋π，k 1∈Z ，k 2∈Z ，即2x 1＝2k 1π＋π3，2x 2＝2k 2π＋π－2φ＋π3，k 1∈Z ，k 2∈Z ，两式作差得2(x 1－x 2)＝2(k 1－k 2)π＋2φ－π，k 1∈Z ，k 2∈Z ，即(x 1－x 2)＝(k 1－k 2)π＋φ－π2，k 1∈Z ，k 2∈Z ，∵|x 1－x 2|的最小值为π6，∴当k 1－k 2＝0时，最小，此时|φ－π2|＝π6，∵0＜φ＜π2，∴φ－π2＝－π6，得φ＝π2－π6＝π3.3．将函数f (x )＝2sin x 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π12个单位长度得到g (x )的图象，则g (x )＝________；若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：将函数f (x )＝2sin x 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得y ＝2sin 2x 的图象；再向左平移π12个单位长度得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧2·a 3＋π6≤π2，2·2a ＋π6≥3π2，求得π3≤a ≤π2，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π24．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ2－1(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且f (x )图象的相邻两个最高点的距离为π.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6时，求f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6上的最大值和最小值．解：(1)由题意，函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π6，因为函数f (x )图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T ＝π.可得ω＝2，又由函数f (x )为偶函数．得φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝kx ＋π3，k ∈Z.因为0＜φ＜π，所以k ＝0时，φ＝π3，所以函数f (x )＝2cos 2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，解得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6.(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，4x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当4x －π3＝－2π3，即x ＝－π12时，函数g (x )取得最小值，最小值为－1，当4x －π3＝0，即x ＝π12时，函数g (x )取得最大值，最大值为2.层级(三) 素养培优练已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0,0＜ω＜6，|φ|＜π2)，x ＝π3是函数f (x )的零点，x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个零点，求m 的取值范围．解：(1)因为x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，A ＞0，所以A ＝2，又因为x ＝π3是函数f (x )的零点，所以2n －14T ＝π3－π12(n ∈N *)，即T ＝π2n －1(n ∈N *)，所以ω＝2πT ＝2ππ2n －1＝4n －2(n ∈N *)，又因为0＜ω＜6，所以n ＝1，ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)依题意知函数y ＝f (x )与y ＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有2个交点，设t ＝2x ＋π3，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，结合图象可知：函数y ＝2sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3上单调递增，所以当t ＝－2π3时，y ＝－3；当t ＝－π2时，y ＝－2；当t ＝π3时，y ＝ 3.所以m 的取值范围为(－2，－ 3 ]．。

【高中数学】课时跟踪检测(十三) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质

课时跟踪检测（十三）函数y=Asin(ωx+φ)的性质层级一学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C. 3．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________. 解析：∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋2π3， ∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝2π3. 答案：22π3 2π37.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________．解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.⎝⎭39．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心．解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)． 10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8，频率为18，振幅为2，初相为π4.层级二应试能力达标1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1⎝⎭6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3， ∴A ＝2，B ＝1， ∵T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝( )A ．－1B ．1C ．12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1. 3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z.解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0 D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．5．在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3＝0， ∴4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝k 4π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12，∴离原点最近的交点坐标⎝⎛⎭⎫π12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫π12，06．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6，则实数ω的值为________．解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝k ωπ＋π4ω，k ∈Z.根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32.答案：327．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数， ∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2， ∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)．8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z. ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十)函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单

课时跟踪检测（二十）函数y=A sin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度个单位长度1个单位长度个单位长度的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.4.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由图象可知T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4.5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，74B.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54 D.⎝ ⎛34，解析：选A 因为函数f (x )在(0,2π)数的图象可得54T ＜2π≤74T ，即54·2πω＜2π≤7·6．将函数f (x )＝cos 2x g (x )，则g (x )具有的性质是( )＝π2对称⎭⎪⎫0对称x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x 的图象，当x ＝π2时，g (x )＝0，故A 错，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故B 正确，C 错，当x ＝3π8时，g (x )＝22，故D 错，选B.7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：08．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，周期T 为____________，频率为____________，初相φ为____________．解析：振幅A ＝2，T ＝2ππ3＝6，f ＝16.因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：2 6 16 π69．(2017·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝____________.解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5. 答案：20.5B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·云南11校跨区调研)函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32 B ．2 C ．1D.12解析：选C 依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到所得函数图象的一条对称轴为( )B ．x ＝π8D ．x ＝π2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的图象．该函数图象的对称轴为x 2－π4＝k π(k ∈Z)，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z)．结合选项，只有A 符合，故选A.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.32C.22D ．1解析：选B 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.4.若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π65．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，36.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．－π，(x )图象的一个对称中心，ω＜1，∈Z)，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]．列表如下：7．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z.故ω＝6k ＋2，k ∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.C 级——重难题目自主选做1．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ，令－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k 0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为______．是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又＋π2(k ∈Z)．由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f (x )＝－12答案：－12。

函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用

[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ，＝4，故T＝＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故＋φ＝＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)；， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)．， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x∈[－6,0]上的值域．

新教材高中数学课时跟踪检测四十五函数y=Asinωx+φ新人教A版必修第一册

新教材高中数学课时跟踪检测四十五函数y=Asinωx＋φ新人教A 版必修第一册课时跟踪检测（四十五）函数y=A sin(ωx +φ)A 级——学考水平达标练1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x －1解析：选B 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .3．如图所示的图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选D 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．4．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数解析：选 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可． 6．将函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin x ――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －17．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3. 答案：π38.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，所以f (0)＝2sin φ＝2sinπ3＝62. 答案：629．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．解：(1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z)，即ω＝3k2(k ∈Z)，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.B 级——高考水平高分练1．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω＞0)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2.答案：22．某同学给出了以下结论：①将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．答案：①③3.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4，∴g (x )的最小正周期为2ππ4＝8.4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)．5．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图象如图所示．(1)若方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2. 当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2，故α＋β的值为5π2或π2.。

【精品】高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx φ的图象及变换新人教A版必修4

【精品】高中数学课时跟踪检测十二函数y=Asin(ωx+φ的图象及变换新人教A版必修4层级一学业水平达标1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向上平移个单位长度D．向下平移个单位长度解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选 A y＝sin 2xy＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin2x.由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．3．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝cosD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 解析：选B y ＝cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y ＝cos 2x 的图象；再把y ＝cos 2x 的图象沿x 轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos 2＝cos 的图象．4．函数y ＝sin 在区间上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ＝－<0，故可排除B 、D ；当x ＝时，sin ＝sin 0＝0，排除C.5．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数是( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 解析：选C 把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y ＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y ＝sin 的图象．6．将函数y ＝sin 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin 的图象y ＝sin 的图象．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3 7．函数y ＝sin 的图象可以看作把函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．解析：∵y＝sin ＝sin 2，∴由y ＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度便得到y ＝sin 的图象．答案：右π88．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．答案：伸长39．y＝cos的图象如何变换得到y＝sin x的图象？解：cos＝cos＝sin x，所以将y＝cos的图象向右平移个单位长度便可得到y＝sin x的图象．10．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．解：反过来想，y＝sin xy＝siny＝sin2x－，即f(x)＝sin.层级二应试能力达标1．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的，则g等于( )A．1 B．－12C．0 D．－1解析：选D 由f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的是g(x)＝cos的图象，则g＝cos＝cosπ＝－1.故选D.2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sinD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y ＝sin ＝sin的图象，再把y ＝sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y ＝sin 的图象．3．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移个单位长度得到y ＝cos x 的图象C ．当φ＜0时，y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin 的图象可以由y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位长度得到解析：选A A 中，y ＝cos x 的图象y ＝cos ＝sin x 的图象；B 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin ＝－cos x 的图象；C 中，y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋|φ|)＝sin(x －φ)的图象；D 中，y ＝sin 2x 的图象y ＝sin 2＝sin 的图象.4．为了得到函数y ＝sin 的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选C 由于y＝sin＝cos ＝cos ＝cos＝cos ，为得到该函数的图象，只需将y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f ＝________.解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f ＝sin＝sin＝.答案：226．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．解析：cos ＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，∴φ＝4kπ－，k∈Z.∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．答案：11π37．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？解：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．8．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.。

(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(十三)函数y=Asinωxφ的性质新人教A版必修4

n n解析：选 C 由 x -■— = k n + —, k € Z , 解得x = 6, k € Z ,令 k =— 1,n6.4•下列函数中，图象的一部分如图所示的是 A . y = si nnx +石nB . y = si n2x —6nC . y = co s4x —3nD . y = co s2x —6n n解析：选D 设y = A sin （ wx + © ），显然A = 1，又图象过点 ——,0 ,匸，1 ,所以层级一学业水平达标nD. 4, §课时跟踪检测（十三）函数 y=Asin( 3 X+ © )的性质1. 简谐运动 y = 4sinn5x ——的相位与初相是（）A. n5x —瓦,nB . 5x — —, 4最大值为12n n2.2，最小正周期为可，初相为¥的函数表达式是1x n1x n A .y = 2Si n 3+ 6" B .y = 2Si n 3—石1n1n C . y = 2Si n 3x -~~6 D.y = 2Si n 3x +6解析：选C 相位是当x = 0时的相位为初相即一 (C.解析：选D由最小正周期为2nV ，排除 nA B ；由初相为E ，排除6C.3. 函数y =1 n2Sin x ——的图象的一条对称轴是（ A.B. C.D.nx^63 =2T 2^ 4= "37t4 n "32nnnA.关于直线x =—对称B .关于点 —,0对称nnC.关于直线x = 对称D.关于点 ,0对称48…n 一 n3 = 2，故 f (x ) = sin 2x + ，所以 f =4 on n3 n 22x +— = sin =,因此该函数的图象关4442nn n 于直线x="o 对称，不关于点~4, 0和点"o , 0对称，也不关于直线n6. y = — 2sin 3x —-3 的振幅为 ________ ，周期为 _________ ，初相 0 = ________j ,n解析：y =— 2sin 3x — 3cn小 2 n=2sin n+ 3x — "3 = 2sin 3x + 亍3n n nnsin 2x + — —sin — 1, f—s8 42 ， 4nco x — 6 + ©= 0,n解得 3= 2, 0=石.所以函数解析式为y = sin 2x 4cos5.已知函数f (x ) = sinn3x4~ ( 3> 0)的最小正周期为n,则该函数的图象(nx =^对称.故••• A = 2,3 = 3, 0 =2n2n • T =2n答案： 2 n 2 n2 3 37.已知函数f (x ) = sin( 3x +0 )( 3 >0)的图象如图所示，则解析：由题意设函数周期为 T ,解析：选 A 依题意得T = 2n=n,33n n&函数f (x )= A sin 3x + — (A >0, ®>0)在一个周期内，当 x =立时，函数f (x )取得7 n最大值2，当x = 12时，函数f (x )取得最小值—2，则函数解析式为 ___________________________ .解析：由题意可知 A = 2 - = — —^ —，2 12 12 22nT =n,「・=n ，即卩 3 = 2.•- f (x ) = 2sin 2x + ■—.n答案：f (x ) = 2sin 2X + ■—n9. 求函数y = sin 2x + —图象的对称轴、对称中心.—” 人n n,口k n n解：令 2X += k n+ y(k € Z)，得 x =-^ + ^(k € Z).人nz … k n n令 2x + = k n,得 x = — — (k € Z).326k n n , k n n即对称轴为直线 x =-厂+ I2(k € Z)，对称中心为一牙—~6，0 (k € Z).n10.如图为函数f (x ) = A sin( 3x + 0 ) A > 0, 3> 0,| < —的一个周期内的图象.(1)求函数f (x )的解析式；⑵求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相.解：(1)由图，知 A = 2, T = 7— ( — 1) = 8, 2 n 2 n nn•••3= —=〒=~4,••• f (x ) = 2sin 74X + 07t3 =24n将点(—1,0)代入，得0= 2sin —才+ 0 .n n• f (x ) = 2sin 亍 + 4 .2 n(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为 ——=8, nT 频率为8,振幅为2，初相为才.ny = 2sin 3x —+ 16解析：选 A T — A + B =— 1, A + B= 3,A = 2,B = 1 ,2 n 2 n T=V= V ,3，又 0=i ，故 f (x ) = 2sin 3X + n + 1.层级二应试能力达标1.设 f (x ) = A sin( 3X + 0 ) + B(A >0, 2 n no > 0)的定义域为R,周期为可，初相为-g ,值域为［—1,3］，则函数f (x )的解析式为(A.ny = 2sin 3x + § + 1 B. ny = 2sin 3x + § — 1C. D. 2. 函数f (x ) = COS ( 3X + 0 )( co > 0, 0 € [0,2 n ))的部分图象如图，贝y f (2 017)A. C.解析：选 B 由题图可知，T = 2,4所以T = 8，所以 n3=孑由点(1,1)在函数图象上可得f ⑴=COSn一 n 一~4 +0 = 1,所以 ~ + 0= 2k n(k € Z)，所以 0 = 2kn n — ~( k € Z)，又 0 € [0,2 n )，所以 7n 7 n2 017 n 7 n0 = ~^.故 f (x ) = cos [x + 4, f (2 017) = cos 4 + 4= cos 506 nB . 1=COS (253 X 2 n ) = 1.n已知函数 f (x ) = 2sin x — 6 , x € R, 若f (x ) > 1,贝y x 的取值范围为(n•- f (x ) = A sin 2X +~6 •••• f(x )图象过点0, A .A. n厂xk n + — w x W k n + n, k € ZB. nx 2 k n —3 W x W2k n + n, k € Z3C.n5 nxk n +¥W xW k n + E , k € ZD.n 5 nx 2k n + 〒W x W2k n + ~, k € Z6 6解析: nT f (x ) > 1,即即 2sin x —石 n 2k nW 6 n 5 n x — W + 2k n, k € 乙 6 6n 解得 — + 2 k nW x Wn +3 2k n, k € 乙4.设函数 f (x ) = A sin( cox + 0 ) A M 0, n -co > 0, | 0 | V —的图象关于直线称，它的周期是 n,则( A. 1f (x )的图象过点 0,B. 5 n 2 nf (x )在乜，丁上是减函数 C. f (x )的一个对称中心是 D. f (x )的最大值是 A 解析：选C •••周期T =n2n=n, coco = 2.又••• f (x )的图象关于直线x =牛对称,k € Z ,又 | 0 | n t nV 2,•0=石3.5 n n 5 n又当 X = 12时，2x + ~6 =n ，即卩 f 12 =0,5 n ••• i2，o 是f (x )的一个对称中心.25. 在函数 y =— 2sin 4x +㊁冗的图象与 x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是2n• 4x + — = k n, k € Z ,3x =4 nn n取 k = 0,贝U x = 一石，取 k = 1，贝y x = 12,• ••离原点最近的交点坐标n祛0.答案:n6. 若函数y = sin ®x + — ( 0)图象的对称轴中与 y 轴距离最小的对称轴方程为xn=—,则实数3的值为 6n nk n解析：令3X + T=T+ k n, k € Z ,得函数图象的对称轴方程为x = n+ —,k €乙4234 3n n3 根据题意得k = 0，所以=三，解得3=了.4 3 6 23答案：2n7.已知函数 f (x ) = 2sin 3x +0 — — + 1(0 v $vn, 3 > 0)为偶函数，且函数 f (x )n的图象的两相邻对称轴间的距离为 -.n(1) 求f 的值；8解析：当y = 0时，sin4x + 23n= 0,n(2) 将函数f(x)的图象向右平移—个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.解：(1) ••• f(x)为偶函数，数？2n • - 0 = k n —( k € Z).3rnf (x ) = 2sin 3x + — + 1 = 2cos + 1.又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为 2 n n •-T =V=2X 2，•••3= 2, • f (x ) = 2cos 2 x + 1,n n• f g = 2cos 2 X — + 1= '2 + 1.x n象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f 4弋的图象,x n x n所以 g (x ) = f 4- g = 2cos 2 4-- + 1x n=2cos 2- y +1.,x n当 2 k nW — ~3 W2k n + n( k € Z), 2 n8 n即 4k n + 2 W x <4 k n + 2( k € Z)时，g (x )单调递减. 、、 2 n8 n•函数g (x )的单调递减区间是 4k n + ~^, 4k n + (k € Z).If 忑邊傲肚n&函数 f (x ) = A sin( 3X + 0 ) A >0, 3 >0, | 0 |< y 的一段图象如图所示.7tk n + 2( k € Z),又 0 V 0Vn,2n= V ， (2)将f (x )的图象向右平移单位长度后, 得到函数nx飞的图象，再将所得图/• f (x ) = 3sin2⑵由 f (x + n ) = 3sin 52 2m n 3sin 5x+牙—w 为偶函数(n >0)，.2m n n 卄 5 3 n知 5 — 10= k n+ 2，即 m= ^k n + 〒,k € 乙 3nn >0,「. n min =三3 n故把f (x )的图象向左至少平移 ~2-个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.解：(1)A = 3, 2 n 4n一=34n — 7 4=5n，2 3=二.5由 f (x ) = 3sin 25x +n0 |< ~2，n10，。

2019届高三数学(文)跟踪检测函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用Word版含答案

课时跟踪检测函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选D 最小正周期为T ＝2π12＝4π.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是()解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C. 3．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 4．(2015·山东高考)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.5．(2015·邢台一模)先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，1 B.⎝⎛⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D ．[－1,0)解析：选A 依题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1. 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·济南模拟)将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 解析：选A 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x .2．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．－π3，0，π2，2π3，πC ．－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π3解析：选C 由题意知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，当x ∈⎣⎡ －π3，⎦⎤2π3时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π3，当2x ＋π3＝－π3，0，π2，π，3π2，5π3时，x 的值分别为－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3. 3．(2016·浙江瑞安四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选B ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.即f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8，因为g (x )＝cos 2x ，所以为了得到g (x )＝cos 2x 的图象只需将f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象向右平移π8个单位长度． 4．(2015·贵阳监测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.32C.22D ．1解析：选B 由图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 5．(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．6．若函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫4×π3－π3＝0. 答案：07．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 8．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝________. 解析：因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43.答案：439．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．10．(2015·天津十二区联考)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6 －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3. 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·皖北协作区联考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 所以①正确．因为将x ＝－π6代入f (x )得f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π－2π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －2π3＝－g (x )，⑤正确．答案：①③④⑤2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12，即2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z.因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。

【精品】高中数学课时跟踪检测十三函数y=Asin(ωx φ)的性质新人教A版必修4

课时跟踪检测（十三）函数y=Asin(ωx+φ)的性质层级一学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.3．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6. 4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称解析：选 A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________.解析：∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3，∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝2π3.答案：22π3 2π37.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________．解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π39．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心．解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8，频率为18，振幅为2，初相为π4.层级二应试能力达标1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1C ．y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3， ∴A ＝2，B ＝1， ∵T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝()A ．－1B ．1C ．12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π4＋7π4＝cos506π＝cos(253×2π)＝1.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z. 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，A 2.。